الإحداثيات المتوازية

تعتبر مخططات الإحداثيات المتوازية طريقة شائعة لتصور مجموعات البيانات عالية الأبعاد لتحليل البيانات متعددة المتغيرات التي تحتوي على متغيرات أو سمات متعددة.

لرسم أو تمثيل مجموعة من النقاط في فضاء ذي n بُعد ، يتم رسم n خطًا متوازيًا على الخلفية لتمثيل محاور الإحداثيات ، وعادةً ما تكون هذه الخطوط موجهة رأسيًا بمسافات متساوية. تُمثل النقاط في الفضاء ذي n بُعد كخطوط متعددة فردية ذات n رأسًا موضوعة على المحاور المتوازية التي تُقابل كل قيمة إحداثية للنقطة ذات n بُعد، وترتبط هذه الرؤوس بـ n-1 قطعة من الخطوط المتعددة.

يشبه هذا النوع من تمثيل البيانات تمثيل السلاسل الزمنية ، باستثناء أنه يتم تطبيق الإحداثيات المتوازية على البيانات التي لا تتوافق مع التسلسل الزمني. لذلك، قد تكون ترتيبات المحاور المختلفة مفيدة، بما في ذلك عكس المحاور أفقيًا، أو عكس نطاق السمات.

يُنسب مفهوم الإحداثيات المتوازية غالبًا إلى عالم الرياضيات الفرنسي فيلبير موريس دوكاني عام 1885. ^{[ 1 ]} سعى دوكاني إلى إيجاد طريقة لحساب الدوال الرياضية بيانيًا باستخدام مخططات محاذاة تُسمى المخططات البيانية ، والتي تستخدم محاور متوازية بمقاييس مختلفة. على سبيل المثال، يمكن حل معادلة بثلاثة متغيرات باستخدام ثلاثة محاور متوازية، وذلك بتحديد القيم المعروفة على مقاييسها، ثم رسم خط بينها، مع قراءة قيمة مجهولة من المقياس عند نقطة تقاطع الخط مع ذلك المقياس.

يُقال أيضًا أن استخدام الإحداثيات المتوازية كتقنية لتصور البيانات قد نشأ في وقت سابق مع هنري غانيت في العمل الذي سبق الأطلس الإحصائي للولايات المتحدة لتعداد عام 1890، على سبيل المثال "ملخصه العام، الذي يوضح ترتيب الولايات، حسب النسب، 1880"، ^{[ 2 ]} الذي يوضح ترتيب 10 مقاييس (السكان، والمهن، والثروة، والتصنيع، والزراعة، وما إلى ذلك) على محاور متوازية متصلة بخطوط لكل ولاية.

ومع ذلك، فقد سبق كل من دوكاني وجانيت في هذا المجال أندريه ميشيل غيري ، ^{[ 3 ]} اللوحة الرابعة، "تأثير العمر"، حيث عرض تصنيفات الجرائم المرتكبة ضد الأشخاص حسب العمر على محاور متوازية، رابطًا الجريمة نفسها عبر الفئات العمرية. ^{[ 4 ]}

تم إعادة نشر الإحداثيات المتوازية مرة أخرى بعد 87 عامًا بواسطة ألفريد إنسلبرغ ^{[ 5 ]} في عام 1985 وتم تطويرها بشكل منهجي كنظام إحداثيات بدءًا من عام 1977. بعض التطبيقات المهمة هي في خوارزميات تجنب الاصطدام لمراقبة الحركة الجوية (1987 - 3 براءات اختراع أمريكية)، واستخراج البيانات (براءة اختراع أمريكية)، ورؤية الكمبيوتر (براءة اختراع أمريكية)، والتحسين، والتحكم في العمليات ، ومؤخرًا في كشف التسلل وغيرها.

