الثبات الدوراني

على سبيل المثال، الدالة

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

يظل ثابتًا تحت دوران المستوى حول نقطة الأصل، لأنه بالنسبة لمجموعة إحداثيات مدورة بأي زاوية θ

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

تأخذ الدالة، بعد حذف بعض الحدود، نفس الشكل تمامًا

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

يمكن التعبير عن دوران الإحداثيات باستخدام شكل المصفوفة باستخدام مصفوفة الدوران .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}},}$

أو رمزياً، x ′ = Rx . رمزياً، ثبات الدوران لدالة حقيقية القيمة لمتغيرين حقيقيين هو

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

بمعنى آخر، تأخذ دالة الإحداثيات المُدارة نفس شكلها تمامًا كما كانت عليه مع الإحداثيات الأصلية، والفرق الوحيد هو أن الإحداثيات المُدارة تحل محل الإحداثيات الأصلية. بالنسبة لدالة حقيقية القيمة لثلاثة متغيرات حقيقية أو أكثر ، يمكن توسيع هذا التعبير بسهولة باستخدام مصفوفات الدوران المناسبة.

ويمتد المفهوم أيضاً إلى دالة متجهة f لمتغير واحد أو أكثر؛

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ).}$

في جميع الحالات المذكورة أعلاه، يتم تدوير الوسائط (التي تسمى هنا "الإحداثيات" من أجل التحديد) وليس الدالة نفسها.

لوظيفة​

${\displaystyle f:X\rightarrow X,}$

والتي تحدد العناصر من مجموعة جزئية X من خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بالنسبة لنفسها، قد يعني الثبات الدوراني أيضًا أن الدالة تتبادل مع دورانات العناصر في X. وينطبق هذا أيضًا على المؤثر الذي يعمل على هذه الدوال. ومن الأمثلة على ذلك مؤثر لابلاس ثنائي الأبعاد.

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},}$

والذي يعمل على دالة f للحصول على دالة أخرى ∇ ² f . هذا المؤثر ثابت تحت الدوران.

إذا كانت g هي الدالة g ( p ) = f ( R ( p ))، حيث R هي أي دوران، فإن (∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p ))؛ أي أن تدوير دالة ما هو إلا تدوير لابلاسها.

في ميكانيكا الكم ، يُعرف الثبات الدوراني بأنه الخاصية التي تجعل النظام الجديد، بعد الدوران، لا يزال يخضع لمعادلة شرودنغر .

${\displaystyle [R,EH]=0}$

لأي دوران R. بما أن الدوران لا يعتمد صراحةً على الزمن، فإنه يتبادل مع مؤثر الطاقة. وبالتالي، من أجل ثبات الدوران، يجب أن يكون [ R , H ] = 0. 

بالنسبة للدورانات المتناهية الصغر (في المستوى xy في هذا المثال؛ ويمكن القيام بذلك بالمثل لأي مستوى) بزاوية dθ، يكون عامل الدوران (المتناهي الصغر) هو

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

ثم

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

هكذا

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

بمعنى آخر، الزخم الزاوي محفوظ.