مضاعف المال

في الاقتصاد النقدي ، مضاعف النقود هو نسبة المعروض النقدي إلى القاعدة النقدية (أي أموال البنك المركزي). إذا كان مضاعف النقود مستقرًا، فهذا يعني أن البنك المركزي يمكنه التحكم في المعروض النقدي من خلال تحديد القاعدة النقدية.

في بعض التفسيرات المبسطة، يتم تقديم المضاعف النقدي ببساطة باعتباره مقلوب نسبة الاحتياطي ، إن وجدت، التي يطلبها البنك المركزي. وبشكل أكثر عمومية، يعتمد المضاعف على تفضيلات الأسر ، والتنظيم القانوني ، وسياسات الأعمال للبنوك التجارية - وهي العوامل التي يمكن للبنك المركزي التأثير عليها، ولكن ليس السيطرة عليها بشكل كامل.

ولأن نظرية مضاعف النقود تقدم تفسيراً محتملاً للطرق التي يستطيع بها البنك المركزي التحكم في إجمالي المعروض النقدي، فإنها ذات صلة عند النظر في استراتيجيات السياسة النقدية التي تستهدف المعروض النقدي. تاريخياً، حاولت بعض البنوك المركزية إدارة السياسة النقدية من خلال استهداف المعروض النقدي ومعدل نموه، وخاصة في السبعينيات والثمانينيات. ومع ذلك، لم تُعتبر النتائج مرضية، وبدءًا من أوائل التسعينيات، تخلت معظم البنوك المركزية عن محاولة توجيه نمو النقود لصالح استهداف التضخم بشكل مباشر، باستخدام التغيرات في أسعار الفائدة كأداة رئيسية للتأثير على النشاط الاقتصادي. وبما أن التحكم في حجم المعروض النقدي لم يعد هدفًا مهمًا لسياسة البنك المركزي عمومًا، فقد أصبح مضاعف النقود أقل أهمية كأداة لفهم السياسة النقدية الحالية. ومع ذلك، لا يزال يستخدم غالبًا في الكتب المدرسية الاقتصادية التمهيدية، كوصف مختصر بسيط للارتباطات بين سياسات البنك المركزي والمعروض النقدي.

يُقدَّم مضاعف النقود عادةً في سياق بعض الهويات المحاسبية البسيطة : ^{[1] [2]} عادةً، يُعرَّف المعروض النقدي ( M ) بأنه يتكون من عنصرين: العملة (المادية) ( C ) وحسابات الودائع ( D ) التي يحتفظ بها عامة الناس. وبالتالي، بحكم التعريف:

${\displaystyle M=D+C.}$

بالإضافة إلى ذلك، يتم تعريف القاعدة النقدية ( ب ) (المعروفة أيضًا باسم النقود عالية القوة) عادةً على أنها مجموع العملة التي يحتفظ بها عامة الناس ( ج ) واحتياطيات القطاع المصرفي (المحتفظ بها إما كعملة في خزائن البنوك التجارية أو كودائع في البنك المركزي ) ( ر ):

${\displaystyle B=R+C.}$

إن إعادة ترتيب هذين التعريفين يؤدي إلى هوية ثالثة:

${\displaystyle M={\frac {1+C/D}{R/D+C/D}}B.}$^[1]

