دورة حدية

في الرياضيات ، وتحديدًا في دراسة الأنظمة الديناميكية ذات فضاء الطور ثنائي الأبعاد ، تُعرَّف الدورة الحدية بأنها مسار مغلق في فضاء الطور يتميز بخاصية أن مسارًا آخر على الأقل يتداخل معه حلزونيًا إما عندما يقترب الزمن من اللانهاية أو عندما يقترب من سالب اللانهاية. ويُلاحظ هذا السلوك في بعض الأنظمة غير الخطية . وقد استُخدمت الدورات الحدية لنمذجة سلوك العديد من الأنظمة التذبذبية في العالم الحقيقي. وقد بدأ هنري بوانكاريه (1854-1912) دراسة الدورات الحدية .

نعتبر نظامًا ديناميكيًا ثنائي الأبعاد على الشكل التالي $${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$ أين $${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$$ هي دالة سلسة. مسار هذا النظام هو دالة سلسة ما${\displaystyle x(t)}$مع القيم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$والتي تحقق هذه المعادلة التفاضلية. يُطلق على هذا المسار اسم مغلق (أو دوري ) إذا لم يكن ثابتًا ولكنه يعود إلى نقطة البداية، أي إذا وُجدت قيمة ما.${\displaystyle t_{0}>0}$بحيث${\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}$للجميع${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$المدار هو صورة لمسار، وهو جزء من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$المدار المغلق ، أو الدورة ، هو صورة لمسار مغلق. أما الدورة الحدية فهي دورة تمثل المجموعة الحدية لمسار آخر.

بحسب نظرية منحنى جوردان ، فإن كل مسار مغلق يقسم المستوى إلى منطقتين، الداخلية والخارجية للمنحنى.

بافتراض وجود دورة حدية ومسار داخلها يقترب من الدورة الحدية لفترة زمنية تقترب من${\displaystyle +\infty }$ثم توجد منطقة مجاورة للدورة الحدية بحيث تقترب جميع المسارات الداخلية التي تبدأ في هذه المنطقة من الدورة الحدية مع اقتراب الزمن من${\displaystyle +\infty }$وينطبق البيان المقابل على مسار في الداخل يقترب من الدورة الحدية لوقت يقترب من${\displaystyle -\infty }$وكذلك بالنسبة للمسارات في الخارج التي تقترب من الدورة الحدية.

في حالة اقتراب جميع المسارات المجاورة من الدورة الحدية مع اقتراب الزمن من اللانهاية، تُسمى هذه الدورة دورة حدية مستقرة أو جاذبة (دورة حدية ω). أما إذا اقتربت جميع المسارات المجاورة منها مع اقتراب الزمن من سالب اللانهاية، فتُسمى دورة حدية غير مستقرة (دورة حدية α). وإذا كان هناك مسار مجاور يلتف حلزونيًا داخل الدورة الحدية مع اقتراب الزمن من اللانهاية، وآخر يلتف حلزونيًا داخلها مع اقتراب الزمن من سالب اللانهاية، فتُسمى دورة حدية شبه مستقرة . وهناك أيضًا دورات حدية ليست مستقرة ولا غير مستقرة ولا شبه مستقرة: على سبيل المثال، قد يقترب مسار مجاور من الدورة الحدية من الخارج، ولكن تقترب من داخل الدورة الحدية مجموعة من الدورات الأخرى (التي لا تُعد دورات حدية).

تُعد الدورات الحدية المستقرة أمثلة على الجاذبات . وهي تشير إلى تذبذبات مستدامة ذاتيًا : يصف المسار المغلق السلوك الدوري المثالي للنظام، وأي اضطراب صغير عن هذا المسار المغلق يتسبب في عودة النظام إليه، مما يجعل النظام يلتزم بالدورة الحدية.

يحتوي كل مسار مغلق في داخله على نقطة ثابتة للنظام، أي نقطة${\displaystyle p}$أين${\displaystyle V'(p)=0}$. تتنبأ نظرية بينديكسون-دولاك ونظرية بوانكاريه-بينديكسون بعدم وجود أو وجود دورات حدية للأنظمة الديناميكية غير الخطية ثنائية الأبعاد، على التوالي.

يُعدّ إيجاد الدورات الحدية، بشكل عام، مشكلة بالغة الصعوبة. ويُشكّل عدد الدورات الحدية لمعادلة تفاضلية متعددة الحدود في المستوى الهدف الرئيسي للجزء الثاني من مسألة هيلبرت السادسة عشرة . فعلى سبيل المثال، من غير المعروف ما إذا كان هناك أي نظام${\displaystyle x'=V(x)}$في المستوى حيث يكون كلا مكوني${\displaystyle V}$هي كثيرات حدود تربيعية للمتغيرين، بحيث يكون للنظام أكثر من 4 دورات حدية.

تُعدّ الدورات الحدية مهمة في العديد من التطبيقات العلمية التي تُنمذج فيها الأنظمة ذات التذبذبات المستدامة ذاتيًا. ومن الأمثلة على ذلك:

• التذبذبات الديناميكية الهوائية ذات الدورة الحدية ^{[ 1 ]}
• نموذج هودجكين -هكسلي لجهود الفعل في الخلايا العصبية .
• نموذج سيلكوف لعملية تحلل الجلوكوز . ^{[ 2 ]}
• تُعدّ التذبذبات اليومية في التعبير الجيني ومستويات الهرمونات ودرجة حرارة الجسم لدى الحيوانات جزءًا من الإيقاع اليومي ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} على الرغم من أن هذا يتعارض مع أدلة أحدث. ^{[ 5 ]}
• تتبع هجرة الخلايا السرطانية في البيئات الدقيقة الضيقة تذبذبات دورية محدودة. ^{[ 6 ]}
• تُظهر بعض الدوائر الكهربائية غير الخطية تذبذبات دورة الحد، ^{[ 7 ]} والتي ألهمت نموذج فان دير بول الأصلي .
• التحكم في التنفس وتكوين الدم، كما يظهر في معادلات ماكي-غلاس . ^{[ 8 ]}

• جاذب
• مجموعة زائدية
• النقطة الدورية
• التذبذب الذاتي
• مشعب مستقر
• اختزال الطور

• ستيفن هـ. ستروغاتز (2014). الديناميكا غير الخطية والفوضى: مع تطبيقات في الفيزياء، وعلم الأحياء، والكيمياء، والهندسة . أفالون. ISBN 9780813349114.
• م. فيدياساجار (2002). تحليل الأنظمة غير الخطية (  الطبعة الثانية). سيام. رقم ISBN 9780898715262.
• فيليب هارتمان، "المعادلة التفاضلية العادية"، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، 2002.
• ويتولد هوريفيتش ، "محاضرات في المعادلات التفاضلية العادية"، دوفر، 2002.
• سولومون ليفشيتز ، "المعادلات التفاضلية: النظرية الهندسية"، دوفر، 2005.
• لورانس بيركو، "المعادلات التفاضلية والأنظمة الديناميكية"، سبرينغر-فيرلاغ، 2006.
• آرثر ماتوك ، الدورات الحدية: معايير الوجود وعدم الوجود، مواد تعليمية مفتوحة من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

• "الدورة الحدية" . planetmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-07-06 .