قانون غراي

تم تطبيق الرموز الثنائية المنعكسة على الألغاز الرياضية قبل أن يعرفها المهندسون.

يمثل رمز غراي الثنائي المنعكس المخطط الأساسي للغز الحلقات الصينية الكلاسيكية ، وهو آلية لغز ميكانيكية متسلسلة وصفها الفرنسي لويس غروس في عام 1872. ^{[ 24 ] [ 11 ]}

يمكن أن يُستخدم كدليل لحل مسألة أبراج هانوي ، استنادًا إلى لعبة وضعها الفرنسي إدوارد لوكاس عام 1883. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} وبالمثل، فإن تكوينات لعبة أبراج بوخارست وأبراج كلاغنفورت تُنتج رموز غراي ثلاثية وخماسية . ^{[ 29 ]}

كتب مارتن غاردنر شرحًا مبسطًا لرمز غراي في عموده "الألعاب الرياضية" في مجلة ساينتفك أمريكان في أغسطس 1972. ^{[ 30 ]}

يشكل الكود أيضًا دورة هاميلتونية في رسم بياني مكعب فائق ، بطول${\displaystyle 2^{d}.}$^{[ 31 ]}

عندما غيّر المهندس الفرنسي إميل بودو نظام التلغراف الطباعي الخاص به من استخدام رمز مكون من 6 وحدات (6 بتات) إلى رمز مكون من 5 وحدات ، في عام 1875 ^{[ 32 ]} أو 1876 ^{[ 33 ] [ 34 ]،} رتب الأحرف الأبجدية على عجلة الطباعة باستخدام رمز ثنائي معكوس، وخصص الرموز باستخدام 3 بتات فقط للأحرف المتحركة. وبعد ترتيب الأحرف المتحركة والساكنة أبجديًا، ووضع الرموز الأخرى في أماكنها المناسبة، أصبح رمز الأحرف المكون من 5 بتات يُعرف باسم الرمز الثنائي المعكوس. ^{[ 11 ]} عُرف هذا الرمز باسم رمز بودو ^{[ 35 ]} ، وبعد تعديلات طفيفة، اعتُمد لاحقًا كأبجدية التلغراف الدولية رقم 1 (ITA1، CCITT-1) في عام 1932. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

في نفس الوقت تقريبًا، قام الألماني النمساوي أوتو شافلر ^{[ 39 ]} بعرض تلغراف طباعة آخر في فيينا باستخدام رمز ثنائي معكوس مكون من 5 بتات لنفس الغرض، في عام 1874. ^{[ 40 ] [ 11 ]}

ابتكر فرانك غراي ، الذي اشتهر باختراع طريقة الإشارة المستخدمة في أجهزة التلفزيون الملونة المتوافقة، طريقةً لتحويل الإشارات التناظرية إلى مجموعات من الرموز الثنائية المنعكسة باستخدام جهاز يعتمد على الصمامات المفرغة . تم تقديم طلب براءة اختراع للطريقة والجهاز عام 1947، وحصلا على براءة اختراع عام 1953، ^{[ 12 ]} وارتبط اسم غراي بهذه الرموز. صُنع جهاز " أنبوب PCM " الذي حصل غراي على براءة اختراعه على يد ريموند دبليو سيرز من مختبرات بيل، بالتعاون مع غراي وويليام إم غودال، الذي نسب فكرة الرمز الثنائي المنعكس إلى غراي. ^{[ 41 ]}

كان غراي مهتمًا بشكل خاص باستخدام الرموز لتقليل الأخطاء في تحويل الإشارات التناظرية إلى رقمية؛ ولا تزال رموزه تُستخدم حتى اليوم لهذا الغرض.

تُستخدم رموز غراي في أجهزة التشفير الخطية والدورانية للموضع ( أجهزة التشفير المطلقة وأجهزة التشفير التربيعية ) بدلاً من التشفير الثنائي الموزون. وهذا يتجنب احتمال حدوث خطأ في القراءة عند تغيير عدة بتات في التمثيل الثنائي للموضع، نتيجة لتغير بعض البتات قبل غيرها.

على سبيل المثال، تحتوي بعض أجهزة التشفير الدورانية على قرص يحمل نمطًا موصلًا كهربائيًا لرمز غراي على حلقات متحدة المركز (مسارات). يحتوي كل مسار على موصل زنبركي معدني ثابت يوفر اتصالًا كهربائيًا بنمط الرمز الموصل. وتنتج هذه الموصلات معًا إشارات خرج على شكل رمز غراي. بينما تستخدم أجهزة تشفير أخرى آليات لا تلامسية تعتمد على مستشعرات بصرية أو مغناطيسية لإنتاج إشارات خرج رمز غراي.

بغض النظر عن آلية أو دقة المشفر المتحرك، قد يحدث خطأ في قياس الموضع عند نقاط محددة (عند حدود الشفرة) لأن الشفرة قد تتغير لحظة قراءتها (أخذ عينة منها). قد تتسبب شفرة الإخراج الثنائية في أخطاء كبيرة في قياس الموضع لأنه من المستحيل تغيير جميع البتات في نفس الوقت تمامًا. إذا تغيرت بعض البتات ولم تتغير أخرى لحظة أخذ عينة الموضع، فسيكون الموضع المأخوذ غير صحيح. في حالة المشفرات المطلقة، قد يكون الموضع المشار إليه بعيدًا عن الموضع الفعلي، وفي حالة المشفرات التزايدية، قد يؤدي ذلك إلى تشويش تتبع الموضع.

في المقابل، يضمن رمز غراي المستخدم في مشفرات الموضع أن يختلف رمز أي موضعين متتاليين ببت واحد فقط، وبالتالي لا يمكن أن يتغير سوى بت واحد في كل مرة. في هذه الحالة، يكون الحد الأقصى لخطأ الموضع صغيرًا، مما يشير إلى موضع مجاور للموضع الفعلي.

بسبب خصائص مسافة هامينغ لرموز غراي، تُستخدم أحيانًا في الخوارزميات الجينية . ^{[ 13 ]} قد تكون مفيدة في هذا المجال لأن الطفرات في الرمز تسمح بتغييرات تدريجية في الغالب، ولكن في بعض الأحيان يمكن أن يؤدي تغيير بت واحد إلى قفزة كبيرة ويؤدي إلى خصائص جديدة.

تُستخدم رموز غراي أيضًا في تسمية محاور خرائط كارنو منذ عام 1953 ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} وكذلك في مخططات دوائر هاندلر منذ عام 1958، ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} وكلتاهما طريقتان بيانيتان لتقليل الدوائر المنطقية .

في الاتصالات الرقمية الحديثة ، تلعب رموز غراي أحادية وثنائية الأبعاد دورًا هامًا في منع الأخطاء قبل تطبيق تصحيحها . على سبيل المثال، في نظام تعديل رقمي مثل QAM، حيث تُرسل البيانات عادةً برموز من 4 بتات أو أكثر، يُرتب مخطط الإشارة بحيث تختلف أنماط البتات المنقولة من نقاط متجاورة في المخطط ببت واحد فقط. وبدمج ذلك مع تصحيح الأخطاء الأمامي القادر على تصحيح أخطاء البت الواحد، يصبح بإمكان جهاز الاستقبال تصحيح أي أخطاء في الإرسال تتسبب في انحراف نقطة في المخطط إلى منطقة نقطة مجاورة. وهذا يجعل نظام الإرسال أقل عرضة للتشويش .

• 
  الرموز 4-PSK
• 
  الرموز 8-PSK
• 
  الرموز 16-QAM

يستخدم مصممو الدوائر المنطقية الرقمية رموز غراي على نطاق واسع لتمرير معلومات عدّ البتات المتعددة بين الدوائر المنطقية المتزامنة التي تعمل بترددات ساعة مختلفة. ويُعتبر هذا المنطق عاملاً في "نطاقات ساعة" مختلفة. وهو أمر أساسي لتصميم الرقائق الكبيرة التي تعمل بترددات ساعة متعددة ومختلفة.

إذا كان على نظام ما أن يمرّ بشكل متسلسل بجميع التوليفات الممكنة لحالات التشغيل والإيقاف لمجموعة من عناصر التحكم، وكانت تغييرات عناصر التحكم تتطلب تكلفة كبيرة (مثل الوقت، والاستهلاك، والجهد البشري)، فإنّ كود غراي يُقلّل عدد تغييرات الإعدادات إلى تغيير واحد فقط لكل توليفة من الحالات. ومن الأمثلة على ذلك اختبار نظام أنابيب لجميع توليفات إعدادات صماماته التي تعمل يدويًا.

يمكن إنشاء رمز غراي متوازن، [ 49 ^{] بحيث يتم} قلب كل بت بنفس التواتر. وبما أن تقلبات البتات موزعة بالتساوي، فإن هذا يُعدّ الأمثل للأسباب التالية: إذ تُقلل رموز غراي المتوازنة من الحد الأقصى لعدد تقلبات البتات لكل رقم.

من الممكن إنشاء رموز غراي ثنائية مكونة من n بت بطول أقل من 2^ ⁿ ، إذا كان الطول زوجيًا. إحدى الطرق الممكنة هي البدء برمز غراي متوازن وإزالة أزواج من القيم إما في البداية أو النهاية، أو في المنتصف. ^{[ 58 ]} تُعطي متتالية OEIS A290772 ^{[ 59 ]} عدد متتاليات غراي الممكنة بطول 2^ n والتي تتضمن الصفر وتستخدم الحد الأدنى من البتات.

