المربع اللاتيني

تعرض هذه النافذة الزجاجية الملونة في كلية جونفيل وكايوس بجامعة كامبريدج مربعًا لاتينيًا بأبعاد 7 × 7، تكريمًا لرونالد فيشر ، الذي تناول في كتابه *"تصميم التجارب"* المربعات اللاتينية. وقد أُزيلت نافذة السير رونالد فيشر عام 2020 بسبب ارتباط فيشر بعلم تحسين النسل. ^{[ 1 ]}

في علم التوافيق وفي تصميم التجارب ، المربع اللاتيني هو مصفوفة من الرتبة n × n تحتوي على n رمزًا مختلفًا، يظهر كل منها مرة واحدة فقط في كل صف ومرة واحدة فقط في كل عمود. مثال على مربع لاتيني 3 × 3 هو

أ	ب	ج
ج	أ	ب
ب	ج	أ

استُلهم اسم "المربع اللاتيني" من أوراق ليونارد أويلر الرياضية (1707-1783)، الذي استخدم الأحرف اللاتينية كرموز، ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} ولكن يمكن استخدام أي مجموعة من الرموز: في المثال أعلاه، يمكن استبدال التسلسل الأبجدي A، B، C بالتسلسل العددي 1، 2، 3. وقد وضع أويلر النظرية العامة للمربعات اللاتينية. ^[⁴^]

تاريخ

كان عالم الرياضيات الكوري تشوي سيوك جونغ أول من نشر مثالاً على المربعات اللاتينية من الرتبة تسعة، وذلك بهدف بناء مربع سحري في عام 1700، متقدماً بذلك على ليونارد أويلر بـ 67 عاماً. ^{[ 5 ]}

عد

يتبع هذا التقرير ما ذكره ماكاي، مينرت وميرفولد (2007 ، ص 100) . ^[⁶^]

لعدّ المربعات اللاتينية تاريخ طويل، لكنّ الروايات المنشورة تحوي العديد من الأخطاء. فقد عرف كلٌّ من أويلر عام 1782 ^{[ 7 ]} وكايلي عام 1890 ^[⁸^] عدد المربعات اللاتينية المختزلة حتى الرتبة الخامسة. وفي عام 1915، تناول ماكماهون ^[⁹^] المسألة بطريقة مختلفة، لكنّه حصل في البداية على قيمة خاطئة للرتبة الخامسة. ووجد م. فرولوف عام 1890 [ ¹⁰^]^وتاري عام 1901 [ ¹¹^]^[¹²^]^عدد المربعات المختزلة من الرتبة السادسة. وقدّم م. فرولوف عددًا غير صحيح للمربعات المختزلة من الرتبة السابعة. وقدّم كلٌّ من ر. أ. فيشر وف . ييتس ^[¹³^] ، دون علمهما بالعمل السابق لإ. شونهاردت ^[¹⁴^]، عدد فئات التماثل من الرتب حتى السادسة. في عام 1939، وجد إتش دبليو نورتون 562 فئة نظائرية من الرتبة السابعة، ^[¹⁵^] لكنه أقرّ بأن طريقته غير مكتملة. وفي عام 1951، وجد أ. ساد ^[¹⁶^] (مع العلم أنه نشر نتائجه بشكل خاص في وقت سابق عام 1948)، ووجد كلٌّ من بي إن ساكسينا ^[¹⁷^] فئاتٍ أكثر، وفي عام 1966، لاحظ دي إيه بريس أن هذا صحّح نتيجة نورتون إلى 564 فئة نظائرية. ^[¹⁸^] ومع ذلك، في عام 1968، أعلن جيه دبليو براون عن قيمة خاطئة بلغت 563، ^[¹⁹^] والتي تكررت مرارًا. كما أعطى عددًا خاطئًا من الفئات النظائرية من الرتبة الثامنة. وكان إم بي ويلز قد وجد العدد الصحيح للمربعات المختزلة من الرتبة الثامنة في عام 1967، ^[²⁰^] وحدد جي كوليسوفا وسي دبليو إتش لام وإل ثيل أعداد الفئات النظائرية في عام 1990 . ^[²¹^] تم الحصول على عدد المربعات المختزلة للرتبة التاسعة بواسطة إس إي باميل وجيه روثستين، ^[²²^] وللرتبة العاشرة بواسطة بي دي مكاي وإي روجوسكي، ^[²³^] وللرتبة الحادية عشرة بواسطة بي دي مكاي وآي إم وانليس. ^[²⁴^]

الشكل المختصر

يُقال إن المربع اللاتيني مُختزل (أو مُعَيَّر أو في صورته القياسية ) إذا كان كل من صفه الأول وعموده الأول في ترتيبهما الطبيعي. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، المربع اللاتيني أعلاه ليس مُختزلاً لأن عموده الأول هو A، C، B وليس A، B، C.

يمكن اختزال أي مربع لاتيني عن طريق تبديل (أي إعادة ترتيب) الصفوف والأعمدة. هنا، يؤدي تبديل الصفين الثاني والثالث من المصفوفة أعلاه إلى الحصول على المربع التالي:

أ	ب	ج
ب	ج	أ
ج	أ	ب

هذا المربع اللاتيني مُصغّر؛ كل من صفه الأول وعموده الأول مرتبان أبجديًا A، B، C.

ملكيات

تمثيل المصفوفة المتعامدة

إذا كُتب كل عنصر من عناصر المربع اللاتيني ذي الأبعاد n × n على شكل ثلاثية ( r , c , s )، حيث r هو الصف، وc هو العمود، و s هو الرمز، فإننا نحصل على مجموعة من n² ^ثلاثية تُسمى تمثيل المصفوفة المتعامدة للمربع. على سبيل المثال، تمثيل المصفوفة المتعامدة للمربع اللاتيني

1	2	3
2	3	1
3	1	2

يكون

{ (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) },

فعلى سبيل المثال، تعني الثلاثية (2، 3، 1) أن الرمز 1 موجود في الصف الثاني والعمود الثالث. عادةً ما تُكتب المصفوفات المتعامدة على شكل مصفوفة حيث تمثل الثلاثيات الصفوف، مثل:

ر	ج	s
1	1	1
1	2	2
1	3	3
2	1	2
2	2	3
2	3	1
3	1	3
3	2	1
3	3	2

يمكن كتابة تعريف المربع اللاتيني بدلالة المصفوفات المتعامدة:

المربع اللاتيني هو مجموعة من n ² ثلاثيات ( r , c , s )، حيث 1 ≤ r , c , s ≤ n ، بحيث تكون جميع الأزواج المرتبة ( r , c ) متميزة، وجميع الأزواج المرتبة ( r , s ) متميزة، وجميع الأزواج المرتبة ( c , s ) متميزة.

