تكميم جبهة الضوء

يُقدّم التكميم الضوئي [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] لنظريات} الحقول الكمومية بديلاً مفيداً للتكميم المتساوي الزمن العادي . وعلى وجه الخصوص، يُمكن أن يُؤدي إلى وصف نسبي للأنظمة المُقيدة بدلالة الدوال الموجية الكمومية . ويعتمد التكميم على اختيار إحداثيات الجبهة الضوئية ، ^{[ 4 ]} حيث${\displaystyle x^{+}\equiv ct+z}$يلعب دور الزمن، والإحداثي المكاني المقابل هو${\displaystyle x^{-}\equiv ct-z}$. هنا،${\displaystyle t}$هو الوقت العادي،${\displaystyle z}$ هي إحداثية ديكارتية واحدة ، و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء. أما الإحداثيان الديكارتيان الآخران،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، وهي غير متأثرة وغالبًا ما تسمى مستعرضة أو عمودية، ويرمز إليها برموز من هذا النوع ${\displaystyle {\vec {x}}_{\perp }=(x,y)}$اختيار الإطار المرجعي الذي يُقاس فيه الوقت ${\displaystyle t}$و${\displaystyle z}$يمكن ترك تعريف المحاور دون تحديد في نظرية نسبية قابلة للحل تمامًا، ولكن في الحسابات العملية قد تكون بعض الخيارات أكثر ملاءمة من غيرها.

عمليًا، تُجرى جميع القياسات تقريبًا عند زمن ثابت لجبهة الضوء. على سبيل المثال، عندما يتشتت إلكترون على بروتون كما في تجارب SLAC الشهيرة التي اكتشفت بنية الكواركات في الهادرونات ، يحدث التفاعل مع المكونات عند زمن واحد لجبهة الضوء. عند التقاط صورة فوتوغرافية باستخدام الفلاش، تُظهر الصورة المسجلة الجسم لحظة عبور جبهة الموجة الضوئية الناتجة عن الفلاش له. ولذلك استخدم ديراك مصطلحي "جبهة الضوء" و"شكل الجبهة" تمييزًا لهما عن الزمن اللحظي العادي و"الشكل اللحظي". ^{[ 4 ]} موجات ضوئية تنتقل في الاتجاه السالب${\displaystyle z}$يستمر الاتجاه في الانتشار في${\displaystyle x^{-}}$في وقت واحد لجبهة الضوء${\displaystyle x^{+}}$.

كما أكد ديراك، فإن تحويلات لورنتز للحالات عند زمن ثابت لجبهة الضوء هي تحويلات حركية بسيطة . لا يتغير وصف الأنظمة الفيزيائية في إحداثيات جبهة الضوء عند تحويلها إلى أطر متحركة بالنسبة للإطار المحدد مبدئيًا. هذا يعني أيضًا وجود فصل بين الإحداثيات الخارجية والداخلية (كما هو الحال في الأنظمة غير النسبية)، وأن الدوال الموجية الداخلية مستقلة عن الإحداثيات الخارجية، في حال عدم وجود قوة أو مجال خارجي. في المقابل، يُعد حساب تأثيرات تحويلات الحالات المحددة عند لحظة زمنية ثابتة مسألة ديناميكية معقدة.${\displaystyle t}$.

يتطلب وصف الحالة المقيدة في نظرية الحقل الكمومي، كذرة في الديناميكا الكهربائية الكمومية (QED) أو هادرون في الديناميكا اللونية الكمومية (QCD)، عادةً دوال موجية متعددة، لأن نظريات الحقل الكمومي تتضمن عمليات تُنشئ الجسيمات وتُفنيها . وبالتالي، لا يمتلك النظام عددًا محددًا من الجسيمات، بل هو عبارة عن توليفة خطية كمومية من حالات فوك ، لكل منها عدد محدد من الجسيمات . أي قياس منفرد لعدد الجسيمات يُعطي قيمة احتمالية تُحددها سعة حالة فوك التي تحتوي على هذا العدد من الجسيمات. هذه السعات هي دوال الموجة للجبهة الضوئية. دوال الموجة للجبهة الضوئية مستقلة عن الإطار المرجعي وعن الزخم الكلي .

تمثل الدوال الموجية حلاً لمعادلة شرودنغر، وهي معادلة نظيرة في نظرية المجال.${\displaystyle H\psi =E\psi }$في ميكانيكا الكم غير النسبية. في النظرية غير النسبية، مؤثر هاميلتوني${\displaystyle H}$إنها مجرد قطعة حركية${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$وقطعة محتملة​${\displaystyle V({\vec {r}})}$دالة الموجة${\displaystyle \psi }$هي دالة للإحداثيات${\displaystyle {\vec {r}}}$، و ${\displaystyle E}$هي الطاقة . في تكميم الجبهة الضوئية، تُكتب الصيغة عادةً بدلالة زخم الجبهة الضوئية ${\displaystyle {\underline {p}}_{i}=(p_{i}^{+},{\vec {p}}_{\perp i})}$، مع${\displaystyle i}$مؤشر الجسيمات، ${\displaystyle p_{i}^{+}\equiv {\sqrt {p_{i}^{2}+m_{i}^{2}}}+p_{iz}}$، ${\displaystyle {\vec {p}}_{\perp i}=(p_{ix},p_{iy})}$، و${\displaystyle m_{i}}$كتلة الجسيم ، وطاقات جبهة الضوء${\displaystyle p_{i}^{-}\equiv {\sqrt {p_{i}^{2}+m_{i}^{2}}}-p_{iz}}$إنها تحقق شرط الكتلة-الغلاف${\displaystyle m_{i}^{2}=p_{i}^{+}p_{i}^{-}-{\vec {p}}_{\perp i}^{2}}$

نظير الهاميلتوني غير النسبي${\displaystyle H}$هو مشغل الواجهة الأمامية الخفيفة${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}}$، الذي يُولّد انتقالات في زمن جبهة الضوء. وهو مُشتق من لاغرانجيان نظرية الحقل الكمومي المختارة. الزخم الكلي لجبهة الضوء للنظام،${\displaystyle {\underline {P}}\equiv (P^{+},{\vec {P}}_{\perp })}$، هو مجموع زخم جبهة الضوء للجسيمات المفردة. طاقة جبهة الضوء الكلية${\displaystyle P^{-}}$يتم تحديدها بواسطة شرط غلاف الكتلة لتكون${\displaystyle (M^{2}+P_{\perp }^{2})/P^{+}}$، أين${\displaystyle M}$هي الكتلة الثابتة للنظام. وتكون معادلة شرودنغر لتكميم جبهة الضوء على النحو التالي:${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}\psi ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}\psi }$يوفر هذا أساسًا لتحليل غير اضطرابي لنظريات الحقول الكمومية، وهو تحليل يختلف تمامًا عن منهج الشبكة . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

يوفر التكميم على جبهة الضوء تحقيقًا نظريًا دقيقًا للمجال للأفكار البديهية لنموذج البارتون الذي تمت صياغته عند قيمة ثابتة${\displaystyle t}$في إطار الزخم اللانهائي. ^{[ 8 ] [ 9 ]} (انظر #إطار الزخم اللانهائي ). تُحَصَّل النتائج نفسها في صيغة الجبهة لأي إطار؛ على سبيل المثال، تُحَصَّل دوال البنية وتوزيعات البارتونات الاحتمالية الأخرى المقاسة في التشتت غير المرن العميق من مربعات دوال الموجة للجبهة الضوئية الثابتة تحت تأثير التعزيز، ^{[ 10 ]} والحل الذاتي لهاملتونيان الجبهة الضوئية. متغير بيوركن الحركي${\displaystyle x_{bj}}$يُصبح التشتت غير المرن العميق مرتبطًا بجزء جبهة الضوء عند قيم صغيرة ${\displaystyle x}$يمكن إثبات سلوك ريجي لدالات البنية وفقًا لنموذج باليتسكي-فادين-كوراييف-ليباتوف (BFKL) ^{[ 11 ]} من خلال سلوك دوال الموجة للجبهة الضوئية عند قيم صغيرة.${\displaystyle x}$. تطور Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi ( DGLAP ) ^{[ 12 ]} لوظائف البنية وتطور Efremov-Radyushkin-Brodsky-Lepage (ERBL) ^{[ 13 ] [ 14 ]} لسعات التوزيع في${\displaystyle \log Q^{2}}$هي خصائص دوال الموجة للجبهة الضوئية عند الزخم العرضي العالي.