تصف هذه العلاقة المعروض النقدي من حيث مستوى النقود الأساسية ونسبتين: R/D هي نسبة احتياطيات البنوك التجارية إلى حسابات الودائع، وC/D هي نسبة العملة إلى الودائع لدى عامة الناس. ونظرًا لأن العلاقة هي هوية، فهي صحيحة بحكم التعريف، بحيث يمكن دائمًا التعبير عن التغيير في المعروض النقدي من حيث هذه المتغيرات الثلاثة وحدها. قد يكون هذا مفيدًا لأنه طريقة بسيطة لتلخيص تغييرات المعروض النقدي، لكن استخدام الهوية لا يوفر في حد ذاته نظرية سلوكية لما يحدد المعروض النقدي. ^[1] ومع ذلك، إذا افترضنا أيضًا أن النسبتين C/D وR/D ثابتتان محددتان خارجيًا ، فإن المعادلة تعني أن البنك المركزي يمكنه التحكم في المعروض النقدي من خلال التحكم في القاعدة النقدية من خلال عمليات السوق المفتوحة : في هذه الحالة، عندما تزيد القاعدة النقدية بمقدار 1 دولار، على سبيل المثال، فإن المعروض النقدي سيزداد بمقدار (1+C/D)/(R/D + C/D). هذا هو المحتوى المركزي لنظرية مضاعف النقود،

${\displaystyle {\frac {1+C/D}{R/D+C/D}}}$

هو مضاعف النقود، ^{[1] [2]} المضاعف هو عامل يقيس مدى تغير متغير داخلي (في هذه الحالة، المعروض النقدي) استجابة لتغير في بعض المتغيرات الخارجية (في هذه الحالة، القاعدة النقدية).

في بعض تطبيقات الكتب المدرسية، يتم تبسيط العلاقة بافتراض عدم وجود النقد بحيث يحتفظ الجمهور بالنقود فقط في شكل ودائع مصرفية. في هذه الحالة، تكون نسبة العملة إلى الودائع C/D مساوية للصفر، ويتم تبسيط مضاعف النقود إلى

${\displaystyle {\frac {1}{R/D}}.}$^[3]

من الناحية التجريبية، يمكن إيجاد مضاعف النقود كنسبة بعض مجموع النقود العريضة مثل M2 إلى M0 (النقود الأساسية). ^[4]

بشكل عام، تعكس نسبة العملة إلى الودائع C/D تفضيلات الأسر فيما يتعلق بشكل النقود التي ترغب في الاحتفاظ بها (العملة مقابل الودائع). سيتم تحديد نسبة الاحتياطي إلى الودائع R/D من خلال السياسات التجارية للبنوك التجارية والقوانين المنظمة للبنوك . ^{[2] : 86} يكتب بنيامين فريدمان في فصله عن المعروض النقدي في قاموس بالجريف الجديد للاقتصاد أن احتياطيات البنك المركزي (التي يوفرها البنك المركزي ويطلبها البنوك التجارية لعدة أسباب) والودائع (التي توفرها البنوك التجارية ويطلبها الأسر والشركات غير المالية) يتم تداولها في أسواق ذات توازن بين الطلب والعرض والتي تعتمد على سعر الفائدة بالإضافة إلى عدد من العوامل الأخرى. وبالتالي، يجب تفسير تمثيل مضاعف النقود على أنه "في الحقيقة مجرد تبسيط مختصر يعمل بشكل جيد أو سيئ اعتمادًا على قوة مرونة الفائدة ذات الصلة ومدى التباين في أسعار الفائدة والعديد من العوامل الأخرى المعنية". ^[5]