هذا يعني أن الأزواج المرتبة n² ( r , c ) هي جميع الأزواج ( i , j ) حيث 1 ≤ i , j ≤ n ، مرة واحدة لكل ^زوج . وينطبق الأمر نفسه على الأزواج المرتبة ( r , s ) والأزواج المرتبة ( c , s ).

يوضح تمثيل المصفوفة المتعامدة أن الصفوف والأعمدة والرموز تلعب أدوارًا متشابهة إلى حد كبير، كما سيتضح لاحقًا.

فئات التكافؤ للمربعات اللاتينية

تؤدي العديد من العمليات على مربع لاتيني إلى إنتاج مربع لاتيني آخر (على سبيل المثال، قلبه رأسًا على عقب).

إذا قمنا بتبديل صفوف أو أعمدة أو أسماء رموز مربع لاتيني، نحصل على مربع لاتيني جديد يُقال إنه متماثل مع المربع الأول. التماثل علاقة تكافؤ ، لذا تُقسّم مجموعة جميع المربعات اللاتينية إلى مجموعات فرعية تُسمى فئات التماثل ، بحيث يكون المربعان في الفئة نفسها متماثلين، بينما لا يكون المربعان في فئتين مختلفتين متماثلين.

يوجد شكل أقوى من التكافؤ. يكون المربعان اللاتينيان $L1$ و $L2$ $،$ طول ضلعهما $n،$ $ولهما$ مجموعة رموز مشتركة $S،$ وهي أيضًا مجموعة فهارس صفوف وأعمدة كل مربع، $متماثلين إذا وُجد تقابل g : S \to S بحيث يكون g(L1(i,j)) = L2($ g ( $i), g ($ j $)) لكل i و j في S. [26] وهناك طريقة بديلة لتعريف المربعات اللاتينية المتماثلة$ ، $وهي$ القول $بأن$ زوجًا $من$ ^{المربعات اللاتينية} المتماثلة $يكون متماثلًا إذا$ ^كانت التقابلات الثلاثة المستخدمة لإثبات تماثلهما متساوية بالفعل. ^{[ 27 ]} التماثل هو أيضًا علاقة تكافؤ، وتُسمى فئات التكافؤ الخاصة به فئات التماثل .

هناك نوع آخر من العمليات يسهل شرحه باستخدام تمثيل المصفوفة المتعامدة للمربع اللاتيني. إذا أعدنا ترتيب العناصر الثلاثة في كل ثلاثية بشكل منهجي ومتسق (أي، بدّلنا الأعمدة الثلاثة في شكل المصفوفة)، فسنحصل على مصفوفة متعامدة أخرى (وبالتالي، مربع لاتيني آخر). على سبيل المثال، يمكننا استبدال كل ثلاثية ( r , c , s ) بـ ( c , r , s )، وهو ما يُقابل نقل المربع (انعكاسه حول قطره الرئيسي)، أو يمكننا استبدال كل ثلاثية ( r , c , s ) بـ ( c , s , r )، وهي عملية أكثر تعقيدًا. إجمالًا، هناك 6 احتمالات، بما في ذلك "عدم القيام بأي شيء"، مما يُعطينا 6 مربعات لاتينية تُسمى مرافقات (أو مربعات متقابلة ) المربع الأصلي. ^{[ 28 ]}

أخيرًا، يمكننا الجمع بين عمليتي التكافؤ هاتين: يُقال إن مربعين لاتينيين متجاوران ، أو متماثلان في الفئة الرئيسية ، إذا كان أحدهما متماثلًا مع مرافق الآخر. وهذه أيضًا علاقة تكافؤ، حيث تُسمى فئات التكافؤ بالفئات الرئيسية أو الأنواع أو فئات التجاور . ^{[ 28 ]} تحتوي كل فئة رئيسية على ما يصل إلى ست فئات تماثل.

عدد المربعات اللاتينية من الرتبة $n \times n$

لا توجد صيغة معروفة سهلة الحساب لعدد المربعات اللاتينية $L <sub>n</sub>$ من الرتبة $n \times n$ التي تحمل الرموز $1، 2، ...، n$ . أما الحدود العليا والسفلى الأكثر دقة المعروفة لقيم $n$ الكبيرة فهي متباعدة جدًا. إحدى النتائج الكلاسيكية ^{[ 29 ]} هي أن $\prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^{2}}}}.$

نُشرت صيغة بسيطة وواضحة لعدد المربعات اللاتينية في عام 1992، ولكن لا يزال حسابها صعبًا نظرًا للزيادة الأسية في عدد الحدود. هذه الصيغة لعدد $المربعات$ اللاتينية من $الرتبة$ $n \times n هي:$ $L_{n}=n!\sum _{A\in B_{n}}^{}(-1)^{\sigma _{0}(A)}{\binom {\operatorname {per} A}{n}},$ حيث $B n$ هي مجموعة جميع المصفوفات $n \times n$ {0, 1}، و ^σ $0 (A) هو$ عدد المدخلات الصفرية في المصفوفة $A$ ، و $per(A)$ هو العنصر الدائم للمصفوفة $A.$ [ ^{30 ]}

يحتوي الجدول أدناه على جميع القيم الدقيقة المعروفة. يتضح أن الأعداد تنمو بسرعة فائقة. لكل قيمة من قيم $n$ ، يكون عدد المربعات اللاتينية إجمالاً (المتتالية A002860 في OEIS ) مساوياً $لـ n! مضروباً في (n - 1)!$ مضروباً في عدد المربعات اللاتينية المختزلة (المتتالية A000315 في OEIS ) .

أعداد المربعات اللاتينية ذات الأحجام المختلفة
$ن$	مربعات لاتينية مختزلة بحجم $n$ (التسلسل A000315 في OEIS )	جميع المربعات اللاتينية ذات الحجم $n$ (التسلسل A002860 في OEIS )
1	1	1
2	1	2
3	1	12
4	4	576
5	56	161,280
6	9408	812,851,200
7	16,942,080	61,479,419,904,000
8	535,281,401,856	108,776,032,459,082,956,800
9	377,597,570,964,258,816	5,524,751,496,156,892,842,531,225,600
10	7,580,721,483,160,132,811,489,280	9,982,437,658,213,039,871,725,064,756,920,320,000
11	5,363,937,773,277,371,298,119,673,540,771,840	776,966,836,171,770,144,107,444,346,734,230,682,311,065,600,000
12	1.62 × 10 ⁴⁴
13	2.51 × 10 ⁵⁶
14	2.33 × 10 ⁷⁰
15	1.50 × 10 ⁸⁶

لكل $n$ ، تحتوي كل فئة نظائرية (التسلسل A040082 في OEIS ) على ما يصل إلى $(n!) 3$ مربعات لاتينية (يختلف العدد الدقيق)، بينما تحتوي كل فئة رئيسية (التسلسل A003090 في OEIS ) إما على 1 أو 2 أو 3 أو 6 فئات نظائرية.