يُعدّ حساب عناصر المصفوفة الهادرونية للتيارات بسيطًا للغاية على جبهة الضوء، إذ يمكن الحصول عليها بدقة كتداخلات لدوال الموجة على جبهة الضوء كما في صيغة دريل-يان-ويست. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

إن سعات توزيع الميزونات والباريونات الثابتة بالنسبة للمقياس ، والتي تتحكم في التفاعلات الحصرية والمباشرة القوية، هي دوال الموجة الضوئية للجبهة التكافؤية المتكاملة على الزخم المستعرض عند قيمة ثابتة${\displaystyle x_{i}={k_{i}^{+}/P^{+}}}$يمكن اشتقاق تطور "ERBL" ^{[ 13 ] [ 14 ]} لسعات التوزيع ونظريات التحليل للعمليات الحصرية الصعبة بسهولة باستخدام طرق الجبهة الضوئية. وبمعرفة دوال الموجة للجبهة الضوئية المستقلة عن الإطار المرجعي، يمكن حساب نطاق واسع من الكميات الهادرونية القابلة للرصد، بما في ذلك توزيعات البارتونات المعممة، وتوزيعات ويغنر، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، فإن مساهمة "حقيبة اليد" في توزيعات البارتونات المعممة لتشتت كومبتون الافتراضي العميق ، والتي يمكن حسابها من تداخل دوال الموجة للجبهة الضوئية، تُحقق تلقائيًا قواعد الجمع المعروفة .

تحتوي دوال الموجة للجبهة الضوئية على معلومات حول السمات الجديدة لنظرية الكروموديناميكا الكمية. وتشمل هذه السمات تأثيرات مقترحة من مناهج أخرى، مثل شفافية اللون ، واللون الخفي، والسحر الجوهري ، وتناظرات كوارك البحر ، وحيود ثنائي النفاثات، والعمليات الصلبة المباشرة، وديناميكيات الدوران الهادرونية .

يمكن أيضًا إثبات نظريات أساسية لنظريات الحقول الكمومية النسبية باستخدام صيغة الجبهة، بما في ذلك: (أ) نظرية تفكيك المجموعة ^{[ 18 ]} و(ب) تلاشي العزم المغناطيسي الجاذبي الشاذ لأي حالة فوك لهادرون؛ ^{[ 19 ]} كما يمكن إثبات أن العزم المغناطيسي الشاذ غير الصفري لحالة مقيدة يتطلب زخمًا زاويًا غير صفري للمكونات. خصائص المجموعة ^{[ 20 ]} لنظرية الاضطراب المرتبة زمنيًا للجبهة الضوئية ، بالإضافة إلى${\displaystyle J^{z}}$يمكن استخدام مبدأ الحفظ لاستنتاج قواعد بارك-تايلور لسعات تشتت الغلوونات المتعددة بطريقة أنيقة . [ ^{21 ] سلوك} قاعدة العد ^{[ 22 ]} لدوال البنية عند قيم كبيرة${\displaystyle x}$وقد تم اشتقاق ازدواجية بلوم-جيلمان ^{[ 23 ] [ 24 ]} أيضًا في نظرية الكروموديناميكا الكمية ذات الجبهة الضوئية (LFQCD). ويُعزى وجود "تأثيرات العدسات" عند الالتواء الرئيسي، مثل ${\displaystyle T}$تم إثبات "تأثير سيفرز" الغريب في التشتت غير المرن العميق شبه الشامل المعتمد على اللف المغزلي لأول مرة باستخدام طرق الجبهة الضوئية. ^{[ 25 ]}

يُعدّ تكميم الجبهة الضوئية الإطار الطبيعي لوصف بنية الحالة المقيّدة النسبية غير الاضطرابية للهادرونات في الديناميكا اللونية الكمومية. هذه الصيغة دقيقة، نسبية، ومستقلة عن الإطار المرجعي. مع ذلك، توجد مشكلات دقيقة في الديناميكا اللونية الكمومية ذات الجبهة الضوئية تتطلب دراسة معمقة. على سبيل المثال، تعقيدات الفراغ في الصيغة الزمنية اللحظية المعتادة، مثل آلية هيغز والمكثفات في${\displaystyle \phi ^{4}}$في النظرية، توجد نظائر لها في الأنماط الصفرية ، أو ربما في حدود إضافية في هاميلتونيان LFQCD تسمح بها عملية حساب القوى. ^{[ 26 ]} تتطلب اعتبارات الجبهة الضوئية للفراغ، بالإضافة إلى مشكلة تحقيق التغاير الكامل في LFQCD ^، اهتمامًا دقيقًا بتفردات الجبهة الضوئية ومساهمات الأنماط الصفرية. ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} يستدعي اقتطاع فضاء فوك للجبهة الضوئية إدخال درجات حرية فعالة للكواركات والغلوونات للتغلب على تأثيرات الاقتطاع. إن إدخال درجات الحرية الفعالة هذه هو ما يرغب فيه المرء عند البحث عن العلاقة الديناميكية بين الكواركات المتعارف عليها (أو الحالية) والكواركات الفعالة (أو المكونة) التي سعى إليها ميلوش، ودعا إليها جيل مان ، كطريقة لتقليص نظرية الكروموديناميكا الكمية.

وبالتالي فإن صياغة هاميلتونيان الجبهة الضوئية تفتح الوصول إلى QCD على مستوى السعة وهي مهيأة لتصبح الأساس لمعالجة مشتركة لعلم الأطياف وبنية البارتون للهادرونات في شكلية متغايرة واحدة، مما يوفر اتصالًا موحدًا بين البيانات التجريبية منخفضة الطاقة وعالية الطاقة التي لا تزال منفصلة إلى حد كبير حتى الآن.

قدم بول ديراك ميكانيكا الكم النسبية ذات الشكل الأمامي في ورقة بحثية نُشرت عام 1949 في مجلة Reviews of Modern Physics. ^{[ 4 ]} تُعد نظرية حقل الكم ذات الجبهة الضوئية تمثيلاً ذا شكل أمامي لنظرية حقل الكم النسبية المحلية.

تعني خاصية الثبات النسبي لنظرية الكم أن الكميات القابلة للرصد (الاحتمالات، والقيم المتوقعة ، والمتوسطات الإحصائية) لها نفس القيم في جميع أنظمة الإحداثيات العطالية . ولأن أنظمة الإحداثيات العطالية المختلفة مرتبطة بتحويلات لورنتز غير المتجانسة ( تحويلات بوانكاريه )، فإن هذا يستلزم أن تكون زمرة بوانكاريه زمرة تناظر للنظرية. وقد بيّن ويغنر ^{[ 38 ]} وبارغمان ^{[ 39 ]} أن هذا التناظر يجب أن يتحقق من خلال تمثيل وحدوي للمكون المتصل لزمرة بوانكاريه على فضاء هيلبرت لنظرية الكم. يُعد تناظر بوانكاريه تناظرًا ديناميكيًا لأن تحويلات بوانكاريه تمزج بين متغيرات المكان والزمان. ويمكن ملاحظة الطبيعة الديناميكية لهذا التناظر بسهولة من خلال ملاحظة ظهور الهاميلتوني على الجانب الأيمن لثلاثة من مبدلات مولدات بوانكاريه. ${\displaystyle [K^{j},P^{k}]=i\delta ^{jk}H}$، أين${\displaystyle P^{k}}$هي مكونات الزخم الخطي و ${\displaystyle K^{j}}$هي مكونات مولدات التعزيز عديمة الدوران. إذا كان الهاميلتوني يتضمن تفاعلات، أي${\displaystyle H=H_{0}+V}$، عندئذٍ لا يمكن تحقيق علاقات التبادل إلا إذا تضمنت ثلاثة على الأقل من مولدات بوانكاريه التفاعلات أيضًا.

