طريقة التخطيط الخطي الموضعي

في التحليل العددي ، تُعدّ طريقة التخطيط الخطي الموضعي (LL) استراتيجية عامة لتصميم مُكاملات عددية للمعادلات التفاضلية، وذلك بالاعتماد على تخطيط خطي موضعي (قطعي) للمعادلة المعطاة على فترات زمنية متتالية. تُعرَّف المُكاملات العددية بشكل تكراري كحل للمعادلة الخطية القطعية الناتجة في نهاية كل فترة زمنية متتالية. طُوِّرت طريقة التخطيط الخطي الموضعي لمجموعة متنوعة من المعادلات، مثل المعادلات التفاضلية العادية ، والمتأخرة ، والعشوائية، والاحتمالية . تُعدّ مُكاملات التخطيط الخطي الموضعي عنصرًا أساسيًا في تطبيق أساليب الاستدلال لتقدير المعاملات المجهولة والمتغيرات غير المرصودة للمعادلات التفاضلية، وذلك بالنظر إلى السلاسل الزمنية للملاحظات (التي قد تكون مشوشة). تُعدّ مخططات التخطيط الخطي الموضعي مثالية للتعامل مع النماذج المعقدة في مجالات متنوعة، مثل علم الأعصاب ، والتمويل ، وإدارة الغابات ، وهندسة التحكم ، والإحصاء الرياضي ، وغيرها.

خلفية

أصبحت المعادلات التفاضلية أداة رياضية مهمة لوصف التطور الزمني للعديد من الظواهر، مثل دوران الكواكب حول الشمس، وديناميكية أسعار الأصول في السوق، ونشاط الخلايا العصبية، وانتشار الأوبئة، وغيرها. ومع ذلك، ولأن الحلول الدقيقة لهذه المعادلات غير معروفة عادةً، فإن التقريبات العددية لها، التي يتم الحصول عليها باستخدام التكاملات العددية، ضرورية. حاليًا، تتطلب العديد من التطبيقات في الهندسة والعلوم التطبيقية، التي تركز على الدراسات الديناميكية، تطوير تكاملات عددية فعالة تحافظ، قدر الإمكان، على ديناميكية هذه المعادلات. انطلاقًا من هذا الدافع الرئيسي، تم تطوير تكاملات التخطيط الخطي المحلي.

طريقة التخطيط الخطي الموضعي عالي الرتبة

طريقة التخطيط الخطي الموضعي عالي الرتبة (HOLL) هي تعميم لطريقة التخطيط الخطي الموضعي، وتهدف إلى الحصول على دوال تكامل عالية الرتبة للمعادلات التفاضلية، مع الحفاظ على استقرار وديناميكية المعادلات الخطية. يتم الحصول على دوال التكامل بتقسيم حل المعادلة الأصلية x إلى جزأين على فترات زمنية متتالية: حل المعادلة الخطية الموضعية z بالإضافة إلى تقريب عالي الرتبة للباقي. $\mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {z}$ .

مخطط التخطيط الخطي الموضعي

مخطط التخطيط الخطي المحلي (LL) هو الخوارزمية التكرارية النهائية التي تسمح بالتنفيذ العددي للتجزئة المشتقة من طريقة LL أو HOLL لفئة من المعادلات التفاضلية.

طرق LL للمعادلات التفاضلية العادية

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية العادية ذات البعد d (ODE).

${\frac {d\mathbf {x} \left(t\right)}{dt}}=\mathbf {f} \left(t,\mathbf {x} \left(t\right)\right),\qquad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad \qquad (4.1)$

مع الشرط الابتدائي $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ ، أين $\mathbf {f}$ هي دالة قابلة للتفاضل.

يترك $\left(t\right)_{h}=\{t_{n}:n=0,..,N\}$ ليكن تجزئة زمنية للفترة الزمنية $[t_{0},T]$ مع أقصى حجم خطوة h بحيث $t_{n}<t_{n+1}$ و $h_{n}=t_{n+1}-t_{n}\leq h$ بعد إجراء عملية التخطيط الخطي الموضعي للمعادلة (4.1) عند الخطوة الزمنية $t_{n}$ ينتج عن صيغة تغيير الثوابت ما يلي:

$\mathbf {x} (t_{n}+h)=\mathbf {x} (t_{n})+\mathbf {\phi} (t_{n},\mathbf {x} (t_{n});h)+\mathbf {r} (t_{n},\mathbf {x} (t_{n});h),$

أين

$\mathbf {\phi} (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)=\int \limits _{0}^{h}e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(hs)}(\mathbf {f} (t_ {n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})s)\,ds\qquad$

النتائج المستخلصة من التقريب الخطي، و

$// {x} (t_ {n}+s))\,ds,\qquad \qquad \qquad (4.2)}$

هو الباقي من التقريب الخطي. هنا، $\mathbf {f} _{\mathbf {x} }$ و $\mathbf {f} _{t}$ لنرمز إلى المشتقات الجزئية للدالة f بالنسبة للمتغيرين x و t على التوالي، و $\mathbf {g} _{n}(s,\mathbf {u} )=\mathbf {f} (s,\mathbf {u} )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {u} -\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {z} _{n}.$

التقطيع الخطي المحلي

لتقسيم زمني $\left(t\right)_{h}$ ، التجزئة الخطية المحلية للمعادلة التفاضلية العادية (4.1) عند كل نقطة $t_{n+1}\in \left(t\right)_{h}$ يتم تعريفها بواسطة التعبير التكراري ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0}.\qquad \qquad \qquad \qquad (4.3)$

يتقارب التقطيع الخطي المحلي (4.3) من الرتبة الثانية مع حل المعادلات التفاضلية غير الخطية، ولكنه يتطابق مع حل المعادلات التفاضلية الخطية. يُعرف التكرار (4.3) أيضًا باسم تقطيع أويلر الأسي. ^{[ 3 ]}

التقطيعات الخطية المحلية عالية الرتبة

لتقسيم زمني $(t)_{h},$ تجزئة خطية محلية عالية الرتبة (HOLL) للمعادلة التفاضلية العادية (4.1) عند كل نقطة $t_{n+1}\in (t)_{h}$ يتم تعريفها بواسطة التعبير التكراري ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},\qquad \qquad \qquad (4.4)$

أين ${\tilde {r}}$ هو أمر $\alpha$ تقريب (> 2 ) للباقي r $(i.e.,\left\vert \mathbf {r} (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)-{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h)\right\vert \propto h^{\alpha +1}).$ تتقارب عملية التقطيع HOLL (4.4) مع الرتبة $\alpha$ بالنسبة لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية، ولكنه يتطابق مع حل المعادلات التفاضلية الخطية.

يمكن اشتقاق تجزئات HOLL بطريقتين: ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} 1) (القائمة على التربيع) بتقريب التمثيل التكاملي (4.2) لـ r ؛ و2) (القائمة على التكامل) باستخدام مُكامل عددي للتمثيل التفاضلي لـ r المُعرَّف بواسطة

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};t\mathbf {,\mathbf {r} } (t)\mathbf {)} ,\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {r} (t_{n})=\mathbf {0,} \qquad \qquad \qquad (4.5)$

للجميع $t\in \lbrack t_{k},t_{k+1}]$ ، أين

$\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};s\mathbf {,\xi } )=\mathbf {f} (s,\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } \left(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n}\right)+\mathbf {\xi } )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})-\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n}).$

على سبيل المثال، تكون عمليات التقطيع HOLL كما يلي:

التجزئة الخطية المحلية لـ Runge Kutta ^{[ 6 ]}^{[ 4 ]}

$\qquad \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+h_{n}\sum _{j=1}^{s}b_{j}\mathbf {k} _{j},\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {k} _{i}=\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};{\text{ }}t_{n}+c_{i}h_{n}\mathbf {,} \mathbf {} h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}\mathbf {k} _{j}),$

والتي يتم الحصول عليها عن طريق حل (4.5) باستخدام مخطط رونج-كوتا (RK) الصريح ذي المراحل s بمعاملات $\mathbf {c} =\left[c_{i}\right],\mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]\quad and\quad \mathbf {b} =\left[b_{j}\right]$ .

التقطيع الخطي المحلي لتايلور ^{[ 5 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\int _{0}^{h_{n}}e^{(h_{n}-s)\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {z} _{n}\right)}\sum _{j=2}^{p}{\frac {\mathbf {c} _{n,j}}{j!}}s^{j}\,ds,{\text{ with }}\mathbf {c} _{n,j}=\left({\frac {d^{j+1}\mathbf {x} (t)}{dt^{j+1}}}-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n}){\frac {d^{j}\mathbf {x} (t)}{dt^{j}}}\right)\mid _{t=\mathbf {z} _{n}},$

والذي ينتج عن تقريب $\mathbf {g} _{n}$ في (4.2) من خلال توسيع تايلور المقتطع من الرتبة p .

التقطيع متعدد الخطوات من نوع الانتشار الأسي

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=0}^{p-1}\gamma _{j}\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad with\quad \gamma _{j}=(-1)^{j}\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})}\left({\begin{array}{c}-\theta \\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

والذي ينتج عن استيفاء $\mathbf {g} _{n}$ في (4.2) بواسطة متعددة حدود من الدرجة p على $t_{n},\ldots ,t_{n-p+1}$ ، أين $\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{m},\mathbf {z} _{m})$ يشير إلى الفرق الخلفي رقم j من $\mathbf {g} _{n}(t_{m},\mathbf {z} _{m})$ .

التقطيع باستخدام طريقة رونج كوتا للانتشار الأسي ^{[ 7 ]}

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=0}^{p-1}\gamma _{j,p}\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad {\text{ with }}\quad \gamma _{j,p}=\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})}\left({\begin{array}{c}\theta p\\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

والذي ينتج عن استيفاء $\mathbf {g} _{n}$ في (4.2) بواسطة متعددة حدود من الدرجة p على $t_{n},\ldots ,t_{n}+(p-1)h/p$ ،

التقطيع الخطي الأسي لآدامز ^{[ 8 ]}

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=1}^{p-1}\sum _{l=1}^{j}{\frac {\gamma _{j+1}}{l}}\nabla ^{l}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad {\text{ with }}\quad \gamma _{j+1}=(-1)^{j+1}\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {z} _{n}\right)}\theta \left({\begin{array}{c}-\theta \\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

والذي ينتج عن استيفاء $\mathbf {g} _{n}$ في (4.2) بواسطة متعددة حدود هيرميت من الدرجة p على $t_{n},\ldots ,t_{n-p+1}$ .

مخططات التخطيط الخطي المحلي

جميع التطبيقات العددية $\mathbf {y} _{n}$ من تجزئة LL (أو من تجزئة HOLL) $\mathbf {z} _{n}$ يتضمن ذلك تقريبات ${\widetilde {\phi }}_{j}$ إلى التكاملات $\phi _{j}$ من الشكل

$\phi _{j}(\mathbf {A} ,h)=\int \limits _{0}^{h}e^{(h-s)\mathbf {A} }s^{j-1}\,ds,\qquad j=1,2\ldots ,$

حيث A مصفوفة من الرتبة d × d . كل تطبيق عددي $\mathbf {y} _{n}$ من LL (أو من HOLL) $\mathbf {z} _{n}$ يُطلق على أي رتبة اسم مخطط التخطيط الخطي المحلي بشكل عام . ^{[ 1 ]}^{[ 9 ]}

حساب التكاملات التي تتضمن الدوال الأسية للمصفوفات

من بين عدد من الخوارزميات لحساب التكاملات $\phi _{j}$ تُفضَّل الطرق القائمة على تقريبات فضاءات باديه وكريلوف الجزئية النسبية للمصفوفة الأسية. ويلعب التعبير ^{[ 10 ]}^{[ 5 ]}^{[ 11 ] دورًا محوريًا في ذلك.}

$\sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}=\mathbf {L} e^{h\mathbf {H} }\mathbf {r} ,$

أين $\mathbf {a} _{i}$ هي متجهات ذات أبعاد d ،

$\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {v} _{l}&\mathbf {v} _{l-1}&\cdots &\mathbf {v} _{1}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &1&\cdots &0\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&\cdots &0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+l)\times (d+l)},$

$\mathbf {L} =[\mathbf {I} \quad \mathbf {0} _{d\times l}]$ ، $\mathbf {r} =[\mathbf {0} _{1\times (d+l-1)}\quad 1]^{\intercal },$ $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {a} _{i}(i-1)!$ ، كون $\mathbf {I}$ مصفوفة الوحدة ذات البعد d .

لو $\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k}\mathbf {H} h)$ يشير إلى تقريب باديه ( p ; q ) لـ $e^{2^{-k}\mathbf {H} h}$ و k هو أصغر عدد طبيعي بحيث $|2^{-k}\mathbf {H} h|\leq {\frac {1}{2}},then$ ^{[ 12 ]}^{[ 9 ]}

$\left\vert \sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}-\mathbf {L} \left(\mathbf {\mathbf {P} } _{p,q}(2^{-k}\mathbf {H} h)\right)^{2^{k}}\mathbf {r} \right\vert \varpropto h^{p+q+1}.$

لو $\mathbf {\mathbf {k} } _{m,k}^{p,q}(h,\mathbf {H} ,\mathbf {r} )$ يرمز إلى تقريب كريلوف-باديه (m; p; q; k) لـ $e^{h\mathbf {H} }\mathbf {r}$ ثم ^{[ 12 ]}

$\left\vert \sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}-\mathbf {L\mathbf {k} } _{m,k}^{p,q}(h,\mathbf {H} ,\mathbf {r} )\right\vert \varpropto h^{\min({m,p+q+1})},$

أين $m\leq d$ يمثل بُعد فضاء كريلوف الفرعي.

مخططات LL من الدرجة الثانية

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,}$ ^{[ 13 ]}^{[ 9 ]} $\qquad \qquad (4.6)$

حيث المصفوفات $\mathbf {M} _{n}$ يتم تعريف L و r على النحو التالي

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ و $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$ مع $p+q>1$ بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العادية ^{[ 3 ]}

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )\mathbf {,} \qquad {\text{ with }}\qquad m_{n}>2.$

مخططات إل إل تايلور رقم 3

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} _{1}(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {T} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} _{1}\mathbf {,}$ ^{[ 5 ]} $\qquad \qquad (4.7)$

حيث بالنسبة للمعادلات التفاضلية العادية المستقلة ، تكون المصفوفات $\mathbf {T} _{n},\mathbf {L} _{1}$ و $\mathbf {r} _{1}$ تُعرَّف بأنها

$\mathbf {T} _{n}=\left[{\begin{array}{cccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {y} _{n})&(\mathbf {I} \otimes \mathbf {f} ^{\intercal }(\mathbf {y} _{n}))\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(\mathbf {y} _{n})\mathbf {f} (\mathbf {y} _{n})&\mathbf {0} &\mathbf {f} (\mathbf {y} _{n})\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(d+3)\times (d+3)},$

$\mathbf {L} _{1}=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 3}\end{array}}\right]\quad and\quad \mathbf {r} _{1}^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+2)}&1\end{array}}\right]$ . هنا، $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$ يرمز إلى المشتقة الثانية للدالة f بالنسبة إلى x ، و p + q > 2. بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العادية

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {T} _{n},\mathbf {r} )\mathbf {,} \qquad {\text{ with }}\qquad m_{n}>3.$

مخططات من الدرجة الرابعة LL-RK

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{4}+{\frac {h_{n}}{6}}(2\mathbf {k} _{2}+2\mathbf {k} _{3}+\mathbf {k} _{4}),\quad$ ^{[ 4 ]}^{[ 6 ]} $\qquad \qquad (4.8)$

أين

$\mathbf {u} _{j}=\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-\kappa _{j}}\mathbf {M} _{n}c_{j}h_{n}))^{2^{\kappa _{j}}}\mathbf {r}$

و

$\mathbf {k} _{j}=\mathbf {f} \left(t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{j}+c_{j}h_{n}\mathbf {k} _{j-1}\right)-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)\mathbf {u} _{j}\ -\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)c_{j}h_{n},$

مع $\mathbf {k} _{1}\equiv \mathbf {0} ,c=\left[{\begin{array}{cccc}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\end{array}}\right],$ و p + q > 3. بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العادية، يكون المتجه $\mathbf {u} _{j}$ يتم استبدال ما يلي في المخطط أعلاه بـ $\mathbf {u} _{j}=\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{j},k_{j}}^{p,q}(c_{j}h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ مع $m_{j}>4.$

مخطط رونج-كوتا الخطي الموضعي لدورماند وبرينس

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{s}+h_{n}\sum _{j=1}^{s}b_{j}\mathbf {k} _{j}\qquad {\text{ and }}\qquad {\widehat {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{s}+h_{n}\sum _{j=1}^{s}{\widehat {b}}_{j}\mathbf {k} _{j},\quad$ ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} $\qquad \qquad (4.9)$

حيث s = 7 هو عدد المراحل،

$\mathbf {k} _{j}=\mathbf {f(} t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{j}+h_{n}\sum _{i=1}^{s-1}a_{j,i}\mathbf {k} _{i})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)\mathbf {u} _{j}\ -\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)c_{j}h_{n},$

مع $\mathbf {k} _{1}\equiv \mathbf {0}$ ، و $a_{j,i},b_{j},{\widehat {b}}_{j}\quad and\quad c_{j}$ هي معاملات رونج-كوتا لدورماند وبرينس، و p + q > 4. المتجه $\mathbf {u} _{j}$ يتم حساب المخطط أعلاه بواسطة تقريب باديه أو كريلور-باديه للأنظمة الصغيرة أو الكبيرة من المعادلات التفاضلية العادية، على التوالي.

