دالة محدبة لوغاريتميًا

في الرياضيات ، تكون الدالة f محدبة لوغاريتميًا أو فائقة التحدب ^{[ 1 ]} إذا${\displaystyle {\log }\circ f}$إن تركيب اللوغاريتم مع f هو في حد ذاته دالة محدبة .

ليكن X مجموعة جزئية محدبة من فضاء متجهي حقيقي ، ولتكن f دالة تأخذ قيمًا غير سالبة من X إلى R. عندئذٍ تكون f هي: 

• محدب لوغاريتميًا إذا${\displaystyle {\log }\circ f}$محدب، و
• محدب لوغاريتميًا بشكل صارم إذا${\displaystyle {\log }\circ f}$محدب تمامًا.

هنا نقوم بالتفسير${\displaystyle \log 0}$مثل${\displaystyle -\infty }$.

بشكل صريح، تكون الدالة f محدبة لوغاريتميًا إذا وفقط إذا تحققت الشروط المتكافئة التالية لجميع x ₁ و x ₂ ∈ X وجميع t ∈ [0, 1] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

وبالمثل، فإن f محدبة لوغاريتميًا بشكل صارم إذا وفقط إذا كان التعبيران أعلاه يحققان عدم المساواة الصارمة لجميع t ∈ (0, 1) .

يسمح التعريف أعلاه بأن تكون f صفرًا، ولكن إذا كانت f محدبة لوغاريتميًا وتتلاشى في أي مكان في X ، فإنها تتلاشى في كل مكان في داخل X.

لو${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$تكون محدبة لوغاريتميًا، وإذا${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$إذا كانت أعدادًا حقيقية غير سالبة،${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$محدب لوغاريتميًا.

لو${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$إذا كانت أي عائلة من الدوال المحدبة لوغاريتميًا، فإن${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$محدب لوغاريتميًا.

لو${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$محدب و${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$إذا كانت الدالة محدبة لوغاريتميًا وغير متناقصة،${\displaystyle g\circ f}$محدب لوغاريتميًا.

الدالة f المحدبة لوغاريتميًا هي دالة محدبة لأنها مركبة من دالة محدبة متزايدة${\displaystyle \exp }$والوظيفة${\displaystyle \log \circ f}$، وهو محدب بحكم التعريف. ومع ذلك، فإن كون الدالة محدبة لوغاريتميًا هو خاصية أقوى بكثير من كونها محدبة. على سبيل المثال، دالة التربيع${\displaystyle f(x)=x^{2}}$هو محدب، لكن لوغاريتمه${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$ليس كذلك. لذلك فإن دالة التربيع ليست محدبة لوغاريتمياً.

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$تكون محدبة لوغاريتميًا عندما${\displaystyle p\geq 1}$ومحدبة لوغاريتميًا بشكل صارم عندما${\displaystyle p>1}$.
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$محدبة لوغاريتميًا تمامًا على${\displaystyle (0,\infty )}$للجميع${\displaystyle p>0.}$
• تكون دالة غاما لأويلر محدبة لوغاريتميًا تمامًا عند اقتصارها على الأعداد الحقيقية الموجبة. في الواقع، وفقًا لنظرية بور-موليروب ، يمكن استخدام هذه الخاصية لتمييز دالة غاما لأويلر من بين الامتدادات الممكنة لدالة المضروب لتشمل الوسائط الحقيقية.

• دالة مقعرة لوغاريتميًا

• جون ب. كونواي . دوال المتغير المركب الواحد، الجزء الأول ، الطبعة الثانية. سبرينغر-فيرلاغ، 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• "التحدب اللوغاريتمي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• نيكوليسكو، كونستانتين؛ بيرسون، لارس-إريك (2006)، الدوال المحدبة وتطبيقاتها - منهج معاصر (  الطبعة الأولى)، سبرينغر ، doi : 10.1007/0-387-31077-0 ، ISBN 978-0-387-24300-9ISSN 1613-5237​ .

• مونتيل، بول ( 1928)، “Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، 7 : 29–60.

تتضمن هذه المقالة مواد من دالة محدبة لوغاريتميًا على موقع PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .