متعدد السطوح الإسقاطي

في الهندسة ، متعدد السطوح الإسقاطي (عالميًا) هو فسيفساء للمستوى الإسقاطي الحقيقي . ^[1] هذه هي نظائر إسقاطية لمتعددات السطوح الكروية - فسيفساء الكرة - ومتعددات السطوح الحلقية - فسيفساء الحلقات.

يشار إلى متعددات السطوح الإسقاطية أيضًا باسم التبليطات الإهليلجية ^[2] أو البلاطات الإهليلجية ، في إشارة إلى المستوى الإسقاطي باعتباره هندسة إهليلجية (إسقاطية) ، قياسًا على البلاط الكروي ، ^[3] وهو مرادف لـ "متعدد السطوح الكروي". ومع ذلك، فإن مصطلح الهندسة الإهليلجية ينطبق على كل من الهندسة الكروية والإسقاطية، لذا فإن المصطلح يحمل بعض الغموض بالنسبة لمتعددات السطوح.

باعتبارها تحللات خلوية للمستوى الإسقاطي، فإنها تمتلك الخاصية أويلر 1، في حين أن متعددات السطوح الكروية تمتلك الخاصية أويلر 2. إن المؤهل "عالميًا" هو التباين مع متعددات السطوح الإسقاطية محليًا ، والتي تم تعريفها في نظرية متعددات السطوح المجردة .

تتوافق متعددات السطوح الإسقاطية غير المتداخلة ( الكثافة 1) مع متعددات السطوح الكروية (أو ما يعادلها، متعددات السطوح المحدبة ) ذات التناظر المركزي . يتم شرح ذلك وتوسيعه أدناه فيما يتعلق بمتعددات السطوح الكروية وعلاقتها بمتعددات السطوح التقليدية.

أمثلة

المكعب النصفي هو متعدد السطوح إسقاطي منتظم له 3 وجوه مربعة، و6 حواف، و4 رؤوس.

أشهر الأمثلة على متعددات السطوح الإسقاطية هي متعددات السطوح الإسقاطية المنتظمة، وحصص الأجسام الأفلاطونية المتماثلة مركزيًا ، بالإضافة إلى فئتين لا نهائيتين من ثنائيات السطوح ومتعددات السطوح الزوجية : ^[4]

نصف مكعب ، {4,3}/2
نصف ثماني السطوح ، {3,4}/2
نصف اثني عشر وجهًا ، {5,3}/2
نصف عشريني الوجوه ، {3,5}/2
نصف ثنائي السطوح، {2p,2}/2، p>=1
نصف هوسوهيدرون، {2,2p}/2، p>=1

يمكن الحصول عليها عن طريق أخذ حاصل متعدد السطوح الكروي المرتبط بالخريطة المقابلة (تحديد النقاط المتقابلة على الكرة).

من ناحية أخرى، لا يتمتع رباعي السطوح بتناظر مركزي، لذا لا يوجد "نصف رباعي السطوح". راجع العلاقة مع متعددات السطوح الكروية أدناه لمعرفة كيفية التعامل مع رباعي السطوح.

نصف متعدد السطوح

رباعي السطوح السداسي هو متعدد السطوح الإسقاطي، وهو متعدد السطوح الإسقاطي الموحد الوحيد الذي ينغمس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.

لاحظ أن البادئة "hemi-" تُستخدم أيضًا للإشارة إلى نصفي متعدد السطوح ، وهي متعددات سطوح منتظمة لها بعض الوجوه التي تمر عبر مركز التناظر. ونظرًا لأن هذه لا تحدد متعددات السطوح الكروية (لأنها تمر عبر المركز، الذي لا يتطابق مع نقطة محددة على الكرة)، فإنها لا تحدد متعددات السطوح الإسقاطية من خلال خريطة الحاصل من الفضاء ثلاثي الأبعاد (ناقص الأصل) إلى المستوى الإسقاطي.