في المستوى ذي نظام الإحداثيات الديكارتية XY، تتطلب إضافة أبعاد إضافية في الإحداثيات المتوازية (والتي تُختصر غالبًا إلى ||-coords أو PCP أو PC) إضافة محاور إضافية. تكمن أهمية الإحداثيات المتوازية في تحويل بعض الخصائص الهندسية في الأبعاد العالية إلى أنماط ثنائية الأبعاد يسهل رؤيتها. على سبيل المثال، تتحول مجموعة من النقاط على خط في فضاء ذي n بُعد إلى مجموعة من الخطوط المتعددة في الإحداثيات المتوازية، تتقاطع جميعها عند n - 1 نقطة. بالنسبة لـ n = 2، ينتج عن ذلك ازدواجية النقطة والخط، مما يُفسر سبب تطوير الأسس الرياضية للإحداثيات المتوازية في الفضاء الإسقاطي بدلًا من الفضاء الإقليدي . يتقاطع زوج من الخطوط عند نقطة فريدة لها إحداثيان، وبالتالي، يمكن أن يُقابل خطًا فريدًا مُحددًا أيضًا بمعاملين (أو نقطتين). في المقابل، يتطلب تحديد منحنى أكثر من نقطتين، وقد لا يتقاطع زوج من المنحنيات عند نقطة فريدة. وبالتالي، باستخدام المنحنيات في الإحداثيات المتوازية بدلًا من الخطوط، تُفقد ثنائية النقطة والخط، إلى جانب جميع خصائص الهندسة الإسقاطية الأخرى، والأنماط المعروفة ذات الأبعاد الأعلى التي تُقابل المستويات (الفائقة)، والمنحنيات، والعديد من الأسطح (الفائقة) الملساء، والتقارب، والتحدب، ومؤخرًا عدم التوجيه. ^{[ 6 ]} الهدف هو تحويل العلاقات متعددة الأبعاد (n-الأبعاد) إلى أنماط ثنائية الأبعاد. لذا، فإن الإحداثيات المتوازية ليست تحويلًا من نقطة إلى نقطة، بل هي تحويل من مجموعة فرعية متعددة الأبعاد (n-الأبعاد) إلى مجموعة فرعية ثنائية الأبعاد ( 2 -الأبعاد)، ولا يوجد فقدان للمعلومات. ملاحظة: حتى النقطة في فضاء متعدد الأبعاد (n-الأبعاد) لا تُحوّل إلى نقطة في فضاء ثنائي الأبعاد (2-الأبعاد)، بل إلى خط مضلع - وهو مجموعة فرعية من فضاء ثنائي الأبعاد (2-الأبعاد).  

عند استخدامها لتصور البيانات الإحصائية، هناك ثلاثة اعتبارات مهمة: ترتيب المحاور، وتدويرها، وقياسها.

يُعدّ ترتيب المحاور بالغ الأهمية لاكتشاف السمات، وفي تحليل البيانات النموذجي، سيتطلب الأمر تجربة العديد من عمليات إعادة الترتيب. وقد ابتكر بعض الباحثين طرقًا استدلالية للترتيب قد تُسفر عن ترتيبات مفيدة. ^{[ 7 ]}

دوران المحاور هو إزاحة في الإحداثيات المتوازية، وإذا تقاطعت الخطوط خارج المحاور المتوازية، فيمكن إزاحتها بينها عن طريق الدوران. أبسط مثال على ذلك هو تدوير المحور بمقدار 180 درجة. ^{[ 8 ]}

يُعدّ تغيير المقياس ضروريًا لأنّ الرسم البياني يعتمد على الاستيفاء (التركيب الخطي) لأزواج متتالية من المتغيرات. ^{[ 8 ]} لذلك، يجب أن تكون المتغيرات على مقياس مشترك، وهناك العديد من طرق تغيير المقياس التي يجب مراعاتها كجزء من عملية إعداد البيانات والتي يمكن أن تكشف عن رؤى أكثر إفادة.

يُمكن الحصول على رسم بياني سلس للإحداثيات المتوازية باستخدام الدوال التكعيبية. ^{[ 9 ]} في هذا الرسم، تُحوّل كل قيمة مُشاهدة إلى خط (أو منحنى) وسيطي، يكون سلسًا ومتصلًا على المحاور، وعموديًا على كل محور موازٍ. يُبرز هذا التصميم مستوى التكميم لكل سمة من سمات البيانات. ^{[ 8 ]}

قدّم إنسلبرغ ( إنسلبرغ، 1997 ) مراجعة شاملة لكيفية قراءة أنماط العلاقات بين الإحداثيات المتوازية بصريًا. ^{[ 10 ]} عندما تكون معظم الخطوط بين محورين متوازيين متقاربة، فهذا يشير إلى وجود علاقة طردية بين هذين البُعدين. أما عندما تتقاطع الخطوط على شكل حرف X، فهذا يدل على وجود علاقة عكسية. وعندما تتقاطع الخطوط عشوائيًا أو تكون متوازية، فهذا يدل على عدم وجود علاقة محددة.