الاستقرار والديناميكيات

بحكم تصميمها، ترث طرق التقطيع LL وHOLL استقرار وديناميكية المعادلات التفاضلية الخطية العادية، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة لطرق LL بشكل عام. $p\leq q\leq p+2$ تكون مخططات LL (4.6)-(4.9) مستقرة من النوع A. ^{[ 4 ]} وعندما تكون q = p + 1 أو q = p + 2، تكون مخططات LL (4.6)-(4.9) مستقرة من النوع L أيضًا . ^{[ 4 ]} بالنسبة للمعادلات التفاضلية الخطية العادية، تتقارب مخططات LL (4.6)-(4.9) من الرتبة p + q . ^{[ 4 ]}^{[ 9 ]} بالإضافة إلى ذلك، عندما تكون p = q = 6 و $m_{n}$ عند استخدام قيمة d ، تُتيح جميع مخططات LL المذكورة أعلاه "الحساب الدقيق" (حتى دقة الحساب ذي الفاصلة العائمة ) للمعادلات التفاضلية الخطية العادية على أجهزة الحاسوب الشخصية الحالية. ^{[ 4 ]}^{[ 9 ]} ويشمل ذلك المعادلات الخطية الصلبة والمتذبذبة بشدة. علاوة على ذلك، فإن مخططات LL (4.6)-(4.9) منتظمة للمعادلات التفاضلية الخطية العادية، وترث البنية التبسيطية للمذبذبات التوافقية الهاميلتونية . ^[⁵^]^[¹³^] كما تحافظ هذه المخططات على التخطيط الخطي، وتُظهر تمثيلاً أفضل للمشعبات المستقرة وغير المستقرة حول نقاط التوازن الزائدية والمدارات الدورية مقارنةً بالمخططات العددية الأخرى ذات حجم الخطوة نفسه. ^[⁵^]^[¹³^] على سبيل المثال، يُظهر الشكل 1 مخطط الطور للمعادلات التفاضلية العادية.

{\begin{aligned}&{\frac {dx_{1}}{dt}}=-2x_{1}+x_{2}+1-\mu f(x_{1},\lambda )\qquad \qquad (4.10)\\[6pt]&{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}-2x_{2}+1-\mu f(x_{2},\lambda )\qquad \qquad \quad (4.11)\end{aligned}}

مع $f(u,\lambda )=u(1+u+\lambda u^{2})^{-1}$ ، $\mu =15$ و $\lambda =57$ ، وتقريبها بواسطة مخططات مختلفة. يحتوي هذا النظام على نقطتين ثابتتين مستقرتين ونقطة ثابتة غير مستقرة واحدة في المنطقة $0\leq x_{1},x_{2}\leq 1$ .

طرق LL للمعادلات التفاضلية المتأخرة

ضع في اعتبارك معادلة التفاضل التأخيرية ذات الأبعاد d (DDE).

${\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {x} _{t}(-\tau _{1}),\ldots ,\mathbf {x} _{t}(-\tau _{m})),\qquad t\in [t_{0},T],\qquad \qquad (5.1)$

مع m تأخيرات ثابتة $\tau _{i}>0$ والحالة الابتدائية $\mathbf {x} _{t_{0}}(s)=\mathbf {\varphi } (s)$ للجميع $s\in [-\tau ,0],$ حيث f دالة قابلة للتفاضل، $\mathbf {x} _{t}:[-\tau ,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ هل دالة القطعة معرفة على النحو التالي؟

$\mathbf {x} _{t}(s):=\mathbf {x} (t+s),{\text{ }}s\in [-\tau ,0],$

للجميع $t\in [t_{0},T],\mathbf {\varphi$ الدالة المعطاة هي $: `[-\tau ,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}}` ، و$ $\tau =\max \left\{\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}\right\}.$

التقطيع الخطي المحلي

لتقسيم زمني $(t)_{h}$ ، التجزئة الخطية المحلية للمعادلة التفاضلية التأخيرية (5.1) عند كل نقطة $t_{n+1}\in (t)_{h}$ يتم تعريفها بواسطة التعبير التكراري ^{[ 11 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\Phi (t_{n},\mathbf {z} _{n},h_{n};{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1},\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}),\qquad \qquad (5.2)$

أين

$\Phi (t_{n},\mathbf {z} _{n},h_{n};{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1},\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m})=\int \limits _{0}^{h_{n}}e^{\mathbf {A} _{n}(h_{n}-u)}\left[\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {B} _{n}^{i}({\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(u-\tau _{i})-{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(-\tau _{i}))+\mathbf {d} _{n}\right]\,du+\int \limits _{0}^{h_{n}}\int \limits _{0}^{u}e^{\mathbf {A} _{n}(h_{n}-u)}\mathbf {c} _{n}\,dr\,du$

${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}:\left[-\tau _{i},0\right]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ هل دالة القطعة معرفة على النحو التالي؟

${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(s):={\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}(t_{n}+s),{\text{ }}s\in [-\tau _{i},0],$

و ${\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}:\left[t_{n}-\tau _{i},t_{n}\right]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ يُعد تقريبًا مناسبًا لـ $\mathbf {x} (t)$ للجميع $t\in \lbrack t_{n}-\tau _{i},t_{n}]$ بحيث ${\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}(t_{n})=\mathbf {z} _{n}.$ هنا،

$\mathbf {A} _{n}=\mathbf {f} _{x}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d})),{\text{ }}\mathbf {B} _{n}^{i}=\mathbf {f} _{x_{t}(-\tau _{i})}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d}))$

هي مصفوفات ثابتة و

$\mathbf {c} _{n}=\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d})){\text{ and }}\mathbf {d} _{n}=\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d}))$

هي متجهات ثابتة. $\mathbf {f} _{t},\mathbf {f} _{x}\quad and\quad \mathbf {f} _{x_{t}(-\tau _{i})}$ لنرمز، على التوالي، إلى المشتقات الجزئية للدالة f بالنسبة للمتغيرين t و x ، و $\mathbf {x} _{t}(-\tau _{i})$ يتقارب التقطيع الخطي المحلي (5.2) إلى حل (5.1) من الرتبة $\alpha =\min\{2,r\},$ لو ${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}$ تقريبي $\mathbf {z} _{t_{n}}^{i}$ مع الطلب $r\quad (i.e.,\left\vert \mathbf {z} _{t_{n}}^{i}\mathbf {(} u-\tau _{i}\mathbf {)} -{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}\mathbf {(} u-\tau _{i}\mathbf {)} \right\vert \propto h_{n}^{r}$ للجميع $u\in \lbrack 0,h_{n}])$ .

مخططات التخطيط الخطي المحلي

بحسب التقريبات ${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}$ وعلى الخوارزمية لحساب $\mathbf {\phi }$ يمكن تعريف مخططات مختلفة للتقريب الخطي المحلي. كل تطبيق عددي $\mathbf {y} _{n}$ من التقطيع الخطي المحلي $\mathbf {z} _{n}$ يُطلق عليه بشكل عام اسم مخطط التخطيط الخطي المحلي .

مخططات LL متعددة الحدود من الدرجة الثانية

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,} \quad$ ^{[ 11 ]} $\qquad (5.3)$

حيث المصفوفات $\mathbf {M} _{n},\mathbf {L}$ و $\mathbf {r}$ تُعرَّف بأنها

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{n}&\mathbf {c} _{n}+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {B} _{n}^{i}\mathbf {\alpha } _{n}^{i}&\mathbf {d} _{n}\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ و $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right],h_{n}\leq \tau$ ، و $p+q>1$ هنا، المصفوفات $\mathbf {A} _{n}$ ، $\mathbf {B} _{n}^{i}$ ، $\mathbf {c} _{n}$ و $\mathbf {d} _{n}$ يتم تعريفها كما في (5.2)، ولكن باستبدال $\mathbf {z}$ بواسطة $\mathbf {y}$ و $\mathbf {\alpha } _{n}^{i}=(\mathbf {y} (t_{n+1}-\tau _{i})-\mathbf {y} (t_{n}-\tau _{i}))/h_{n},$ أين

$\mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {y} _{n_{t}}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n_{t}}(t-t_{n_{t}})))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} ,$

مع $n_{t}=\max\{n=0,1,2,...,:t_{n}\leq t{\text{ and }}t_{n}\in \left(t\right)_{h}\}$ ، هو التقريب الخطي المحلي لحل المعادلة (5.1) المعرّف من خلال مخطط LL (5.3) لجميع $t\in \lbrack t_{0},t_{n}]$ وبواسطة $\mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {\varphi } \left(t\right)$ ل $t\in \left[t_{0}-\tau ,t_{0}\right]$ بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية التأخيرية

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )\quad and\quad \mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {y} _{n_{t}}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n_{t}},k_{n_{t}}}^{p,q}(t-t_{n_{t}},\mathbf {M} _{n_{t}},\mathbf {r} ),$

مع $p+q>1$ و $m_{n}>2$ يوضح الشكل 2 استقرار مخطط LL (5.3) واستقرار مخطط صريح من رتبة مماثلة في تكامل نظام صلب من المعادلات التفاضلية المتأخرة.

طرق LL للمعادلات التفاضلية العشوائية

لنفترض المعادلة التفاضلية العشوائية ذات الأبعاد d (RDE).

{\frac {d\mathbf {x} \left(t\right)}{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {\xi } (t)),\quad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad (6.1)

مع الشرط الابتدائي $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0},$ أين $\mathbf {\xi }$ هي عملية عشوائية متصلة محدودة قابلة للفصل ذات بُعد k ، و f دالة قابلة للتفاضل. لنفترض أن تحققًا (مسارًا) لـ $\mathbf {\xi }$ معطى.

التقطيع الخطي المحلي

لتقسيم زمني $\left(t\right)_{h}$ ، التجزئة الخطية المحلية لمعادلة RDE (6.1) عند كل نقطة $t_{n+1}\in \left(t\right)_{h}$ يتم تعريفها بواسطة التعبير التكراري ^{[ 16 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

أين

$\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})=\int \limits _{0}^{h_{n}}e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))(h_{n}-u)}(\mathbf {f(z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))+\mathbf {f} _{\mathbf {\xi } }(\mathbf {z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))({\widetilde {\mathbf {\xi } }}(t_{n}+u)-{\widetilde {\mathbf {\xi } }}(t_{n})))\,du$

و ${\widetilde {\mathbf {\xi } }}$ هو تقريب للعملية $\mathbf {\xi }$ للجميع $t\in \left[t_{0},T\right].$ هنا، $\mathbf {f} _{x}$ و $\mathbf {f} _{\xi }$ تشير إلى المشتقات الجزئية لـ $\mathbf {f}$ بالنسبة إلى $\mathbf {x}$ و $\xi$ ، على التوالى.

مخططات التخطيط الخطي المحلي

**الشكل 3:** مخطط طور مسارات مخططات أويلر و LL في تكامل RDE غير الخطي (6.2)–(6.3) مع حجم الخطوة h = 1/32، و p = q = 6.

بحسب التقريبات ${\widetilde {\mathbf {\xi } }}$ إلى العملية $\mathbf {\xi }$ وخوارزمية الحساب $\mathbf {\phi }$ يمكن تعريف مخططات مختلفة للتقريب الخطي المحلي. كل تطبيق عددي $\mathbf {y} _{n}$ من التقطيع الخطي المحلي $\mathbf {z} _{n}$ يُطلق عليه عمومًا اسم مخطط التخطيط الخطي المحلي.

مخططات LL

\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,} \quad

^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

حيث المصفوفات $\mathbf {M} _{n},\quad \mathbf {L} \quad and\quad \mathbf {r}$ تُعرَّف بأنها

$\mathbf {M} _{n}=\left[{\begin{array}{ccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})\right)&\mathbf {f} _{\mathbf {\xi } }(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})(\mathbf {\xi } (t_{n+1})-\mathbf {\xi } (t_{n}))/h_{n}&\mathbf {f} \left(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})\right)\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right]$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ ، $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$ و p+q>1 . بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العشوائية، ^{[ 17 ]}

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} ),\quad p+q>1\quad and\quad m_{n}>2.$

معدل تقارب كلا المخططين هو $min\{2,2\gamma \}$ أين $\gamma$ أس شرط حامل $\mathbf {\xi }$ .

يوضح الشكل 3 مخطط الطور لـ RDE

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{2}+\left(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)x_{1}\sin(w^{H}(t))^{2},\quad \qquad x_{1}(0)=0.8\qquad (6.2)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}+(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})x_{2}\sin(w^{H}(t))^{2},\qquad \qquad x_{2}(0)=0.1,\qquad (6.3)$

وتقريبها باستخدام طريقتين عدديتين، حيث $w^{H}$ يشير إلى عملية براونية كسرية ذات أس هيرست H=0.45 .

أساليب LL القوية للمعادلات التفاضلية العشوائية

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية العشوائية ذات الأبعاد d (SDE).

$d\mathbf {x} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t))dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)d\mathbf {w} ^{i}(t),\quad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad (7.1)$

مع الشرط الابتدائي $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ ، حيث معامل الانجراف $\mathbf {f}$ ومعامل الانتشار $\mathbf {g} _{i}$ هي دوال قابلة للتفاضل، و $\mathbf {w=(\mathbf {w} } ^{1},\ldots ,\mathbf {w} ^{m}\mathbf {)}$ هي عملية وينر قياسية ذات أبعاد m .

التقطيع الخطي المحلي

لتقسيم زمني $\left(t\right)_{h}$ ، الترتيب- $\mathbb {\gamma }$ (=1,1.5) يتم تعريف التقطيع الخطي المحلي القوي لحل المعادلة التفاضلية العشوائية (7.1) بواسطة العلاقة المتكررة ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\mathbf {\xi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\quad with\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

أين

$\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})(\delta -u)}(\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {a} ^{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})u)du$

و

$\mathbf {\xi } \left(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta \right)=\sum \limits _{i=1}^{m}\int \nolimits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(t_{n}+\delta -u)}\mathbf {g} _{i}(u)\,d\mathbf {w} ^{i}(u).$

هنا،

$\mathbf {a} ^{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})=\left\{{\begin{array}{cl}\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})&{\text{for }}\qquad \mathbb {\gamma } =1\\\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }(t_{n}))\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {g} _{j}(t_{n})&{\text{for }}\quad \mathbb {\gamma } =1.5,\end{array}}\right.$

$\mathbf {f} _{\mathbf {x} },\mathbf {f} _{t}$ تشير إلى المشتقات الجزئية لـ $\mathbf {f}$ فيما يتعلق بالمتغيرات $\mathbf {x}$ و t على التوالي، و $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$ مصفوفة هيسيان لـ $\mathbf {f}$ بالنسبة إلى $\mathbf {x}$ . التقطيع الخطي المحلي القوي $\mathbf {z} _{n+1}$ يتقارب مع الترتيب $\mathbb {\gamma }$ (= 1، 1.5) إلى حل (7.1).

التقطيعات الخطية المحلية عالية الرتبة

بعد التخطيط الخطي الموضعي لحد الانجراف في (7.1) عند $(t_{n},\mathbf {z} _{n})$ ، معادلة الباقي $\mathbf {r}$ يُعطى بواسطة

$d\mathbf {r} (t)=\mathbf {q} _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};t\mathbf {,\mathbf {r} } (t))\,dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)\,d\mathbf {w} ^{i}(t)\mathbf {,} \qquad \mathbf {r} (t_{n})=\mathbf {0}$

للجميع $t\in \lbrack t_{n},t_{n+1}]$ ، أين

$\mathbf {q} _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s\mathbf {,\xi } )=\mathbf {f} (s,\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})+\mathbf {\xi } )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})-\mathbf {a} ^{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n}).$

تجزئة خطية محلية عالية الرتبة للمعادلة التفاضلية العشوائية ( 7.1) عند كل نقطة $t_{n+1}\in (t)_{h}$ ثم يتم تعريفها بواسطة التعبير التكراري ^{[ 20 ]}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

أين ${\widetilde {\mathbf {r} }}$ يمثل تقريبًا قويًا للباقي $\mathbf {r}$ من النظام $\alpha$ أعلى من 1.5 . التجزئة القوية لـ HOLL $\mathbf {z} _{n+1}$ يتقارب مع الترتيب $\alpha$ لحل المعادلة (7.1).

مخططات التخطيط الخطي المحلي

وذلك بحسب طريقة الحساب $\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }$ ، $\mathbf {\xi }$ و ${\widetilde {\mathbf {r} }}$ يمكن الحصول على مخططات عددية مختلفة. كل تطبيق عددي $\mathbf {y} _{n}$ من التقطيع الخطي المحلي القوي $\mathbf {z} _{n}$ يُطلق على أي رتبة بشكل عام اسم مخطط التخطيط الخطي المحلي القوي (SLL) .

مخططات SLL من الدرجة الأولى

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r+} \sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {w} _{n}^{i},\quad$ ^{[ 21 ]} $\qquad \qquad (7.2)$

حيث المصفوفات $\mathbf {M} _{n}$ ، $\mathbf {L}$ و $\mathbf {r}$ يتم تعريفها كما في (4.6)، $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ متغير عشوائي غاوسي مستقل ومتطابق التوزيع بمتوسط صفر وتباين $h_{n}$ و p + q > 1. بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العشوائية، ^[²¹^] في المخطط أعلاه $(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ يتم استبدالها بـ $\mathbf {\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ .

مخططات SLL بموجب الأمر 1.5

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} +\sum \limits _{i=1}^{m}\left(\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},{\widetilde {\mathbf {y} }}_{n})\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {z} _{n}^{i}+{\frac {d\mathbf {g} _{i}(t_{n})}{dt}}(\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}h_{n}-\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})\right),\qquad \qquad (7.3)$

حيث المصفوفات $\mathbf {M} _{n}$ ، $\mathbf {L}$ و $\mathbf {r}$ تُعرَّف بأنها

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }(t_{n})\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j}(t_{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right],\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$ ، $\Delta \mathbf {z} _{n}^{i}$ متغير عشوائي غاوسي مستقل ومتطابق التوزيع بمتوسط صفر وتباين $E\left((\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})^{2}\right)={\frac {1}{3}}h_{n}^{3}$ والتباين المشترك $E(\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})={\frac {1}{2}}h_{n}^{2}$ و p+q>1 ^{[ 12 ]} . بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العشوائية، ^{[ 12 ]} في المخطط أعلاه $(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ يتم استبدالها بـ $\mathbf {\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ .

مخططات SLL-Taylor رقم 2

$\mathbf {y} _{t_{n+1}}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} +\sum \limits _{j=1}^{m}\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right)\Delta \mathbf {w} _{n}^{j}+\sum \limits _{j=1}^{m}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(j,0\right)}+\sum \limits _{j=1}^{m}{\frac {d\mathbf {g} _{_{j}}}{dt}}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(0,j\right)}$

$\qquad \qquad +\sum \limits _{j_{1},j_{2}=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j_{2}}^{\intercal }\left(t_{n}\right)\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j_{1}}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(j_{1},j_{2},0\right),}\qquad \qquad (7.4)$

أين $\mathbf {M} _{n}$ ، $\mathbf {L}$ ، $\mathbf {r}$ و $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ تُعرَّف كما في مخططات SLL من الرتبة الأولى، و ${\widetilde {J}}_{\alpha }$ هو تقريب من الرتبة الثانية للتكامل ستراتونوفيش المتعدد $J_{\alpha }$ [ ²⁰^]

مخططات SLL-RK من الدرجة الثانية

**الشكل 4، أعلى** : تطور النطاقات في مستوى الطور للمذبذب التوافقي (7.6)، مع ε=0 وω=σ=1. تم الحصول على صور دائرة الوحدة الأولية (باللون الأخضر) عند ثلاث لحظات زمنية T باستخدام الحل الدقيق (باللون الأسود)، وباستخدام مخططات *SLL1* (باللون الأزرق) و *Implicit Euler* (باللون الأحمر) مع *h=0.05* . **أسفل** : القيمة المتوقعة للطاقة (الخط المتصل) على طول حل المذبذب غير الخطي (7.6)، مع ε=1 وω=100، وتقريبها (الدوائر) المحسوب عبر مونت كارلو مع *10000* محاكاة لمخطط *SLL1* مع *h=1/2* و *p=q=6* .

بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية ذات الضوضاء وينر المفردة (m=1 ) ^{[ 20 ]}

$\mathbf {y} _{t_{n+1}}=\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})+{\frac {h_{n}}{2}}\left(\mathbf {k} _{1}+\mathbf {k} _{2}\right)+\mathbf {g} \left(t_{n}\right)\Delta w_{n}+{\frac {\left(\mathbf {g} \left(t_{n+1}\right)-\mathbf {g} \left(t_{n}\right)\right)}{h_{n}}}J_{\left(0,1\right)}\quad (7.5)$

$\quad \quad \quad$

أين

\mathbf {k} _{1}=\mathbf {f} (t_{n}+{\frac {h_{n}}{2}},\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})+\gamma _{+})-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n}){\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right){\frac {h_{n}}{2}},

\mathbf {k} _{2}=\mathbf {f} (t_{n}+{\frac {h_{n}}{2}},\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})+\gamma _{-})-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n}){\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right){\frac {h_{n}}{2}},

مع $\gamma _{\pm }={\frac {1}{h_{n}}}\mathbf {g} \left(t_{n}\right){\Bigl (}{\widetilde {J}}_{\left(1,0\right)}\pm {\sqrt {2{\widetilde {J}}_{\left(1,1,0\right)}h_{n}-{\widetilde {J}}_{\left(1,0\right)}^{2}}}{\Bigr )}$ .

هنا، ${\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})=\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية ذات الأبعاد المنخفضة، و ${\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})=\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ بالنسبة للأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العشوائية، حيث $\mathbf {M} _{n}$ ، $\mathbf {L}$ ، $\mathbf {r}$ ، $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ و ${\widetilde {J}}_{\alpha }$ تُعرَّف هذه المعادلات بأنها من النوع الثاني في مخططات تايلور ذات مستوى الانحدار الخطي، حيث p+q>1 و $m_{n}>2$ .

الاستقرار والديناميكيات

بحكم تصميمها، ترث عمليات التقطيع القوية LL وHOLL استقرار وديناميكية المعادلات التفاضلية العشوائية الخطية، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة لمخططات LL القوية بشكل عام. مخططات LL (7.2)-(7.5) مع $p\leq q\leq p+2$ تُعتبر هذه المخططات مستقرة من النوع A ، بما في ذلك المعادلات الخطية الصلبة والمتذبذبة بشدة. ^{[ 12 ]} علاوة على ذلك، بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية الخطية ذات الجاذبات العشوائية ، فإن هذه المخططات تمتلك أيضًا جاذبًا عشوائيًا يتقارب احتماليًا مع الجاذب الدقيق مع انخفاض حجم الخطوة، وتحافظ على خاصية الإرجودية لهذه المعادلات لأي حجم خطوة. ^{[ 20 ]}^{[ 12 ]} كما تُعيد هذه المخططات إنتاج الخصائص الديناميكية الأساسية للمذبذبات التوافقية البسيطة والمقترنة، مثل النمو الخطي للطاقة على طول المسارات، والسلوك التذبذبي حول الصفر، والبنية التبسيطية للمذبذبات الهاميلتونية، ومتوسط المسارات. ^{[ 20 ]}^{[ 22 ]} بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية غير الخطية ذات الضوضاء الصغيرة (أي، (7.1) مع $\mathbf {g} _{i}(t)\approx 0$ تُعدّ مسارات مخططات SLL هذه في الأساس مسارات غير عشوائية لمخطط LL (4.6) للمعادلات التفاضلية العادية، بالإضافة إلى اضطراب طفيف مرتبط بالضوضاء الصغيرة. في هذه الحالة، تصبح الخصائص الديناميكية لهذا المخطط الحتمي، مثل الحفاظ على التخطيط الخطي والحفاظ على ديناميكيات الحل الدقيق حول نقاط التوازن الزائدية والمدارات الدورية، ذات أهمية لمسارات مخطط SLL. ^{[ 20 ]} على سبيل المثال، يُظهر الشكل 4 تطور المجالات في مستوى الطور وطاقة المذبذب العشوائي.

${\begin{array}{ll}dx(t)=y(t)dt,&x_{1}(0)=0.01\\dy(t)=-(\omega ^{2}x(t)+\epsilon x^{4}(t))dt+\sigma dw_{t},&x_{1}(0)=0.1,\end{array}}\qquad \qquad (7.6)$

وتقريباتها باستخدام نظامين عدديين.

طرق LL الضعيفة للمعادلات التفاضلية العشوائية

لنفترض المعادلة التفاضلية العشوائية ذات الأبعاد d

$d\mathbf {x} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t))dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)d\mathbf {w} ^{i}(t),\qquad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad (8.1)$

مع الشرط الابتدائي $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ ، حيث معامل الانجراف $\mathbf {f}$ ومعامل الانتشار $\mathbf {g} _{i}$ هي دوال قابلة للتفاضل، و $\mathbf {w=(\mathbf {w} } ^{1},\ldots ,\mathbf {w} ^{m}\mathbf {)}$ هي عملية وينر قياسية ذات أبعاد m .

التقطيع الخطي المحلي

لتقسيم زمني $\left(t\right)_{h}$ ، الترتيب- $\mathbb {\beta }$ $(=1,2)$ يتم تعريف التقطيع الخطي المحلي الضعيف لحل المعادلة التفاضلية العشوائية (8.1) بواسطة العلاقة المتكررة ^{[ 23 ].}

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\mathbf {\eta } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\quad with\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

أين

$\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -u)}(\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {b} ^{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})u)du$

مع

$\mathbf {b} ^{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})={\begin{cases}\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})&{\text{for }}\mathbb {\beta } =1\\\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }\left(t_{n}\right)\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right)&{\text{for }}\mathbb {\beta } =2,\end{cases}}$

و $\mathbf {\eta } (t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )$ هي عملية عشوائية ذات متوسط صفري ومصفوفة تباين

$\mathbf {\Sigma } (t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int \limits _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -s)}\mathbf {G} (t_{n}+s)\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n}+s)e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }^{\intercal }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -s)}ds.$

هنا، $\mathbf {f} _{\mathbf {x} }$ ، $\mathbf {f} _{t}$ تشير إلى المشتقات الجزئية لـ $\mathbf {f}$ فيما يتعلق بالمتغيرات $\mathbf {x}$ و t على التوالي، $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$ مصفوفة هيسيان لـ $\mathbf {f}$ بالنسبة إلى $\mathbf {x}$ ، و $\mathbf {G} (t)=[\mathbf {g} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {g} _{m}(t)]$ . التقطيع الخطي المحلي الضعيف $\mathbf {z} _{n+1}$ يتقارب مع الترتيب $\mathbb {\beta }$ (=1,2) إلى حل (8.1).

مخططات التخطيط الخطي المحلي

وذلك بحسب طريقة الحساب $\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }$ و $\mathbf {\Sigma }$ يمكن الحصول على مخططات عددية مختلفة. كل تطبيق عددي $\mathbf {y} _{n}$ التقطيع الخطي المحلي الضعيف $\mathbf {z} _{n}$ يُطلق عليه بشكل عام اسم مخطط التخطيط الخطي المحلي الضعيف (WLL) .

مخطط WLL رقم 1

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {B} _{14}+(\mathbf {B} _{12}\mathbf {B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf {\xi } _{n}$ ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

حيث، بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية ذات معاملات الانتشار الذاتي، $\mathbf {B} _{11}$ ، $\mathbf {B} _{12}$ و $\mathbf {B} _{14}$ هي المصفوفات الفرعية المحددة بواسطة المصفوفة المقسمة $\mathbf {B} =\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}{\mathcal {M}}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$ ، مع

${\mathcal {M}}_{n}=\left[{\begin{array}{cccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {GG} ^{\intercal }&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\\mathbf {0} &-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }^{\intercal }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(2d+2)\times (2d+2)},$

و $\{\mathbf {\xi } _{n}\}$ هي سلسلة من متجهات عشوائية مستقلة موزعة بنقطتين ذات بُعد d ، تحقق ما يلي: $P(\xi _{n}^{k}=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ .

مخطط WLL رقم 2

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {B} _{16}+(\mathbf {B} _{14}\mathbf {B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf {\xi } _{n},$ ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

أين $\mathbf {B} _{11}$ ، $\mathbf {B} _{14}$ و $\mathbf {B} _{16}$ هي المصفوفات الفرعية المحددة بواسطة المصفوفة المقسمة $\mathbf {B} =\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}{\mathcal {M}}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$ مع

${\mathcal {M}}_{n}=\left[{\begin{array}{cccccc}\mathbf {J} &\mathbf {H} _{2}&\mathbf {H} _{1}&\mathbf {H} _{0}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\\\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(4d+2)\times (4d+2)},$

$\mathbf {J} =\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\qquad \mathbf {a} _{1}=\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\qquad \mathbf {a} _{2}=\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{m}(\mathbf {I} \otimes (\mathbf {g} ^{i}(t_{n}))^{\intercal })\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} ^{i}(t_{n})$

و

$\mathbf {H} _{0}=\mathbf {G} (t_{n})\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf {H} _{1}=\mathbf {G} (t_{n}){\frac {d\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})}{dt}}+{\frac {d\mathbf {G} (t_{n})}{dt}}\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf {H} _{2}={\frac {d\mathbf {G} (t_{n})}{dt}}{\frac {d\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})}{dt}}{\text{.}}$

الاستقرار والديناميكيات

بحكم تصميمها، ترث عمليات التقطيع الضعيفة لـ LL استقرار وديناميكية المعادلات التفاضلية العشوائية الخطية، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة لمخططات LL الضعيفة بشكل عام. مخططات WLL، مع $p\leq q\leq p+2,$ تحافظ هذه الطريقة على أول عزمين للمعادلات التفاضلية العشوائية الخطية، وترث استقرار أو عدم استقرار متوسط المربعات الذي قد تتسم به هذه الحلول. ^{[ 24 ]} يشمل ذلك، على سبيل المثال، معادلات المذبذبات التوافقية المقترنة التي تحركها قوة عشوائية، والأنظمة الكبيرة من المعادلات التفاضلية العشوائية الخطية الصلبة الناتجة عن طريقة الخطوط للمعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية الخطية. علاوة على ذلك، تحافظ مخططات WLL هذه على خاصية الإرجودية للمعادلات الخطية، وتكون إرجودية هندسيًا لبعض فئات المعادلات التفاضلية العشوائية غير الخطية. ^{[ 26 ]} بالنسبة للمعادلات التفاضلية العشوائية غير الخطية ذات الضوضاء المنخفضة (أي، (8.1) مع $\mathbf {g} _{i}(t)\approx 0$ تُعدّ حلول مخططات WLL هذه في الأساس مسارات غير عشوائية لمخطط LL (4.6) للمعادلات التفاضلية العادية، بالإضافة إلى اضطراب طفيف ناتج عن ضوضاء صغيرة. في هذه الحالة، تصبح الخصائص الديناميكية لهذا المخطط الحتمي، مثل الحفاظ على التخطيط الخطي والحفاظ على ديناميكيات الحل الدقيقة حول نقاط التوازن الزائدية والمدارات الدورية، ذات أهمية لمتوسط مخطط WLL. ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، يُظهر الشكل 5 المتوسط التقريبي للمعادلة التفاضلية العشوائية.

$dx=-t^{2}x{\text{ }}dt+{\frac {3}{2(t+1)}}e^{-t^{3}/3}{\text{ }}dw_{t},\qquad \qquad x(0)=1,\qquad \quad (8.2)$

تم حسابها بواسطة مخططات مختلفة.

ملاحظات تاريخية

فيما يلي جدول زمني لأهم التطورات في طريقة التخطيط الخطي المحلي (LL).