توجد أنواع عديدة متخصصة من رموز غراي، إلى جانب رمز غراي الثنائي المنعكس. أحد هذه الأنواع هو رمز غراي ذو الرتبة n ، المعروف أيضًا باسم رمز غراي غير المنطقي . وكما يوحي الاسم، يستخدم هذا النوع من رموز غراي قيمًا غير منطقية في ترميزه.

على سبيل المثال، يستخدم رمز غراي ثلاثي القيم 0 و1 و2 . ^{[ 29 ]} رمز غراي ( n , k ) هو رمز غراي ذو n خانة . ^{[ 60 ]} تسلسل العناصر في رمز غراي (3, 2) هو: 00، 01 ، 02، 12 ، 11، 10، 20، 21، 22. يمكن إنشاء رمز غراي ( n , k ) بشكل تكراري، كما هو الحال في BRGC، أو بشكل تكراري . فيما يلي خوارزمية لتوليد رمز غراي ( N , k ) بشكل تكراري (بلغة C ):    

// المدخلات: الأساس، الأرقام، القيمة // المخرجات: غراي // تحويل قيمة إلى رمز غراي باستخدام الأساس والأرقام المعطاة. // ينتج عن التكرار عبر سلسلة من القيم سلسلة // من رموز غراي حيث يتغير رقم واحد فقط في كل مرة. void toGray ( unsigned base , unsigned digits , unsigned value , unsigned gray [ digits ]) { unsigned baseN [ digits ]; // يخزن العدد العادي ذو الأساس N، رقم واحد لكل إدخال unsigned i ; // متغير الحلقة // ضع العدد العادي ذو الأساس N في مصفوفة baseN. بالنسبة للأساس 10، // سيتم تخزين 109 كـ [9,0,1] for ( i = 0 ; i < digits ; i ++ ) { baseN [ i ] = value % base ; value = value / base ; } // تحويل العدد العادي ذو الأساس N إلى ما يعادله في رمز غراي. لاحظ أن // الحلقة تبدأ من الرقم الأكثر أهمية وتستمر نزولاً. unsigned shift = 0 ; while ( i-- ) { // يتم إزاحة رقم Gray لأسفل بمقدار مجموع الأرقام الأعلى. gray [ i ] = ( baseN [ i ] + shift ) % base ; shift = shift + base - gray [ i ]; // اطرح من base بحيث تكون shift موجبة } } // أمثلة // الإدخال: القيمة = 1899، الأساس = 10، الأرقام = 4 // الإخراج: baseN[] = [9,9,8,1]، gray[] = [0,1,7,1] // الإدخال: القيمة = 1900، الأساس = 10، الأرقام = 4 // الإخراج: baseN[] = [0,0,9,1]، gray[] = [0,1,8,1]

توجد خوارزميات أخرى لترميز غراي لرموز ( n , k ). يكون رمز ( n , k ) الناتج عن الخوارزمية المذكورة أعلاه دوريًا دائمًا؛ وتفتقر بعض الخوارزميات، مثل خوارزمية غوان ^{[ 60 ]،} إلى هذه الخاصية عندما يكون k فرديًا. من ناحية أخرى، بينما يتغير رقم واحد فقط في كل مرة بهذه الطريقة، يمكن أن يتغير بالالتفاف (التكرار من n - 1 إلى 0). في خوارزمية غوان، يرتفع العدد وينخفض ​​بالتناوب، بحيث يكون الفرق العددي بين رقمين متتاليين في رمز غراي دائمًا واحدًا.    

لا تُعرَّف رموز غراي تعريفًا فريدًا، لأن أي تبديل لأعمدة هذا الرمز يُعدّ رمز غراي أيضًا. تُنتج العملية المذكورة أعلاه رمزًا كلما انخفضت فيه أهمية الرقم، زاد تكرار تغييره، مما يجعله مشابهًا لطرق العد العادية.

انظر أيضًا إلى نظام الأرقام الثنائية المائلة ، وهو نظام أرقام ثلاثي متغير حيث يتغير رقمان على الأكثر في كل زيادة، حيث يمكن إجراء كل زيادة بعملية حمل رقم واحد على الأكثر .