فئات التكافؤ للمربعات اللاتينية
$ن$	الصفوف الرئيسية (التسلسل A003090 في OEIS )	فئات النظائر (التسلسل A040082 في OEIS )	مربعات متميزة هيكليًا (التسلسل A264603 في OEIS )
1	1	1	1
2	1	1	1
3	1	1	1
4	2	2	12
5	2	2	192
6	12	22	145,164
7	147	564	1,524,901,344
8	283,657	1,676,267
9	19,270,853,541	115,618,721,533
10	34,817,397,894,749,939	208,904,371,354,363,006
11	2,036,029,552,582,883,134,196,099	12,216,177,315,369,229,261,482,540

عدد المربعات اللاتينية المتميزة هيكليًا (أي لا يمكن جعل المربعات متطابقة عن طريق الدوران والانعكاس وتبديل الرموز) لـ $n$ = 1 حتى 7 هو 1، 1، 1، 12، 192، 145164، 1524901344 على التوالي (التسلسل A264603 في OEIS ) .

أمثلة

نقدم مثالاً واحداً لمربع لاتيني من كل فئة رئيسية حتى الرتبة الخامسة.

{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\\3&5&4&2&1\\4&1&2&5&3\\5&4&1&3&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\\3&5&4&2&1\\4&1&5&3&2\\5&3&2&1&4\end{bmatrix}}

يعرضون، على التوالي، جداول الضرب للمجموعات التالية:

{0} – المجموعة التافهة المكونة من عنصر واحد
$\mathbb {Z} _{2}$ – المجموعة الثنائية
$\mathbb {Z} _{3}$ – مجموعة حلقية من الرتبة 3
$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ – مجموعة كلاين الرباعية
$\mathbb {Z} _{4}$ – مجموعة حلقية من الرتبة 4
$\mathbb {Z} _{5}$ – مجموعة حلقية من الرتبة 5
أما الأخير فهو مثال على شبه المجموعة ، أو بالأحرى حلقة ، وهي ليست تجميعية.

الأزواج المتعامدة

يُطلق على مربعين لاتينيين من نفس الرتبة n اسم "متعامدين" إذا أمكن، بتراكبهما، الحصول على كل زوج مرتب ( a , b ) من الرموز، حيث a رمز في المربع الأول و b رمز في المربع الثاني. تُعد الأزواج المتعامدة، وبشكل أعم مجموعات المربعات اللاتينية المتعامدة، ذات أهمية في نظرية التصميم والهندسة المحدودة.

إكمال مربع لاتيني جزئي

المستطيل اللاتيني هو مستطيل أبعاده m × n ، حيث m < n ، بحيث يظهر كل عدد من 1 إلى n مرة واحدة فقط في كل صف، ومرة واحدة على الأكثر في كل عمود. ويمكن تحويل أي مستطيل لاتيني إلى مربع لاتيني بإضافة صفوف. ويستند البرهان إلى نظرية هول للزواج . ^{[ 31 ]}

بشكلٍ أعم، يمكن النظر في مسألة إمكانية إكمال مربع لاتيني عن طريق ملء جزئي لمربع أبعاده n × n بالأرقام من 1 إلى n ، بحيث لا يحتوي أي صف أو عمود على خانتين متساويتين. إذا كان عدد الخلايا المملوءة n -1 أو أقل، فإن ذلك ممكن دائمًا. وقد نُظر في مسائل أخرى متعلقة بإمكانية الإكمال. ^{[ 32 ]}

تُعتبر مشكلة تحديد ما إذا كان من الممكن إكمال مربع مملوء جزئيًا لتشكيل مربع لاتيني مشكلة NP-كاملة . ^{[ 33 ]}

المجموعة الحرجة في المربع اللاتيني هي مربع لاتيني جزئي له إكمال وحيد، ولكن لا توجد مجموعة جزئية فعلية له إكمال وحيد. ^{[ 34 ]} يرمز الرمزان scs( n ) وlcs( n ) على التوالي إلى أصغر وأكبر حجم ممكن للمجموعة الحرجة في أي مربع لاتيني من الرتبة n . القيم الدقيقة لـ scs( n ) معروفة لـ n ≤ 8، ^{[ 35 ]} وقيم lcs( n ) معروفة لـ n ≤ 7: ^{[ 36 ]}

**أحجام المجموعات الحرجة**
ن	1	2	3	4	5	6	7	8
scs( n )	0	1	2	4	6	9	12	16
lcs( n )	0	1	3	7	11	18	25	—

المستعرضات والتطابقات قوس قزح

المقطع العرضي في المربع اللاتيني هو اختيار n خلية، حيث يحتوي كل صف على خلية واحدة، ويحتوي كل عمود على خلية واحدة، وهناك خلية واحدة تحتوي على كل رمز.

يمكن اعتبار المربع اللاتيني رسمًا بيانيًا ثنائي الأجزاء كاملًا ، حيث تمثل الصفوف رؤوس أحد الجزأين، والأعمدة رؤوس الجزء الآخر، وتمثل كل خلية ضلعًا (بين صفها وعمودها)، والرموز ألوانًا. تشير قواعد المربعات اللاتينية إلى أن هذا تلوين صحيح للأضلاع . وبناءً على هذا التعريف، فإن المستعرض اللاتيني هو تطابق يكون فيه لكل ضلع لون مختلف؛ ويُسمى هذا التطابق بتطابق قوس قزح .

لذلك، فإن العديد من النتائج المتعلقة بالمربعات/المستطيلات اللاتينية موجودة في أوراق بحثية تحمل مصطلح "مطابقة قوس قزح" في عنوانها، والعكس صحيح. ^{[ 37 ]}

بعض المربعات اللاتينية لا تحتوي على قاطع. على سبيل المثال، عندما يكون n عددًا زوجيًا، فإن المربع اللاتيني n × n الذي تكون فيه قيمة الخلية i و j هي ( i + j ) mod n لا يحتوي على قاطع. إليك مثالان: ${\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}$ في عام 1967، افترض إتش جيه رايزر أنه عندما يكون n فرديًا ، فإن كل مربع لاتيني n × n له قاطع. ^{[ 38 ]}

في عام 1975، افترض كل من إس كيه شتاين وبروالدي أنه عندما يكون n زوجيًا ، فإن كل مربع لاتيني n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم n − 1. ^{[ 39 ]}

تتمثل فرضية شتاين الأكثر عمومية في أن المستعرض ذو الحجم n −1 موجود ليس فقط في المربعات اللاتينية ولكن أيضًا في أي مصفوفة n × n من n رمزًا، طالما أن كل رمز يظهر n مرة بالضبط. ^{[ 38 ]}

