تكميم المجال الكهرومغناطيسي

تكميم المجال الكهرومغناطيسي هو إجراء في الفيزياء يحول الموجات الكهرومغناطيسية الكلاسيكية لماكسويل إلى جسيمات تسمى الفوتونات . الفوتونات جسيمات عديمة الكتلة ذات طاقة محددة ، وزخم محدد ، ودوران محدد .

لتفسير التأثير الكهروضوئي ، افترض ألبرت أينشتاين، بشكل تجريبي، عام 1905 أن المجال الكهرومغناطيسي يتكون من جسيمات طاقتها مقدارها hν ، حيث h ثابت بلانك و ν تردد الموجة . وفي عام 1927، تمكن بول ديراك من دمج مفهوم الفوتون في صلب ميكانيكا الكم الجديدة ووصف تفاعل الفوتونات مع المادة. ^{[ 1 ]} وقد طبق تقنية تُعرف الآن عمومًا باسم التكميم الثاني ، ^{[ 2 ]} مع أن هذا المصطلح يُعدّ تسمية غير دقيقة للمجالات الكهرومغناطيسية، لأنها حلول لمعادلات ماكسويل الكلاسيكية. في نظرية ديراك، تُكمّم المجالات لأول مرة، وهي أيضًا المرة الأولى التي يدخل فيها ثابت بلانك في المعادلات. في عمله الأصلي، اعتبر ديراك أطوار الأنماط الكهرومغناطيسية المختلفة ( مكونات فورييه للمجال) وطاقات الأنماط متغيرات ديناميكية لتكميمها (أي أنه أعاد تفسيرها كمؤثرات وافترض علاقات تبادلية بينها). أما الآن، فمن الشائع تكميم مكونات فورييه للجهد الشعاعي . وهذا ما سيتم فعله لاحقًا.

حالة الفوتون الكمومي${\displaystyle |\mathbf {k} ,\mu \rangle }$ينتمي إلى الوضع${\displaystyle (\mathbf {k} ,\mu )}$سيتم تقديمه أدناه، وسيتم توضيح أن له الخصائص التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\textrm {photon}}&=0\\H|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=h\nu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&{\hbox{with}}\quad \nu =c|\mathbf {k} |\\P_{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle \\S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle &=\hbar \mu |\mathbf {k} ,\mu \rangle &&\mu =\pm 1.\end{aligned}}}$

تقول هذه المعادلات على التوالي: الفوتون له كتلة سكون صفرية؛ طاقة الفوتون هي hν = hc | k | ( k هو متجه الموجة ، c هي سرعة الضوء)؛ زخمه الكهرومغناطيسي هو ħ k [ ħ = h /(2 π )]؛ الاستقطاب μ = ±1 هو القيمة الذاتية للمركبة z لدوران الفوتون.

تبدأ عملية التكميم الثاني بتوسيع حقل قياسي أو متجهي (أو دوال موجية) في أساس يتكون من مجموعة كاملة من الدوال. تعتمد دوال التوسيع هذه على إحداثيات جسيم واحد. تُفسَّر المعاملات التي تُضرب في دوال الأساس على أنها مؤثرات ، وتُفرض علاقات تبادل (أو تبادل مضاد) بين هذه المؤثرات الجديدة، علاقات تبادل للبوزونات وعلاقات تبادل مضاد للفيرميونات (دون تغيير في دوال الأساس نفسها). وبذلك، يتحول الحقل الموسع إلى حقل مؤثرات فيرميونية أو بوزونية. وقد رُقِّعت معاملات التوسيع من أعداد عادية إلى مؤثرات، مؤثرات الإنشاء والإفناء . يُنشئ مؤثر الإنشاء جسيمًا في دالة الأساس المقابلة ، بينما يُفني مؤثر الإفناء جسيمًا في هذه الدالة.

في حالة المجالات الكهرومغناطيسية، يكون التوسع المطلوب للمجال هو توسع فورييه.