في بعض العروض التقديمية لنظرية مضاعف النقود، يتم إجراء تبسيط إضافي مفاده أن البنوك التجارية تحتفظ فقط بالاحتياطيات المطلوبة قانونًا من قبل السلطات النقدية بحيث يتم تحديد نسبة الاحتياطي إلى الدين مباشرة من قبل البنوك المركزية. ^[3] في العديد من البلدان، تحافظ السلطات النقدية على متطلبات الاحتياطي التي تضمن مستوى أدنى من الاحتياطيات في جميع الأوقات. ومع ذلك، قد تحتفظ البنوك التجارية غالبًا باحتياطيات زائدة ، أي احتياطيات تزيد عن متطلبات الاحتياطي القانوني. هذا هو الحال على سبيل المثال في البلدان التي لا تفرض متطلبات احتياطي قانونية على الإطلاق مثل الولايات المتحدة، ^{[6] [7]} والمملكة المتحدة وكندا وأستراليا ونيوزيلندا والدول الاسكندنافية. ^{[8] [9]} إن إمكانية اختيار البنوك طواعية للاحتفاظ باحتياطيات زائدة، بمبالغ قد تتغير بمرور الوقت مع تغير تكاليف الفرصة للبنوك، هي أحد الأسباب التي قد تجعل المضاعف النقدي غير مستقر. على سبيل المثال، بعد إدخال أسعار الفائدة على الاحتياطيات الفائضة في الولايات المتحدة، حدث نمو كبير في الاحتياطيات الفائضة أثناء الأزمة المالية في الفترة 2007-2010 ، حيث نمت الاحتياطيات الفائضة للبنوك الأمريكية بأكثر من 500 ضعف، من أقل من 2 مليار دولار في أغسطس 2008 إلى أكثر من 1000 مليار دولار في نوفمبر 2009. ^{[10] [11]}

إن الفكرة القائلة بأن البنوك قد تعدل نسبة الاحتياطي إلى الودائع لديها من تلقاء نفسها، الأمر الذي يجعل مضاعف النقود غير مستقر، فكرة قديمة. فقد أشار بول صامويلسون في كتابه الأكثر مبيعاً في عام 1948 إلى أن:

إن البنوك الاحتياطية تستطيع من خلال زيادة حجم الأوراق المالية والقروض الحكومية وخفض متطلبات الاحتياطي القانوني للبنوك الأعضاء أن تشجع زيادة المعروض من النقود والودائع المصرفية. وهي تستطيع أن تشجع، ولكنها لا تستطيع أن تفرض، دون اتخاذ إجراءات جذرية. ففي خضم الكساد العميق، وفي الوقت الذي نريد فيه أن تكون سياسة الاحتياطي أكثر فعالية، فمن المرجح أن تحجم البنوك الأعضاء عن شراء استثمارات جديدة أو تقديم قروض. وإذا اشترت السلطات الاحتياطية سندات حكومية في السوق المفتوحة وبالتالي تضخم احتياطيات البنوك، فلن تستغل البنوك هذه الأموال بل ستحتفظ بالاحتياطيات ببساطة. والنتيجة: لا خمسة مقابل واحد، "لا شيء"، ببساطة استبدال السندات الحكومية القديمة بالنقد الخامل في الميزانية العمومية للبنك.

—  (صموئيلسون 1948، ص 353-354)

وبعبارة أخرى، فإن الزيادة في أموال البنوك المركزية قد لا تؤدي إلى أموال البنوك التجارية لأن الأموال ليست مطلوبة للإقراض ــ بل قد تؤدي بدلاً من ذلك إلى نمو الاحتياطيات غير المقرضة (أي الفائضة). وقد أُشير إلى هذا الوضع باعتباره " الضغط على الخيط ": فسحب أموال البنوك المركزية يجبر البنوك التجارية على تقليص الإقراض (ويمكن للمرء سحب الأموال عبر هذه الآلية)، ولكن إدخال أموال البنك المركزي لا يجبر البنوك التجارية على الإقراض (وليس من الممكن الضغط عبر هذه الآلية). ^[12]