وقد تم إثبات بعض النسخ الأضعف من هذه التخمينات:

كل مربع لاتيني من الرتبة n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم 2n / 3. ^{[ 40 ]}
كل مربع لاتيني من الرتبة n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم n − جذر( n ). ^{[ 41 ]}
كل مربع لاتيني من الرتبة n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم n − 11 log ²₂ ( n ). ^{[ 42 ]}
كل مربع لاتيني من الرتبة n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم n − O(log n/loglog n). ^{[ 43 ]}
كل مربع لاتيني كبير بما فيه الكفاية بحجم n × n له مقطع عرضي جزئي بحجم n − 1. ^{[ 44 ]} (نسخة أولية)

الخوارزميات

بالنسبة للمربعات الصغيرة، من الممكن توليد التباديل واختبار ما إذا كانت خاصية المربع اللاتيني مُحققة. أما بالنسبة للمربعات الأكبر، فتسمح خوارزمية جاكوبسون وماثيوز بأخذ عينات من توزيع منتظم على فضاء المربعات اللاتينية من الرتبة n × n . ^[⁴⁵^]

التطبيقات

الإحصاء والرياضيات

في تصميم التجارب ، تعتبر المربعات اللاتينية حالة خاصة من تصميمات الصفوف والأعمدة لعاملين من عوامل الحجب . ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}
في الجبر ، ترتبط المربعات اللاتينية بتعميمات الزمر ؛ وعلى وجه الخصوص، تتميز المربعات اللاتينية بأنها جداول الضرب ( جداول كايلي ) للزمر شبهية . ويُقال إن العملية الثنائية التي يشكل جدول قيمها مربعًا لاتينيًا تخضع لخاصية المربع اللاتيني .

رموز تصحيح الأخطاء

وجدت مجموعات المربعات اللاتينية المتعامدة فيما بينها تطبيقًا كرموز تصحيح الأخطاء في الحالات التي تتعرض فيها الاتصالات للتشويش بسبب أنواع متعددة من الضوضاء غير الضوضاء البيضاء البسيطة ، كما هو الحال عند محاولة نقل الإنترنت عريض النطاق عبر خطوط الكهرباء. ^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}^{[ 50 ]}

أولًا، تُرسل الرسالة باستخدام عدة ترددات، أو قنوات، وهي طريقة شائعة تجعل الإشارة أقل عرضةً للتشويش عند أي تردد محدد. يُشفّر الحرف المراد إرساله بإرسال سلسلة من الإشارات بترددات مختلفة على فترات زمنية متتالية. في المثال أدناه، تُشفّر الأحرف من A إلى L بإرسال إشارات بأربعة ترددات مختلفة، في أربع فترات زمنية. على سبيل المثال، يُشفّر الحرف C بإرساله أولًا بالتردد 3، ثم 4، ثم 1، ثم 2.

{\begin{matrix}A\\B\\C\\D\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}E\\F\\G\\H\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&3&4&2\\2&4&3&1\\3&1&2&4\\4&2&1&3\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}I\\J\\K\\L\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&4&2&3\\2&3&1&4\\3&2&4&1\\4&1&3&2\\\end{bmatrix}}

تُشكّل رموز الأحرف الاثني عشر من ثلاثة مربعات لاتينية متعامدة. تخيّل الآن وجود تشويش إضافي في القناتين 1 و2 طوال فترة الإرسال. عندها سيتم التقاط الحرف A كـ ${\begin{matrix}12&12&123&124\end{matrix}}$

بمعنى آخر، في الخانة الأولى نستقبل إشارات من الترددين 1 و2؛ بينما في الخانة الثالثة نستقبل إشارات من الترددات 1 و2 و3. وبسبب التشويش، لم نعد قادرين على تحديد ما إذا كانت الخانتان الأوليان هما 1،1 أو 1،2 أو 2،1 أو 2،2. لكن الحالة 1،2 هي الوحيدة التي تُنتج تسلسلًا يُطابق حرفًا في الجدول أعلاه، وهو الحرف A. وبالمثل، يمكننا تخيّل نبضة من التشويش عبر جميع الترددات في الخانة الثالثة. ${\begin{matrix}1&2&1234&4\end{matrix}}$

مرة أخرى، نستنتج من جدول الترميزات أن الحرف المُرسَل هو الحرف "أ". عدد الأخطاء التي يمكن لهذا الترميز رصدها أقل بواحد من عدد الفترات الزمنية. وقد ثبت أيضًا أنه إذا كان عدد الترددات عددًا أوليًا أو قوةً لعدد أولي، فإن المربعات اللاتينية المتعامدة تُنتج رموزًا لكشف الأخطاء بأعلى كفاءة ممكنة.

ألغاز رياضية

تُعدّ ألغاز سودوكو الشهيرة حالة خاصة من المربعات اللاتينية؛ فأي حلٍّ للغز سودوكو هو مربع لاتيني. ويفرض سودوكو قيدًا إضافيًا يتمثل في ضرورة احتواء تسعة مربعات فرعية متجاورة محددة بحجم 3 × 3 على الأرقام من 1 إلى 9 (في النسخة القياسية). انظر أيضًا: رياضيات سودوكو .

تُعد ألغاز KenKen و Strimko الأحدث أيضاً أمثلة على المربعات اللاتينية.

ألعاب لوحية

تم استخدام المربعات اللاتينية كأساس للعديد من ألعاب الطاولة، ولا سيما لعبة الاستراتيجية المجردة الشهيرة كاميسادو .

البحوث الزراعية

تُستخدم المربعات اللاتينية في تصميم التجارب البحثية الزراعية لتقليل الأخطاء التجريبية. ^{[ 51 ]}

علم الشعارات

يظهر المربع اللاتيني أيضاً في شعار الجمعية الإحصائية الكندية ، ^{[ 52 ]} حيث ذُكر تحديداً في وصفه . كما يظهر في شعار الجمعية الدولية للقياسات الحيوية . ^{[ 53 ]}

التعميمات

المستطيل اللاتيني هو تعميم للمربع اللاتيني حيث يوجد n عمودًا و n قيمة ممكنة، ولكن قد يكون عدد الصفوف أقل من n . ولا تزال كل قيمة تظهر مرة واحدة على الأكثر في كل صف وعمود.
المربع اليوناني اللاتيني هو زوج من مربعين لاتينيين بحيث عندما يتم وضع أحدهما فوق الآخر، يظهر كل زوج مرتب من الرموز مرة واحدة بالضبط.
المكعب الفائق اللاتيني هو تعميم للمربع اللاتيني من بعدين إلى أبعاد متعددة.

