حول الأرقام والألعاب

كتاب "حول الأعداد والألعاب" هو كتاب رياضيات من تأليف جون هورتون كونواي، نُشر لأول مرة عام ١٩٧٦. ^{[ ١ ]} الكتاب من تأليف عالم رياضيات بارز، وموجه إلى علماء الرياضيات. ومع ذلك، تُعرض المادة بأسلوب شيق وبسيط، والعديد من الفصول سهلة الفهم لغير المتخصصين في الرياضيات. ناقش مارتن غاردنر الكتاب باستفاضة، ولا سيما بناء كونواي للأعداد السريالية ، في عموده "الألعاب الرياضية" في مجلة "ساينتفك أمريكان" في سبتمبر ١٩٧٦. ^{[ ٢ ]}

ينقسم الكتاب تقريبًا إلى قسمين: النصف الأول (أو الجزء الصفري ) يتناول الأعداد ، والنصف الثاني (أو الجزء الأول ) يتناول الألعاب . في الجزء الصفري ، يقدم كونواي بديهيات الحساب: الجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، والمتباينات. وهذا يسمح ببناء بديهي للأعداد والحساب الترتيبي ، أي الأعداد الصحيحة ، والأعداد الحقيقية ، واللانهاية القابلة للعد ، وسلاسل كاملة من الأعداد الترتيبية اللانهائية . يأخذ الكائن الذي تنطبق عليه هذه البديهيات الشكل {L|R}، والذي يمكن تفسيره على أنه نوع متخصص من المجموعات ؛ نوع من المجموعات ثنائية الجوانب. من خلال الإصرار على أن L<R، تشبه هذه المجموعة ثنائية الجوانب قطع ديديكيند . ينتج عن البناء الناتج حقل ، يُسمى الآن بالأعداد السريالية . الأعداد الترتيبية مضمنة في هذا الحقل. يستند هذا البناء إلى نظرية المجموعات البديهية ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا ببديهيات زيرميلو-فرانكل . في الكتاب الأصلي، يشير كونواي ببساطة إلى هذا المجال باسم "الأعداد". وقد تم اعتماد مصطلح " الأعداد السريالية " لاحقًا، بناءً على اقتراح دونالد كنوث .

في الجزء الأول ، يشير كونواي إلى أنه بإسقاط القيد L<R، تظل البديهيات سارية ويستمر البناء، لكن لا يمكن تفسير الكائنات الناتجة كأعداد. بل يمكن تفسيرها كفئة جميع الألعاب الثنائية. وتُعتبر بديهيات " أكبر من" و" أصغر من" ترتيبًا طبيعيًا للألعاب، يُحدد أي اللاعبين قد يفوز. أما بقية الكتاب، فهي مخصصة لاستكشاف عدد من الألعاب الثنائية المختلفة (غير التقليدية، والمستوحاة من الرياضيات)، مثل نيم ، وهاكنبوش ، وألعاب تلوين الخرائط كول وسنورت . ويشمل التطوير نظام تسجيل النقاط، ومراجعة نظرية سبراغ-غروندي ، والعلاقات المتبادلة مع الأعداد، بما في ذلك علاقتها بالمتناهيات في الصغر .

نُشر الكتاب لأول مرة بواسطة دار النشر الأكاديمية عام 1976، رقم ISBN 0-12-186350-6وصدرت طبعة ثانية من قبل إيه كيه بيترز في عام 2001 ( ISBN) 1-56881-127-6يحتوي هذا الإصدار على مقدمة وخاتمة جديدتين بقلم كونواي، بالإضافة إلى العديد من التحديثات في النص. أما النسخة المتوفرة حاليًا من دار نشر CRC Press ، التي استحوذت على حقوق نشر أعمال إيه كيه بيترز عام ٢٠١٠، فهي مطبوعة بجودة رديئة للغاية، كما هو موضح في المثال في نهاية هذه المقالة.

في الجزء الصفري، الفصل 0، يُقدّم كونواي شكلاً خاصاً من تدوين المجموعات ، على الصورة {L|R}، حيث L وR هما أيضاً على هذه الصورة، مبنيتان بشكل تكراري، وتنتهيان بـ {|}، والتي تُقرأ كنظير للمجموعة الفارغة. وباستخدام هذا الشكل، يمكن تقديم تعريفات بديهية للجمع والطرح والضرب والقسمة والمتباينات. طالما يُصرّ المرء على أن L<R (مع كون هذا صحيحاً بشكل بديهي عندما تكون L أو R هي المجموعة الفارغة)، فإن فئة الكائنات الناتجة يمكن تفسيرها على أنها أعداد، وهي الأعداد السريالية . وبالتالي، يُشبه تدوين {L|R} قطع ديديكيند .

الترتيبي${\displaystyle \omega }$يتم بناؤها بالاستقراء المتسامي . كما هو الحال مع الأعداد الترتيبية التقليدية،${\displaystyle \omega +1}$يمكن تعريفها. بفضل التعريف البديهي للطرح،${\displaystyle \omega -1}$ويمكن تعريفها بشكل متماسك أيضًا: إنها أقل من${\displaystyle \omega }$، وتخضع للمساواة "البديهية"${\displaystyle (\omega -1)+1=\omega .}$ومع ذلك، فهو لا يزال أكبر من أي عدد طبيعي .

يُتيح هذا البناء مجموعةً كاملةً من الأعداد الشاذة، وهي الأعداد السريالية، التي تُشكّل حقلاً . ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle \omega /2}$،${\displaystyle 1/\omega }$،${\displaystyle {\sqrt {\omega }}=\omega ^{1/2}}$،${\displaystyle \أوميغا ^{1/\أوميغا }}$وما شابه ذلك.

في الجزء الأول، يتخلى كونواي عن القيد L<R، ثم يفسر الصيغة {L|R} كلعبة ثنائية اللاعبين: موقف في منافسة بين لاعبين، اليسار واليمين . يمتلك كل لاعب مجموعة من الألعاب تُسمى خيارات ، ليختار منها بالتناوب. تُكتب الألعاب {L|R} حيث L هي مجموعة خيارات اليسار وR هي مجموعة خيارات اليمين . ^{[ 3 ]} في البداية، لا توجد أي ألعاب على الإطلاق، لذا فإن المجموعة الفارغة (أي المجموعة التي لا تحتوي على أي عناصر) هي مجموعة الخيارات الوحيدة التي يمكننا توفيرها للاعبين. هذا يُعرّف اللعبة {|}، والتي تُسمى 0. نعتبر اللاعب الذي يجب أن يلعب دوره ولكن ليس لديه أي خيارات خاسرًا للعبة. بالنظر إلى هذه اللعبة 0، توجد الآن مجموعتان محتملتان من الخيارات، المجموعة الفارغة والمجموعة التي عنصرها الوحيد هو الصفر. تُسمى اللعبة {0|} 1، وتُسمى اللعبة {|0} -1. تُسمى اللعبة {0|0} * (نجمة) ، وهي أول لعبة نجدها ليست رقمًا.

جميع الأرقام إما موجبة أو سالبة أو صفر ، ونقول إن اللعبة موجبة إذا كان لدى اللاعب الأيسر استراتيجية رابحة، وسالبة إذا كان لدى اللاعب الأيمن استراتيجية رابحة، وصفرية إذا كان لدى اللاعب الثاني استراتيجية رابحة. أما الألعاب التي لا تمثل أرقامًا فلها احتمال رابع: قد تكون غامضة ، أي أن اللاعب الأول لديه استراتيجية رابحة. * لعبة غامضة. ^{[ 4 ]}

• طرق رابحة في استراتيجياتك الرياضية