قدّمت ورقة ديراك ^{[ 4 ]} ثلاث طرق متميزة لإدراج التفاعلات في جبر لي بوانكاريه بأقل قدر ممكن . وأشار إلى هذه الخيارات الدنيا المختلفة بمصطلحات "الشكل اللحظي" و"الشكل النقطي" و"الشكل الأمامي" للديناميكيات. يتميز كل "شكل من أشكال الديناميكيات" بمجموعة فرعية مختلفة خالية من التفاعلات (حركية) من مجموعة بوانكاريه. في ديناميكيات الشكل اللحظي لديراك، تكون المجموعة الفرعية الحركية هي المجموعة الإقليدية ثلاثية الأبعاد الناتجة عن الإزاحات والدورانات المكانية، وفي ديناميكيات الشكل النقطي لديراك، تكون المجموعة الفرعية الحركية هي مجموعة لورنتز، وفي "ديناميكيات الجبهة الضوئية" لديراك، تكون المجموعة الفرعية الحركية هي مجموعة التحويلات التي تُبقي مستوىً فائقًا ثلاثي الأبعاد مماسًا لمخروط الضوء ثابتًا.

الجبهة الضوئية هي مستوى فائق ثلاثي الأبعاد يتم تحديده بالشرط التالي:

${\displaystyle x^{+}=x^{0}+{\vec {x}}\cdot {\hat {n}}=0,}$

1

مع${\displaystyle x^{0}=ct}$، حيث يكون العرف المعتاد هو الاختيار ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$إحداثيات النقاط على المستوى الفائق للجبهة الضوئية هي

${\displaystyle x^{-}=x^{0}-{\vec {x}}\cdot {\hat {n}}\quad {\mbox{and}}\quad {\vec {x}}_{\perp }:={\vec {x}}-{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {x}}).}$

2

الجداء الداخلي الثابت لورنتز لمتجهين رباعيين ،${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ويمكن التعبير عنها بدلالة مكوناتها الأمامية الضوئية كما يلي:

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(x^{-}y^{+}+x^{+}y^{-})-{\vec {x}}_{\perp }\cdot {\vec {y}}_{\perp }.}$

3

في نظرية الكم النسبية ذات الشكل الجبهي، تكون المولدات الثلاثة المتفاعلة لمجموعة بوانكاريه هي${\displaystyle P^{-}:=H-{\vec {P}}\cdot {\hat {n}}}$، مولد الإزاحات العمودية على جبهة الضوء، و${\displaystyle {\vec {J}}_{\perp }:={\vec {J}}-{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {J}})}$، مولدات الدوران العرضية لجبهة الضوء. ${\displaystyle P^{-}}$يُطلق عليه اسم هاميلتونيان "الجبهة الضوئية".

المولدات الحركية، التي تولد تحولات مماسية لجبهة الضوء، خالية من التفاعل. وتشمل هذه${\displaystyle P^{+}:=H+{\vec {P}}\cdot {\hat {n}}}$و${\displaystyle {\vec {P}}_{\perp }:={\vec {P}}-{\hat {n}}({\hat {n}}\cdot {\vec {P}})}$والتي تولد انتقالات مماسية لجبهة الضوء، ${\displaystyle J_{3}:={\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}$مما يُولّد دورانات حول${\displaystyle {\hat {n}}}$المحور، والمولدات ${\displaystyle K_{3}:={\hat {n}}\cdot {\vec {K}}}$،${\displaystyle E_{1}}$و${\displaystyle E_{2}}$من تعزيزات الحفاظ على الجبهة الضوئية،

${\displaystyle (p^{+},{\vec {p}}_{\perp })\to (p^{+\prime },{\vec {p}}_{\perp }')=(v^{+}p^{+},{\vec {p}}_{\perp }+{\vec {v}}_{\perp }x^{+}),}$

4

والتي تشكل جبرًا فرعيًا مغلقًا .

تتميز نظريات الكم ذات الجبهة الضوئية بالخصائص المميزة التالية:

• ثلاثة مولدات بوانكاريه فقط تتضمن تفاعلات. أما جميع أشكال ديراك الأخرى للديناميكيات فتتطلب أربعة مولدات متفاعلة أو أكثر.
• تُعتبر تعزيزات الجبهة الضوئية مجموعة فرعية ذات ثلاثة معلمات من مجموعة لورنتز التي تجعل الجبهة الضوئية ثابتة.
• طيف المولد الحركي،${\displaystyle P^{+}}$، هو خط الأعداد الحقيقية الموجبة .

لهذه الخصائص عواقب مفيدة في التطبيقات.

لا يوجد فقدان للعمومية في استخدام نظريات الكم النسبية ذات الجبهة الضوئية. بالنسبة للأنظمة ذات عدد محدود من درجات الحرية، توجد قواعد صريحة${\displaystyle S}$التحويلات الوحدوية الحافظة للمصفوفة التي تحوّل النظريات ذات المجموعات الحركية للجبهة الضوئية إلى نظريات مكافئة ذات مجموعات حركية للشكل اللحظي أو الشكل النقطي. من المتوقع أن يكون هذا صحيحًا في نظرية الحقل الكمومي، على الرغم من أن إثبات التكافؤ يتطلب تعريفًا غير اضطرابي للنظريات في أشكال ديناميكية مختلفة.

تعزيزات الجبهة الضوئية

بشكل عام، إذا ضُرب تعزيز لورنتز على اليمين بدوران يعتمد على الزخم، مع بقاء متجه السكون دون تغيير، فإن النتيجة هي نوع مختلف من التعزيز. من حيث المبدأ، يوجد عدد من أنواع التعزيزات يساوي عدد الدورانات التي تعتمد على الزخم. الخيارات الأكثر شيوعًا هي التعزيزات بدون دوران، والتعزيزات الحلزونية ، وتعزيزات الجبهة الضوئية. تعزيز الجبهة الضوئية ( 4 ) هو تعزيز لورنتز يُبقي الجبهة الضوئية ثابتة.

لا تُعدّ تعزيزات الجبهة الضوئية أعضاءً في المجموعة الحركية للجبهة الضوئية فحسب، بل تُشكّل أيضًا مجموعة فرعية مغلقة ذات ثلاثة معلمات. ويترتب على ذلك نتيجتان: أولًا، نظرًا لأن هذه التعزيزات لا تتضمن تفاعلات، فإن التمثيلات الوحدوية لتعزيزات الجبهة الضوئية لنظام جسيمات متفاعل هي حاصل ضرب موتري لتمثيلات الجسيمات المفردة لتعزيزات الجبهة الضوئية. ثانيًا، نظرًا لأن هذه التعزيزات تُشكّل مجموعة فرعية، فإن أي تسلسل عشوائي من تعزيزات الجبهة الضوئية التي تعود إلى الإطار الابتدائي لا يُولّد دورانات ويغنر.