كما يوحي المصطلح، يتكون المجال الكهرومغناطيسي من مجالين متجهين، مجال كهربائي${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$ومجال مغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$كلاهما حقلان متجهان يعتمدان على الزمن، وفي الفراغ يعتمدان على حقل متجه ثالث .${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$(الجهد المتجهي)، بالإضافة إلى حقل قياسي${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}}$

حيث ∇ × A هو التفاف A.​​

باختيار مقياس كولوم ، الذي يحقق ^∇ ⋅ A =  0، يصبح A حقلاً مستعرضاً . ويكون تحليل فورييه للجهد الشعاعي المحصور في صندوق مكعب محدود الحجم V = L³ هو

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left(\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right),}$

أين${\displaystyle {\overline {a}}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle a}$يُحدد متجه الموجة k اتجاه انتشار مُركبة فورييه المُناظرة (موجة أحادية اللون مُستقطبة) للموجة A ( r , t )؛ وطول متجه الموجة هو

${\displaystyle |\mathbf {k} |={\frac {2\pi \nu }{c}}={\frac {\omega }{c}},}$

حيث ν تردد النمط. في هذا المجموع، يشمل k جميع الأعداد الصحيحة، الموجبة والسالبة. (مكون أساس فورييه)${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$هو المرافق المعقد لمكون من${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$مثل${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$(حقيقي.) مكونات المتجه k لها قيم منفصلة (نتيجة لشرط الحدود الذي ينص على أن A لها نفس القيمة على الجدران المتقابلة للصندوق):

${\displaystyle k_{x}={\frac {2\pi n_{x}}{L}},\quad k_{y}={\frac {2\pi n_{y}}{L}},\quad k_{z}={\frac {2\pi n_{z}}{L}},\qquad n_{x},n_{y},n_{z}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .}$

متجهان استقطابيان e ^{( μ )} هما متجهان وحدة تقليديان للموجات الكهرومغناطيسية المستقطبة دائريًا يسارًا ويمينًا (LCP وRCP) (انظر حساب جونز أو متجه جونز، حساب _جونز ) وعموديان على k . وهما مرتبطان بالمتجهين الديكارتيين المتعامدين ex _و ey من خلال تحويل وحدوي.

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(\pm 1)}\equiv {\frac {\mp 1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{x}\pm i\mathbf {e} _{y})\qquad {\hbox{with}}\quad \mathbf {e} _{x}\cdot \mathbf {k} =\mathbf {e} _{y}\cdot \mathbf {k} =0.}$

المركبة k من فورييه للمتجه A هي متجه عمودي على k ، وبالتالي فهي توليفة خطية من e ⁽¹⁾ و e ^(-1) . يشير الرمز العلوي μ إلى مركبة موازية لـ e ^{( μ )} .

من الواضح أن مجموعة معاملات فورييه (المنفصلة اللانهائية)${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$و${\displaystyle {\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)}$هي متغيرات تحدد الجهد الشعاعي. في القسم التالي، سيتم تحويلها إلى مؤثرات لا بُعدية.

باستخدام معادلات المجال لـ${\displaystyle \mathbf {B} }$و${\displaystyle \mathbf {E} }$من ناحية${\displaystyle \mathbf {A} }$أعلاه، المجالات الكهربائية والمغناطيسية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }{\sum _{\mu =\pm 1}\omega {\left({\mathbf {e} ^{(\mu )}}(\mathbf {k} )a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}-{{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} ){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right)}}\\[6pt]\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=i\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\left\{\left(\mathbf {k} \times {{\mathbf {e} }^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {{\overline {\mathbf {e} }}^{(\mu )}}(\mathbf {k} )\right){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){{e}^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}\right\}\end{aligned}}}$

باستخدام الهوية${\displaystyle \nabla \times e^{A\cdot r}=A\times e^{A\cdot r}}$(${\displaystyle A}$و${\displaystyle r}$(هي متجهات) و${\displaystyle a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)=a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}{{e}^{-iwt}}}$حيث أن لكل نمط اعتماد على تردد واحد.

أفضل مثال معروف على التكميم هو استبدال الزخم الخطي المتغير مع الزمن للجسيم بالقاعدة

${\displaystyle \mathbf {p} (t)\to -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$

لاحظ أن ثابت بلانك يتم تقديمه هنا وأن الاعتماد الزمني للتعبير الكلاسيكي لا يتم أخذه في عامل ميكانيكا الكم (هذا صحيح في ما يسمى بصورة شرودنغر ).