قدم Pope DA (1963) طريقة التقطيع LL للمعادلات التفاضلية العادية ومخطط LL القائم على توسيع تايلور. ^{[ 2 ]}
قدم أوزاكي تي (1985) طريقة LL لتكامل وتقدير المعادلات التفاضلية العشوائية. وقد استُخدم مصطلح "الخطية المحلية" لأول مرة. ^{[ 27 ]}
قام بيسكاي وآخرون (1996) بإعادة صياغة طريقة LL القوية للمعادلات التفاضلية العشوائية. ^{[ 19 ]}
قام شوجي آي وأوزاكي تي (1997) بإعادة صياغة طريقة LL الضعيفة للمعادلات التفاضلية العشوائية. ^{[ 23 ]}
قام هوشبروك وآخرون (1998) بتقديم مخطط LL للمعادلات التفاضلية العادية بناءً على تقريب فضاء كريلوف الفرعي. ^{[ 3 ]}
يقدم خيمينيز جي سي (2002) مخطط LL للمعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية العشوائية بناءً على تقريب باديه العقلاني. ^{[ 21 ]}
قدم كاربونيل إف إم وآخرون (2005) طريقة LL للمعادلات التفاضلية العشوائية. ^{[ 16 ]}
قدم خيمينيز وآخرون (2006) طريقة LL للمعادلات التفاضلية المتأخرة. ^{[ 11 ]}
قدم كل من دي لا كروز وآخرون (2006، 2007) وتوكمان (2006) فئتين من مُكاملات هول للمعادلات التفاضلية العادية: المُكاملة القائمة على التكامل ^{[ 6 ]} والمُكاملة القائمة على التربيع. ^{[ 7 ]}^{[ 5 ]}
دي لا كروز H. وآخرون. (2010) يقدم طريقة HOLL قوية لـ SDEs. ^{[ 20 ]}

مراجع

1 2 3 4 خيمينيز جيه سي (2009). "طرق التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية: نظرة عامة". تقرير فني صادر عن المركز الدولي للفيزياء النظرية . 035: 357-373.
1 2 بوب، د.أ. (1963). "طريقة أسية للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية". مجلة الاتصالات ACM، 6(8)، 491-493. doi:10.1145/366707.367592 .
1 2 3 هوشبروك، م.، لوبيتش، س.، وسيلهوفر، هـ. (1998). "المكاملات الأسية لأنظمة المعادلات التفاضلية الكبيرة". مجلة SIAM للحوسبة العلمية 19(5)، 1552-1574. doi:10.1137/S1064827595295337 .
1 2 3 4 5 6 7 8 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ خيمينيز، ج. س.؛ كاربونيل، ف. (2013). "التقريب الخطي الموضعي - طرق رونج-كوتا: فئة من التكاملات الصريحة المستقرة من النوع A للأنظمة الديناميكية". نمذجة الرياضيات والحوسبة. 57 (3-4): 720-740. doi:10.1016/j.mcm.2012.08.011 .
1 2 3 4 5 6 7 8 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ كاربونيل، ف.؛ أوزاكي، ت.؛ خيمينيز، ج. س. (2007). "طريقة التخطيط الخطي المحلي من الرتبة العليا لحل المعادلات التفاضلية العادية". الرياضيات التطبيقية والحساب 185: 197-212. doi:10.1016/ j.amc.2006.06.096
1 2 3 4 5 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ كاربونيل، ف.؛ خيمينيز، ج. س.؛ أوزاكي، ت. (2006). "طرق التخطيط الخطي الموضعي - رونج كوتا (LLRK) لحل المعادلات التفاضلية العادية". سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب 3991: 132-139، سبرينغر-فيرلاغ. doi:10.1007/11758501 22. ISBN 978-3-540-34379-0.
1 2 توكمان م. (2006). "التكامل الفعال لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية الكبيرة والصلبة باستخدام طرق التكرار الأسي للانتشار (EPI)". مجلة الفيزياء الحاسوبية. 213 (2): 748-776. doi:10.1016/j.jcp.2005.08.032 .
↑ م. هوخبروك؛ أ. أوسترمان. (2011). "طرق الخطوات المتعددة الأسية من نوع آدامز". مجلة الرياضيات العددية BIT، 51 (4): 889-908. doi:10.1007/s10543-011-0332-6 .
1 2 3 4 5 خيمينيز، جيه سي، وكاربونيل، إف. (2005). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي لمسائل القيمة الابتدائية". الرياضيات التطبيقية والحساب، 171(2)، 1282-1295. doi:10.1016/j.amc.2005.01.118 .
↑ كاربونيل ف.؛ خيمينيز ج.س.؛ بيدروسو ل.م. (2008). "حساب التكاملات المتعددة التي تتضمن الدوال الأسية للمصفوفات". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 213: 300-305. doi:10.1016/j.cam.2007.01.007 .
1 2 3 4 خيمينيز، جي سي؛ بيدروسو، إل؛ كاربونيل، إف؛ هيرنانديز، في (2006). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية التأخيرية". مجلة SIAM للتحليل العددي. 44 (6): 2584-2609. doi:10.1137/040607356 .
1 2 3 4 5 6 خيمينيز، جيه سي؛ دي لا كروز، إتش. (2012). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي القوي للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة BIT للرياضيات العددية، 52 (2): 357-382. doi:10.1007/s10543-011-0360-2 .
1 2 3 خيمينيز جيه سي؛ بيسكاي آر؛ مورا سي؛ رودريغيز إل إم (2002). "الخصائص الديناميكية لطريقة التخطيط الخطي المحلي لمسائل القيمة الابتدائية". الرياضيات التطبيقية والحساب 126: 63-68. doi:10.1016/S0096-3003(00)00100-4 .
↑ خيمينيز جيه سي؛ سوتولونغو أ؛ سانشيز-بورنوت جيه إم (2014). "طريقة رونج كوتا الخطية الموضعية لدورماند وبرينس". الرياضيات التطبيقية والحساب 247: 589-606. doi:10.1016/j.amc.2014.09.001 .
↑ نارانخو-نودا، خيمينيز جيه سي (2021) "طريقة رونج-كوتا الخطية الموضعية لدورماند وبرينس للأنظمة الكبيرة من مسائل القيمة الأولية." مجلة الفيزياء الحاسوبية. 426: 109946. doi:10.1016/j.jcp.2020.109946 .
1 2 3 كاربونيل، ف.، خيمينيز، ج.س.، بيسكاي، ر.ج.، ودي لا كروز، هـ. (2005). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية". مجلة BIT للرياضيات العددية، 45(1)، 1-14. doi:10.1007/S10543-005-2645-9 .
1 2 خيمينيز جيه سي؛ كاربونيل إف. (2009). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي للمعادلات التفاضلية العشوائية". BIT Numer. Math. 49 (2): 357–373. doi:10.1007/s10543-009-0225-0 .
↑ خيمينيز جيه سي، شوجي آي، أوزاكي تي (1999) "محاكاة المعادلة التفاضلية العشوائية من خلال طريقة التخطيط الخطي المحلي. دراسة مقارنة". مجلة الفيزياء الإحصائية 99: 587-602، doi:10.1023/A:1004504506041 .
1 2 بيسكاي، ر.، خيمينيز، ج.س.، رييرا، ج.ج.، وفالديس، ب.أ. (1996). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية". حوليات معهد الإحصاء الرياضي 48(4)، 631-644. doi:10.1007/BF00052324 .
1 2 3 4 5 6 7 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ خيمينيز، ج. س.؛ كاربونيل، ف.؛ أوزاكي، ت. (2010). "طرق التخطيط الخطي المحلي عالي الرتبة: منهج لبناء مخططات صريحة عالية الرتبة مستقرة من النوع A للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة BIT للرياضيات العددية، 50 (3): 509-539. doi:10.1007/s10543-010-0272-6 .
1 2 3 خيمينيز، جيه سي (2002). "تعبير جبري بسيط لتقييم مخططات التخطيط الخطي المحلي للمعادلات التفاضلية العشوائية". رسائل الرياضيات التطبيقية، 15(6)، 775-780. doi:10.1016/S0893-9659(02)00041-1 .
↑ دي لا كروز هـ.؛ خيمينيز جيه سي؛ زوبيلي جيه بي (2017). "طرق الخطية الموضعية لمحاكاة المذبذبات العشوائية المدفوعة بقوى عشوائية". BIT Numer. Math. 57: 123–151. doi:10.1007/s10543-016-0620-2 .
1 2 شوجي، إي.، وأوزاكي، تي. (1997). "دراسة مقارنة لأساليب التقدير للعمليات العشوائية ذات الزمن المستمر". مجلة تحليل السلاسل الزمنية 18(5)، 485-506. doi:10.1111/1467-9892.00064 .
1 2 3 4 خيمينيز جيه سي؛ كاربونيل إف. (2015). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي الضعيف للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 279: 106-122. doi:10.1016/j.cam.2014.10.021 .
1 2 كاربونيل، ف.؛ خيمينيز، ج. س.؛ بيسكاي، ر. ج. (2006). "التقطيعات الخطية المحلية الضعيفة للمعادلات التفاضلية العشوائية: التقارب والمخططات العددية". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 197: 578-596. doi:10.1016/j.cam.2005.11.032 .
↑ هانسن إن آر (2003) "الخاصية الإرجودية الهندسية لتقريبات الزمن المتقطع للانتشار متعدد المتغيرات". برنولي. 9 : 725-743، doi:10.3150/bj/1066223276 .
↑ أوزاكي، ت. (1985). "نماذج السلاسل الزمنية غير الخطية والأنظمة الديناميكية". كتيب الإحصاء، 5، 25-83. doi:10.1016/S0169-7161(85)05004-0 .

[:8-1] 1 2 3 4 خيمينيز جيه سي (2009). "طرق التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية: نظرة عامة". تقرير فني صادر عن المركز الدولي للفيزياء النظرية . 035: 357-373.

[:18-2] 1 2 بوب، د.أ. (1963). "طريقة أسية للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية". مجلة الاتصالات ACM، 6(8)، 491-493. doi:10.1145/366707.367592 .

[:22-3] 1 2 3 هوشبروك، م.، لوبيتش، س.، وسيلهوفر، هـ. (1998). "المكاملات الأسية لأنظمة المعادلات التفاضلية الكبيرة". مجلة SIAM للحوسبة العلمية 19(5)، 1552-1574. doi:10.1137/S1064827595295337 .

[:3-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ خيمينيز، ج. س.؛ كاربونيل، ف. (2013). "التقريب الخطي الموضعي - طرق رونج-كوتا: فئة من التكاملات الصريحة المستقرة من النوع A للأنظمة الديناميكية". نمذجة الرياضيات والحوسبة. 57 (3-4): 720-740. doi:10.1016/j.mcm.2012.08.011 .

[:2-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ كاربونيل، ف.؛ أوزاكي، ت.؛ خيمينيز، ج. س. (2007). "طريقة التخطيط الخطي المحلي من الرتبة العليا لحل المعادلات التفاضلية العادية". الرياضيات التطبيقية والحساب 185: 197-212. doi:10.1016/ j.amc.2006.06.096

[:1-6] 1 2 3 4 5 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ كاربونيل، ف.؛ خيمينيز، ج. س.؛ أوزاكي، ت. (2006). "طرق التخطيط الخطي الموضعي - رونج كوتا (LLRK) لحل المعادلات التفاضلية العادية". سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب 3991: 132-139، سبرينغر-فيرلاغ. doi:10.1007/11758501 22. ISBN 978-3-540-34379-0.

[:17-7] 1 2 توكمان م. (2006). "التكامل الفعال لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية الكبيرة والصلبة باستخدام طرق التكرار الأسي للانتشار (EPI)". مجلة الفيزياء الحاسوبية. 213 (2): 748-776. doi:10.1016/j.jcp.2005.08.032 .

[:7-8] م. هوخبروك؛ أ. أوسترمان. (2011). "طرق الخطوات المتعددة الأسية من نوع آدامز". مجلة الرياضيات العددية BIT، 51 (4): 889-908. doi:10.1007/s10543-011-0332-6 .

[:25-9] 1 2 3 4 5 خيمينيز، جيه سي، وكاربونيل، إف. (2005). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي لمسائل القيمة الابتدائية". الرياضيات التطبيقية والحساب، 171(2)، 1282-1295. doi:10.1016/j.amc.2005.01.118 .

[10] كاربونيل ف.؛ خيمينيز ج.س.؛ بيدروسو ل.م. (2008). "حساب التكاملات المتعددة التي تتضمن الدوال الأسية للمصفوفات". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 213: 300-305. doi:10.1016/j.cam.2007.01.007 .

[:13-11] 1 2 3 4 خيمينيز، جي سي؛ بيدروسو، إل؛ كاربونيل، إف؛ هيرنانديز، في (2006). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية التأخيرية". مجلة SIAM للتحليل العددي. 44 (6): 2584-2609. doi:10.1137/040607356 .

[:12-12] 1 2 3 4 5 6 خيمينيز، جيه سي؛ دي لا كروز، إتش. (2012). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي القوي للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة BIT للرياضيات العددية، 52 (2): 357-382. doi:10.1007/s10543-011-0360-2 .

[:9-13] 1 2 3 خيمينيز جيه سي؛ بيسكاي آر؛ مورا سي؛ رودريغيز إل إم (2002). "الخصائص الديناميكية لطريقة التخطيط الخطي المحلي لمسائل القيمة الابتدائية". الرياضيات التطبيقية والحساب 126: 63-68. doi:10.1016/S0096-3003(00)00100-4 .

[:15-14] خيمينيز جيه سي؛ سوتولونغو أ؛ سانشيز-بورنوت جيه إم (2014). "طريقة رونج كوتا الخطية الموضعية لدورماند وبرينس". الرياضيات التطبيقية والحساب 247: 589-606. doi:10.1016/j.amc.2014.09.001 .

[:16-15] نارانخو-نودا، خيمينيز جيه سي (2021) "طريقة رونج-كوتا الخطية الموضعية لدورماند وبرينس للأنظمة الكبيرة من مسائل القيمة الأولية." مجلة الفيزياء الحاسوبية. 426: 109946. doi:10.1016/j.jcp.2020.109946 .

[:24-16] 1 2 3 كاربونيل، ف.، خيمينيز، ج.س.، بيسكاي، ر.ج.، ودي لا كروز، هـ. (2005). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية". مجلة BIT للرياضيات العددية، 45(1)، 1-14. doi:10.1007/S10543-005-2645-9 .

[:10-17] 1 2 خيمينيز جيه سي؛ كاربونيل إف. (2009). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي للمعادلات التفاضلية العشوائية". BIT Numer. Math. 49 (2): 357–373. doi:10.1007/s10543-009-0225-0 .

[:14-18] خيمينيز جيه سي، شوجي آي، أوزاكي تي (1999) "محاكاة المعادلة التفاضلية العشوائية من خلال طريقة التخطيط الخطي المحلي. دراسة مقارنة". مجلة الفيزياء الإحصائية 99: 587-602، doi:10.1023/A:1004504506041 .

[:20-19] 1 2 بيسكاي، ر.، خيمينيز، ج.س.، رييرا، ج.ج.، وفالديس، ب.أ. (1996). "طريقة التخطيط الخطي الموضعي للحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية". حوليات معهد الإحصاء الرياضي 48(4)، 631-644. doi:10.1007/BF00052324 .

[:4-20] 1 2 3 4 5 6 7 دي لا كروز، هـ.؛ بيسكاي، ر. ج.؛ خيمينيز، ج. س.؛ كاربونيل، ف.؛ أوزاكي، ت. (2010). "طرق التخطيط الخطي المحلي عالي الرتبة: منهج لبناء مخططات صريحة عالية الرتبة مستقرة من النوع A للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة BIT للرياضيات العددية، 50 (3): 509-539. doi:10.1007/s10543-010-0272-6 .

[:23-21] 1 2 3 خيمينيز، جيه سي (2002). "تعبير جبري بسيط لتقييم مخططات التخطيط الخطي المحلي للمعادلات التفاضلية العشوائية". رسائل الرياضيات التطبيقية، 15(6)، 775-780. doi:10.1016/S0893-9659(02)00041-1 .

[:5-22] دي لا كروز هـ.؛ خيمينيز جيه سي؛ زوبيلي جيه بي (2017). "طرق الخطية الموضعية لمحاكاة المذبذبات العشوائية المدفوعة بقوى عشوائية". BIT Numer. Math. 57: 123–151. doi:10.1007/s10543-016-0620-2 .

[:21-23] 1 2 شوجي، إي.، وأوزاكي، تي. (1997). "دراسة مقارنة لأساليب التقدير للعمليات العشوائية ذات الزمن المستمر". مجلة تحليل السلاسل الزمنية 18(5)، 485-506. doi:10.1111/1467-9892.00064 .

[:11-24] 1 2 3 4 خيمينيز جيه سي؛ كاربونيل إف. (2015). "معدل تقارب مخططات التخطيط الخطي المحلي الضعيف للمعادلات التفاضلية العشوائية مع الضوضاء المضافة". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 279: 106-122. doi:10.1016/j.cam.2014.10.021 .

[:0-25] 1 2 كاربونيل، ف.؛ خيمينيز، ج. س.؛ بيسكاي، ر. ج. (2006). "التقطيعات الخطية المحلية الضعيفة للمعادلات التفاضلية العشوائية: التقارب والمخططات العددية". مجلة الحوسبة والرياضيات التطبيقية 197: 578-596. doi:10.1016/j.cam.2005.11.032 .

[:6-26] هانسن إن آر (2003) "الخاصية الإرجودية الهندسية لتقريبات الزمن المتقطع للانتشار متعدد المتغيرات". برنولي. 9 : 725-743، doi:10.3150/bj/1066223276 .

[:19-27] أوزاكي، ت. (1985). "نماذج السلاسل الزمنية غير الخطية والأنظمة الديناميكية". كتيب الإحصاء، 5، 25-83. doi:10.1016/S0169-7161(85)05004-0 .

[ 10 ]