في نظرية الكم النسبية، يُعرف دوران الجسيم بأنه الزخم الزاوي للجسيم في إطار سكونه . وتُحدد الكميات القابلة للرصد المتعلقة بالدوران عن طريق تحويل موتر الزخم الزاوي للجسيم إلى إطار سكونه.

${\displaystyle j^{j}={\frac {1}{2}}\sum \epsilon _{jkl}\Lambda ^{-1}(p)^{k}{}_{\mu }\Lambda ^{-1}(p)^{l}{}_{\nu }J^{\mu \nu },}$

5

أين${\displaystyle \Lambda ^{-1}(p)^{\mu }{}_{\nu }}$هو تعزيز لورنتز الذي يتحول${\displaystyle p^{\mu }}$ل${\displaystyle (m,{\vec {0}})}$.

مكونات متجه الدوران الناتج،${\displaystyle {\vec {j}}}$دائماً مُرضٍ${\displaystyle SU(2)}$علاقات التبادل، لكن المكونات الفردية ستعتمد على اختيار التعزيز${\displaystyle \Lambda ^{-1}(P)^{\mu }{}_{\nu }}$يتم الحصول على مكونات جبهة الضوء للدوران عن طريق اختيار ${\displaystyle \Lambda ^{-1}(P)^{k}{}_{\mu }}$ليكون عكس تعزيز الحفاظ على الجبهة الضوئية، ( 4 ).

تُعرَّف مركبات اللف المغزلي على جبهة الضوء بأنها مركبات اللف المغزلي المقاسة في إطار سكون الجسيم بعد تحويله إلى إطار سكونه باستخدام تعزيز يحافظ على جبهة الضوء ( 4 ). ويكون اللف المغزلي على جبهة الضوء ثابتًا بالنسبة للتعزيزات التي تحافظ على جبهة الضوء لأن هذه التعزيزات لا تُولِّد دورانات ويغنر. مركبة هذا اللف المغزلي على طول${\displaystyle {\hat {n}}}$ يُطلق على هذا الاتجاه اسم حلزونية جبهة الضوء. إضافةً إلى كونه ثابتًا، فهو أيضًا كمية حركية قابلة للرصد، أي أنه خالٍ من التفاعلات. يُسمى حلزونية لأن محور تكميم اللف المغزلي يتحدد باتجاه جبهة الضوء. وهو يختلف عن حلزونية جاكوب-ويك، حيث يتحدد محور التكميم باتجاه الزخم.

تُسهّل هذه الخصائص حساب عناصر مصفوفة التيار، وذلك للأسباب التالية: (1) ترتبط الحالات الابتدائية والنهائية في الأطر المرجعية المختلفة بتحويلات لورنتز الحركية، (2) لا تختلط مساهمات الجسم الواحد في مصفوفة التيار، وهي مهمة في التشتت القوي، مع الأجزاء المعتمدة على التفاعل من التيار تحت تأثير تعزيزات الجبهة الضوئية، (3) تبقى حلزونية الجبهة الضوئية ثابتة بالنسبة لتعزيزات الجبهة الضوئية. وبالتالي، تُحفظ حلزونية الجبهة الضوئية في كل تفاعل عند كل رأس.

بسبب هذه الخصائص، تُعدّ نظرية الكمّ ذات الشكل الأمامي الشكل الوحيد للديناميكا النسبية الذي يمتلك تقريبات دفع "مستقلة عن الإطار المرجعي" حقيقية، بمعنى أن مؤثرات التيار أحادية الجسم تظل مؤثرات أحادية الجسم في جميع الأطر المرجعية المرتبطة بتعزيزات الجبهة الضوئية، وأن الزخم المنقول إلى النظام مطابق للزخم المنقول إلى الجسيمات المكونة له. تربط القيود الديناميكية، الناجمة عن التغاير الدوراني وتغاير التيار، عناصر المصفوفة ذات الأعداد الكمّية المغناطيسية المختلفة . هذا يعني أنه لا يمكن تطبيق تقريبات الدفع المتسقة إلا على عناصر مصفوفة التيار المستقلة خطيًا.

الثبات الدوراني

إن الطبيعة الديناميكية للدوران في نظرية الكم ذات الجبهة الضوئية تعني أن الحفاظ على التناظر الدوراني الكامل ليس بالأمر الهين. في نظرية الحقول، توفر نظرية نوثر تعابير صريحة لمولدات الدوران، لكن الاقتصار على عدد محدود من درجات الحرية قد يؤدي إلى انتهاكات للتناظر الدوراني. تكمن المشكلة العامة في كيفية بناء مولدات دوران ديناميكية تحقق علاقات تبادل بوانكاريه مع${\displaystyle P^{-}}$وبقية المولدات الحركية. وتتمثل المشكلة ذات الصلة في أنه بالنظر إلى أن اختيار اتجاه جبهة الضوء يكسر بشكل واضح التناظر الدوراني للنظرية، فكيف يتم استعادة التناظر الدوراني للنظرية؟

بافتراض تمثيل ديناميكي موحد للدوران،${\displaystyle U(R)}$المنتج${\displaystyle U_{0}(R)U^{\dagger }(R)}$إن تحويل الدوران الحركي إلى معكوس الدوران الديناميكي المقابل له هو مؤثر وحدوي يحافظ على${\displaystyle S}$-matrix و(2) يغير المجموعة الحركية الفرعية إلى مجموعة حركية فرعية ذات جبهة ضوئية مدورة، ${\displaystyle {\hat {n}}'=R{\hat {n}}}$. وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle S}$إذا كانت المصفوفة ثابتة بالنسبة لتغيير اتجاه جبهة الضوء، فإن التمثيل الوحدوي الديناميكي للدوران يكون... ${\displaystyle U(R)}$يمكن إنشاء هذه النماذج باستخدام عوامل الموجة المعممة لاتجاهات مختلفة لجبهة الضوء ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} والتمثيل الحركي للدوران.

${\displaystyle U(R)=\Omega _{\pm }({\hat {n}})\Omega _{\pm }^{\dagger }(R{\hat {n}})U_{0}(R).}$

6

لأن المدخلات الديناميكية إلى${\displaystyle S}$-المصفوفة هي${\displaystyle P^{-}}$، ثبات${\displaystyle S}$يشير استخدام مصفوفة معينة فيما يتعلق بتغيير اتجاه جبهة الضوء إلى وجود مولد دوران ديناميكي متسق دون الحاجة إلى بنائه بشكل صريح. ويرتبط نجاح هذا النهج أو فشله بضمان الخصائص الدورانية الصحيحة للحالات التقاربية المستخدمة في بناء مؤثرات الموجة، وهو ما يتطلب بدوره أن تتحول حالات النظام الفرعي المقيدة بشكل غير قابل للاختزال بالنسبة إلى${\displaystyle SU(2)}$.

توضح هذه الملاحظات أن التغاير الدوراني للنظرية مُضمَّن في اختيار هاميلتوني جبهة الضوء. وقد قدّم كارمانوف ^{[ 54 ] [ 55 ] [ 56 ]} صياغةً متغايرةً لنظرية الكم لجبهة الضوء، حيث يُعامل اتجاه جبهة الضوء كدرجة حرية. ويمكن استخدام هذه الصياغة لتحديد الكميات القابلة للرصد التي لا تعتمد على الاتجاه.${\displaystyle {\hat {n}}}$، من الجبهة الضوئية (انظر #صيغة التغاير ).