إن مقدار الأصول التي يختار البنك الاحتفاظ بها كاحتياطيات فائضة هو دالة متناقصة للمبلغ الذي يتجاوز به سعر السوق للقروض المقدمة لعامة الناس من البنوك التجارية سعر الفائدة على الاحتياطيات الفائضة والمبلغ الذي يتجاوز به سعر السوق للقروض المقدمة لبنوك أخرى (في الولايات المتحدة، سعر الأموال الفيدرالية ) سعر الفائدة على الاحتياطيات الفائضة. ولأن مضاعف النقود يعتمد بدوره سلباً على نسبة الاحتياطي/الودائع المرغوبة، فإن مضاعف النقود يعتمد إيجاباً على تكاليف الفرصتين هاتين. وعلاوة على ذلك، فإن اختيار الجمهور لنسبة العملة/الودائع يعتمد سلباً على معدلات العائد في السوق على البدائل عالية السيولة للعملة؛ ولأن نسبة العملة تؤثر سلباً على مضاعف النقود، فإن مضاعف النقود يتأثر إيجاباً بالعائد على هذه البدائل. لاحظ أنه عند إجراء تنبؤات بافتراض مضاعف ثابت، فإن التنبؤات تكون صالحة فقط إذا لم تتغير هذه النسب في الواقع. وفي بعض الأحيان يكون هذا صحيحاً، وفي أحيان أخرى لا يكون صحيحاً؛ على سبيل المثال، قد تؤدي الزيادة في أموال البنك المركزي (أي الأموال الأساسية) إلى زيادات في أموال البنوك التجارية - وسوف تفعل ذلك، إذا ظلت هذه النسب (وبالتالي المضاعف) ثابتة - أو قد تؤدي إلى زيادات في الاحتياطيات الزائدة ولكن القليل من التغيير أو لا تغيير على الإطلاق في أموال البنوك التجارية، وفي هذه الحالة سوف تنمو نسبة الاحتياطي إلى الودائع وسوف ينخفض ​​المضاعف. ^[13]

التفسير البديل لاتجاه السببية في الهوية الموصوفة أعلاه هو أن العلاقة بين المعروض النقدي والقاعدة النقدية تنتقل من الأول إلى الثاني: توفر البنوك المركزية التي تستهدف أسعار الفائدة أي قدر من الاحتياطيات التي يطلبها النظام المصرفي، بالنظر إلى متطلبات الاحتياطي ومقدار الودائع التي تم إنشاؤها. ^[14]

في هذا النموذج البديل لخلق النقود، يتم تقديم القروض أولاً من قبل البنوك التجارية - على سبيل المثال، قروض بقيمة 1000 دولار، والتي قد تتطلب بعد ذلك أن يقترض البنك 100 دولار من الاحتياطيات إما من المودعين أو من مصادر تمويل خاصة أخرى، أو من البنك المركزي. يتم طرح هذا الرأي في نظريات النقود الذاتية . ^[15] كما يُشار إليه أحيانًا باسم نموذج "القروض أولاً" على عكس نظرية المضاعف التقليدية، والتي يمكن تسميتها بنموذج "الاحتياطيات أولاً". ^[16]

وعلى الرغم من استخدام نظرية مضاعف النقود في العديد من الكتب المدرسية، إلا أن العديد من خبراء الاقتصاد يشككون في واقعية هذه النظرية، ويرفضونها عموماً باعتبارها وصفاً مفيداً لسلوك البنوك المركزية الفعلي اليوم، ويرجع هذا جزئياً إلى أن البنوك المركزية الكبرى لم تحاول عموماً السيطرة على المعروض النقدي خلال العقود الأخيرة، الأمر الذي يجعل هذه النظرية غير ذات صلة، وجزئياً لأنها تشكك في مدى قدرة البنوك المركزية على السيطرة على المعروض النقدي، إذا رغبت في ذلك. والسؤال الأخير يتعلق باستقرار مضاعف النقود.

تاريخيًا، استخدمت البنوك المركزية في بعض الفترات استراتيجيات لمحاولة استهداف مستوى معين أو معدل نمو في المعروض النقدي، وخاصة خلال أواخر السبعينيات والثمانينيات، مستوحاة من النظرية النقدية ونظرية كمية النقود . ^{[17] [18]} ومع ذلك، تبين أن هذه الاستراتيجيات لم تنجح بشكل جيد وتم التخلي عنها مرة أخرى. ^[19] في الولايات المتحدة، أصبحت أسعار الفائدة قصيرة الأجل أكثر تقلبًا بأربع مرات خلال الأعوام 1979-1982 عندما تبنى بنك الاحتياطي الفيدرالي نسخة معتدلة من ضبط القاعدة النقدية، بل إن المجموع النقدي المستهدف في ذلك الوقت، M1، زاد من تقلباته قصيرة الأجل. ^[1]

بدءًا من أوائل تسعينيات القرن العشرين، حدثت إعادة تفكير أساسية في السياسة النقدية في البنوك المركزية الكبرى، وتحولت إلى استهداف التضخم بدلاً من النمو النقدي واستخدام أسعار الفائدة بشكل عام لتنفيذ الأهداف بدلاً من التدابير الكمية مثل الاحتفاظ بكمية النقود الأساسية عند مستويات ثابتة. ^{[19] : 484-485} ونتيجة لذلك، نادرًا ما تدير البنوك المركزية الحديثة سياساتها من خلال محاولة التحكم في المعروض النقدي، ^[20] مما يعني أيضًا أن نظرية المضاعف النقدي أصبحت أقل أهمية كأداة لفهم السياسة النقدية الحالية. ^{[6] [21]}

ويشير تشارلز جودهارت في الفصل الذي تناول فيه القاعدة النقدية في كتابه "الجديد بالجريف" إلى أن النظام المصرفي لم يعمل قط تقريبا بالطريقة التي افترضتها نظرية المضاعف النقدي. بل إن البنوك المركزية استخدمت سلطاتها للتأثير على المستوى المرغوب من أسعار الفائدة بدلا من تحقيق كمية محددة سلفا من القاعدة النقدية أو من بعض الكتل النقدية. ويذكر أيضا أن التطور المؤسسي للأسواق المالية ، وخاصة أسواق الإقراض بين البنوك ، يعني أن مضاعف القاعدة النقدية لم يعد قادرا على العمل بالطريقة التقليدية. ويزعم بدلا من ذلك أن العملية السلوكية المؤدية إلى تغيير القواعد النقدية تمتد من تغيير أولي في أسعار الفائدة إلى إعادة ضبط لاحقة في كميات الكتل النقدية، والتي تحدد هذه الأسعار والقاعدة النقدية الملائمة. ^[1] كما يلاحظ ديفيد رومر في كتابه الدراسي للدراسات العليا " الاقتصاد الكلي المتقدم " أنه من الصعب على البنوك المركزية التحكم في المجاميع النقدية العريضة مثل M2، مما يتسبب في قيام البنوك المركزية عمومًا بتعيين سلوك المعروض النقدي دورًا غير مهم في السياسة، والتركيز بدلاً من ذلك على تعديل أسعار الفائدة الاسمية لتحقيق استقرار الاقتصاد. ^{[22] يلاحظ} جريجوري مانكيو ، مؤلف أحد الكتب المدرسية المتوسطة الأكثر قراءة ( الاقتصاد الكلي ) الذي يقدم نظرية مضاعف النقود، في طبعته الحادية عشرة أنه على الرغم من أن بنك الاحتياطي الفيدرالي يمكنه التأثير على المعروض النقدي، إلا أنه لا يستطيع التحكم فيه بالكامل لأن قرارات الأسر وتقدير البنوك في إدارة أعمالها قد يغير المعروض النقدي بطرق غير متوقعة من قبل البنك المركزي. ^[2]

بعد الأزمة المالية، أصدرت العديد من البنوك المركزية، بما في ذلك بنك الاحتياطي الفيدرالي ^[6] وبنك إنجلترا ^[23] والبنك المركزي الألماني ^[24] والبنك الوطني المجري ^[15] والبنك الوطني الدنماركي ^[25] تفسيرات لإنشاء النقود تدعم الرأي القائل بأن البنوك المركزية لا تتحكم عمومًا في إنشاء النقود، ولا تحاول ذلك، على الرغم من أن سياساتها النقدية لتحديد أسعار الفائدة تؤثر بشكل طبيعي على حجم القروض والودائع التي تنشئها البنوك التجارية. أطلق بنك الاحتياطي الفيدرالي في عام 2021 العديد من الموارد التعليمية لتسهيل تدريس سلوك السياسة النقدية الحالية، موصيًا المعلمين بتجنب الاعتماد على مفهوم مضاعف النقود، والذي وُصف بأنه عفا عليه الزمن وغير قابل للاستخدام. ^{[26] [21] [27]}