من بين هذه الأشكال شبه المتعددة السطوح المنتظمة، فقط رباعي السطوح السداسي السطوح هو متعدد السطوح إسقاطي طوبولوجيًا، كما يمكن التحقق من ذلك من خلال خاصية أويلر واتصاله الواضح بصريًا بالسطح الروماني . إنه مغطى بثمانية السطوح المكعبة ، ويمكن تحقيقه كحاصل على ثماني السطوح المكعبة الكروية بواسطة الخريطة المتقابلة. إنه متعدد السطوح الموحد (التقليدي) الوحيد الذي يكون إسقاطيًا - أي متعدد السطوح الإسقاطي الموحد الوحيد الذي ينغمس في الفضاء الإقليدي ثلاثي السطوح كتعدد سطوح تقليدي موحد.

العلاقة مع متعددات السطوح الكروية

توجد خريطة تغطية 2 إلى 1 للكرة إلى المستوى الإسقاطي، وتحت هذه الخريطة، تتوافق متعددات السطوح الإسقاطية مع متعددات السطوح الكروية ذات التناظر المركزي - الغطاء ثنائي الطي لمتعدد السطوح الإسقاطي هو متعدد السطوح الكروي المتماثل مركزيًا. علاوة على ذلك، نظرًا لأن خريطة التغطية عبارة عن تماثل محلي (في هذه الحالة تماثل محلي )، فإن كل من متعددات السطوح الكروية والإسقاطية المقابلة لها نفس شكل الرأس المجرد . $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$

على سبيل المثال، الغطاء المزدوج لنصفي المكعب (الإسقاطي) هو المكعب (الكروي). يحتوي نصفي المكعب على 4 رؤوس و3 وجوه و6 حواف، كل منها مغطى بنسختين في الكرة، وبالتالي يحتوي المكعب على 8 رؤوس و6 وجوه و12 حافة، في حين أن كلا من متعددي السطوح هذين لهما شكل رأس 4.4.4 (3 مربعات تلتقي عند رأس).

علاوة على ذلك، فإن مجموعة التناظر (من التماثلات ) لمتعدد السطوح الإسقاطي ومتعدد السطوح الكروي المغطي مرتبطان: يتم تحديد تناظرات متعدد السطوح الإسقاطي بشكل طبيعي مع تناظرات الدوران لمتعدد السطوح الكروي، في حين أن مجموعة التناظر الكاملة لمتعدد السطوح الكروي هي حاصل ضرب مجموعة الدوران الخاصة به (مجموعة التناظر لمتعدد السطوح الإسقاطي) والمجموعة الدورية من الدرجة 2، {± I }. انظر مجموعة التناظر أدناه للتوضيح والأبعاد الأخرى.

لا تحدد متعددات السطوح الكروية التي لا تتمتع بتناظر مركزي متعدد السطوح الإسقاطي، حيث تتداخل صور الرؤوس والحواف والوجوه. وفي لغة التبليط، تكون الصورة في المستوى الإسقاطي عبارة عن تبليط من الدرجة 2، مما يعني أنها تغطي المستوى الإسقاطي مرتين - بدلاً من وجهين في الكرة يتوافقان مع وجه واحد في المستوى الإسقاطي، يغطيانه مرتين، يتوافق كل وجه في الكرة مع وجه واحد في المستوى الإسقاطي، وبالتالي يغطيه مرتين.

يمكن توسيع المراسلات بين متعددات السطوح الإسقاطية ومتعددات السطوح الكروية المتماثلة مركزيًا إلى اتصال جالوا يشمل جميع متعددات السطوح الكروية (ليس بالضرورة متماثلة مركزيًا) إذا تم توسيع الفئات لتشمل بلاط الدرجة 2 من المستوى الإسقاطي، والتي لا تكون أغلفتها متعددات السطوح بل هي المركب متعدد السطوح لمتعدد السطوح غير المتماثل مركزيًا، جنبًا إلى جنب مع معكوسه المركزي (مركب من متعددي سطوح). هذا يجعل اتصال جالوا هندسيًا على مستوى المجموعات الفرعية المحدودة من O(3) وPO(3)، حيث يكون الاقتران "اتحادًا مع معكوس مركزي". على سبيل المثال، رباعي السطوح ليس متماثلًا مركزيًا، وله 4 رؤوس و6 حواف و4 وجوه وشكل الرأس 3.3.3 (3 مثلثات تلتقي عند كل رأس). صورته في المستوى الإسقاطي لها 4 رؤوس و6 أضلاع (متقاطعة) و4 أوجه (متداخلة)، تغطي المستوى الإسقاطي مرتين. غطاء هذا هو ثماني السطوح النجمي - أو مركب من رباعي سطوح - له 8 رؤوس و12 ضلعًا و8 أوجه، والرأس (الشكل 3.3.3).