While the light-front components of the spin are invariant under light-front boosts, they Wigner rotate under rotation-less boosts and ordinary rotations. Under rotations the light-front components of the single-particle spins of different particles experience different Wigner rotations. This means that the light-front spin components cannot be directly coupled using the standard rules of angular momentum addition. Instead, they must first be transformed to the more standard canonical spin components, which have the property that the Wigner rotation of a rotation is the rotation. The spins can then be added using the standard rules of angular momentum addition and the resulting composite canonical spin components can be transformed back to the light-front composite spin components. The transformations between the different types of spin components are called Melosh rotations.^[57][58] They are the momentum-dependent rotations constructed by multiplying a light-front boost followed by the inverse of the corresponding rotation-less boost. In order to also add the relative orbital angular momenta, the relative orbital angular momenta of each particle must also be converted to a representation where they Wigner rotate with the spins.

While the problem of adding spins and internal orbital angular momenta is more complicated,^[59] it is only total angular momentum that requires interactions; the total spin does not necessarily require an interaction dependence. Where the interaction dependence explicitly appears is in the relation between the total spin and the total angular momentum^[58][60]

${\displaystyle {\vec {J}}_{\perp }={\frac {1}{P^{+}}}[{\frac {1}{2}}(P^{+}-P^{-})({\hat {n}}\times {\vec {E}}_{\perp })-({\hat {n}}\times {\vec {P}}_{\perp })({\vec {K}}\cdot {\hat {n}})+{\vec {P}}_{\perp }({\hat {n}}\cdot {\vec {j}})+M{\vec {j}}_{\perp }],}$

1

where here ${\displaystyle P^{-}}$ and ${\displaystyle M}$ contain interactions. The transverse components of the light-front spin, ${\displaystyle {\vec {j}}_{\perp }}$ may or may not have an interaction dependence; however, if one also demands cluster properties,^[61] then the transverse components of total spin necessarily have an interaction dependence. The result is that by choosing the light front components of the spin to be kinematic it is possible to realize full rotational invariance at the expense of cluster properties. Alternatively it is easy to realize cluster properties at the expense of full rotational symmetry. For models of a finite number of degrees of freedom there are constructions that realize both full rotational covariance and cluster properties;^[62] these realizations all have additional many-body interactions in the generators that are functions of fewer-body interactions.

إن الطبيعة الديناميكية لمولدات الدوران تعني أن عوامل الموتر والسبينور، التي تكون علاقات التبادل الخاصة بها مع مولدات الدوران خطية في مكونات هذه العوامل، تفرض قيودًا ديناميكية تربط بين المكونات المختلفة لهذه العوامل.

بينما تُركز معظم تطبيقات ميكانيكا الكم ذات الجبهة الضوئية على صياغة نظرية الحقل الكمومي ذات الجبهة الضوئية، فإنه من الممكن أيضًا صياغة ميكانيكا الكم النسبية لأنظمة محدودة من الجسيمات المتفاعلة مباشرةً باستخدام مجموعة فرعية حركية ذات جبهة ضوئية. تُصاغ ميكانيكا الكم النسبية ذات الجبهة الضوئية على أساس المجموع المباشر لحاصل ضرب الموترات في فضاءات هيلبرت أحادية الجسيم. التمثيل الحركي${\displaystyle U_{0}(\Lambda ,a)}$إنّ تمثيل مجموعة بوانكاريه على هذا الفضاء هو المجموع المباشر لحاصل ضرب الموترات للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال أحادية الجسيم لمجموعة بوانكاريه. ويُعرَّف شكل ديناميكي أمامي على هذا الفضاء بواسطة تمثيل ديناميكي لمجموعة بوانكاريه.${\displaystyle U(\Lambda ,a)}$في هذه المساحة حيث${\displaystyle U(g)=U_{0}(g)}$متى${\displaystyle g}$وهي تنتمي إلى المجموعة الحركية الفرعية لمجموعة بوانكاريه.

إحدى مزايا ميكانيكا الكم ذات الجبهة الضوئية هي إمكانية تحقيق التغاير الدوراني الدقيق لنظام ذي عدد محدود من درجات الحرية. ويتم ذلك بالبدء بمولدات غير متفاعلة لمجموعة بوانكاريه الكاملة، وهي عبارة عن مجموع مولدات جسيمات مفردة، ثم بناء مؤثر الكتلة الحركي الثابت، والمولدات الحركية الثلاثة للانتقالات المماسية للجبهة الضوئية، ومولدات تعزيز الجبهة الضوئية الحركية الثلاثة، والمكونات الثلاثة لمؤثر دوران الجبهة الضوئية. والمولدات هي دوال محددة جيدًا لهذه المؤثرات ^{[ 60 ] [ 63 ]} معطاة بالمعادلة ( 1 ) .${\displaystyle P^{-}=({\vec {P}}_{\perp }^{2}+M^{2})/P^{+}}$تُضاف التفاعلات التي تتبادل مع جميع هذه المؤثرات باستثناء مؤثر الكتلة الحركية إلى مؤثر الكتلة الحركية لإنشاء مؤثر كتلة ديناميكي. باستخدام مؤثر الكتلة هذا في ( 1 ) والتعبير الخاص بـ${\displaystyle P^{-}}$^{[ 62 ]} يعطي مجموعة من مولدات بوانكاريه الديناميكية مع مجموعة فرعية حركية ذات جبهة خفيفة.

يمكن إيجاد مجموعة كاملة من الحالات الذاتية غير القابلة للاختزال عن طريق قطريّة مؤثر الكتلة المتفاعل في أساس من الحالات الذاتية المتزامنة لمكونات جبهة الضوء للزخم الحركي، والكتلة الحركية، والدوران الحركي، وإسقاط الدوران الحركي على${\displaystyle {\hat {n}}}$المحور. هذا يُكافئ حل معادلة شرودنغر لمركز الكتلة في ميكانيكا الكم غير النسبية. تتحول حالات الكتلة الذاتية الناتجة تحولاً غير قابل للاختزال تحت تأثير زمرة بوانكاريه. تُحدد هذه التمثيلات غير القابلة للاختزال التمثيل الديناميكي لزمرة بوانكاريه على فضاء هيلبرت.

لا يفي هذا التمثيل بخصائص التجميع، ^{[ 61 ]} ولكن يمكن استعادة ذلك باستخدام تعميم الشكل الأمامي ^{[ 58 ] [ 62 ]} للبناء التكراري الذي قدمه سوكولوف. ^{[ 44 ]}

تم تقديم إطار الزخم اللانهائي (IMF) في الأصل ^{[ 42 ] [ 43 ]} لتوفير تفسير فيزيائي لمتغير بيوركن${\displaystyle x_{bj}={\frac {Q^{2}}{2M\nu }}}$تم قياسها في تشتت الليبتون -البروتون غير المرن العميق${\displaystyle \ell p\to \ell ^{\prime }X}$في نموذج بارتون لفينمان. (هنا)${\displaystyle Q^{2}=-q^{2}}$هو مربع نقل الزخم المكاني الذي يمنحه الليبتون و${\displaystyle \nu =E_{\ell }-E_{\ell ^{\prime }}}$(هي الطاقة المنقولة في إطار سكون البروتون.) إذا أخذنا في الاعتبار إطار لورنتز افتراضي حيث يتحرك المراقب بزخم لانهائي،${\displaystyle P\to \infty }$، في الحالة السلبية${\displaystyle {\hat {z}}}$ثم الاتجاه${\displaystyle x_{bj}}$يمكن تفسيرها على أنها نسبة الزخم الطولي${\displaystyle x={\frac {k^{z}}{P^{z}}}}$يحملها الكوارك (أو "البارتون") المصطدم في البروتون الوارد سريع الحركة. تُعطى دالة بنية البروتون المقاسة في التجربة بمربع دالة الموجة اللحظية الخاصة به معززة إلى زخم لانهائي.