انظر أيضاً

تصميم الكتلة
التصميم التوافقي
لغز الملكات الثماني
فوتوشيكي
المربع السحري
مسائل في المربعات اللاتينية
مخطط روك ، وهو مخطط يستخدم المربعات اللاتينية كلون له .
ساحة ساتور
المربع الفيدي
مربع الكلمات

ملحوظات

↑ بوسبي، ماثا (27 يونيو 2020). "كلية كامبريدج ستزيل نافذة تخلد ذكرى أحد دعاة تحسين النسل" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يونيو 2020 .
↑ واليس، دبليو دي؛ جورج، جيه سي (2011). مقدمة في التوافقية . مطبعة سي آر سي. ص 212. ISBN 978-1-4398-0623-4.
^ (أويلر، 1782)، ص 90-91. من ص. 90: "Pour cet Effect nous reprenons le quarré latin fondamentel, qui, en ometttant les exponsans, aura la forme suivante: ..." (لهذا الغرض، نأخذ المربع اللاتيني الأساسي، والذي، بحذف الأسس، سيكون له الشكل التالي: ...) من ص. 91: "§.8 Ayant donc établi ce quarré latin،... " (§.8 بعد إنشاء هذا المربع اللاتيني ، ...")
^ أويلر ، ليونارد (1782). "Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques" [ تحقيقات في نوع جديد من المربعات السحرية ] . Verhandelingen Uitgegeven Door Het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (وقائع نشرتها جمعية زيلاند للعلوم في فلاشينغ [، هولندا]) (بالفرنسية). 9 : 85 - 239.(ملاحظة: قدم أويلر هذه المذكرة لأول مرة إلى الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم في سانت بطرسبرغ، روسيا في 8 مارس 1779.)
↑ كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش. (2007). دليل التصاميم التوافقية ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. ص 12. ISBN 9781420010541تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 مارس 2017 .
↑ ماكاي، بريندان د .؛ ماينرت، أليسون؛ ميرفولد، ويندي (2007). "المربعات اللاتينية الصغيرة، والمجموعات شبهية، والحلقات". مجلة التصاميم التوافقية . 15 (2): 98-119 . doi : 10.1002/jcd.20105 . MR 2291523 .
^ أويلر ، إل (1782). "Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques". Verhandelingen/Uitgegeven Door Het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (9): 85– 239.
↑ كايلي، أ. (1890). "حول المربعات اللاتينية". أكسفورد كامبريدج دبلن ماسنجر أوف ماث . 19 : 85-239 .
↑ ماكماهون، ب.أ. (1915). التحليل التوافقي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 300.
^ فرولوف، م. (1890). "Sur les permutations carrées". جيه دي ماث. المواصفات . الرابع : 8 – 11 ، 25 – 30 .
^ تاري ، جاستون (1900). "مشكلة الـ 36 ضابطًا" . Comptes rendus de l'Association française pour l'advancement des Sciences . 29 (1): 122 – 123.
^ تاري ، جاستون (1901). "مشكلة الـ 36 ضابطًا" . Comptes rendus de l'Association française pour l'advancement des Sciences . 29 (2): 170- 203.
↑ فيشر، ر. أ.؛ ييتس، ف. (1934). "المربعات اللاتينية 6 × 6". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 30 (4): 492-507 . رمز Bibcode : 1934PCPS...30..492F . doi : 10.1017/S0305004100012731 . S2CID 120585553 .
^ شونهاردت ، إي. (1930). "Über lateinische Quadrate und Unionen". جيه رين أنجو. الرياضيات . 1930 (163): 183–230 . دوى : 10.1515/crll.1930.163.183 . S2CID 115237080 .
↑ نورتون، إتش دبليو (1939). "المربعات 7 × 7" . حوليات علم تحسين النسل . 9 (3): 269-307 . doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x .
↑ ساد، أ. (1951). "إغفال في قائمة نورتون للمربعات 7 × 7" . حوليات الإحصاء الرياضي 22 (2): 306-307 . doi : 10.1214/aoms/1177729654 .
↑ ساكسينا، ب. ن. (1951). "طريقة مبسطة لحساب المربعات اللاتينية باستخدام معاملات ماكماهون التفاضلية؛ الجزء الثاني: المربعات اللاتينية 7 × 7". مجلة الجمعية الهندية للإحصاء الزراعي . 3 : 24-79 .
↑ بريس، د.أ. (1966). "تصنيف مستطيلات يودن". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 28 : 118-130 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1966.tb00625.x .
↑ براون، جيه دبليو (1968). "تعداد المربعات اللاتينية مع تطبيق على الرتبة 8" . مجلة نظرية التوافيق . 5 (2): 177-184 . doi : 10.1016/S0021-9800(68)80053-5 .
↑ ويلز، إم بي (1967). "عدد المربعات اللاتينية من الرتبة ثمانية" . مجلة نظرية التوافيق . 3 : 98-99 . doi : 10.1016/S0021-9800(67)80021-8 .
↑ كوليسوفا، ج.؛ لام، سي دبليو إتش؛ ثيل، ل. (1990). "حول عدد المربعات اللاتينية 8 × 8" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 54 : 143-148 . doi : 10.1016/0097-3165(90)90015-O .
↑ باميل، إس إي؛ روثستين، ج. (1975). "عدد المربعات اللاتينية 9 × 9" . الرياضيات المتقطعة . 11 : 93-95 . doi : 10.1016/0012-365X(75)90108-9 .
^ ماكاي، دينار بحريني. روجويسكي، إي. (1995). "المربعات اللاتينية من الترتيب العاشر" . المجلة الإلكترونية للتوافقيات . 2 N3: 4. دوى : 10.37236/1222 .
↑ مكاي، ب.د.؛ وانليس، إ.م. (2005). "حول عدد المربعات اللاتينية". حوليات التوافقيات 9 (3): 335-344 . doi : 10.1007/s00026-005-0261-7 . S2CID 7289396 .
^ دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 128
^ كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 136
^ دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 24
1 2 دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 126
^ فان لينت وويلسون 1992 ، ص 161-162
↑ جيا يو شاو؛ وان دي وي (1992). "صيغة لعدد المربعات اللاتينية" . الرياضيات المتقطعة . 110 ( 1-3 ): 293-296 . doi : 10.1016/0012-365x(92)90722-r .
↑ هول، مارشال. "نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية" . pubs.ams.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-05-2026 .
↑ أويلر، راينهارت (2010-02-01). "حول إمكانية إكمال المربعات اللاتينية غير الكاملة" . المجلة الأوروبية للتوافقية . التوافقية والهندسة. 31 (2): 535-552 . doi : 10.1016/j.ejc.2009.03.036 . ISSN 0195-6698 .
↑ سي. كولبورن (1984). "تعقيد إكمال المربعات اللاتينية الجزئية" . الرياضيات التطبيقية المنفصلة . 8 : 25-30 . doi : 10.1016/0166-218X(84)90075-1 .
↑ نيلدر، ج. (1977). "المجموعات الحرجة في المربعات اللاتينية". نشرة قسم الرياضيات والإحصاء التابع لمنظمة الكومنولث للبحوث العلمية والصناعية (38).
↑ "التسلسل A002620" . OEIS . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يونيو 2026 .
↑ "التسلسل A063437" . OEIS . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يونيو 2026 .
↑ غيارفاس، أندراس؛ ساركوزي، غابور ن. (2012). "مطابقات قوس قزح والتقاطعات الجزئية للمربعات اللاتينية". arXiv : 1208.5670 [ CO math. CO ].
1 2 أهاروني، رون؛ بيرغر، ايلي. كوتلار، داني؛ زيف ، ران (2017/01/04). “على تخمين شتاين”. Abhandlungen aus dem Mathatischen Seminar der Universität هامبورغ . 87 (2): 203– 211. أرخايف : 1605.01982 . دوى : 10.1007/s12188-016-0160-3 . ISSN 0025-5858 . S2CID 119139740 .
↑ شتاين، شيرمان (1975-08-01). "القواطع للمربعات اللاتينية وتعميماتها" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 59 (2): 567-575 . doi : 10.2140/pjm.1975.59.567 . ISSN 0030-8730 .
↑ كوكسما، كلاس ك. (1969-07-01). "حد أدنى لرتبة القطع الجزئي في مربع لاتيني" . مجلة نظرية التوافيق . 7 (1): 94-95 . doi : 10.1016/s0021-9800(69)80009-8 . ISSN 0021-9800 .
↑ وولبرايت، ديفيد إي (1978-03-01). "المربع اللاتيني من الرتبة n × n له قاطع يحتوي على n−n رمزًا مميزًا على الأقل" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 24 (2): 235–237 . doi : 10.1016/0097-3165(78)90009-2 . ISSN 0097-3165 .
↑ حاتمي، بويا؛ شور، بيتر و. (2008-10-01). "حد أدنى لطول مقطع عرضي جزئي في مربع لاتيني" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 115 (7): 1103-1113 . doi : 10.1016/j.jcta.2008.01.002 . ISSN 0097-3165 .
↑ كيفاش، بيتر؛ بوكروفسكي، أليكسي؛ سوداكوف، بيني؛ يبرميان، ليانا (15 أبريل 2022). "حدود جديدة لتخمين رايزر والمسائل ذات الصلة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية، السلسلة ب . 9 (8): 288-321 . doi : 10.1090/btran/92 . hdl : 20.500.11850/592212 . ISSN 2330-0000 .
↑ مونتغمري، ريتشارد (2023). "برهان على حدسية رايزر-برولدي-شتاين للأعداد الزوجية الكبيرة n ". arXiv : 2310.19779 [ math.CO ].
↑ جاكوبسون، إم تي؛ ماثيوز، بي. (1996). "توليد مربعات لاتينية عشوائية موزعة بشكل منتظم". مجلة التصاميم التوافقية . 4 (6): 405-437 . doi : 10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6 < 405::aid-jcd3 > 3.0.co ; 2-j .
↑ بيلي، ر. أ. (2008). "6 تصميمات صفوف وأعمدة و9 المزيد عن المربعات اللاتينية" . تصميم التجارب المقارنة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68357-9MR 2422352
↑ شاه، كيرتي ر.؛ سينها، بيكاس ك. (1989). "4 تصميمات الصفوف والأعمدة". نظرية التصميمات المثلى . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد 54. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 66-84 . ISBN 0-387-96991-8MR 1016151
↑ كولبورن، سي جيه ؛ كلوف، تي؛ لينغ، إيه سي إتش (2004). "مصفوفات التبديل للاتصال عبر خطوط الطاقة". معاملات IEEE لنظرية المعلومات . 50 : 1289-1291 . doi : 10.1109/tit.2004.828150 . S2CID 15920471 .
↑ ثورة أويلر ، مجلة نيو ساينتست، 24 مارس 2007، الصفحات 48-51
↑ هوتشينسكا، صوفي (2006). "اتصالات خطوط الطاقة ومشكلة الضباط الستة والثلاثين". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 364 (1849): 3199-3214 . Bibcode : 2006RSPTA.364.3199H . doi : 10.1098/rsta.2006.1885 . PMID 17090455. S2CID 17662664 .
↑ "تطبيق المربع اللاتيني في البحوث الزراعية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 ديسمبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 أبريل 2017 .
↑ "براءات اختراع تمنح شعارات SSC" . ssc.ca. مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-05-2013.
↑ الجمعية الدولية للقياسات الحيوية، مؤرشفة بتاريخ 7 مايو 2005 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