على الرغم من أن رمز غراي الثنائي المنعكس مفيد في العديد من السيناريوهات، إلا أنه ليس الأمثل في بعض الحالات بسبب افتقاره إلى "التوحيد". ^{[ 49 ]} في رموز غراي المتوازنة ، يكون عدد التغييرات في مواضع الإحداثيات المختلفة متقاربًا قدر الإمكان. ولتوضيح ذلك بدقة أكبر، لنفترض أن G دورة غراي كاملة من الرتبة R ذات تسلسل انتقالي${\displaystyle (\delta _{k})}$عدد الانتقالات ( الطيف ) للرسم البياني G هو مجموعة الأعداد الصحيحة المحددة بواسطة

$${\displaystyle \lambda _{k}=|\{j\in \mathbb {Z} _{R^{n}}:\delta _{j}=k\}|\,,{\text{ for }}k\in \mathbb {Z} _{n}}$$

يكون رمز غراي منتظمًا أو متوازنًا بشكل منتظم إذا كانت جميع أعداد انتقالاته متساوية، وفي هذه الحالة يكون لدينا${\displaystyle \lambda _{k}={\tfrac {R^{n}}{n}}}$لكل قيمة k . من الواضح، عندما${\displaystyle R=2}$توجد هذه الرموز فقط إذا كان n قوة للعدد 2. ^{[ 61 ]} إذا لم يكن n قوة للعدد 2، فمن الممكن إنشاء رموز ثنائية متوازنة جيدًا حيث يكون الفرق بين عددي انتقالين على الأكثر 2؛ بحيث (بدمج الحالتين) يكون كل عدد انتقال إما${\displaystyle 2\left\lfloor {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rfloor }$أو${\displaystyle 2\left\lceil {\tfrac {2^{n}}{2n}}\right\rceil }$[ ^{49 ]} يمكن أيضًا أن تكون رموز غراي متوازنة أُسّيًا إذا كانت جميع أعداد انتقالاتها قوى متجاورة للعدد اثنين، وتوجد مثل هذه الرموز لكل قوة من قوى العدد اثنين ^{. [ 62 ]}

على سبيل المثال، يحتوي رمز غراي المتوازن ذو 4 بتات على 16 انتقالًا، والتي يمكن توزيعها بالتساوي بين جميع المواضع الأربعة (أربعة انتقالات لكل موضع)، مما يجعله متوازنًا بشكل موحد: ^{[ 49 ]}

بينما يحتوي رمز غراي المتوازن ذو 5 بتات على 32 انتقالًا إجماليًا، لا يمكن توزيعها بالتساوي بين المواضع. في هذا المثال، تحتوي أربعة مواضع على ستة انتقالات لكل منها، ويحتوي موضع واحد على ثمانية انتقالات: ^{[ 49 ]}

سنعرض الآن طريقة بناء ^{[ 63 ]} وتطبيق ^{[ 64 ]} لرموز غراي الثنائية المتوازنة جيدًا، والتي تسمح لنا بتوليد رمز غراي متوازن مكون من n خانة لكل قيمة n . ويتمثل المبدأ الأساسي في بناء رمز غراي مكون من ( n  +  2) خانة استقرائيًا.${\displaystyle G'}$بفرض وجود رمز غراي G مكون من n خانة ، بحيث يتم الحفاظ على خاصية التوازن. وللقيام بذلك، ندرس تقسيمات لـ${\displaystyle G=g_{0},\ldots ,g_{2^{n}-1}}$إلى عدد زوجي L من الكتل غير الفارغة من الشكل

$${\displaystyle \left\{g_{0}\right\},\left\{g_{1},\ldots ,g_{k_{2}}\right\},\left\{g_{k_{2}+1},\ldots ,g_{k_{3}}\right\},\ldots ,\left\{g_{k_{L-2}+1},\ldots ,g_{-2}\right\},\left\{g_{-1}\right\}}$$

أين${\displaystyle k_{1}=0}$،${\displaystyle k_{L-1}=-2}$، و${\displaystyle k_{L}\equiv -1{\pmod {2^{n}}}}$يؤدي هذا التقسيم إلى${\displaystyle (n+2)}$رمز غراي المكون من - أرقام معطى بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathtt {00}}g_{0},\\&{\mathtt {00}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{2}},{\mathtt {01}}g_{k_{2}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{1},{\mathtt {11}}g_{1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{2}},\\&{\mathtt {11}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {11}}g_{k_{3}},{\mathtt {01}}g_{k_{3}},\ldots ,{\mathtt {01}}g_{k_{2}+1},{\mathtt {00}}g_{k_{2}+1},\ldots ,{\mathtt {00}}g_{k_{3}},\ldots ,\\&{\mathtt {00}}g_{-2},{\mathtt {00}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-1},{\mathtt {10}}g_{-2},\ldots ,{\mathtt {10}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{0},{\mathtt {11}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{-1},{\mathtt {01}}g_{0}\end{aligned}}}$$

إذا قمنا بتعريف تعددية الانتقال

$${\displaystyle m_{i}=\left|\left\{j:\delta _{k_{j}}=i,1\leq j\leq L\right\}\right|}$$

إذا كان عدد مرات تغير الرقم في الموضع i بين الكتل المتتالية في التقسيم هو ، فإن طيف الانتقال لرمز غراي المكون من ( n  +  2) رقمًا الناتج عن هذا التقسيم${\displaystyle \lambda '_{i}}$يكون

$${\displaystyle \lambda '_{i}={\begin{cases}4\lambda _{i}-2m_{i},&{\text{if }}0\leq i<n\\L,&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