بصورة رسمية، هناك علاقة بسيطة بين صياغة هاميلتونيان لنظريات الحقل الكمومي المُكمّمة عند زمن ثابت${\displaystyle t}$(الشكل "اللحظي") حيث يتحرك المراقب بزخم لانهائي ونظرية هاميلتونية الجبهة الضوئية مُكمّمة عند زمن ثابت للجبهة الضوئية${\displaystyle \tau =t+z/c}$(الشكل الأمامي). مقام الطاقة النموذجي في الشكل اللحظي هو${\displaystyle {1/[E_{initial}-E_{intermediate}+i\epsilon ]}}$ أين${\displaystyle E_{intermediate}=\sum _{j}E_{j}=\sum _{j}{\sqrt {m^{2}+{\vec {k}}_{j}^{2}}}}$ هو مجموع طاقات الجسيمات في الحالة الوسيطة. في دالة الكتلة الوسيطة، حيث يتحرك الراصد بزخم عالٍ${\displaystyle P}$بالسلبية${\displaystyle {\hat {z}}}$الاتجاه، المصطلحات الرئيسية في ${\displaystyle P}$يُلغى، ويصبح مقام الطاقة${\displaystyle 2P/[{\mathcal {M}}^{2}-\sum _{j}{\big [}{k_{\perp }^{2}+{\frac {m^{2}}{x_{i}}}}{\big ]}_{j}+i\epsilon ]}$أين ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{2}}$هي مربع الكتلة الثابتة للحالة الابتدائية. وبالتالي، بالاحتفاظ بالحدود في${\displaystyle {\frac {1}{P}}}$في الصيغة اللحظية، يُستعاد مقام الطاقة الذي يظهر في نظرية هاميلتونيان جبهة الضوء. لهذه المطابقة دلالة فيزيائية: فالقياسات التي يجريها مراقب يتحرك بزخم لانهائي تُشابه إجراء ملاحظات تقترب من سرعة الضوء، وبالتالي تتطابق مع صيغة الجبهة حيث تُجرى القياسات على طول جبهة الموجة الضوئية. يمكن إيجاد مثال على تطبيق ذلك في الديناميكا الكهربائية الكمومية في أعمال برودسكي، روسكيز، وسوايا. ^{[ 64 ]}

حالة الفراغ في شكلها اللحظي المحدد عند نقطة ثابتة${\displaystyle t}$هو غير سببي ومعقد إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، في الديناميكا الكهربائية الكمومية، توجد رسوم بيانية فقاعية من جميع الرتب، بدءًا من${\displaystyle e^{+}e^{-}\gamma }$ تظهر الحالة الوسيطة في فراغ الحالة الأرضية؛ ومع ذلك، كما أوضح واينبرغ ^{[ 43 ]،} فإن مخططات الفراغ هذه تعتمد على الإطار وتتلاشى رسميًا بقوى${\displaystyle 1/P^{2}}$بينما يتحرك المراقب${\displaystyle P\to \infty }$وبالتالي، يمكن للمرء مرة أخرى مطابقة الشكل اللحظي مع صيغة الشكل الأمامي حيث لا تظهر مخططات حلقة الفراغ هذه في الحالة الأرضية لنظرية الكهروديناميكا الكمية. وذلك لأن${\displaystyle +}$زخم كل مكون موجب، لكن يجب أن يكون مجموعها صفرًا في حالة الفراغ لأن${\displaystyle +}$الزخم محفوظ. مع ذلك، وخلافًا للصيغة اللحظية، لا حاجة إلى تعزيزات ديناميكية، وصياغة الصيغة الأمامية سببية ومستقلة عن الإطار المرجعي. يُعدّ شكل الإطار المرجعي للزخم اللانهائي أداةً بديهيةً مفيدة؛ إلا أن الحد ${\displaystyle P\to \infty }$لا يمثل ذلك حدًا صارمًا، كما أن الحاجة إلى تعزيز دالة الموجة ذات الشكل الفوري تُدخل تعقيدات.

في إحداثيات الجبهة الضوئية،${\displaystyle x^{+}=ct+z}$،${\displaystyle x^{-}=ct-z}$، الإحداثيات المكانية${\displaystyle x,y,z}$ لا تدخل بشكل متناظر: الإحداثيات${\displaystyle z}$يتميز، بينما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لا تظهر على الإطلاق. هذا التعريف غير المتغير يُخلّ بالتناظر المكاني، مما ينتج عنه بدوره بعض الصعوبات المتعلقة بحقيقة أن بعض تحويلات الإطار المرجعي قد تُغير اتجاه مستوى جبهة الضوء. أي أن تحويلات الإطار المرجعي وتغير اتجاه مستوى جبهة الضوء ليسا منفصلين عن بعضهما البعض. بما أن الدالة الموجية تعتمد ديناميكيًا على اتجاه المستوى الذي تُعرَّف فيه، فإن الدالة الموجية لجبهة الضوء، في ظل هذه التحويلات، تتحول بواسطة مؤثرات ديناميكية (تعتمد على التفاعل). لذلك، بشكل عام، يجب معرفة التفاعل للانتقال من إطار مرجعي مُعطى إلى الإطار الجديد. فقدان التناظر بين الإحداثيات${\displaystyle z}$و${\displaystyle x,y}$ كما أن ذلك يعقد عملية بناء الحالات ذات الزخم الزاوي المحدد، لأن هذا الأخير هو مجرد خاصية للدالة الموجية بالنسبة للدوران الذي يؤثر على جميع الإحداثيات.${\displaystyle x,y,z}$.

وللتغلب على هذا الإزعاج، تم تطوير النسخة المتغيرة بشكل صريح ^{[ 54 ] [ 55 ] [ 56 ]} من تكميم الجبهة الضوئية (راجعها كاربونيل وآخرون ^{[ 65 ]} )، حيث يتم تعريف متجه الحالة على مستوى الجبهة الضوئية ذي التوجيه العام: ${\displaystyle \omega \cdot x=\omega _{0}ct-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}=\omega _{0}t-\omega _{x}x-\omega _{y}y-\omega _{z}z=0}$(بدلاً من${\displaystyle ct+z=0}$)، أين ${\displaystyle x=(ct,{\vec {x}})}$هو متجه رباعي الأبعاد في الزمكان رباعي الأبعاد و ${\displaystyle \omega =(\omega _{0},{\vec {\omega }})}$وهو أيضًا متجه رباعي الأبعاد يتمتع بالخاصية${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-{\vec {\omega }}^{2}=0}$في هذه الحالة تحديداً${\displaystyle \omega =(1/c,0,0,-1/c)}$ نعود إلى البناء القياسي. في الصيغة المتغيرة صراحةً، يكون تحويل الإطار المرجعي وتغيير اتجاه مستوى جبهة الضوء منفصلين. جميع الدورانات وتحويلات لورنتز حركية بحتة (لا تتطلب معرفة التفاعل)، بينما يتم تحديد الاعتماد (الديناميكي) على اتجاه مستوى جبهة الضوء بشكل متغير بواسطة اعتماد دالة الموجة على المتجه الرباعي.${\displaystyle \omega }$.

تم وضع قواعد تقنيات الرسم البياني التي تسمح، بالنسبة لدالة لاغرانجية معينة، بحساب التفكيك الاضطرابي لمتجه الحالة المتطور في زمن الجبهة الضوئية${\displaystyle \sigma =\omega \cdot x}$(على النقيض من التطور في الاتجاه)${\displaystyle x^{+}}$أو${\displaystyle t}$بالنسبة للشكل اللحظي للديناميكيات، طُوِّرت هذه القواعد لأول مرة بواسطة كاديشيفسكي. ^{[ 66 ] [ 67 ]} وبموجب هذه القواعد، تُمثَّل سعات جبهة الضوء كتكاملات على زخم الجسيمات في الحالات الوسيطة. هذه التكاملات ثلاثية الأبعاد، وجميع الزخمات الرباعية${\displaystyle k_{i}}$ تقع على أغلفة الكتلة المقابلة${\displaystyle k_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$على النقيض من قواعد فاينمان التي تتضمن تكاملات رباعية الأبعاد على زخم خارج غلاف الكتلة، فإن سعات جبهة الضوء المحسوبة، كونها على غلاف الكتلة، هي عمومًا سعات خارج غلاف الطاقة. هذا يعني أن الزخم الرباعي على غلاف الكتلة، الذي تعتمد عليه هذه السعات، لا يُحفظ في الاتجاه${\displaystyle x^{-}}$ (أو بشكل عام، في الاتجاه)${\displaystyle \omega }$لا تتطابق سعات غلاف الطاقة المنخفضة مع سعات فاينمان، وتعتمد على اتجاه مستوى جبهة الضوء. في الصيغة المتغيرة، يكون هذا الاعتماد واضحًا: فالسعات هي دوال لـ${\displaystyle \omega }$يُتيح ذلك تطبيق التقنيات المعروفة المُطوَّرة لسعات فاينمان المتغيرة عليها تطبيقًا كاملًا (بناء المتغيرات الثابتة، المشابهة لمتغيرات ماندلستام، التي تعتمد عليها السعات؛ والتحليلات، في حالة الجسيمات ذات اللف المغزلي، إلى سعات ثابتة؛ واستخراج عوامل الشكل الكهرومغناطيسية؛ إلخ). تُشكِّل السعات غير القابلة للاختزال خارج نطاق الطاقة نواة معادلات دوال الموجة للجبهة الضوئية. تُستنتج هذه الدوال من هذه المعادلات وتُستخدم لتحليل الهادرونات والنوى.

بالنسبة للجسيمات عديمة الدوران، وفي الحالة الخاصة لـ${\displaystyle \omega =(1/c,0,0,-1/c)}$تُختزل السعات التي تم الحصول عليها باستخدام قواعد تقنيات الرسم البياني المتغير، بعد استبدال المتغيرات، إلى السعات التي تُعطيها قواعد واينبرغ ^{[ 43 ]} في إطار الزخم اللانهائي . ويتجلى اعتمادها على اتجاه مستوى جبهة الضوء في اعتماد سعات واينبرغ خارج نطاق الطاقة على المتغيرات.${\displaystyle {\vec {k}}_{\perp i},x_{i}}$تُؤخذ بشكل منفصل، ولكن ليس في بعض التركيبات المحددة مثل متغيرات ماندلستام.${\displaystyle s,t}$.

في غلاف الطاقة، لا تعتمد السعات على المتجه الرباعي${\displaystyle \omega }$تحديد اتجاه مستوى الجبهة الضوئية المقابل. تتطابق هذه السعات على غلاف الطاقة مع السعات على غلاف الكتلة التي تحددها قواعد فاينمان. ومع ذلك، فإن الاعتماد على${\displaystyle \omega }$يمكن أن تستمر بسبب التقريبات.

تُعدّ الصيغة المتغيرة مفيدة بشكل خاص لبناء الحالات ذات الزخم الزاوي المحدد. في هذا البناء، يكون المتجه الرباعي${\displaystyle \omega }$تشارك على قدم المساواة مع الزخم الرباعي الأخرى، وبالتالي، فإن الجزء الرئيسي من هذه المسألة يختزل إلى الجزء المعروف. على سبيل المثال، كما هو معروف، فإن الدالة الموجية لنظام غير نسبي، يتكون من جسيمين عديمي الدوران بزخم نسبي${\displaystyle {\vec {k}}}$ وبزخم زاوي كلي${\displaystyle l}$، يتناسب مع الدالة الكروية${\displaystyle Y_{lm}({\hat {\vec {k}}})}$:${\displaystyle \psi _{lm}({\vec {k}})=f(k)Y_{lm}({\hat {k}})}$، أين${\displaystyle {\hat {k}}={\vec {k}}/k}$و${\displaystyle f(k)}$هي دالة تعتمد على المعامل${\displaystyle k=|{\vec {k}}|}$يُقرأ مُعامل الزخم الزاوي كما يلي:${\displaystyle {\vec {J}}=-i[{\vec {k}}\times \partial {\vec {k}}]}$ثم تأخذ الدالة الموجية لنظام نسبي في الصيغة المتغيرة لديناميكيات الجبهة الضوئية الشكل المماثل التالي:

${\displaystyle \psi _{lm}({\vec {k}},{\hat {n}})=f_{1}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {k}})+f_{2}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {n}}),}$

7

أين${\displaystyle {\hat {n}}={\vec {\omega }}/|{\vec {\omega }}|}$و${\displaystyle f_{1,2}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})}$وهي وظائف تعتمد على، بالإضافة إلى${\displaystyle k}$، على الضرب القياسي${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\hat {n}}}$المتغيرات${\displaystyle k}$،${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\hat {n}}}$وهي ثابتة ليس فقط تحت دوران المتجهات${\displaystyle {\vec {k}}}$،${\displaystyle {\hat {n}}}$ but also under rotations and the Lorentz transformations of initial four-vectors ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle \omega }$. The second contribution ${\displaystyle \propto Y_{lm}({\hat {n}})}$ means that the operator of the total angular momentum in explicitly covariant light-front dynamics obtains an additional term: ${\displaystyle {\vec {J}}=-i[{\vec {k}}\times \partial {\vec {k}}]-i[{\hat {n}}\times \partial {\hat {n}}]}$. For non-zero spin particles this operator obtains the contribution of the spin operators:^{[49][50][51][52][68][69]}

${\displaystyle {\vec {J}}=-i[{\vec {k}}\times \partial {\vec {k}}]-i[{\hat {n}}\times \partial {\hat {n}}]+{\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}.}$

The fact that the transformations changing the orientation of the light-front plane are dynamical (the corresponding generators of the Poincare group contain interaction) manifests itself in the dependence of the coefficients ${\displaystyle f_{1,2}}$ on the scalar product ${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\hat {n}}}$ varying when the orientation of the unit vector ${\displaystyle {\hat {n}}}$ changes (for fixed ${\displaystyle {\vec {k}}}$). This dependence (together with the dependence on ${\displaystyle k}$) is found from the dynamical equation for the wave function.

A peculiarity of this construction is in the fact that there exists the operator ${\displaystyle A=({\hat {n}}\cdot {\vec {J}})^{2}}$ which commutes both with the Hamiltonian and with ${\displaystyle {\vec {J}}^{2},J_{z}}$. Then the states are labeled also by the eigenvalue ${\displaystyle a}$ of the operator ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \psi =\psi _{lma}({\vec {k}},{\hat {n}})}$. For given angular momentum ${\displaystyle l}$, there are ${\displaystyle l+1}$ such the states. All of them are degenerate, i.e. belong to the same mass (if we do not make an approximation). However, the wave function should also satisfy the so-called angular condition^{[55][56][70][71][72]} After satisfying it, the solution obtains the form of a unique superposition of the states ${\displaystyle \psi _{lma}({\vec {k}},{\hat {n}})}$ with different eigenvalues ${\displaystyle a}$.^[56][65]

The extra contribution ${\displaystyle -i[{\hat {n}}\times \partial {\hat {n}}]}$ in the light-front angular momentum operator increases the number of spin components in the light-front wave function. For example, the non-relativistic deuteron wave function is determined by two components (${\displaystyle S}$- and ${\displaystyle D}$-waves). Whereas, the relativistic light-front deuteron wave function is determined by six components.^[68][69] These components were calculated in the one-boson exchange model.^[73]

The central issue for light-front quantization is the rigorous description of hadrons, nuclei, and systems thereof from first principles in QCD. The main goals of the research using light-front dynamics are:

• Evaluation of masses and wave functions of hadrons using the light-front Hamiltonian of QCD.
• The analysis of hadronic and nuclear phenomenology based on fundamental quark and gluon dynamics, taking advantage of the connections between quark-gluon and nuclear many-body methods.
• فهم خصائص الديناميكا اللونية الكمومية عند درجات حرارة وكثافات محدودة، وهو أمر ذو صلة بفهم الكون المبكر وكذلك الأجسام النجمية المدمجة.
• تطوير التوقعات للاختبارات في مرافق التجارب الهادرونية الجديدة والمطورة - JLAB و LHC و RHIC و J-PARC و GSI (FAIR).
• تحليل فيزياء حقول الليزر المكثفة، بما في ذلك نهج غير اضطرابي لـ QED ذي المجال القوي.
• توفير اختبارات ملاءمة من الأسفل إلى الأعلى لنظريات النماذج كما هو موضح في حالة النموذج القياسي.