التعميمات

في سياق متعددات السطوح المجردة ، يُشار بدلاً من ذلك إلى " متعددات السطوح الإسقاطية محليًا " - انظر متعدد السطوح المجرد: الطوبولوجيا المحلية . على سبيل المثال، يعد متعدد السطوح ذو الخلايا الـ 11 "متعدد السطوح الإسقاطي محليًا"، ولكنه ليس متعدد السطوح الإسقاطي عالميًا، ولا يشكل في الواقع أي متعدد، لأنه ليس إقليديًا محليًا، بل إسقاطيًا محليًا، كما يشير الاسم.

يمكن تعريف متعددات السطوح الإسقاطية في أبعاد أعلى على أنها فسيفساء للفضاء الإسقاطي في بعد أقل من بعد واحد. إن تعريف متعددات السطوح الإسقاطية ذات الأبعاد k في الفضاء الإسقاطي ذي الأبعاد n هو أمر أكثر صعوبة إلى حد ما، لأن التعريف المعتاد لمتعددات السطوح في الفضاء الإقليدي يتطلب أخذ تركيبات محدبة من النقاط، وهو ليس مفهومًا إسقاطيًا، ونادرًا ما يتم تناوله في الأدبيات، ولكن تم تعريفه، كما هو الحال في (Vives & Mayo 1991).

مجموعة التماثل

مجموعة التماثل لمتعدد السطوح الإسقاطي هي مجموعة فرعية محدودة (وبالتالي منفصلة) ^{[ملاحظة 1]} للمجموعة المتعامدة الإسقاطية ، PO، وعلى العكس من ذلك، فإن كل مجموعة فرعية محدودة من PO هي مجموعة التماثل لمتعدد السطوح الإسقاطي عن طريق أخذ متعدد السطوح المعطى بواسطة صور المجال الأساسي للمجموعة.

الأبعاد ذات الصلة هي كما يلي: الفضاء الإسقاطي الحقيقي ذو الأبعاد n هو إسقاط الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد ( n +1) ، وبالتالي فإن المجموعة الإسقاطية المتعامدة للفضاء الإسقاطي ذو الأبعاد n يشار إليها $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1})،$

ص( n +1) = P(O( n +1)) = O( n +1)/{± I }.

إذا كان n = 2 k زوجيًا (لذا فإن n +1 = 2 k +1 فردي)، فإن O(2 k +1) = SO(2 k +1)×{± I } يتحلل إلى حاصل ضرب، وبالتالي ^{[ملاحظة 2]} يمكن التعرف على مجموعة التماثلات الإسقاطية بمجموعة التماثلات الدورانية. $PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)$

وبالتالي، فإن مجموعة التناظر لمتعدد السطوح الإسقاطي هي مجموعة التناظر الدوراني لمتعدد السطوح الكروي المغطي؛ وبالتالي فإن مجموعة التناظر الكاملة لمتعدد السطوح الكروي هي مجرد حاصل ضرب مباشر مع الانعكاس عبر الأصل ، وهو النواة عند المرور إلى الفضاء الإسقاطي. إن المستوى الإسقاطي غير قابل للتوجيه، وبالتالي لا يوجد مفهوم واضح لـ "متساويات القياس المحافظة على الاتجاه لمتعدد السطوح الإسقاطي"، وهو ما ينعكس في المساواة PSO(3) = PO(3).

