نظرية غودارد-ثورن

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديداً في الخلفية الرياضية لنظرية الأوتار ، تُعرف نظرية غودارد-ثورن (وتُسمى أيضاً نظرية انعدام الأشباح ) بأنها نظرية تصف خصائص دالة تُكمّم الأوتار البوزونية . وقد سُميت نسبةً إلى بيتر غودارد وتشارلز ثورن .

يُستمد اسم "نظرية انعدام الأشباح" من حقيقة أن الضرب الداخلي الطبيعي المُستحث على فضاء متجهات الخرج، في نص النظرية الأصلي، يكون موجبًا تمامًا. وبالتالي، لم تكن هناك ما يُسمى بالأشباح ( أشباح باولي-فيلار )، أو متجهات ذات معيار سالب. كما أن اسم "نظرية انعدام الأشباح" هو تورية على نظرية "عدم الإمكانية" في ميكانيكا الكم.

إفادة

هذا البيان هو بيان بورشيردز (1992).

لنفترض أنV{\displaystyle V}هو تمثيل موحد لجبر فيراسوروVأنار{\displaystyle \mathrm {فير} }، لذاV{\displaystyle V}وهو مزود بشكل ثنائي الخطية غير متدهور(⋅،⋅){\displaystyle (\cdot ,\cdot )}وهناك تماثل جبريρ:Vأنار→هـند(V){\displaystyle \rho :\mathrm {Vir} \rightarrow \mathrm {End} (V)} لذلك ρ(لأنا)†=ρ(ل-أنا){\displaystyle \rho (L_{i})^{\dagger }=\rho (L_{-i})} حيث يتم تعريف المرافق بالنسبة للصيغة الثنائية الخطية، و ρ(ج)=24أنادV.{\displaystyle \rho (c)=24\mathrm {id} _{V}.} لنفترض أيضاً أنV{\displaystyle V}يتحلل إلى مجموع مباشر للفضاءات الذاتية لـل0{\displaystyle L_{0}}بقيم ذاتية غير سالبة وصحيحةأنا≥0{\displaystyle i\geq 0}، المشار إليهVأنا{\displaystyle V^{i}}وأن كلVأنا{\displaystyle V^{i}}هو ذو أبعاد محدودة (مما يعطيV{\displaystyle V}أZ≥0{\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}}( التقييم ). افترض أيضًا أنV{\displaystyle V}يعترف بفعل من مجموعةجي{\displaystyle G}وهذا يحافظ على هذا التصنيف.

بالنسبة لشبكة لورنتزية ثنائية الأبعاد أحادية المعامل الزوجية II 1,1 ، نرمز إلى جبر رؤوس الشبكة المقابل بـVأناأنا1،1{\displaystyle V_{II_{1,1}}}هذا جبر من الدرجة الثانية 1,1 ذو شكل ثنائي الخطية ويحمل تأثير جبر فيراسورو.

يتركP1{\displaystyle P^{1}}ليكن الفضاء الجزئي لجبر الرؤوسV⊗Vأناأنا1،1{\displaystyle V\otimes V_{II_{1,1}}}يتكون من متجهاتv{\displaystyle v}بحيثل0⋅v=v،لن⋅v=0{\displaystyle L_{0}\cdot v=v,L_{n}\cdot v=0}لن>0{\displaystyle n>0}. يتركPر1{\displaystyle P_{r}^{1}}ليكن الفضاء الجزئي منP1{\displaystyle P^{1}}درجة علميةر∈أناأنا1،1{\displaystyle r\in II_{1,1}}كل مساحة ترثجي{\displaystyle G}- إجراء يعمل وفقًا لما هو منصوص عليهV{\displaystyle V}وبشكل تافهVأناأنا1،1{\displaystyle V_{II_{1,1}}}.

ناتج قسمة​Pر1{\displaystyle P_{r}^{1}}بواسطة الفضاء الصفري لشكلها الثنائي الخطي، يكون متماثلاً بشكل طبيعي كـجي{\displaystyle G}- وحدة نمطية ذات شكل ثنائي خطي ثابت، إلىV1-(ر،ر)/2{\displaystyle V^{1-(r,r)/2}}لور≠0{\displaystyle r\neq 0}وV1⊕R2{\displaystyle V^{1}\oplus \mathbb {R} ^{2}}لور=0{\displaystyle r=0}.

II 1,1

الشبكة II 1,1 هي شبكة من الرتبة 2 ذات شكل ثنائي الخطية (0-1-10).{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.} هذا متساوٍ، أحادي الوحدة، ومتكامل مع التوقيع (+،-).