يتطلب التحليل غير الاضطرابي لنظرية الكروموديناميكا الكمية ذات الجبهة الضوئية ما يلي:

• نواصل اختبار منهج هاميلتونيان الجبهة الضوئية في النظريات البسيطة لتحسين فهمنا لخصائصه ونقاط ضعفه مقارنةً بأساليب التكميم المتغيرة بشكل واضح. سيشمل ذلك العمل على نظريات مثل نظرية يوكاوا ونظرية الكهروديناميكا الكمية، وعلى النظريات ذات التناظر الفائق غير المنكسر، لفهم نقاط القوة والقيود في مختلف الأساليب. وقد أُحرز تقدم كبير بالفعل في هذا الصدد.

• بناء مخططات تنظيم وإعادة تطبيع تحافظ على التناظر لـ QCD للجبهة الضوئية، لتشمل طريقة باولي-فيلارس لمجموعة سانت بطرسبرغ، ^{[ 74 ] [ 75 ]} إجراء مجموعة إعادة التطبيع المتشابهة لغلازيك-ويلسون للهاملتونيين، ^{[ 76 ] [ 77 ] [ 78 ]} دوال اختبار ماثيو-غرانج، ^{[ 79 ]} كارمانوف-ماثيو-سميرنوف ^{[ 80 ]} تحقيق إعادة التطبيع المعتمدة على القطاع، وتحديد كيفية دمج كسر التناظر في تكميم الجبهة الضوئية؛ ^{[ 81 ] [ 82 ] [83] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] من المرجح أن} يتطلب ذلك تحليل الأنماط الصفرية والمكثفات داخل الهادرون. ^{[ 5 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

• Develop computer codes which implement the regularization and renormalization schemes. Provide a platform-independent, well-documented core of routines that allow investigators to implement different numerical approximations to field-theoretic eigenvalue problems, including the light-front coupled-cluster method.^[88] Consider various quadrature schemes and basis sets, including Discretized Light-Cone Quantization (DLCQ),^[89]

^[90] finite elements, function expansions,^[91] and the complete orthonormal wave functions obtained from AdS/QCD. This will build on the Lanczos-based MPI code developed for nonrelativistic nuclear physics applications and similar codes for Yukawa theory and lower-dimensional supersymmetric Yang—Mills theories.

• Address the problem of computing rigorous bounds on truncation errors, particularly for energy scales where QCD is strongly coupled.

Understand the role of renormalization group methods, asymptotic freedom and spectral properties of ${\displaystyle P^{+}}$ in quantifying truncation errors.

• Solve for hadronic masses and wave functions. Use these wave functions to compute form factors, generalized parton distributions, scattering amplitudes, and decay rates. Compare with perturbation theory, lattice QCD, and model calculations, using insights from AdS/QCD, where possible. Study the transition to nuclear degrees of freedom, beginning with light nuclei.

• Classify the spectrum with respect to total angular momentum. In equal-time quantization, the three generators of rotations are kinematic, and the analysis of total angular momentum is relatively simple. In light-front quantization, only the generator of rotations around the ${\displaystyle z}$-axis is kinematic; the other two, of rotations about axes

${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$, are dynamical. To solve the angular momentum classification problem, the eigenstates and spectra of the sum of squares of these generators must be constructed. This is the price to pay for having more kinematical generators than in equal-time quantization, where all three boosts are dynamical. In light-front quantization, the boost along ${\displaystyle z}$ is kinematic, and this greatly simplifies the calculation of matrix elements that involve boosts, such as the ones needed to calculate form factors. The relation to covariant Bethe–Salpeter approaches projected on the light-front may help in understanding the angular momentum issue and its relationship to the Fock-space truncation of the light-front Hamiltonian. Model-independent constraints from the general angular condition, which must be satisfied by the light-front helicity amplitudes, should also be explored. The contribution from the zero mode appears necessary for the hadron form factors to satisfy angular momentum conservation, as expressed by the angular condition. The relation to light-front quantum mechanics, where it is possible to exactly realize full rotational covariance and construct explicit representations of the dynamical rotation generators, should also be investigated.

• Explore the AdS/QCD correspondence and light front holography.^{[92][93][94][95][96][97]}

The approximate duality in the limit of massless quarks motivates few-body analyses of meson and baryon spectra based on a one-dimensional light-front Schrödinger equation in terms of the modified transverse coordinate ${\displaystyle \zeta }$. Models that extend the approach to massive quarks have been proposed, but a more fundamental understanding within QCD is needed. The nonzero quark masses introduce a non-trivial dependence on the longitudinal momentum, and thereby highlight the need to understand the representation of rotational symmetry within the formalism. Exploring AdS/QCD wave functions as part of a physically motivated Fock-space basis set to diagonalize the LFQCD Hamiltonian should shed light on both issues. The complementary Ehrenfest interpretation^[98] can be used to introduce effective degrees of freedom such as diquarks in baryons.

• Develop numerical methods/computer codes to directly evaluate the partition function (viz. thermodynamic potential) as the basic thermodynamic quantity. Compare to lattice QCD, where applicable, and focus on a finite chemical potential, where reliable lattice QCD results are presently available only at very small (net) quark densities. There is also an opportunity for use of light-front AdS/QCD to explore non-equilibrium phenomena such as transport properties during the very early state of a heavy ion collision. Light-front AdS/QCD opens the possibility to investigate hadron formation in such a non-equilibrated strongly coupled quark-gluon plasma.

• تطوير نهج الجبهة الضوئية لتجارب تذبذب النيوترينو الممكنة في فيرميلاب وأماكن أخرى، بهدف تقليل انتشار الطاقة لمصادر الهادرونيك المولدة للنيوترينو، بحيث يمكن حل صورة التداخل ذات الشقوق الثلاثة للطاقة لنمط التذبذب ^{[ 99 ]} واستخدام الشكل الأمامي لديناميكيات هاميلتون في توفير الأساس لدراسات جديدة نوعيًا (معاملة الفراغ بشكل مختلف) لآليات توليد كتلة النيوترينو.

• إذا سمحت إجراءات مجموعة إعادة التطبيع للجسيمات الفعالة (RGPEP) ^{[ 100 ] [ 101 ]} بدراسة السحر الجوهري، والقاع، واللصق في توسيع فضاء فوك ذي الجبهة الضوئية المعاد تطبيعه والمتقارب بشكل منهجي، فقد ينظر المرء في مجموعة من الدراسات التجريبية الجديدة لعمليات الإنتاج باستخدام المكونات الجوهرية التي لا يتم تضمينها في الحسابات القائمة على وظائف انقسام الغلوون والكوارك.

• أساليب الحساب ذات الجبهة الضوئية
• تطبيقات التكميم الضوئي الأمامي
• نظريات الحقل الكمومي
• الديناميكا اللونية الكمومية
• الديناميكا الكهربائية الكمومية
• التصوير المجسم الأمامي للضوء