أخذ العينات متعدد الأبعاد

في معالجة الإشارات الرقمية ، تُعرف عملية أخذ العينات متعددة الأبعاد بتحويل دالة لمتغير متعدد الأبعاد إلى مجموعة منفصلة من قيم هذه الدالة، مُقاسة على مجموعة منفصلة من النقاط. تُقدم هذه المقالة النتيجة الأساسية التي توصل إليها بيترسن وميدلتون ^{[ 1 ]} بشأن شروط إعادة بناء دالة محدودة العدد الموجي بشكل كامل من قياساتها على شبكة منفصلة من النقاط. تُعرف هذه النتيجة أيضًا باسم نظرية بيترسن-ميدلتون ، وهي تعميم لنظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات ، والتي تُستخدم لأخذ عينات من دوال أحادية البعد محدودة النطاق إلى فضاءات إقليدية ذات أبعاد أعلى .

باختصار، تُبيّن نظرية بيترسن-ميدلتون أنه يُمكن إعادة بناء دالة محدودة العدد الموجي بشكل كامل من قيمها على شبكة لانهائية من النقاط، شريطة أن تكون الشبكة دقيقة بما فيه الكفاية. وتُقدّم النظرية شروطًا على الشبكة تُتيح إعادة البناء الكامل.

كما هو الحال مع نظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات، تفترض هذه النظرية أيضًا تبسيطًا مثاليًا لأي حالة واقعية، إذ أنها لا تنطبق إلا على الدوال التي يتم أخذ عينات منها على عدد لا نهائي من النقاط. إعادة البناء المثالية ممكنة رياضيًا للنموذج المثالي، لكنها مجرد تقريب للدوال وتقنيات أخذ العينات في العالم الحقيقي، وإن كانت في الواقع غالبًا ما تكون جيدة جدًا.

يمكن تعميم مفهوم الدالة محدودة النطاق في بُعد واحد إلى مفهوم الدالة محدودة العدد الموجي في أبعاد أعلى. تذكر أن تحويل فورييه لدالة قابلة للتكامل${\displaystyle f(\cdot )}$يُعرَّف الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n على النحو التالي:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )={\mathcal {F}}(f)(\xi )=\int _{\Re ^{n}}f(x)e^{-2\pi i\langle x,\xi \rangle }\,dx}$

حيث x و ξ متجهان ذوا أبعاد n ، و${\displaystyle \langle x,\xi \rangle }$هو حاصل الضرب الداخلي للمتجهات. الدالة${\displaystyle f(\cdot )}$يقال إن عدد الموجات محدود بمجموعة$أوميغا$إذا كان تحويل فورييه يحقق${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=0}$ل${\displaystyle \xi \notin \Omega }$.

وبالمثل، يمكن تعميم تكوين نقاط أخذ العينات المتباعدة بانتظام في بُعد واحد إلى شبكة في أبعاد أعلى. الشبكة هي مجموعة من النقاط${\displaystyle \Lambda \subset \Re ^{n}}$من الشكل ${\displaystyle \Lambda =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$ حيث { v ₁ , ..., v _n } هي أساس لـ${\displaystyle \Re ^{n}}$الشبكة المقلوبة${\displaystyle \Gamma }$بما يتوافق مع${\displaystyle \Lambda }$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \Gamma =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

حيث المتجهات${\displaystyle u_{i}}$يتم اختيارها لإرضاء${\displaystyle \langle u_{i},v_{j}\rangle =\delta _{ij}}$أي إذا كانت المتجهات${\displaystyle u_{i}}$تشكيل أعمدة المصفوفة${\displaystyle A}$و${\displaystyle v_{i}}$أعمدة المصفوفة${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle A=B^{-T}}$من الأمثلة على شبكة أخذ العينات في الفضاء ثنائي الأبعاد الشبكة السداسية الموضحة في الشكل 1. أما الشبكة المقلوبة المقابلة لها فتظهر في الشكل 2. الشبكة المقلوبة لشبكة مربعة في بعدين هي شبكة مربعة أخرى. وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد، تكون الشبكة المقلوبة لشبكة مكعبة مركزية الوجوه (FCC) هي شبكة مكعبة مركزية الجسم (BCC).

يترك${\displaystyle \Lambda }$يرمز إلى شبكة في${\displaystyle \Re ^{n}}$و${\displaystyle \Gamma }$الشبكة المقلوبة المقابلة. تنص نظرية بيترسن وميدلتون ^{[ 1 ]} على أن الدالة${\displaystyle f(\cdot )}$أي محدود برقم الموجة لمجموعة${\displaystyle \Omega \subset \Re ^{n}}$يمكن إعادة بنائها بدقة من قياساتها على${\displaystyle \Lambda }$بشرط أن تكون المجموعة$أوميغا$لا يتداخل مع أي من إصداراته المتحولة${\displaystyle \Omega +x}$حيث يمثل الإزاحة x أي عنصر غير صفري من الشبكة المقلوبة${\displaystyle \Gamma }$. بعبارة أخرى،${\displaystyle f(\cdot )}$يمكن إعادة بنائها بدقة من قياساتها على${\displaystyle \Lambda }$بشرط أن${\displaystyle \Omega \cap \{x+y:y\in \Omega \}=\emptyset }$للجميع${\displaystyle x\in \Gamma \setminus \{0\}}$.

يمكن استخدام تعميم صيغة جمع بواسون إلى أبعاد أعلى ^{[ 2 ]} لإظهار أن العينات،${\displaystyle \{f(x):x\in \Lambda \}}$، من الوظيفة${\displaystyle f(\cdot )}$على الشبكة${\displaystyle \Lambda }$تكفي لإنشاء مجموع دوري للدالة${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$والنتيجة هي:

$//$

المعادلة 1

أين${\displaystyle |\Lambda |}$يمثل حجم متوازي المستطيلات المتكون من المتجهات { v1 , ..., vn _} . تُعرف هذه الدالة الدورية غالبًا باسم الطيف المأخوذة عينات منه، ويمكن تفسيرها على أنها نظير _لتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) في أبعاد أعلى. إذا كان الطيف الأصلي محدودًا بعدد الموجات${\displaystyle {\hat {f}}(\cdot )}$مدعوم على المجموعة$أوميغا$ثم الدالة${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$يعتمد على التكرارات الدورية لـ$أوميغا$مُزاحة بنقاط على الشبكة المقلوبة${\displaystyle \Gamma }$إذا تحققت شروط نظرية بيترسن-ميدلتون، فإن الدالة${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\xi )}$يساوي${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$للجميع${\displaystyle \xi \in \Omega }$وبالتالي، يمكن إعادة بناء الحقل الأصلي بدقة من العينات. في هذه الحالة، يتطابق الحقل المُعاد بناؤه مع الحقل الأصلي، ويمكن التعبير عنه بدلالة العينات كما يلي:

${\displaystyle f(x)=\sum _{y\in \Lambda }|\Lambda |f(y){\check {\chi }}_{\Omega }(yx)}$،

المعادلة 2

أين${\displaystyle {\check {\chi }}_{\Omega }(\cdot )}$هو التحويل العكسي لفورييه للدالة المميزة للمجموعة$أوميغا$. صيغة الاستيفاء هذه هي المكافئ ذو الأبعاد الأعلى لصيغة الاستيفاء Whittaker–Shannon .

على سبيل المثال، لنفترض أن$أوميغا$هو قرص دائري. يوضح الشكل 3 دعامة${\displaystyle {\hat {f}}_{s}(\cdot )}$عند استيفاء شروط نظرية بيترسن-ميدلتون، نلاحظ أن التكرارات الطيفية لا تتداخل، وبالتالي يمكن استعادة الطيف الأصلي بدقة.

تُعد نظرية بيترسن-ميدلتون مفيدة في تصميم استراتيجيات فعالة لوضع أجهزة الاستشعار في التطبيقات التي تتضمن قياس الظواهر المكانية مثل المسوحات الزلزالية، ومراقبة البيئة، وقياسات المجال الصوتي المكاني. ^{[ 11 ]}