يكمن الجزء الدقيق من هذا البناء في إيجاد تقسيم مناسب لرمز غراي متوازن مكون من n رقمًا بحيث يظل الرمز الناتج عنه متوازنًا، ولكن في هذا الصدد، لا يهم سوى تعددية الانتقال؛ أي ربط كتلتين متتاليتين فوق رقم واحد.${\displaystyle i}$الانتقال وتقسيم كتلة أخرى عند رقم آخر${\displaystyle i}$ينتج عن الانتقال رمز غراي مختلف له نفس طيف الانتقال تمامًا${\displaystyle \lambda '_{i}}$لذلك يمكن للمرء على سبيل المثال ^{[ 62 ]} أن يُحدد الأول${\displaystyle m_{i}}$التحولات عند الرقم${\displaystyle i}$كما هو الحال مع تلك التي تقع بين كتلتين. يمكن العثور على الرموز الموحدة عندما${\displaystyle R\equiv 0{\pmod {4}}}$و${\displaystyle R^{n}\equiv 0{\pmod {n}}}$ويمكن توسيع هذا البناء ليشمل الحالة R -ary أيضًا. ^{[ 63 ]}

تعمل رموز غراي ذات المدى الطويل (أو الفجوة القصوى ) على زيادة المسافة بين التغييرات المتتالية للأرقام في نفس الموضع. أي أن الحد الأدنى لطول أي بت يظل دون تغيير لأطول فترة ممكنة. ^{[ 65 ]}

تُعدّ الرموز الرتيبة مفيدة في نظرية شبكات الربط البيني، لا سيما لتقليل التمدد في المصفوفات الخطية للمعالجات. ^{[ 66 ]} إذا عرّفنا وزن سلسلة ثنائية بأنه عدد الآحاد فيها، فعلى الرغم من أنه من الواضح أنه لا يمكننا الحصول على رمز غراي بوزن متزايد تمامًا، إلا أنه قد نرغب في تقريب ذلك بجعل الرمز يمر عبر وزنين متجاورين قبل الوصول إلى الوزن التالي.

يمكننا صياغة مفهوم رموز غراي الرتيبة على النحو التالي: لنفترض تقسيم المكعب الفائق${\displaystyle Q_{n}=(V_{n},E_{n})}$إلى مستويات من الرؤوس ذات وزن متساوٍ، أي

$${\displaystyle V_{n}(i)=\{v\in V_{n}:v{\text{ has weight }}i\}}$$

ل${\displaystyle 0\leq i\leq n}$هذه المستويات مُرضية${\displaystyle |V_{n}(i)|=\textstyle {\binom {n}{i}}}$. يترك${\displaystyle Q_{n}(i)}$ليكن الرسم البياني الفرعي لـ${\displaystyle Q_{n}}$ناتج عن${\displaystyle V_{n}(i)\cup V_{n}(i+1)}$ودع${\displaystyle E_{n}(i)}$كن الحواف في${\displaystyle Q_{n}(i)}$إذن، يكون رمز غراي الرتيب مسارًا هاميلتونيًا في${\displaystyle Q_{n}}$بحيث كلما${\displaystyle \delta _{1}\in E_{n}(i)}$يأتي قبل${\displaystyle \delta _{2}\in E_{n}(j)}$في المسار، إذن${\displaystyle i\leq j}$.

يعتمد بناء أنيق لرموز غراي ذات n رقمًا رتيبة لأي قيمة n على فكرة بناء مسارات فرعية بشكل متكرر.${\displaystyle P_{n,j}}$من الطول${\displaystyle 2\textstyle {\binom {n}{j}}}$وجود حواف في${\displaystyle E_{n}(j)}$[ ^{66 ]} نُعرّف^​${\displaystyle P_{1,0}=({\mathtt {0}},{\mathtt {1}})}$،${\displaystyle P_{n,j}=\emptyset }$حينما${\displaystyle j<0}$أو${\displaystyle j\geq n}$، و

$${\displaystyle P_{n+1,j}={\mathtt {1}}P_{n,j-1}^{\pi _{n}},{\mathtt {0}}P_{n,j}}$$

وإلا. هنا،${\displaystyle \pi _{n}}$هي تبديل مُعرَّف بشكل مناسب و${\displaystyle P^{\pi }}$يشير إلى المسار P مع تبديل إحداثياته ​​بواسطة${\displaystyle \pi }$تؤدي هذه المسارات إلى ظهور رمزين رتيبين من نوع غراي مكونين من n رقم.${\displaystyle G_{n}^{(1)}}$و${\displaystyle G_{n}^{(2)}}$مقدم من

$${\displaystyle G_{n}^{(1)}=P_{n,0}P_{n,1}^{R}P_{n,2}P_{n,3}^{R}\cdots {\text{ and }}G_{n}^{(2)}=P_{n,0}^{R}P_{n,1}P_{n,2}^{R}P_{n,3}\cdots }$$

اختيار${\displaystyle \pi _{n}}$مما يضمن أن هذه الرموز هي بالفعل رموز غراي، ويتضح أنها${\displaystyle \pi _{n}=E^{-1}\left(\pi _{n-1}^{2}\right)}$القيم القليلة الأولى من${\displaystyle P_{n,j}}$تظهر في الجدول أدناه.

المسارات الفرعية في خوارزمية سافاج-وينكلر

${\displaystyle P_{n,j}}$	j = 0	j = 1	j = 2	j = 3
ن = 1	0, 1
ن = 2	00, 01	10، 11
ن = 3	٠٠٠، ٠٠١	100، 110، 010، 011	101، 111
ن = 4	0000، 0001	1000، 1100، 0100، 0110، 0010، 0011	1010، 1011، 1001، 1101، 0101، 0111	1110، 1111

يمكن تنفيذ هذه الرموز الرمادية الرتيبة بكفاءة بحيث يمكن توليد كل عنصر لاحق في زمن قدره O ( n ). ويُمكن وصف الخوارزمية بسهولة باستخدام الروتينات الفرعية .

ترتبط الرموز الرتيبة ارتباطًا مثيرًا للاهتمام بتخمين لوفاس ، الذي ينص على أن كل رسم بياني متصل ومتعدي الرؤوس يحتوي على مسار هاميلتوني. الرسم البياني الفرعي "متوسط ​​المستوى".${\displaystyle Q_{2n+1}(n)}$هي متعدية الرؤوس (أي أن زمرة التشاكل الذاتي فيها متعدية، بحيث يكون لكل رأس نفس "البيئة المحلية" ولا يمكن تمييزه عن الرؤوس الأخرى، إذ يمكننا إعادة تسمية الإحداثيات والأرقام الثنائية للحصول على تشاكل ذاتي )، وتُسمى مشكلة إيجاد مسار هاميلتوني في هذا الرسم البياني الفرعي "مشكلة المستويات المتوسطة"، والتي يمكن أن تُسهم في فهم التخمين الأكثر عمومية. وقد تمت الإجابة على هذا السؤال بالإيجاب.${\displaystyle n\leq 15}$ويضمن البناء السابق للرموز الرتيبة مسارًا هاميلتونيًا بطول لا يقل عن 0.839 N ، حيث N هو عدد الرؤوس في الرسم البياني الفرعي ذي المستوى المتوسط. ^{[ 67 ]}

نوع آخر من رموز غراي، وهو رمز بيكيت-غراي ، سُمّي نسبةً إلى الكاتب المسرحي الأيرلندي صموئيل بيكيت ، الذي كان مهتمًا بالتناظر . تضم مسرحيته " كواد " أربعة ممثلين، وهي مقسمة إلى ستة عشر فترة زمنية. تنتهي كل فترة بدخول أحد الممثلين الأربعة إلى المسرح أو مغادرته له. تبدأ المسرحية وتنتهي بمسرح فارغ، وقد أراد بيكيت أن تظهر كل مجموعة فرعية من الممثلين على المسرح مرة واحدة فقط. ^{[ 68 ]} من الواضح أنه يمكن تمثيل مجموعة الممثلين الموجودة حاليًا على المسرح برمز غراي ثنائي مكون من 4 بتات. مع ذلك، وضع بيكيت قيدًا إضافيًا على النص: أراد أن يدخل الممثلون ويخرجوا بحيث يكون الممثل الذي قضى أطول وقت على المسرح هو دائمًا من يغادر. يمكن تمثيل الممثلين حينها بطابور FIFO ، بحيث يكون الممثل الذي يُزال من الطابور (من بين الممثلين الموجودين على المسرح) هو دائمًا من أُضيف إلى الطابور أولًا. ^{[ 68 ]} لم يتمكن بيكيت من إيجاد رمز بيكيت-غراي لمسرحيته، وبالفعل، يُظهر استعراض شامل لجميع التسلسلات الممكنة عدم وجود رمز كهذا لـ n = 4. من المعروف اليوم أن هذه الرموز موجودة لـ n = 2، 5، 6، 7، و8، وغير موجودة لـ n = 3 أو 4. يمكن إيجاد مثال على رمز بيكيت-غراي ذي 8 بت في كتاب دونالد كنوث " فن برمجة الحاسوب" . ^{[ 11 ]} وفقًا لساوادا وونغ، يمكن استكشاف فضاء البحث لـ n = 6 في 15 ساعة، وأكثر من ذلكتم العثور على 9500 حل للحالة n = 7. ^{[ 69 ]}

تُعرف رموز الثعبان في الصندوق ، أو الثعابين ، بأنها تسلسلات من عُقد المسارات المُستحثة في رسم بياني مكعب فائق ذي n بُعد ، بينما تُعرف رموز اللفائف في الصندوق، أو ^{اللفائف ،} بأنها تسلسلات من عُقد الدورات المُستحثة في مكعب ^فائق . وباعتبارها رموز غراي، تتميز هذه التسلسلات بقدرتها على كشف أي خطأ في ترميز بت واحد. وصف ويليام هـ. كاوتز هذا النوع من الرموز لأول مرة في أواخر خمسينيات القرن العشرين؛ ^{ومنذ ذلك الحين} ، أُجريت أبحاث مكثفة لإيجاد الرمز الذي يحتوي على أكبر عدد ممكن من الكلمات المشفرة لبُعد مُحدد للمكعب الفائق.

يُعدّ رمز غراي أحادي المسار (STGC) نوعًا آخر من رموز غراي، وقد طوّره نورمان ب. سبيدينغ ^{[ 71 ] [ 72 ]} وحسّنه هيلتجن وباترسون وبراندستيني في كتابهم "رموز غراي أحادية المسار" (1996) ^{[ 73 ] [ 74 ]} . يتكون رمز غراي أحادي المسار من قائمة دورية تضم P ترميزًا ثنائيًا فريدًا بطول n، بحيث يختلف كل كلمتين متتاليتين في موضع واحد فقط. وعند فحص القائمة كمصفوفة P ×  n ، يكون كل عمود عبارة عن إزاحة دورية للعمود الأول ^{[ 75 ] .} 

يُستمد الاسم من استخدامها مع أجهزة التشفير الدورانية ، حيث يتم استشعار عدد من المسارات بواسطة نقاط التلامس، مما ينتج عنه خرج 0 أو 1 لكل مسار . ولتقليل التشويش الناتج عن عدم تبديل نقاط التلامس المختلفة في نفس اللحظة تمامًا، يُفضل ضبط المسارات بحيث تكون بيانات الخرج من نقاط التلامس بتنسيق غراي. وللحصول على دقة زاوية عالية، يلزم عدد كبير من نقاط التلامس؛ ولتحقيق دقة لا تقل عن 1 درجة، يلزم 360 موضعًا مختلفًا على الأقل لكل دورة، وهو ما يتطلب 9 بتات كحد أدنى من البيانات، وبالتالي نفس عدد نقاط التلامس.

إذا وُضعت جميع نقاط التلامس في نفس الموضع الزاوي، فستحتاج إلى 9 مسارات للحصول على مُشفِّر BRGC قياسي بدقة لا تقل عن 1°. مع ذلك، إذا قام المُصنِّع بنقل نقطة تلامس إلى موضع زاوي مختلف (ولكن على نفس المسافة من العمود المركزي)، فسيلزم تدوير "نمط الحلقة" المقابل بنفس الزاوية للحصول على نفس المخرج. إذا تم تدوير البت الأكثر أهمية (الحلقة الداخلية في الشكل 1) بدرجة كافية، فإنه يُطابق تمامًا الحلقة التالية. بما أن الحلقتين متطابقتان حينها، يُمكن قطع الحلقة الداخلية، ونقل المستشعر الخاص بها إلى الحلقة المتبقية المطابقة (ولكن بإزاحة بنفس الزاوية عن المستشعر الآخر على تلك الحلقة). يُشكِّل هذان المستشعران على حلقة واحدة مُشفِّرًا تربيعيًا. هذا يُقلِّل عدد المسارات لمُشفِّر زاوي "بدقة 1°" إلى 8 مسارات. لا يُمكن تقليل عدد المسارات أكثر من ذلك باستخدام BRGC.

لسنوات عديدة، اعتقد تورستن سيلكه ^{[ 76 ]} وغيره من علماء الرياضيات أنه من المستحيل ترميز الموضع على مسار واحد بحيث لا يختلف الموضعان المتتاليان إلا عند مستشعر واحد، باستثناء مشفر التربيع ذي المستشعرين والمسار الواحد. لذا، في التطبيقات التي يكون فيها استخدام 8 مسارات ضخمًا للغاية، استُخدمت مشفرات تزايدية أحادية المسار (مشفرات تربيع) أو مشفرات ثنائية المسار "مشفر تربيع + شق مرجعي".