يزعم جارومير بينيس ومايكل كومهوف من قسم البحوث في صندوق النقد الدولي أن "مضاعف الودائع" في كتاب الاقتصاد الجامعي، حيث يتم إنشاء التجمعات النقدية بمبادرة من البنك المركزي، من خلال حقن أولي لأموال عالية القوة في النظام المصرفي والتي يتم مضاعفتها من خلال الإقراض المصرفي، يقلب العملية الفعلية لآلية نقل النقود رأساً على عقب. في جميع الأوقات، عندما تطلب البنوك الاحتياطيات، يلتزم البنك المركزي بذلك. وفقًا لهذا النموذج، لا تفرض الاحتياطيات أي قيد وبالتالي فإن مضاعف الودائع هو أسطورة. لذلك يزعم المؤلفان أن البنوك الخاصة تسيطر بشكل كامل تقريبًا على عملية خلق النقود. ^[28]

بالإضافة إلى التساؤل السائد حول جدوى نظرية مضاعف النقود، كان رفض هذه النظرية أيضًا موضوعًا في مدرسة الفكر الاقتصادي غير التقليدية ما بعد كينز . ^[21]

كما تم شرحه أعلاه، وفقًا لنظرية المضاعف النقدي، يحدث إنشاء النقود في نظام الاحتياطي الجزئي المصرفي عندما يقوم البنك بإقراض احتياطي معين، ثم إيداعه في بنك (ربما مختلف)، والذي يتم إقراضه مرة أخرى، وتتكرر العملية ^[2] والنتيجة النهائية هي سلسلة هندسية .

يمكن استخدام الصيغة التالية لمضاعف النقود، مع مراعاة صراحة حقيقة أن الجمهور لديه رغبة في الاحتفاظ ببعض العملات في شكل نقد وأن البنوك التجارية قد ترغب في الاحتفاظ باحتياطيات تفوق متطلبات الاحتياطي القانوني:

${\displaystyle m={\frac {(1+نسبة العملة/الإيداع)}{(نسبة العملة/الإيداع+نسبة الاحتياطي المرغوب)}}.}$

هنا تكون نسبة الاحتياطي المرغوب فيه هي مجموع نسبة الاحتياطي المطلوب ونسبة الاحتياطي الزائد.

الصيغة أعلاه مستمدة من الإجراء التالي. فلنفرض أن القاعدة النقدية موحدة. ولنحدد نسبة الاحتياطي القانوني، ونسبة الاحتياطيات الزائدة، ونسبة العملة/الودائع بالنسبة للودائع، ولنفترض أن الطلب على الأموال غير محدود؛ وعندئذٍ يتم تحديد الحد الأعلى النظري للودائع بالسلسلة التالية: ${\displaystyle \alpha \in \left(0,1\right)\;}$${\displaystyle \beta \in \left(0,1\right)\;}$${\displaystyle \gamma \in \left(0,1\right)\;}$

.

وعلى نحو مماثل، يتم تحديد الحد الأعلى النظري للأموال التي يحتفظ بها الجمهور من خلال السلسلة التالية:

ويتم تحديد الحد الأعلى النظري لإجمالي القروض المقدمة في السوق من خلال السلسلة التالية:

من خلال جمع الكميتين، يتم تعريف مضاعف النقود النظري على النحو التالي:

حيث α + β = نسبة الاحتياطي المطلوبة و${\displaystyle \gamma =العملة/الوديعة}$

يمكن تمثيل العملية الموصوفة أعلاه بالسلسلة الهندسية في الجدول التالي، حيث

• القروض في المرحلة هي دالة على الودائع في المرحلة السابقة:${\displaystyle k\;}$${\displaystyle L_{k}=\left(1-\alpha -\beta \right)\cdot D_{k-1}}$
• إن الأموال المملوكة للعامة في هذه المرحلة هي دالة على الودائع في المرحلة السابقة:${\displaystyle k\;}$${\displaystyle PHM_{k}=\gamma \cdot D_{k-1}}$
• الودائع في المرحلة هي الفرق بين القروض الإضافية والأموال المملوكة للعامة بالنسبة لنفس المرحلة:${\displaystyle k\;}$${\displaystyle D_{k}=L_{k}-PHM_{k}\;}$

عملية مضاعفة النقود

ن	الودائع	القروض	الأموال المملوكة للعامة
${\displaystyle n=0\;}$	${\displaystyle D_{0}=1\;}$	-	-
${\displaystyle n=1\;}$	${\displaystyle D_{1}=\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)}$	${\displaystyle L_{1}=\left(1-\alpha -\beta \right)}$	${\displaystyle PHM_{1}=\gamma \;}$
${\displaystyle n=2\;}$	${\displaystyle D_{2}=\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle L_{2}=\left(1-\alpha -\beta \right)\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)}$	${\displaystyle PHM_{2}=\gamma \left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)}$
${\displaystyle n=3\;}$	${\displaystyle D_{3}=\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{3}}$	${\displaystyle L_{3}=\left(1-\alpha -\beta \right)\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle PHM_{3}=\gamma \left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{2}}$
…	…	…	…
${\displaystyle n=k\;}$	${\displaystyle D_{k}=\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{k}}$	${\displaystyle L_{k}=\left(1-\alpha -\beta \right)\left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{k-1}}$	${\displaystyle PHM_{k}=\gamma \left(1-\alpha -\beta -\gamma \right)^{k-1}}$
…	…	…	…
${\displaystyle n\rightarrow \infty }$	${\displaystyle D_{\infty }=0}$	${\displaystyle L_{\infty }=0}$	${\displaystyle PHM_{\infty }=0}$
	إجمالي الودائع:	إجمالي القروض:	إجمالي الأموال المملوكة للعامة:
	${\displaystyle D={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}}$	${\displaystyle L={\frac {1-\alpha -\beta }{\alpha +\beta +\gamma }}}$	${\displaystyle PHM={\frac {\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}}$

يمكن تصوير عملية إعادة الإقراض هذه (على افتراض عدم استخدام أي عملة) على النحو التالي، بافتراض نسبة احتياطي تبلغ 20% وإيداع أولي بقيمة 100 دولار:

بنك فردي	المبلغ المودع	الصوم الكبير	الاحتياطيات
أ	100.00	80.00	20.00
ب	80.00	64.00	16.00
ج	64.00	51.20	12.80
د	51.20	40.96	10.24
هـ	40.96	32.77	8.19
ف	32.77	26.21	6.55
ج	26.21	20.97	5.24
ح	20.97	16.78	4.19
أنا	16.78	13.42	3.36
ج	13.42	10.74	2.68
ك	10.74
			إجمالي الاحتياطيات:
			89.26
	إجمالي مبلغ الودائع:	المبلغ الإجمالي المقترض:	إجمالي الاحتياطيات + آخر مبلغ تم إيداعه:
	457.05	357.05	100.00
مصادر الجدول: [29] [30] [31] [32]

لاحظ أنه بغض النظر عن عدد المرات التي يتم فيها إعادة إقراض مبالغ أصغر فأصغر من المال، فإن متطلب الاحتياطي القانوني لا يتم تجاوزه أبدًا - لأن ذلك سيكون غير قانوني.