مراجع

بيلي، ر. أ. (2008). "6 تصميمات صفوف وأعمدة و9 المزيد عن المربعات اللاتينية" . تصميم التجارب المقارنة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68357-9MR 2422352
دينيس، ج.؛ كيدويل، أ.د. (1974). المربعات اللاتينية وتطبيقاتها . نيويورك-لندن: أكاديميك برس. ص 547. ISBN 0-12-209350-XMR 0351850 .
شاه، كيرتي ر.؛ سينها، بيكاس ك. (1989). "تصاميم الصفوف والأعمدة الأربعة". نظرية التصاميم المثلى . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد 54. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 66-84 . ISBN 0-387-96991-8MR 1016151
فان لينت، جيه إتش؛ ويلسون ، آر إم (1992). دورة في التوافقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 157. ISBN 0-521-42260-4.

للمزيد من القراءة

دينيس، جيه إتش؛ كيدويل، إيه دي (1991). المربعات اللاتينية: تطورات جديدة في النظرية والتطبيقات . حوليات الرياضيات المتقطعة. المجلد 46. بول إيردوس (مقدمة). أمستردام: أكاديميك برس. ISBN 0-444-88899-3MR 1096296
هينكلمان، كلاوس؛ كيمبثورن، أوسكار (2008). تصميم وتحليل التجارب . المجلد الأول، المجلد الثاني ( الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 978-0-470-38551-7MR 2363107 .
- هينكلمان، كلاوس؛ كيمبثورن، أوسكار (2008). تصميم وتحليل التجارب، المجلد الأول: مقدمة في تصميم التجارب ( الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 978-0-471-72756-9MR 2363107 .
- هينكلمان، كلاوس؛ كيمبثورن، أوسكار (2005). تصميم وتحليل التجارب، المجلد 2: التصميم التجريبي المتقدم ( الطبعة الأولى). وايلي. ISBN 978-0-471-55177-5MR 2129060 .
كنوت، دونالد (2011). فن برمجة الحاسوب، المجلد 4أ: الخوارزميات التوافقية، الجزء 1. ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-03804-0.
لايوين، تشارلز ف.؛ مولين، غاري ل. (1998). الرياضيات المتقطعة باستخدام المربعات اللاتينية . سلسلة وايلي-إنترساينس في الرياضيات المتقطعة والتحسين. نيويورك: جون وايلي وأولاده، المحدودة. ISBN 0-471-24064-8. MR 1644242 .
شاه، ك. ر.؛ سينها، بيكاس ك. (1996). "تصاميم الصفوف والأعمدة". في: س. غوش و س. ر. راو (محرران). تصميم وتحليل التجارب . دليل الإحصاء. المجلد 13. أمستردام: دار نشر نورث هولاند. الصفحات 903-937 . ISBN 0-444-82061-2MR 1492586
راغافاراو، داماراجو (1988). الإنشاءات والمسائل التوافقية في تصميم التجارب (طبعة منقحة من طبعة وايلي لعام 1971 ). نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-65685-3MR 1102899
ستريت، آن بينفولد ؛ ستريت، ديبورا جيه. (1987). توافيق التصميم التجريبي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853256-3MR 0908490 .
بيرغر، بول د.؛ ماورر، روبرت إي.؛ سيلي، جيوفانا ب. (28 نوفمبر 2017). تصميم التجارب مع تطبيقات في الإدارة والهندسة والعلوم (الطبعة الثانية (28 نوفمبر 2017) ). سبرينغر. الصفحات 267-282 .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "المربع اللاتيني" . عالم الرياضيات .
المربعات اللاتينية في موسوعة الرياضيات
المربعات اللاتينية في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة

[1] بوسبي، ماثا (27 يونيو 2020). "كلية كامبريدج ستزيل نافذة تخلد ذكرى أحد دعاة تحسين النسل" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يونيو 2020 .

[2] واليس، دبليو دي؛ جورج، جيه سي (2011). مقدمة في التوافقية . مطبعة سي آر سي. ص 212. ISBN 978-1-4398-0623-4.

[3] (أويلر، 1782)، ص 90-91. من ص. 90: "Pour cet Effect nous reprenons le quarré latin fondamentel, qui, en ometttant les exponsans, aura la forme suivante: ..." (لهذا الغرض، نأخذ المربع اللاتيني الأساسي، والذي، بحذف الأسس، سيكون له الشكل التالي: ...) من ص. 91: "§.8 Ayant donc établi ce quarré latin،... " (§.8 بعد إنشاء هذا المربع اللاتيني ، ...")

[4] أويلر ، ليونارد (1782). "Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques" [ تحقيقات في نوع جديد من المربعات السحرية ] . Verhandelingen Uitgegeven Door Het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (وقائع نشرتها جمعية زيلاند للعلوم في فلاشينغ [، هولندا]) (بالفرنسية). 9 : 85 - 239.(ملاحظة: قدم أويلر هذه المذكرة لأول مرة إلى الأكاديمية الإمبراطورية للعلوم في سانت بطرسبرغ، روسيا في 8 مارس 1779.)

[5] كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش. (2007). دليل التصاميم التوافقية ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. ص 12. ISBN 9781420010541تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 مارس 2017 .

[6] ماكاي، بريندان د .؛ ماينرت، أليسون؛ ميرفولد، ويندي (2007). "المربعات اللاتينية الصغيرة، والمجموعات شبهية، والحلقات". مجلة التصاميم التوافقية . 15 (2): 98-119 . doi : 10.1002/jcd.20105 . MR 2291523 .

[7] أويلر ، إل (1782). "Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques". Verhandelingen/Uitgegeven Door Het Zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (9): 85– 239.

[8] كايلي، أ. (1890). "حول المربعات اللاتينية". أكسفورد كامبريدج دبلن ماسنجر أوف ماث . 19 : 85-239 .

[9] ماكماهون، ب.أ. (1915). التحليل التوافقي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 300.

[10] فرولوف، م. (1890). "Sur les permutations carrées". جيه دي ماث. المواصفات . الرابع : 8 – 11 ، 25 – 30 .

[11] تاري ، جاستون (1900). "مشكلة الـ 36 ضابطًا" . Comptes rendus de l'Association française pour l'advancement des Sciences . 29 (1): 122 – 123.

[12] تاري ، جاستون (1901). "مشكلة الـ 36 ضابطًا" . Comptes rendus de l'Association française pour l'advancement des Sciences . 29 (2): 170- 203.

[13] فيشر، ر. أ.؛ ييتس، ف. (1934). "المربعات اللاتينية 6 × 6". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 30 (4): 492-507 . رمز Bibcode : 1934PCPS...30..492F . doi : 10.1017/S0305004100012731 . S2CID 120585553 .

[14] شونهاردت ، إي. (1930). "Über lateinische Quadrate und Unionen". جيه رين أنجو. الرياضيات . 1930 (163): 183–230 . دوى : 10.1515/crll.1930.163.183 . S2CID 115237080 .

[15] نورتون، إتش دبليو (1939). "المربعات 7 × 7" . حوليات علم تحسين النسل . 9 (3): 269-307 . doi : 10.1111/j.1469-1809.1939.tb02214.x .

[16] ساد، أ. (1951). "إغفال في قائمة نورتون للمربعات 7 × 7" . حوليات الإحصاء الرياضي 22 (2): 306-307 . doi : 10.1214/aoms/1177729654 .

[17] ساكسينا، ب. ن. (1951). "طريقة مبسطة لحساب المربعات اللاتينية باستخدام معاملات ماكماهون التفاضلية؛ الجزء الثاني: المربعات اللاتينية 7 × 7". مجلة الجمعية الهندية للإحصاء الزراعي . 3 : 24-79 .

[18] بريس، د.أ. (1966). "تصنيف مستطيلات يودن". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 28 : 118-130 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1966.tb00625.x .

[19] براون، جيه دبليو (1968). "تعداد المربعات اللاتينية مع تطبيق على الرتبة 8" . مجلة نظرية التوافيق . 5 (2): 177-184 . doi : 10.1016/S0021-9800(68)80053-5 .

[20] ويلز، إم بي (1967). "عدد المربعات اللاتينية من الرتبة ثمانية" . مجلة نظرية التوافيق . 3 : 98-99 . doi : 10.1016/S0021-9800(67)80021-8 .

[21] كوليسوفا، ج.؛ لام، سي دبليو إتش؛ ثيل، ل. (1990). "حول عدد المربعات اللاتينية 8 × 8" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 54 : 143-148 . doi : 10.1016/0097-3165(90)90015-O .