بالنسبة للمجال الكهرومغناطيسي، نقوم بشيء مماثل. الكمية${\displaystyle \epsilon _{0}}$هو الثابت الكهربائي ، والذي يظهر هنا بسبب استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات الكهرومغناطيسية . قواعد التكميم هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)&\to {\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\\\end{aligned}}}$

مع مراعاة علاقات تبادل البوزونات

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),a^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=0\\\left[a^{(\mu )}(\mathbf {k} ),{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}\delta _{\mu ,\mu '}\end{aligned}}}$

تشير الأقواس المربعة إلى مبدل، مُعرَّف بواسطة${\displaystyle [A,B]\equiv AB-BA}$لأي مؤثرين كموميين A و B. يُعد إدخال ثابت بلانك أساسيًا في الانتقال من النظرية الكلاسيكية إلى النظرية الكمومية. العامل

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2\omega V\epsilon _{0}}}}}$

يتم إدخالها لإعطاء الهاميلتوني (مؤثر الطاقة) شكلاً بسيطاً، انظر أدناه.

الحقول الكمية (= المؤثرات) هي كالتالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2V\epsilon _{0}}}}\left\{\mathbf {e} ^{(\mu )}a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}{a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega V\epsilon _{0}}}}\left\{\left(\mathbf {k} \times \mathbf {e} ^{(\mu )}\right)a^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-\left(\mathbf {k} \times {\bar {\mathbf {e} }}^{(\mu )}\right){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right\}\end{aligned}}}$

حيث ω = c | k | = ck .

يأخذ الهاميلتوني الكلاسيكي الشكل التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\iiint _{V}{\left({{\left|E(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}+c^{2}{\left|B(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}\right)}{\text{d}}^{3}\mathbf {r} \\[1ex]&=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =\pm 1}\omega ^{2}\left({\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).\end{aligned}}}$

يمكن الحصول على الجانب الأيمن بسهولة عن طريق استخدام

${\displaystyle \int _{V}e^{ik\cdot r}e^{-ik'\cdot r}dr=V\delta _{k,k'}}$

(يمكن اشتقاقها من معادلة أويلر والتعامد المثلثي) حيث k هو العدد الموجي للموجة المحصورة داخل صندوق V = L × L × L كما هو موضح أعلاه وثانيًا، باستخدام ω = kc .

يؤدي استبدال مؤثرات المجال في الهاميلتوني الكلاسيكي إلى الحصول على مؤثر هاميلتون للمجال الكهرومغناطيسي.

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}\sum _{\mathbf {k} ,\mu =\pm 1}\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)\\&=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}}$

تنتج المساواة الثانية من استخدام علاقة تبادل البوزونات الثالثة المذكورة أعلاه، حيث k ′ = k و μ ′ = μ . لاحظ مجددًا أن ħω = hν = ħc | k |، وتذكر أن ω تعتمد على k ، على الرغم من عدم ذكر ذلك صراحةً في الترميز. كان من الممكن استخدام الترميز ω ( k )، ولكنه غير شائع لأنه يُسبب ازدحامًا في المعادلات.

يتميز المجال الكهرومغناطيسي الكمي بحالة فراغ (بدون فوتونات).${\displaystyle |0\rangle }$وتطبيق ذلك على سبيل المثال،

${\displaystyle \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)^{m}\left({a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k} ')\right)^{n}|0\rangle \propto \left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,}$

يُعطي هذا حالة كمومية لـ m فوتون في النمط ( k , μ ) و n فوتون في النمط ( k ′, μ ′). يُستخدم رمز التناسب لأن الحالة على اليسار غير مُعَيَّرة إلى الوحدة، بينما قد تكون الحالة على اليمين مُعَيَّرة.

المشغل

${\displaystyle N^{(\mu )}(\mathbf {k} )\equiv {a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

هو عامل العدد . عند تطبيقه على حالة عدد الفوتونات في ميكانيكا الكم، فإنه يُعيد عدد الفوتونات في النمط ( k , μ ). وينطبق هذا أيضًا عندما يكون عدد الفوتونات في هذا النمط صفرًا، فحينها يُعيد عامل العدد صفرًا. ولتوضيح تأثير عامل العدد على حالة الفوتون الواحد، نعتبر

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{(\mu )}(\mathbf {k} )|\mathbf {k} ',\mu '\rangle &={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} ){a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )|0\rangle \\&={a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left(\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}+{a^{\dagger }}^{(\mu ')}(\mathbf {k'} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )\right)|0\rangle \\&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k'} }\delta _{\mu ,\mu '}|\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\end{aligned}}}$