إذا كان n = 2 k + 1 فرديًا، فإن O( n + 1) = O(2 k + 2) لا يتحلل إلى حاصل، وبالتالي فإن مجموعة التماثل لمتعدد السطوح الإسقاطي ليست ببساطة التماثلات الدورانية لمتعدد السطوح الكروي، بل هي حاصل قسمة 2 إلى 1 لمجموعة التماثل الكاملة لمتعدد السطوح الكروي المقابل (المجموعة الكروية هي امتداد مركزي للمجموعة الإسقاطية). علاوة على ذلك، في البعد الإسقاطي الفردي (بعد المتجه الزوجي) و بدلاً من ذلك هي مجموعة فرعية مناسبة (مؤشر 2)، لذلك هناك فكرة مميزة عن التماثلات المحافظة على الاتجاه. $PSO(2k)\neq PO(2k)$

على سبيل المثال، في n = 1 (مضلعات)، تكون تناظرات مضلع 2 r هي المجموعة ثنائية السطوح Dih _{2 r} (من الرتبة 4 r )، مع المجموعة الدورانية المجموعة الدائرية C _{2 r} ، وهما مجموعتان فرعيتان لـ O(2) وSO(2)، على التوالي. إن إسقاط مضلع 2 r (في الدائرة) هو مضلع r (في الخط الإسقاطي)، وبالتالي فإن مجموعات الحاصل والمجموعات الفرعية لـ PO(2) وPSO(2) هي Dih _r و C _r . لاحظ أن نفس المربع التبادلي للمجموعات الفرعية يحدث لمربع مجموعة الدوران ومجموعة Pin - Spin(2)، Pin ₊ (2)، SO(2)، O(2) - هنا يرتفع إلى غطاء ثنائي الطي، بدلاً من النزول إلى حاصل ثنائي الطي.

أخيرًا، وفقًا لنظرية الشبكة، توجد علاقة جالوا بين المجموعات الفرعية لـ O( n ) والمجموعات الفرعية لـ PO( n )، وخاصة المجموعات الفرعية المحدودة. بموجب هذه العلاقة، تتوافق مجموعات التماثل لمتعددات السطوح المتماثلة مركزيًا مع مجموعات التماثل لمتعدد السطوح الإسقاطي المقابل، بينما تتوافق مجموعات التماثل لمتعددات السطوح الكروية بدون تماثل مركزي مع مجموعات التماثل لمتعددات السطوح الإسقاطية من الدرجة 2 (البلاطات التي تغطي الفضاء الإسقاطي مرتين)، والتي يكون غلافها (المقابل لتقاطع الاتصال) مركبًا من متعددي سطوح - متعدد السطوح الأصلي ومعكوسه المركزي.

يجب مقارنة مجموعات التناظر هذه ومقارنتها بمجموعات متعددة السطوح الثنائية - تمامًا كما أن Pin _± ( n ) → O ( n ) عبارة عن غطاء 2 إلى 1، وبالتالي يوجد اتصال جالوا بين مجموعات متعددة السطوح الثنائية والمجموعات متعددة السطوح، فإن O ( n ) → PO ( n ) عبارة عن غطاء 2 إلى 1، وبالتالي لديه اتصال جالوا مماثل بين المجموعات الفرعية. ومع ذلك، في حين أن المجموعات الفرعية المنفصلة لـ O ( n ) و PO ( n ) تتوافق مع مجموعات التناظر لمتعددات السطوح الكروية والإسقاطية، والتي تتوافق هندسيًا مع خريطة التغطية، لا توجد مساحة تغطية لـ (لـ ) حيث أن الكرة متصلة ببساطة ، وبالتالي لا يوجد "متعدد سطوح ثنائي" مماثل حيث تكون المجموعات الفرعية لـ Pin عبارة عن مجموعات تناظر. $S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},$ $S^{n}$ $n\geq 2$

انظر أيضا

ملحوظات

^ نظرًا لأن PO مضغوط ، فإن المجموعات المحدودة والمتقطعة متطابقة - المجموعات اللانهائية لها نقطة تراكم .
^ التمييز بين التماثل / المساواة في هذه المعادلة يرجع إلى أن السياق هو خريطة حاصل القسمة 2 إلى 1 – PSO(2 k +1) وPO(2 k +1) عبارة عن مجموعات فرعية متساوية من الهدف (أي الفضاء بالكامل)، ومن ثم المساواة، في حين أن الخريطة المستحثة عبارة عن تماثل ولكن المجموعتين عبارة عن مجموعات فرعية من فضاءات مختلفة، ومن ثم التماثل وليس المساواة. انظر (Conway & Smith 2003، ص 34) للحصول على مثال على هذا التمييز. $O\to PO$ $SO\to PSO$

