التوزيع الأسي المرتب

الدالة الأسية المرتبة ، أو الدالة الأسية المرتبة مسارياً ، هي عملية رياضية مُعرَّفة في الجبر غير التبادلي ، وتُكافئ الدالة الأسية للتكامل في الجبر التبادلي . عملياً، تُستخدم الدالة الأسية المرتبة في جبر المصفوفات وجبر المؤثرات . وهي نوع من أنواع التكامل الضربي ، أو تكامل فولتيرا.

ليكن A جبرًا على حقل K ، وليكن a ( t ) عنصرًا من A مُعَلمًا بالأعداد الحقيقية ،

${\displaystyle a:\mathbb {R} \to A.}$

غالباً ما يُشار إلى المعامل t في a ( t ) باسم المعامل الزمني في هذا السياق.

يُرمز إلى الدالة الأسية المرتبة لـ a بالرمز التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}$

حيث يكون الحد n = 0 مساوياً لـ 1 وحيث${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هو عامل ترتيب الزمن . وهو عملية من الرتبة العليا تضمن أن يكون الأسي مرتبًا زمنيًا، بحيث يكون أي حاصل ضرب لـ a ( t ) يظهر في مفكوك الأسي مرتبًا بحيث تتزايد قيمة t من يمين حاصل الضرب إلى يساره. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

الترتيب الزمني مطلوب، لأن المنتجات في الجبر ليست بالضرورة تبادلية.

تقوم العملية بربط عنصر ذي معلمات بعنصر آخر ذي معلمات، أو بشكل رمزي،

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}$

هناك طرق مختلفة لتعريف هذا التكامل بشكل أكثر دقة.

بالنظر إلى متعدد الشعب${\displaystyle M}$أين لـ${\displaystyle e\in TM}$مع التحول الجماعي${\displaystyle g:e\mapsto ge}$يثبت عند نقطة${\displaystyle x\in M}$:

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

هنا،${\displaystyle d}$يشير إلى التمايز الخارجي و${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$هل عامل الاتصال (حقل النموذج 1) يعمل على${\displaystyle e(x)}$عند إجراء التكامل للمعادلة أعلاه، يتحقق ما يلي (الآن،${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$(هل عامل الاتصال معبر عنه في أساس إحداثي)

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

باستخدام عامل ترتيب المسار${\displaystyle \operatorname {P} }$يرتب العوامل حسب ترتيب المسار${\displaystyle \gamma (t)\in M}$في الحالة الخاصة التي${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$هو عامل مضاد للتناظر و${\displaystyle \gamma }$هو مستطيل متناهي الصغر بأطوال أضلاع${\displaystyle |u|,|v|}$والزوايا عند النقاط${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$يمكن تبسيط التعبير أعلاه على النحو التالي  :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

وبالتالي، فإنه يحمل هوية تحويل المجموعة${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$. لو${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$هو اتصال سلس، يتوسع فوق الكمية إلى الدرجة الثانية في كميات متناهية الصغر${\displaystyle |u|,|v|}$يحصل المرء بالنسبة للدالة الأسية المرتبة على الهوية مع حد تصحيح يتناسب مع موتر الانحناء .

• ترتيب المسارات (وهو في الأساس نفس المفهوم)
• توسعة ماغنوس
• المنتج المتكامل
• قياس هار
• قائمة المشتقات والتكاملات في حساب التفاضل والتكامل البديل
• منتج غير محدد
• مشتق كسري