أي أن عامل العدد للنمط ( k , μ ) يُرجع صفرًا إذا كان النمط غير مشغول، ويُرجع واحدًا إذا كان النمط مشغولًا بفوتون واحد. ولدراسة تأثير عامل العدد للنمط ( k , μ ) على مجموعة فوتونات من النمط نفسه، نحذف المؤشرين k و μ ونعتبر

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =a^{\dagger }\left([a,(a^{\dagger })^{n}]+(a^{\dagger })^{n}a\right)|0\rangle =a^{\dagger }[a,(a^{\dagger })^{n}]|0\rangle .}$

باستخدام "قاعدة التفاضل" التي تم تقديمها سابقًا، يترتب على ذلك ما يلي:

${\displaystyle N(a^{\dagger })^{n}|0\rangle =n(a^{\dagger })^{n}|0\rangle .}$

حالة عدد الفوتونات (أو حالة فوك ) هي حالة ذاتية لمؤثر العدد. ولهذا السبب يُشار إلى الصيغة الموصوفة هنا غالبًا باسم تمثيل عدد الإشغال .

في وقت سابق، كان الهاميلتوني،

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)}$

تم تقديمها. يمكن إزاحة الصفر للطاقة، مما يؤدي إلى تعبير بدلالة عامل العدد.

${\displaystyle H=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \omega N^{(\mu )}(\mathbf {k} )}$

تأثير الهيدروجين على حالة الفوتون المفرد هو

${\displaystyle H|\mathbf {k} ,\mu \rangle \equiv H\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\sum _{\mathbf {k'} ,\mu '}\hbar \omega 'N^{(\mu ')}(\mathbf {k} '){a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle =\hbar \omega \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \omega |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

وبالتالي، فإن حالة الفوتون الواحد هي حالة ذاتية لـ H، و ħω = hν هي الطاقة المقابلة. وبالمثل

${\displaystyle H\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle =\left[m(\hbar \omega )+n(\hbar \omega ')\right]\left|(\mathbf {k} ,\mu )^{m};(\mathbf {k} ',\mu ')^{n}\right\rangle ,\qquad {\text{with}}\quad \omega =c|\mathbf {k} |\quad {\hbox{and}}\quad \omega '=c|\mathbf {k} '|.}$

إدخال متسلسلة فورييه للمجال الكهرومغناطيسي في الشكل الكلاسيكي

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\epsilon _{0}\iiint _{V}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t){\textrm {d}}^{3}\mathbf {r} ,}$

العائد

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=V\epsilon _{0}\sum _{\mathbf {k} }\sum _{\mu =1,-1}\omega \mathbf {k} \left(a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t){\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)+{\bar {a}}_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)a_{\mathbf {k} }^{(\mu )}(t)\right).}$

الكميات

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )a^{(\mu )}(\mathbf {k} )+{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }\hbar \mathbf {k} N^{(\mu )}(\mathbf {k} ).}$

يمكن حذف الحد 1/2، لأنه عند جمع قيم k المسموح بها ، يُلغى k مع −k . تأثير P _EM على حالة الفوتون الواحد هو

${\displaystyle \mathbf {P} _{\textrm {EM}}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mathbf {P} _{\textrm {EM}}\left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} \left({a^{\dagger }}^{(\mu )}(\mathbf {k} )|0\rangle \right)=\hbar \mathbf {k} |\mathbf {k} ,\mu \rangle .}$

على ما يبدو، فإن حالة الفوتون الواحد هي حالة ذاتية لمؤثر الزخم ، و ħ k هي القيمة الذاتية (زخم الفوتون الواحد).

_بما أن الفوتون يمتلك زخمًا خطيًا غير صفري، يمكن تصور أن له كتلة سكون غير معدومة m₀ _، وهي كتلته عند سرعة صفرية. مع ذلك، سنبين الآن أن هذا ليس صحيحًا: m₀ = 0.

بما أن الفوتون ينتشر بسرعة الضوء ، فإن النسبية الخاصة ضرورية. وتُعطى التعبيرات النسبية للطاقة ومربع الزخم كما يلي:

${\displaystyle E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}},\qquad p^{2}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}.}$

من الصفحة ² / E ² ،

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}p^{2}}{E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad E^{2}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-c^{2}p^{2}/E^{2}}}\quad \Longrightarrow \quad m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}.}$

يستخدم

${\displaystyle E^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}\qquad {\text{and}}\qquad p^{2}=\hbar ^{2}k^{2}={\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}$

ويترتب على ذلك

${\displaystyle m_{0}^{2}c^{4}=E^{2}-c^{2}p^{2}=\hbar ^{2}\omega ^{2}-c^{2}{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}=0,}$

بحيث يكون m ₀ = 0.

