مخطط الاحتمالية، مخطط معامل الارتباط

يُعدّ مخطط معامل الارتباط الاحتمالي (PPCC) أسلوبًا بيانيًا لتحديد مُعامل الشكل لعائلة توزيعية تُناسب وصف مجموعة البيانات على أفضل وجه. يُناسب هذا الأسلوب العائلات التوزيعية، مثل توزيع ويبول أو التوزيع الغاوسي المُعمّم ، التي تُعرَّف بمُعامل شكل واحد ومُعاملي الموقع والمقياس ، بينما لا يُناسب، بل ولا يُمكن تطبيقه، على التوزيعات، مثل التوزيع الطبيعي ، التي تُعرَّف فقط بمُعاملي الموقع والمقياس.

تعتمد العديد من التحليلات الإحصائية على افتراضات توزيعية حول المجتمع الذي جُمعت منه البيانات. مع ذلك، قد تتخذ العائلات التوزيعية أشكالًا مختلفة جذريًا تبعًا لقيمة معامل الشكل . لذا، يُعدّ إيجاد قيمة مناسبة لمعامل الشكل خطوة ضرورية في التحليل. وفي كثير من التحليلات، يُشكّل إيجاد نموذج توزيعي جيد للبيانات محور التركيز الأساسي.

تتمثل التقنية ببساطة في "رسم معاملات الارتباط لمخطط الاحتمالية لقيم مختلفة لمعامل الشكل، واختيار القيمة التي تعطي أفضل تطابق".

يتكون مخطط PPCC من:

• المحور الرأسي: معامل الارتباط في مخطط الاحتمالية ؛
• المحور الأفقي: قيمة معامل الشكل.

أي أنه بالنسبة لسلسلة من قيم معامل الشكل، يُحسب معامل الارتباط لمخطط الاحتمالية المرتبط بقيمة معينة لمعامل الشكل. تُرسَم معاملات الارتباط هذه مقابل معاملات الشكل المقابلة لها. يُشير أعلى معامل ارتباط إلى القيمة المثلى لمعامل الشكل. ولتحسين الدقة، يمكن إنشاء دورتين لمخطط PPCC؛ الأولى لإيجاد الجوار المناسب، والثانية لضبط التقدير بدقة.

يُستخدم مخطط PPCC أولاً لإيجاد قيمة مناسبة لمعامل الشكل. ثم يُنشأ مخطط الاحتمالية لإيجاد تقديرات لمعاملي الموقع والمقياس، بالإضافة إلى تقديم تقييم بياني لمدى ملاءمة التوزيع.

يجيب مخطط PPCC على الأسئلة التالية:

1. ما هو العضو الأنسب ضمن عائلة التوزيع؟
2. هل يوفر العضو الأنسب ملاءمة جيدة (من حيث إنشاء مخطط احتمالي بمعامل ارتباط عالٍ)؟
3. هل توفر هذه المجموعة التوزيعية ملاءمة جيدة مقارنة بالتوزيعات الأخرى؟
4. ما مدى حساسية اختيار معامل الشكل؟

إضافةً إلى إيجاد الخيار الأمثل لتقدير معامل الشكل لتوزيع معين، يُمكن أن يكون مخطط معامل الارتباط الاحتمالي (PPCC) مفيدًا في تحديد عائلة التوزيع الأنسب. على سبيل المثال، عند توفر مجموعة من بيانات الموثوقية ، يُمكن إنشاء مخططات PPCC لتوزيعات Weibull و lognormal و gamma و inverse Gaussian ، وربما غيرها، في صفحة واحدة. تُظهر هذه الصفحة أفضل قيمة لمعامل الشكل لعدة توزيعات، وتُشير أيضًا إلى أي من عائلات التوزيع هذه يُقدم أفضل تطابق (كما يُقاس بمعامل الارتباط الاحتمالي الأقصى). أي، إذا كانت قيمة PPCC القصوى لتوزيع Weibull هي 0.99، و0.94 فقط لتوزيع lognormal، فيُمكن الاستنتاج منطقيًا أن عائلة Weibull هي الخيار الأفضل.

عند مقارنة نماذج التوزيع، لا ينبغي الاكتفاء باختيار النموذج ذي أعلى قيمة لمعامل ارتباط بواسون (PPCC). في كثير من الحالات، توفر عدة نماذج توزيعية قيمًا متقاربة لمعامل ارتباط بواسون. على سبيل المثال، قد يُناسب كل من التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وتوزيع ويبول مجموعة بيانات موثوقية معينة بشكل جيد. عادةً، يُؤخذ في الاعتبار مدى تعقيد التوزيع. أي أنه قد يُفضّل التوزيع الأبسط ذو قيمة معامل ارتباط بواسون أصغر قليلاً على التوزيع الأكثر تعقيدًا. وبالمثل، قد يكون هناك مبرر نظري، من حيث النموذج العلمي الأساسي، لتفضيل توزيع ذي قيمة معامل ارتباط بواسون أصغر قليلاً في بعض الحالات. في حالات أخرى، قد لا نحتاج إلى معرفة ما إذا كان نموذج التوزيع مثاليًا، بل يكفي أن يكون مناسبًا لأغراضنا. أي أنه قد يكون بالإمكان استخدام تقنيات مصممة للبيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا حتى لو كانت توزيعات أخرى تُناسب البيانات بشكل أفضل نوعًا ما.

يُعد مخطط Tukey lambda PPCC، بمعامل الشكل λ، مفيدًا بشكل خاص للتوزيعات المتماثلة. فهو يُشير إلى ما إذا كان التوزيع قصير الذيل أو طويل الذيل، ويمكنه أيضًا تحديد العديد من التوزيعات الشائعة. على وجه التحديد،

1. λ = − 1: التوزيع تقريبًا توزيع كوشي
2. λ = 0: التوزيع لوجستي تمامًا
3. λ = 0.14: التوزيع طبيعي تقريبًا
4. λ = 0.5: التوزيع على شكل حرف U
5. λ = 1: التوزيع منتظم تمامًا ( − 1، 1)

إذا كانت قيمة معامل ارتباط توكي لامدا (PPCC) القصوى قريبة من 0.14، فيمكن الاستنتاج بشكل معقول أن التوزيع الطبيعي نموذج جيد للبيانات. أما إذا كانت القيمة القصوى أقل من 0.14، فإن التوزيعات ذات الذيل الطويل ، مثل التوزيع الأسي المزدوج أو التوزيع اللوجستي، تُعد خيارًا أفضل. وإذا كانت القيمة القصوى قريبة من -1، فهذا يعني اختيار توزيع ذي ذيل طويل جدًا، مثل توزيع كوشي. أما إذا كانت القيمة القصوى أكبر من 0.14، فهذا يعني اختيار توزيع ذي ذيل قصير، مثل توزيع بيتا أو التوزيع المنتظم.

يُستخدم مخطط Tukey-lambda PPCC لاقتراح توزيع مناسب. ينبغي متابعة ذلك بمخططات PPCC ومخططات الاحتمالية للبدائل المناسبة.

• مخطط الاحتمالية

• مخطط الاحتمالية، مخطط معامل الارتباط

• فيليبين، ج. ج. (فبراير 1975). "اختبار معامل الارتباط في مخطط الاحتمالية للتحقق من التوزيع الطبيعي". مجلة تكنومتركس . 17 (1): 111-117 . doi : 10.2307/1268008 . JSTOR 1268008 . 

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا