متعدد السطوح حلقي

في الهندسة ، يُعرف المجسم الحلقي بأنه مجسم متعدد الأوجه يكون أيضًا حلقيًا ( حلقة ذات ثقوب من النوع g )، وله جنس طوبولوجي ( g ) يساوي 1 أو أكبر. ومن الأمثلة البارزة على ذلك مجسمات تشاسار وسيلاسي .

تُعرَّف المجسمات الحلقية بأنها مجموعات من المضلعات التي تلتقي عند حوافها ورؤوسها، مُشكِّلةً سطحًا متعدد الشعب . أي أن كل حافة يجب أن تشترك فيها مضلعان فقط، وعند كل رأس، يجب أن تكون الحواف والوجوه التي تلتقي عند هذا الرأس مرتبطة معًا في دورة واحدة من الحواف والوجوه المتناوبة، وهي حلقة الرأس. بالنسبة للمجسمات الحلقية، يُعد هذا السطح متعدد الشعب سطحًا قابلًا للتوجيه . ^{[ 1 ]} يقصر بعض المؤلفين مصطلح "المجسمات الحلقية" ليشمل تحديدًا المجسمات المكافئة طوبولوجيًا للطورس  (من النوع 1) . ^{[ 2 ]}

في هذا السياق، من المهم التمييز بين المجسمات الحلقية المضمنة ، التي تكون أوجهها عبارة عن مضلعات مسطحة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد لا تتقاطع مع بعضها البعض، والمجسمات المجردة ، وهي أسطح طوبولوجية بدون أي تمثيل هندسي محدد. ^{[ 3 ]} وبين هذين النقيضين، توجد مجسمات تتكون من مضلعات هندسية أو مضلعات نجمية في الفضاء الإقليدي، يُسمح لها بالتقاطع.

في جميع هذه الحالات، يمكن التحقق من الطبيعة الحلقية للمجسم متعدد السطوح من خلال قابليته للتوجيه وكون خاصية أويلر الخاصة به غير موجبة. وتُعمم خاصية أويلر إلى V − E + F = 2 − 2 g ، حيث g هو جنسه الطوبولوجي.

اثنان من أبسط متعددات الوجوه الحلقية المضمنة هما Császár وSzilassi متعددات الوجوه.

متعدد السطوح تشاسار هو متعدد سطوح حلقي ذو سبعة رؤوس، وله 21 ضلعًا و14 وجهًا مثلثيًا. ^{[ 4 ]} وهو، إلى جانب رباعي السطوح، متعدد السطوح الوحيد المعروف الذي يشكل فيه كل خط مستقيم يصل بين رأسين ضلعًا من أضلاع متعدد السطوح. ^{[ 5 ]} أما ثنائيّه، متعدد السطوح سيلاسي ، فله سبعة أوجه سداسية متجاورة، ^{[ 6 ]} مما يُثبت نصف نظرية الوجود التي تنص على أن الحد الأقصى لعدد الألوان اللازمة لرسم خريطة على سطح حلقي (من النوع الأول) هو سبعة. ^{[ 7 ]}

يحتوي متعدد السطوح Császár على أقل عدد ممكن من الرؤوس مقارنة بأي متعدد سطوح حلقي مضمن، ويحتوي متعدد السطوح Szilassi على أقل عدد ممكن من الوجوه مقارنة بأي متعدد سطوح حلقي مضمن.

وصف جون إتش. كونواي في عام 1997 شكلاً دلتاهيدرياً حلقياً يحتوي على 18 رأساً و36 وجهاً. بعض الأوجه المتجاورة تقع في مستوى واحد . اقترح كونواي أن يكون الشكل الدلتاهيدري الحلقي هو الشكل ذو أقل عدد ممكن من الأوجه. ^{[ 8 ]}

تُبنى فئة خاصة من المجسمات الحلقية حصراً من وجوه مضلعة منتظمة ، دون تقاطعات، مع قيد إضافي يتمثل في عدم وقوع الوجوه المتجاورة في نفس المستوى. تُسمى هذه المجسمات "حلقات ستيوارت" ^{[ 9 ]} ، نسبةً إلى بوني ستيوارت التي درستها بتعمق. ^{[ 10 ]} وهي تُشابه مجسمات جونسون في حالة المجسمات المحدبة ؛ إلا أنه على عكس مجسمات جونسون، يوجد عدد لا نهائي من حلقات ستيوارت. ^{[ 11 ]} وتشمل أيضاً المجسمات الحلقية المثلثية ، وهي مجسمات وجوهها جميعها مثلثات متساوية الأضلاع.

تُعدّ المجسمات الحلقية شبه المحدبة فئةً محدودةً من أشكال ستيوارت الحلقية ، والتي عرّفها ستيوارت نفسه . وهي عبارة عن أشكال ستيوارت حلقية تشمل جميع حواف غلافها المحدب . بالنسبة لهذا المجسم، يقع كل وجه من أوجه الغلاف المحدب إما على سطح الشكل الحلقي، أو يكون مضلعًا تقع جميع حوافه على سطح الشكل الحلقي. ^{[ 12 ]}

حلقات ستيوارت عن طريق تكبير متعدد السطوح واحد

جنس	1	1
صورة
متعددات السطوح	6 موشورات سداسية	8 ثماني السطوح
الرؤوس	48	24
الحواف	84	72
وجوه	36	48

حلقات ستيوارت شبه المحدبة

جنس	1		3	11	3	5	7	11
صورة
متعددات السطوح	4 قباب مربعة 8 رباعيات الأوجه	6 قباب مثلثة الشكل، 6 أهرامات مربعة	4 قباب مثلثة الشكل، 6 أهرامات مربعة	24 منشورًا مثلثيًا، 6 أهرامات مربعة، 8 رباعيات الأوجه	6 قباب مربعة، 4 قباب مثلثة، 12 مكعبًا	8 قباب مثلثة الشكل، 12 مكعبًا	6 قباب مربعة 12 مكعبًا	6 قباب مربعة، 8 قباب مثلثة
الهيكل المحدب	مكعب مقطوع	ثماني السطوح المقطوع	ثماني السطوح المقطوع	مكعب ثماني الأوجه موسع	مكعب ثماني الأوجه مقطوع	مكعب ثماني الأوجه مقطوع	مكعب ثماني الأوجه مقطوع	مكعب ثماني الأوجه مقطوع
الرؤوس	32	30	30	62	72	72	72	72
الحواف	64	60	72	168	144	168	168	168
وجوه	32	30	38	86	68	88	84	76

ثماني نصف ثماني السطوح

مكعب ثماني الأوجه صغير

مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا

يمثل المجسم متعدد السطوح، الذي يتكون من نظام من المضلعات المتقاطعة، فضاءً طوبولوجيًا مجردًا يتكون من مضلعاته ونظام حوافها ورؤوسها المشتركة، ويمكن تحديد جنس المجسم متعدد السطوح من هذا الفضاء المجرد. ومن الأمثلة على ذلك: المجسم الثماني الأوجه من الجنس 1 ، والمجسم المكعب الثماني الأوجه الصغير من الجنس 3 ، والمجسم الاثني عشري الأوجه الكبير من الجنس 4 .

متعددات السطوح التاجية

المجسم التاجي أو الستيفانويد هو مجسم حلقي متعدد الأوجه، وهو أيضاً مجسم نبيل ، إذ يتميز بكونه متساوي الزوايا (رؤوسه متساوية) ومتساوي الأوجه (وجوهه متساوية). المجسمات التاجية متقاطعة ذاتياً ومزدوجة ذاتياً من الناحية الطوبولوجية . ^{[ 13 ]}

• متعدد السطوح الإسقاطي
• مجسم متعدد الأوجه مائل (مجسم متعدد الأوجه مائل لانهائي)
• متعدد السطوح كروي
• الرسم البياني الحلقي

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد السطوح الحلقي" . عالم الرياضيات .
• أشكال ستيوارت الحلقية (أجسام حلقية ذات أوجه مضلعة منتظمة)
• متعددات وجوه ستيوارت
• متعددات السطوح الحلقية
• حلقات ستيوارت