يمكن إسناد دوران ثلاثي للفوتون مع عدد كم الدوران S = 1. وهذا مشابه، على سبيل المثال، للدوران النووي لنظير 14N ^، ولكن مع الاختلاف المهم وهو أن الحالة ذات M _S = 0 تساوي صفرًا، فقط الحالات ذات M _S = ±1 هي غير صفرية.

تعريف عوامل الدوران:

${\displaystyle S_{z}\equiv -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

المشغلان${\displaystyle \otimes }$بين متجهي الوحدة المتعامدين توجد نواتج ثنائية . متجهات الوحدة عمودية على اتجاه الانتشار k (اتجاه المحور z ، وهو محور تكميم اللف المغزلي).

تخضع معاملات الدوران لعلاقات تبادل الزخم الزاوي المعتادة

${\displaystyle [S_{x},S_{y}]=i\hbar S_{z}\qquad {\hbox{and cyclically}}\quad x\to y\to z\to x.}$

في الواقع، استخدم خاصية الضرب الثنائي

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)=\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {e} _{z}\right)=\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}}$

لأن طول e _z يساوي وحدة واحدة. وبهذه الطريقة،

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S_{x},S_{y}\right]&=-\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\hbar ^{2}\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\\&=\hbar ^{2}\left[-\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)+\left(\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{x}-\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{z}\right)\left(\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{z}-\mathbf {e} _{z}\otimes \mathbf {e} _{y}\right)\right]\\&=i\hbar \left[-i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\right]\\&=i\hbar S_{z}\end{aligned}}}$

وبالفحص يتبين أن

${\displaystyle -i\hbar \left(\mathbf {e} _{x}\otimes \mathbf {e} _{y}-\mathbf {e} _{y}\otimes \mathbf {e} _{x}\right)\cdot \mathbf {e} ^{(\mu )}=\mu \hbar \mathbf {e} ^{(\mu )},\qquad \mu =\pm 1,}$

وبالتالي فإن μ يشير إلى دوران الفوتون،

${\displaystyle S_{z}|\mathbf {k} ,\mu \rangle =\mu \hbar |\mathbf {k} ,\mu \rangle ,\quad \mu =\pm 1.}$

لأن الجهد المتجه A هو مجال عرضي، فإن الفوتون ليس له مكون دوران أمامي (μ = 0).

يكون التقريب الكلاسيكي للإشعاع الكهرومغناطيسي جيدًا عندما يكون عدد الفوتونات أكبر بكثير من الواحد في الحجم${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}},}$حيث λ هو طول موجات الراديو. في هذه الحالة، تكون التقلبات الكمومية ضئيلة.

على سبيل المثال، تحتوي الفوتونات المنبعثة من محطة إذاعية تبث بتردد ν = 100 ميجاهرتز ^على  طاقة مقدارها hν = (1  ×  10⁸ ) × (6.6 × 10⁻³⁴ ) = 6.6 × ^10⁻²⁶ جول، حيث h هو ثابت بلانك . يبلغ طول موجة المحطة λ = c / ν = 3 أمتار، وبالتالي λ / (2π ) = 48 سم ^، وحجمها 0.109 متر ^مكعب . تبلغ طاقة هذا الحجم على بُعد 5 كيلومترات من المحطة 2.1 × 10⁻¹⁰ × 0.109 = 2.3 ^{× 10⁻¹¹} جول ، أي ما يعادل 3.4 × 10¹⁴ فوتون لكل ^{جول .}               ${\displaystyle {\tfrac {\lambda ^{3}}{(2\pi )^{3}}}.}$بما أن 3.4  ×  10¹⁴ > 1، ^فإن التأثيرات الكمومية لا تلعب دورًا. الموجات المنبعثة من هذه المحطة موصوفة بدقة بالحد الكلاسيكي، ولا حاجة لميكانيكا الكم.

• فراغ QED
• متجه الاستقطاب المعمم لحقول الدوران العشوائية .

تتضمن هذه المقالة مواد من مقالة Citizendium بعنوان " تكميم المجال الكهرومغناطيسي "، والتي تم ترخيصها بموجب رخصة Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License ولكن ليس بموجب رخصة GFDL .