اقتران الزخم الزاوي

ينص مبدأ حفظ الزخم الزاوي على أن الزخم الزاوي الكلي لنظام ما يكون ثابتًا في مقداره واتجاهه إذا لم يتعرض النظام لعزم دوران خارجي . الزخم الزاوي خاصية من خواص النظام الفيزيائي ، وهو ثابت الحركة (ويُشار إليه أيضًا بالخاصية المحفوظة ، أي أنه مستقل عن الزمن ومحدد بدقة) في حالتين:

1. يتعرض النظام لحقل جهد متناظر كرويًا.
2. يتحرك النظام (بالمعنى الكمي) في فضاء متجانس الخواص.

في كلتا الحالتين، يتبادل مؤثر الزخم الزاوي مع هاميلتوني النظام. وبحسب علاقة عدم اليقين لهايزنبرغ ، فهذا يعني أنه يمكن قياس الزخم الزاوي والطاقة (القيمة الذاتية للهاميلتوني) في الوقت نفسه.

مثال على الحالة الأولى هو ذرة لا تخضع إلكتروناتها إلا لقوة كولوم لنواتها الذرية . إذا تجاهلنا تفاعل الإلكترون-إلكترون (وغيره من التفاعلات الصغيرة مثل اقتران الدوران المداري )، فإن الزخم الزاوي المداري (l) لكل إلكترون يتبادل مع الهاميلتوني الكلي. في هذا النموذج، يكون الهاميلتوني الذري مجموع الطاقات الحركية للإلكترونات وتفاعلات الإلكترون-النواة المتناظرة كرويًا. يتبادل الزخم الزاوي (i) لكل إلكترون مع _هذا الهاميلتوني، أي أنه من الخصائص المحفوظة لهذا النموذج التقريبي للذرة.

ومن الأمثلة على الحالة الثانية دوار صلب يتحرك في فضاء خالٍ من المجال المغناطيسي. يمتلك الدوار الصلب زخمًا زاويًا محددًا جيدًا وغير مرتبط بالزمن.

ينشأ هذان الموقفان في الميكانيكا الكلاسيكية. أما النوع الثالث من الزخم الزاوي المحفوظ، المرتبط باللف المغزلي ، فلا يوجد له نظير كلاسيكي. ومع ذلك، تنطبق جميع قواعد اقتران الزخم الزاوي على اللف المغزلي أيضًا.

بشكل عام، يستلزم حفظ الزخم الزاوي تناظرًا دورانيًا كاملًا (يُوصف بالمجموعتين SO(3) و SU(2) )، وعلى العكس، يستلزم التناظر الكروي حفظ الزخم الزاوي. إذا كان لنظامين فيزيائيين أو أكثر زخم زاوي محفوظ، فمن المفيد دمج هذه الزخوم للحصول على زخم زاوي كلي للنظام المدمج - وهي خاصية محفوظة للنظام الكلي. يُشار إلى بناء الحالات الذاتية للزخم الزاوي الكلي المحفوظ من الحالات الذاتية للزخم الزاوي للأنظمة الفرعية الفردية باسم اقتران الزخم الزاوي .

يُعدّ تطبيق اقتران الزخم الزاوي مفيدًا عند وجود تفاعل بين أنظمة فرعية، والتي لولا هذا التفاعل لكانت حافظت على زخمها الزاوي. وبسبب هذا التفاعل تحديدًا، ينكسر التناظر الكروي للأنظمة الفرعية، لكن الزخم الزاوي للنظام الكلي يبقى ثابتًا. ويُفيد استخدام هذه الحقيقة الأخيرة في حلّ معادلة شرودنغر.

كمثال، لنفترض وجود إلكترونين في ذرة ( ذرة الهيليوم مثلاً ) مُرقمين بـ i = 1 و 2. إذا لم يكن هناك تفاعل بين الإلكترونات، وإنما فقط تفاعل _بين الإلكترون والنواة، فإن الإلكترونين يدوران حول النواة بشكل مستقل عن بعضهما، دون أن تتغير طاقتهما. وتبقى القيم المتوقعة لكل من المؤثرين l1 و l2 _{ثابتة .} أما إذا أضفنا التفاعل بين الإلكترونات الذي يعتمد على المسافة d (1,2) بينهما، فإن الدوران المتزامن والمتساوي للإلكترونين فقط هو ما يُبقي d (1,2) ثابتة. في هذه الحالة، لا تُعتبر القيمة المتوقعة لكل من l1 و l2 ثابتة الحركة بشكل عام، بينما تُعتبر القيمة المتوقعة لمؤثر الزخم الزاوي المداري الكلي L = _l1 + _{l2 ثابتة .} بالنظر إلى الحالات الذاتية لـ l ₁ و l ₂ ، فإن بناء الحالات الذاتية لـ L (التي لا تزال محفوظة) هو اقتران الزخم الزاوي للإلكترونات 1 و 2.

يقتصر العدد الكمي لعزم الدوران المداري الكلي L على القيم الصحيحة ويجب أن يحقق الشرط المثلثي الذي${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}}$بحيث يمكن أن تتوافق القيم الصحيحة غير السالبة الثلاثة مع أضلاع المثلث الثلاثة. ^{[ 3 ]}

في ميكانيكا الكم ، يوجد اقتران بين الزخم الزاوي المنتمي إلى فضاءات هيلبرت المختلفة لجسم واحد، مثل عزمه الزاوي الدوراني وعزمه الزاوي المداري . إذا كان للعزم الزاوي الدوراني قيم نصف صحيحة ، مثل 1/2 للإلكترون ، فإن الزخم الزاوي الكلي (المداري بالإضافة إلى الدوراني) سيقتصر أيضًا على قيم نصف صحيحة.

بإعادة صياغة ما سبق بصيغة مختلفة قليلاً: يتم توسيع الحالات الكمومية للأنظمة المركبة (أي المكونة من وحدات فرعية مثل ذرتي هيدروجين أو إلكترونين ) في مجموعات أساسية تتكون من حاصل ضرب موترات للحالات الكمومية التي بدورها تصف الأنظمة الفرعية بشكل فردي. نفترض أن حالات الأنظمة الفرعية يمكن اختيارها كحالات ذاتية لمؤثرات الزخم الزاوي الخاصة بها (ولمركبتها على طول أي محور z اختياري).

لذا، تُوصف الأنظمة الفرعية بدقة بواسطة زوج من الأعداد الكمومية ℓ و m (انظر الزخم الزاوي لمزيد من التفاصيل). عند وجود تفاعل بين الأنظمة الفرعية، يحتوي الهاميلتوني الكلي على حدود لا تتبادل مع المؤثرات الزاوية المؤثرة على الأنظمة الفرعية فقط. مع ذلك، تتبادل هذه الحدود مع مؤثر الزخم الزاوي الكلي . يُشار أحيانًا إلى حدود التفاعل غير التبادلية في الهاميلتوني باسم حدود اقتران الزخم الزاوي ، لأنها تستلزم اقتران الزخم الزاوي.

في الذرات الخفيفة (عمومًا Z  ≤  30 ^{[ 4 ]} )، تتفاعل اللفات المغزلية للإلكترونات sᵢ فيما بينها _، فتتحد لتشكل عزمًا زاويًا مغزليًا كليًا S. ويحدث الشيء نفسه مع العزوم الزاوية المدارية ℓᵢ _، لتشكل عزمًا زاويًا مداريًا كليًا L. يُسمى التفاعل بين العددين الكميين L و S اقتران راسل - سوندرز (نسبةً إلى هنري نوريس راسل وفريدريك سوندرز ) أو اقتران LS . ثم يتحد S و L معًا لتشكلا عزمًا زاويًا كليًا J : ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,}$

حيث يمثل L و S المجموع الكلي:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}.\,}$

هذا تقريب جيد طالما كانت المجالات المغناطيسية الخارجية ضعيفة. في المجالات المغناطيسية الأكبر، ينفصل هذان الزخمان، مما يؤدي إلى نمط انقسام مختلف في مستويات الطاقة ( تأثير باشين-باك )، ويصبح حجم حد اقتران LS صغيرًا. ^{[ 7 ]}

للحصول على مثال شامل حول كيفية تطبيق اقتران LS عمليًا، انظر المقالة المتعلقة برموز المصطلحات .

_{في الذرات الأثقل ،} يختلف الوضع. ففي الذرات ذات الشحنات النووية الأكبر، غالبًا ما تكون تفاعلات الدوران المداري مساوية أو أكبر من تفاعلات الدوران-الدوران أو تفاعلات المدار-المدار. في هذه الحالة، يميل كل زخم زاوي مداري ℓᵢ إلى الاندماج مع الزخم الزاوي الدوراني الفردي المقابل sᵢ _، مما يُنتج زخمًا زاويًا كليًا فرديًا jᵢ . ثم تتحد هذه الزخمات لتكوين الزخم الزاوي الكلي _J.

${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).}$

يُعرف هذا الوصف، الذي يسهل حساب هذا النوع من التفاعل، باسم اقتران jj .