تدفق القناة المفتوحة

تأخذ معادلة الاستمرارية العامة ، التي تصف حفظ الكتلة، الشكل التالي:$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$أين${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل و${\displaystyle \nabla \cdot ()}$هو عامل التباعد . بافتراض التدفق غير القابل للانضغاط، مع حجم تحكم ثابت${\displaystyle V}$، لهذه المعادلة التعبير البسيط${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ومع ذلك، من الممكن أن تكون مساحة المقطع العرضي${\displaystyle A}$يمكن أن تتغير مع كل من الزمان والمكان في القناة. إذا بدأنا من الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$من الممكن تقسيم التكامل الحجمي إلى مقطع عرضي وطول، مما يؤدي إلى الشكل التالي:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$بافتراض أن التدفق غير قابل للانضغاط، وفي بُعد واحد، تصبح هذه المعادلة كما يلي:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \int _{A}dA=A}$وتحديد معدل التدفق الحجمي${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$، وبذلك تُختزل المعادلة إلى:$${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$وأخيرًا، يؤدي هذا إلى معادلة الاستمرارية لتدفق الموائع غير القابلة للانضغاط في قناة مفتوحة أحادية البعد:

يمكن إيجاد معادلة الزخم لتدفق القناة المفتوحة بالبدء من معادلات نافيير-ستوكس غير القابلة للانضغاط  :$${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$أين${\displaystyle p}$هو الضغط ،${\displaystyle \nu }$هي اللزوجة الحركية ،${\displaystyle \Delta }$هو عامل لابلاس ، و${\displaystyle \Phi =gz}$يمثل الجهد الجاذبي . وبافتراض رقم رينولدز العالي وتدفق أحادي البعد، نحصل على المعادلات التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$المعادلة الثانية تشير إلى ضغط هيدروستاتيكي${\displaystyle p=\rho g\zeta }$، حيث عمق القناة${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$هو الفرق بين ارتفاع السطح الحر${\displaystyle \zeta }$وقاع القناة${\displaystyle z_{b}}$بالتعويض في المعادلة الأولى نحصل على:$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$حيث ينحدر قاع القناة${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$لحساب إجهاد القص على طول ضفاف القناة، يمكننا تعريف مصطلح القوة على النحو التالي:$${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$أين${\displaystyle \tau }$هو إجهاد القص و${\displaystyle R}$يمثل نصف القطر الهيدروليكي . يحدد ميل الاحتكاك${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$، وهي طريقة لتحديد كمية فقدان الاحتكاك، تؤدي إلى الشكل النهائي لمعادلة الزخم:

لاستنتاج معادلة الطاقة ، لاحظ أن مصطلح التسارع الحملي${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$يمكن تحليلها على النحو التالي:$${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$أين${\displaystyle \omega }$هي دوامية التدفق و${\displaystyle \|\cdot \|}$هي المعيار الإقليدي . وهذا يؤدي إلى شكل من أشكال معادلة الزخم، مع إهمال حد القوى الخارجية، كما يلي:$${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$بأخذ حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle {\bf {v}}}$تؤدي هذه المعادلة إلى:$${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$تم التوصل إلى هذه المعادلة باستخدام الضرب الثلاثي القياسي${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$. يُعرِّف${\displaystyle E}$أن تكون كثافة الطاقة :$${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$مع ملاحظة أن${\displaystyle \Phi }$وبما أن الدالة مستقلة عن الزمن، فإننا نصل إلى المعادلة التالية:$${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$يؤدي افتراض أن كثافة الطاقة مستقلة عن الزمن وأن التدفق أحادي البعد إلى التبسيط:$${\displaystyle E+p=C}$$مع${\displaystyle C}$باعتبارها ثابتة؛ وهذا يُعادل مبدأ برنولي . ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة في تدفق القنوات المفتوحة الطاقة النوعية${\displaystyle e=E/\rho g}$، والذي يستخدم لحساب الضغط الهيدروليكي${\displaystyle h}$وهذا يُعرَّف على النحو التالي:

مع${\displaystyle \gamma =\rho g}$وهو الوزن النوعي . ومع ذلك، تتطلب الأنظمة الواقعية إضافة مصطلح فقدان الضغط.${\displaystyle h_{f}}$لحساب تبديد الطاقة الناتج عن الاحتكاك والاضطراب الذي تم تجاهله عن طريق استبعاد مصطلح القوى الخارجية في معادلة الزخم.

إضافةً إلى طرق الحساب النظرية المذكورة أعلاه، تتوفر طرق تجريبية تُبسط عملية الحساب وتُقلل من كمية البيانات المطلوبة حول التدفق والقناة. في الولايات المتحدة، تُعد معادلة مانينغ الطريقة الأكثر شيوعًا لحساب تدفق المياه في القنوات المفتوحة . ^{[ 5 ] [ 6 ]} معادلة مانينغ، التي تُطبق على التدفق المنتظم، لا تتطلب سوى نصف القطر الهيدروليكي للتدفق، وميل القناة، ومعامل مانينغ للخشونة، n .