مراجع

الحواشي

^ شولتي، إيجون؛ وايس، آسيا إيفيك (2006)، "5 تصنيف طوبولوجي"، مشاكل حول متعددات السطوح ومجموعاتها وتحقيقاتها ، ص 9-13، arXiv : math/0608397v1 ، رمز Bibcode :2006math......8397S
^ كوكستر، هارولد سكوت ماكدونالد (1970). أقراص العسل الملتوية . سلسلة مؤتمرات CBMS الإقليمية في الرياضيات (4). مكتبة AMS. ص. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
^ ماجنوس، فيلهلم (1974)، التبليطات غير النوكليدية ومجموعاتها، أكاديميك بريس ، ص 65، ISBN 978-0-12-465450-1
^ Coxeter, Introduction to geometry , 1969, Second edition, section 21.3 Regular maps , p. 386-388

المراجع العامة

رئيس الشمامسة، دان؛ نيغامي، سييا (1993)، "بناء متعددات السطوح الإسقاطية المزدوجة الذاتية"، مجلة النظرية التوافقية ، السلسلة ب، 59 (1): 122-131، doi : 10.1006/jctb.1993.1059 ، تم الاسترجاع في 2010-04-15
أروشا، خورخي إل.؛ براشو، خافيير؛ مونتيخانو، لويس (2000-02-01). "متعددات السطوح الإسقاطية المنتظمة ذات الوجوه المستوية I" (PDF) . المعادلات الرياضية . 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945 . doi :10.1007/PL00000128 . تم الاسترجاع في 2010-04-15 .
براتشو ، خافيير (2000-02-01). “متعددات السطوح الإسقاطية المنتظمة ذات الوجوه المستوية II”. المعادلات الرياضية . 59 (1): 160-176. دوى :10.1007/PL00000122.
كونواي، جون هورتون ؛ سميث، ديريك آلان (2003-02-07)، "3.7 المجموعات الإسقاطية أو الإهليلجية"، حول الرباعيات والثمانيات ، إيه كيه بيترز، المحدودة، ص 34، رقم ISBN 978-1-56881-134-5
هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، س. (1999)، الهندسة والخيال ، مكتبة AMS، ص. 147، ISBN 978-0-8218-1998-2
McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), "6C. Projective Regular Polytopes", Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, pp. 162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
Vives, Gilberto Calvillo; Mayo, Guillermo Lopez (1991). Susana Gómez; Jean Pierre Hennart; Richard A. Tapia (eds.). Advances in numerical partial differential formulas and optimization . Fifth United States-Mexico Workshop. SIAM. pp. 43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[5] نظرًا لأن PO مضغوط ، فإن المجموعات المحدودة والمتقطعة متطابقة - المجموعات اللانهائية لها نقطة تراكم .

[6] ^ التمييز بين التماثل / المساواة في هذه المعادلة يرجع إلى أن السياق هو خريطة حاصل القسمة 2 إلى 1 – PSO(2 k +1) وPO(2 k +1) عبارة عن مجموعات فرعية متساوية من الهدف (أي الفضاء بالكامل)، ومن ثم المساواة، في حين أن الخريطة المستحثة عبارة عن تماثل ولكن المجموعتين عبارة عن مجموعات فرعية من فضاءات مختلفة، ومن ثم التماثل وليس المساواة. انظر (Conway & Smith 2003، ص 34) للحصول على مثال على هذا التمييز. $O\to PO$ $SO\to PSO$

[1] شولتي، إيجون؛ وايس، آسيا إيفيك (2006)، "5 تصنيف طوبولوجي"، مشاكل حول متعددات السطوح ومجموعاتها وتحقيقاتها ، ص 9-13، arXiv : math/0608397v1 ، رمز Bibcode :2006math......8397S

[2] كوكستر، هارولد سكوت ماكدونالد (1970). أقراص العسل الملتوية . سلسلة مؤتمرات CBMS الإقليمية في الرياضيات (4). مكتبة AMS. ص. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] ماجنوس، فيلهلم (1974)، التبليطات غير النوكليدية ومجموعاتها، أكاديميك بريس ، ص 65، ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Coxeter, Introduction to geometry , 1969, Second edition, section 21.3 Regular maps , p. 386-388