في الإحداثيات المتوازية، يمكن أن يكون لكل محور محوران متجاوران على الأكثر (أحدهما على اليسار والآخر على اليمين). بالنسبة لمجموعة بيانات ذات n بُعد، يمكن عرض n -1 علاقة على الأكثر في كل مرة دون تغيير المنهجية. في تمثيل السلاسل الزمنية ، يوجد سلف ولاحق طبيعيان؛ لذا في هذه الحالة الخاصة، يوجد ترتيب مُفضّل. مع ذلك، عندما لا يكون للمحاور ترتيب فريد، يتطلب إيجاد ترتيب جيد للمحاور استخدام التجريب وهندسة الميزات. لاستكشاف المزيد من العلاقات، يمكن إعادة ترتيب المحاور أو إعادة هيكلتها.

تعتمد إحدى الطرق على ترتيب المحاور في فضاء ثلاثي الأبعاد (مع الحفاظ على التوازي، لتشكيل رسم بياني شبكي )، حيث يمكن أن يكون لكل محور أكثر من جارين في دائرة حول السمة المركزية، ويمكن تحسين مشكلة الترتيب باستخدام شجرة الامتداد الأدنى . ^{[ 11 ]} يتوفر نموذج أولي لهذا التصور كإضافة لبرنامج استخراج البيانات ELKI . مع ذلك، يُعدّ هذا التصور أصعب في التفسير والتفاعل من الترتيب الخطي.

على الرغم من وجود عدد كبير من الأبحاث حول الإحداثيات المتوازية، إلا أن البرامج المتاحة للعموم لتحويل قواعد البيانات إلى رسومات بيانية باستخدام الإحداثيات المتوازية قليلة. ^{[ 12 ]} من أبرز هذه البرامج: ELKI و GGobi و Mondrian و ROOT . وتشمل المكتبات Protovis.js و D3.js التي توفر أمثلة أساسية. كما نُشرت مكتبة D3.Parcoords.js (مكتبة مبنية على D3) والمخصصة تحديدًا لإنشاء رسومات بيانية باستخدام الإحداثيات المتوازية. وتُنفذ مكتبة Pandas، وهي مكتبة هياكل البيانات وتحليلها في بايثون ، رسم الإحداثيات المتوازية باستخدام مكتبة الرسم matplotlib . ^{[ 13 ]}

• مخطط الرادار – تمثيل مرئي بمحاور إحداثيات مرتبة شعاعيًا.
• مخطط أندروز – تحويل فورييه لمخطط الإحداثيات المتوازية.
• مخطط سانكي - تمثيل مرئي يركز على التدفق/الحركة/التغيير من حالة إلى أخرى.

• هاينريش، جوليان وويسكوف، دانيال (2013) أحدث ما توصلت إليه تقنية الإحداثيات المتوازية ، يوروغرافيكس 2013 - تقارير أحدث ما توصلت إليه التقنية، الصفحات  95-116
• مصطفى، رضا (2011) مخططات الإحداثيات المتوازية ومخططات كثافة الإحداثيات المتوازية ، مراجعات وايلي متعددة التخصصات: الإحصاءات الحاسوبية، المجلد 3 (2)، ص  134-148.
• وايديل، دانيال كارل آي. (2019) الإحداثيات المتوازية الشرطية ، مؤتمر IEEE للتصور (VIS) 2019، الصفحات  221-225

• الصفحة الرئيسية لألفريد إنسلبرغ ، مع دروس مرئية، وتاريخ، ومنشورات مختارة، وتطبيقات.
• دراسة حول أساليب تصوير مجموعات البيانات متعددة المتغيرات للغاية، بقلم سي. برونسدون، إيه إس فوثرينغهام، وإم إي تشارلتون، جامعة نيوكاسل ، المملكة المتحدة
• استخدام المنحنيات لتحسين تصورات الإحداثيات المتوازية (مؤرشف بتاريخ 15 مارس 2007 في أرشيف الإنترنت ) بقلم مارتن غراهام وجيسي كينيدي، جامعة نابير ، إدنبرة ، المملكة المتحدة
• الإحداثيات المتوازية ، درس تعليمي من إعداد روبرت كوسارا
• الإحداثيات المتوازية الشرطية - شكل متكرر من الإحداثيات المتوازية، حيث يمكن أن تتوسع القيمة الفئوية للكشف عن مستوى آخر من الإحداثيات المتوازية.