[22] باميل، إس إي؛ روثستين، ج. (1975). "عدد المربعات اللاتينية 9 × 9" . الرياضيات المتقطعة . 11 : 93-95 . doi : 10.1016/0012-365X(75)90108-9 .

[23] ماكاي، دينار بحريني. روجويسكي، إي. (1995). "المربعات اللاتينية من الترتيب العاشر" . المجلة الإلكترونية للتوافقيات . 2 N3: 4. دوى : 10.37236/1222 .

[24] مكاي، ب.د.؛ وانليس، إ.م. (2005). "حول عدد المربعات اللاتينية". حوليات التوافقيات 9 (3): 335-344 . doi : 10.1007/s00026-005-0261-7 . S2CID 7289396 .

[25] دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 128

[CD-26] كولبورن ودينيتز 2007 ، ص. 136

[Denes_1974_loc=p._24-27] دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 24

[DK126-28] 1 2 دينيس وكيدويل 1974 ، ص. 126

[29] فان لينت وويلسون 1992 ، ص 161-162

[30] جيا يو شاو؛ وان دي وي (1992). "صيغة لعدد المربعات اللاتينية" . الرياضيات المتقطعة . 110 ( 1-3 ): 293-296 . doi : 10.1016/0012-365x(92)90722-r .

[31] هول، مارشال. "نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية" . pubs.ams.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-05-2026 .

[32] أويلر، راينهارت (2010-02-01). "حول إمكانية إكمال المربعات اللاتينية غير الكاملة" . المجلة الأوروبية للتوافقية . التوافقية والهندسة. 31 (2): 535-552 . doi : 10.1016/j.ejc.2009.03.036 . ISSN 0195-6698 .

[33] سي. كولبورن (1984). "تعقيد إكمال المربعات اللاتينية الجزئية" . الرياضيات التطبيقية المنفصلة . 8 : 25-30 . doi : 10.1016/0166-218X(84)90075-1 .

[34] نيلدر، ج. (1977). "المجموعات الحرجة في المربعات اللاتينية". نشرة قسم الرياضيات والإحصاء التابع لمنظمة الكومنولث للبحوث العلمية والصناعية (38).

[35] "التسلسل A002620" . OEIS . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يونيو 2026 .

[36] "التسلسل A063437" . OEIS . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 يونيو 2026 .

[37] غيارفاس، أندراس؛ ساركوزي، غابور ن. (2012). "مطابقات قوس قزح والتقاطعات الجزئية للمربعات اللاتينية". arXiv : 1208.5670 [ CO math. CO ].

[:0-38] 1 2 أهاروني، رون؛ بيرغر، ايلي. كوتلار، داني؛ زيف ، ران (2017/01/04). “على تخمين شتاين”. Abhandlungen aus dem Mathatischen Seminar der Universität هامبورغ . 87 (2): 203– 211. أرخايف : 1605.01982 . دوى : 10.1007/s12188-016-0160-3 . ISSN 0025-5858 . S2CID 119139740 .

[39] شتاين، شيرمان (1975-08-01). "القواطع للمربعات اللاتينية وتعميماتها" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 59 (2): 567-575 . doi : 10.2140/pjm.1975.59.567 . ISSN 0030-8730 .

[40] كوكسما، كلاس ك. (1969-07-01). "حد أدنى لرتبة القطع الجزئي في مربع لاتيني" . مجلة نظرية التوافيق . 7 (1): 94-95 . doi : 10.1016/s0021-9800(69)80009-8 . ISSN 0021-9800 .

[41] وولبرايت، ديفيد إي (1978-03-01). "المربع اللاتيني من الرتبة n × n له قاطع يحتوي على n−n رمزًا مميزًا على الأقل" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 24 (2): 235–237 . doi : 10.1016/0097-3165(78)90009-2 . ISSN 0097-3165 .

[42] حاتمي، بويا؛ شور، بيتر و. (2008-10-01). "حد أدنى لطول مقطع عرضي جزئي في مربع لاتيني" . مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 115 (7): 1103-1113 . doi : 10.1016/j.jcta.2008.01.002 . ISSN 0097-3165 .

[43] كيفاش، بيتر؛ بوكروفسكي، أليكسي؛ سوداكوف، بيني؛ يبرميان، ليانا (15 أبريل 2022). "حدود جديدة لتخمين رايزر والمسائل ذات الصلة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية، السلسلة ب . 9 (8): 288-321 . doi : 10.1090/btran/92 . hdl : 20.500.11850/592212 . ISSN 2330-0000 .

[44] مونتغمري، ريتشارد (2023). "برهان على حدسية رايزر-برولدي-شتاين للأعداد الزوجية الكبيرة n ". arXiv : 2310.19779 [ math.CO ].

[45] جاكوبسون، إم تي؛ ماثيوز، بي. (1996). "توليد مربعات لاتينية عشوائية موزعة بشكل منتظم". مجلة التصاميم التوافقية . 4 (6): 405-437 . doi : 10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6 < 405::aid-jcd3 > 3.0.co ; 2-j .

[46] بيلي، ر. أ. (2008). "6 تصميمات صفوف وأعمدة و9 المزيد عن المربعات اللاتينية" . تصميم التجارب المقارنة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68357-9MR 2422352

[47] شاه، كيرتي ر.؛ سينها، بيكاس ك. (1989). "4 تصميمات الصفوف والأعمدة". نظرية التصميمات المثلى . سلسلة محاضرات في الإحصاء. المجلد 54. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 66-84 . ISBN 0-387-96991-8MR 1016151

[CKL-48] كولبورن، سي جيه ؛ كلوف، تي؛ لينغ، إيه سي إتش (2004). "مصفوفات التبديل للاتصال عبر خطوط الطاقة". معاملات IEEE لنظرية المعلومات . 50 : 1289-1291 . doi : 10.1109/tit.2004.828150 . S2CID 15920471 .

[NS-49] ثورة أويلر ، مجلة نيو ساينتست، 24 مارس 2007، الصفحات 48-51

[SH-50] هوتشينسكا، صوفي (2006). "اتصالات خطوط الطاقة ومشكلة الضباط الستة والثلاثين". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 364 (1849): 3199-3214 . Bibcode : 2006RSPTA.364.3199H . doi : 10.1098/rsta.2006.1885 . PMID 17090455. S2CID 17662664 .

[51] "تطبيق المربع اللاتيني في البحوث الزراعية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 ديسمبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 أبريل 2017 .

[52] "براءات اختراع تمنح شعارات SSC" . ssc.ca. مؤرشف من الأصل بتاريخ 21-05-2013.

[53] الجمعية الدولية للقياسات الحيوية، مؤرشفة بتاريخ 7 مايو 2005 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[

[

10

11

12

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[

[ 25 ]

المربعات اللاتينية

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

σ

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