فقدان الذاكرة

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ انعدام الذاكرة خاصيةً من خواص التوزيعات الاحتمالية . وهو يصف الحالات التي لا تؤثر فيها الإخفاقات السابقة أو الوقت المنقضي على المحاولات اللاحقة أو على وقت الانتظار الإضافي. التوزيعات الهندسية والأسية فقط هي التي تنعدم فيها الذاكرة.

متغير عشوائي${\displaystyle X}$لا ذاكرة له إذا$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$أين${\displaystyle \Pr }$هل دالة كتلة الاحتمال الخاصة بها هي دالة كثافة الاحتمال عندما${\displaystyle X}$منفصل أو متصل على التوالي و${\displaystyle t}$و${\displaystyle s}$هي أعداد غير سالبة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} في الحالات المنفصلة، ​​يصف التعريف أول نجاح في سلسلة لانهائية من تجارب برنولي المستقلة والمتطابقة التوزيع ، مثل عدد مرات رمي ​​العملة حتى ظهور الصورة. ^{[ 3 ]} في الحالات المستمرة، يمثل انعدام الذاكرة الظواهر العشوائية، مثل الوقت بين زلزالين. ^{[ 4 ]} تؤكد خاصية انعدام الذاكرة أن عدد التجارب الفاشلة السابقة أو الوقت المنقضي مستقل ، أو ليس له تأثير، على التجارب المستقبلية أو الوقت المتوقع.

تُحدد هذه المساواة التوزيعات الهندسية والأسية في السياقات المنفصلة والمتصلة على التوالي. ^{[ 1 ] [ 5 ]} بعبارة أخرى، يُعد المتغير العشوائي الهندسي التوزيع المنفصل الوحيد عديم الذاكرة، بينما يُعد المتغير العشوائي الأسي التوزيع المتصل الوحيد عديم الذاكرة .

في سياقات منفصلة، ​​يتم تغيير التعريف إلى${\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}$عندما يبدأ التوزيع الهندسي عند${\displaystyle 0}$بدلاً من${\displaystyle 1}$وبالتالي، لا تزال المساواة قائمة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

إذا كان التوزيع الاحتمالي المستمر بلا ذاكرة، فلا بد أنه التوزيع الأسي.

انطلاقاً من خاصية انعدام الذاكرة،$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).}$$يكشف تعريف الاحتمال الشرطي أن$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t).}$$بإعادة ترتيب المعادلة باستخدام دالة البقاء ،${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$، يعطي$${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s).}$$وهذا يعني أنه لأي عدد طبيعي${\displaystyle k}$$${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}.}$$وبالمثل، من خلال تقسيم مدخلات دالة البقاء وأخذ${\displaystyle k}$الجذر رقم -th،$${\displaystyle S\left({\frac {t}{k}}\right)=S(t)^{\frac {1}{k}}.}$$بشكل عام، تكون المساواة صحيحة لأي عدد نسبي بدلاً من${\displaystyle k}$بما أن دالة البقاء متصلة والأعداد النسبية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية (بمعنى آخر، يوجد دائمًا عدد نسبي قريب جدًا من أي عدد حقيقي)، فإن المساواة تنطبق أيضًا على الأعداد الحقيقية. ونتيجة لذلك،$${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$أين${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$هذه هي دالة البقاء للتوزيع الأسي. ^{[ 5 ]}

إذا كان توزيع الاحتمال المنفصل بلا ذاكرة، فلا بد أن يكون التوزيع الهندسي.

انطلاقاً من خاصية انعدام الذاكرة، $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t).}$$يكشف تعريف الاحتمال الشرطي أن$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X\geq s)}}=\Pr(X>t).}$$ ومن هذا يمكن إثبات بالاستقراء أن $${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}.}$$ وبناءً على ذلك $${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)=1-\Pr(X>1)^{x},}$$ وإذا سمحنا $${\displaystyle p:=1-\Pr(X>1)\in [0,1]}$$ يمكننا أن نرى ذلك بسهولة${\displaystyle X}$يتم توزيعها هندسيًا بمعامل معين${\displaystyle p}$؛ بعبارة أخرى $${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p).}$$