مع ذلك، سجّل نورمان ب. سبيدينغ براءة اختراع عام 1994 مع عدة أمثلة تُظهر إمكانية ذلك. ^{[ 71 ]} على الرغم من استحالة تمييز 2^ ⁿ موضعًا باستخدام n مستشعرًا على مسار واحد، إلا أنه من الممكن تمييز عدد قريب من ذلك. يفترض إتزيون وباترسون أنه عندما يكون n قوة للعدد 2، يمكن لـ n مستشعرًا تمييز 2^ ⁿ  -  2^ n موضعًا على الأكثر ، وأن الحد الأقصى لعدد المواضع هو 2 ^ ⁿ - 2^n موضعًا عندما يكون n عددًا أوليًا. ^{[ 77 ]} قام الباحثان بإنشاء رمز مسار واحد مكون من 504 موضعًا بطول 9، ويعتقدان أنه الأمثل. بما أن هذا العدد أكبر من 2 ^{^8} = 256، فإن أي رمز يتطلب أكثر من 8 مستشعرات، مع العلم أن رمز BRGC يمكنه تمييز 512 موضعًا باستخدام 9 مستشعرات.    

تم إعادة إنتاج نموذج STGC لـ P  =  30 و n  =  5 هنا:

يمثل كل عمود إزاحة دورية للعمود الأول، ولا يتغير سوى بت واحد من أي صف إلى الصف التالي. ^{[ 78 ]} تُعدّ طبيعة المسار الواحد (مثل سلسلة الشفرات) مفيدة في تصنيع هذه العجلات (مقارنةً بـ BRGC)، حيث لا يلزم سوى مسار واحد، مما يقلل من تكلفتها وحجمها. كما تُعدّ طبيعة شفرة غراي مفيدة (مقارنةً بشفرات السلسلة ، والتي تُسمى أيضًا متواليات دي بروين )، حيث يتغير مستشعر واحد فقط في أي وقت، وبالتالي فإن عدم اليقين أثناء الانتقال بين حالتين منفصلتين سيكون زائدًا أو ناقصًا وحدة واحدة فقط من القياس الزاوي الذي يستطيع الجهاز تمييزه. ^{[ 79 ]}

منذ إضافة هذا المثال بزاوية 30 درجة، ازداد الاهتمام بالأمثلة ذات الدقة الزاوية الأعلى. في عام 2008، اكتشف غاري ويليامز ^{[ 80 ]} ، استنادًا إلى عمل سابق ^{[ 77 ]} ، رمز غراي أحادي المسار ذو 9 بتات يوفر دقة درجة واحدة. استُخدم رمز غراي هذا لتصميم جهاز فعلي نُشر على موقع Thingiverse . صُمم هذا الجهاز ^{[ 81 ] بواسطة إيتزنسيب (فلوريان باور) في سبتمبر 2022.}

تم إعادة إنتاج نموذج STGC لـ P  =  360 و n  =  9 هنا:

تُستخدم رموز غراي ثنائية الأبعاد في الاتصالات لتقليل عدد أخطاء البت في تعديل سعة التربيع (QAM) بين النقاط المتجاورة في التشكيل . في التشفير النموذجي، تختلف النقاط المتجاورة أفقيًا ورأسيًا في التشكيل ببت واحد، بينما تختلف النقاط المتجاورة قطريًا ببتين. ^{[ 82 ]}

تُستخدم رموز غراي ثنائية الأبعاد أيضًا في مخططات تحديد المواقع ، حيث يتم تطبيق الرمز على خرائط المناطق مثل إسقاط مركاتور لسطح الأرض، ويتم استخدام دالة مسافة دورية ثنائية الأبعاد مناسبة مثل مقياس مانهايم لحساب المسافة بين موقعين مشفرين، وبالتالي الجمع بين خصائص مسافة هامينغ والاستمرار الدوري لإسقاط مركاتور. ^{[ 83 ]}

إذا تم استخراج جزء من قيمة ترميزية معينة، مثل آخر 3 بتات من ترميز غراي ذي 4 بتات، فإن الترميز الناتج سيكون "ترميز غراي زائد". يُظهر هذا الترميز خاصية العد التنازلي في البتات المستخرجة عند زيادة القيمة الأصلية. والسبب في ذلك هو أن القيم المُرمّزة بترميز غراي لا تُظهر سلوك تجاوز السعة، المعروف في الترميز الثنائي التقليدي، عند تجاوز القيمة "الأعلى".

مثال: أعلى قيمة لرمز غراي المكون من 3 بتات، وهي 7، تُشفّر على أنها (0)100. إضافة 1 ينتج عنها الرقم 8، الذي يُشفّر في غراي على أنه 1100. لا تتجاوز البتات الثلاث الأخيرة الحد الأقصى، ويتم العد تنازليًا إذا قمت بزيادة قيمة الرمز الأصلي المكون من 4 بتات.

عند العمل مع أجهزة الاستشعار التي تُخرج قيمًا متعددة مشفرة بصيغة Gray بطريقة متسلسلة، يجب الانتباه إلى ما إذا كان جهاز الاستشعار ينتج تلك القيم المتعددة مشفرة في رمز Gray واحد أو كقيم منفصلة، ​​وإلا فقد تبدو القيم وكأنها تحسب تنازليًا عندما يكون من المتوقع حدوث "تجاوز".