الشكلية

يوجد دالتان متماثلتان طبيعيًا تُستخدمان عادةً لتكميم الأوتار البوزونية. في كلتا الحالتين، يبدأ المرء بتمثيلات الطاقة الموجبة لجبر فيراسورو ذي الشحنة المركزية 26، والمجهز بأشكال ثنائية الخطية ثابتة تحت تأثير فيراسورو، وينتهي بفضاءات متجهة مجهزة بأشكال ثنائية الخطية. هنا، تعني عبارة "ثابتة تحت تأثير فيراسورو" أن Lⁿ مترافق مع L⁻ⁿ لجميع الأعداد الصحيحة n .

الدالة الأولى تاريخيًا هي "التكميم الكنسي القديم"، وتُعطى بأخذ خارج قسمة الفضاء الجزئي الأولي ذي الوزن 1 على جذر الشكل الثنائي الخطي. هنا، "الفضاء الجزئي الأولي" هو مجموعة المتجهات التي يُفنيها Lⁿ لجميع قيم n الموجبة تمامًا ، و"الوزن 1" يعني أن L⁰ يعمل كدالة محايدة. أما الدالة الثانية، المتماثلة طبيعيًا، فتُعطى بواسطة تماثل BRST من الدرجة 1. غالبًا ما تتضمن المعالجات القديمة لتماثل BRST تحولًا في الدرجة نتيجةً لتغيير في اختيار شحنة BRST، لذا قد نجد تماثلًا من الدرجة -1/2 في الأبحاث والنصوص المنشورة قبل عام 1995. يمكن إيجاد برهان على أن الدوال متماثلة طبيعيًا في القسم 4.4 من كتاب بولشينسكي في نظرية الأوتار .

تُشير نظرية غودارد-ثورن إلى أن دالة التكميم هذه تُلغي، إلى حد كبير، إضافة بوزونين حرين، كما افترض لوفليس عام 1971. وكان ادعاء لوفليس الدقيق هو أنه عند البُعد الحرج 26، تُلغي متطابقات وارد من نوع فيراسورو مجموعتين كاملتين من المذبذبات. رياضيًا، يُصاغ هذا الادعاء على النحو التالي:

ليكن V تمثيلًا فيراسورو قابلًا للوحدة بشحنة مركزية 24 وشكل ثنائي خطي ثابت تحت تأثير فيراسورو، وليكن π 1,1 λ الوحدة غير القابلة للاختزال لجبر لي هايزنبرغ R 1,1 المرفق بمتجه غير صفري λ في R 1,1 . عندئذٍ، تكون صورة V  ⊗ π 1,1 λ تحت التكميم متماثلة قانونيًا مع الفضاء الجزئي من V الذي يؤثر عليه L 0 بواسطة 1-( λ , λ ). 

وتنتج خاصية عدم وجود أشباح مباشرة، حيث يتم نقل البنية الهرميتية الموجبة المحددة لـ V إلى الصورة تحت التكميم.

التطبيقات

يمكن تطبيق دوال تكميم الأوتار البوزونية الموصوفة هنا على أي جبر رؤوس توافقي ذي شحنة مركزية 26، ويكون الناتج بطبيعته ذا بنية جبر لي. ويمكن بعد ذلك تطبيق نظرية غودارد-ثورن لوصف جبر لي وصفًا ملموسًا بدلالة جبر الرؤوس المدخل.

لعلّ أبرز مثال على هذا التطبيق هو برهان ريتشارد بورشيردز على حدسية ضوء القمر الوحشية ، حيث يُمثّل تمثيل فيراسورو القابل للوحدة جبر الرؤوس الوحشي (المعروف أيضًا باسم "وحدة ضوء القمر") الذي بناه كلٌّ من فرينكل وليبوفسكي وميورمان . وبأخذ حاصل ضرب موتر مع جبر الرؤوس المرفق بشبكة زائدية من الرتبة 2، وتطبيق التكميم، نحصل على جبر لي الوحشي ، وهو جبر كاك-مودي مُعمّم مُدرّج بواسطة الشبكة. وباستخدام نظرية غودارد-ثورن، بيّن بورشيردز أن الأجزاء المتجانسة من جبر لي متماثلة طبيعيًا مع الأجزاء المُدرّجة من وحدة ضوء القمر، باعتبارها تمثيلات للمجموعة البسيطة الوحشية .

وتشمل التطبيقات السابقة تحديد فرينكل للحدود العليا على تعدد جذور جبر لي كاك-مودي الذي يكون مخطط دينكين الخاص به هو شبكة ليتش ، وبناء بورشيردز لجبر لي كاك-مودي المعمم الذي يحتوي على جبر لي فرينكل ويشبع حد فرينكل 1/∆.

مراجع