دالة المعدل

الموسوعة الحرة

في نظرية الانحرافات الكبيرة ، تُستخدم دالة المعدل لتحديد احتمالات وقوع الأحداث النادرة. وتُستخدم هذه الدوال لصياغة مبادئ الانحرافات الكبيرة، التي تُحدد بدورها الاحتمال التقاربي للأحداث النادرة ضمن سلسلة من الاحتمالات.

وتسمى دالة المعدل أيضًا دالة كرامر ، نسبة إلى عالم الاحتمالات السويدي هارالد كرامر .

التعريفات

دالة المعدل: دالة موسعة ذات قيم حقيقيةأنا:X→[0،+∞]{\displaystyle I:X\to [0,+\infty ]}معرفة على فضاء طوبولوجي هاوسدورفX{\displaystyle X}يُقال إنها دالة معدل إذا لم تكن متطابقة+∞{\displaystyle +\infty }وهي شبه متصلة من الأسفل، أي جميع مجموعات المستويات الفرعية

{x∈X|أنا(x)≤ج} ل ج≥0{\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0}

مغلقة في​X{\displaystyle X}وإذا كانت، علاوة على ذلك، متراصة ، فإنأنا{\displaystyle I}يقال إنها دالة معدل جيدة .

مجموعة من مقاييس الاحتمالية(μدلتا)دلتا>0{\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}علىX{\displaystyle X}يقال إنها تحقق مبدأ الانحراف الكبير بدالة المعدلأنا:X→[0،+∞){\displaystyle I:X\to [0,+\infty )}(والمعدل)1/دلتا{\displaystyle 1/\delta }) إذا كان لكل مجموعة مغلقةF⊆X{\displaystyle F\subseteq X}وكل مجموعة مفتوحةجي⊆X{\displaystyle G\subseteq X}،

ليم سوبدلتا↓0دلتاسجل⁡μدلتا(F)≤-معلوماتx∈Fأنا(x)،(U){\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}
الحد الأقصى غير محدوددلتا↓0دلتاسجل⁡μدلتا(جي)≥-معلوماتx∈جيأنا(x).(L){\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}

إذا كان الحد الأعلى (U) ينطبق فقط على المجموعات المدمجة (بدلاً من المجموعات المغلقة)F{\displaystyle F}، ثم(μدلتا)دلتا>0{\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}يقال إنها تحقق مبدأ الانحرافات الكبيرة الضعيفة (بمعدل1/دلتا{\displaystyle 1/\delta }ودالة معدل ضعيفةأنا{\displaystyle I}).

ملاحظات

إن دور المجموعات المفتوحة والمغلقة في مبدأ الانحراف الكبير مشابه لدورها في التقارب الضعيف لمقاييس الاحتمال: تذكر أن(μدلتا)دلتا>0{\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}يقال إنها تتقارب بشكل ضعيف إلىμ{\displaystyle \mu }إذا، لكل مجموعة مغلقةF⊆X{\displaystyle F\subseteq X}وكل مجموعة مفتوحةجي⊆X{\displaystyle G\subseteq X}،

ليم سوبدلتا↓0μدلتا(F)≤μ(F)،{\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}
الحد الأقصى غير محدوددلتا↓0μدلتا(جي)≥μ(جي).{\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}

يوجد بعض التباين في المصطلحات المستخدمة في الأدبيات؛ فعلى سبيل المثال، يستخدم دين هولاندر (2000) مصطلح "دالة المعدل" فقط، بينما تستخدم هذه المقالة - تبعًا لديمبو وزيتوني (1998) - مصطلحي "دالة المعدل الجيدة" و"دالة المعدل الضعيفة". ويستخدم رسول آغا وسيبالاينن (2015) مصطلح "دالة المعدل المحكمة" بدلًا من "دالة المعدل الجيدة" نظرًا لارتباطها بالدقة الأسية لمجموعة من المقاييس. وبغض النظر عن المصطلحات المستخدمة لدوال المعدل، فإن فحص ما إذا كان من المفترض أن تتحقق متباينة الحد الأعلى (U) للمجموعات المغلقة أو المتراصة يُبين ما إذا كان مبدأ الانحراف الكبير المستخدم قويًا أم ضعيفًا.

ملكيات

رجل فريد

بالنظر إلى الإطار العام المجرد نوعًا ما أعلاه، يتبادر إلى الذهن سؤال طبيعي: هل دالة المعدل فريدة؟ وقد تبين أن هذا هو الحال: فإذا كان لدينا سلسلة من مقاييس الاحتمال ( μ, δ ) حيث δ > 0 على X تحقق مبدأ الانحراف الكبير لدالتي معدل I و J ، فإن I ( x )  = J ( x ) لجميع x ∈ X.   

الضيق الأسي

من الممكن تحويل مبدأ الانحراف الكبير الضعيف إلى مبدأ قوي إذا تقاربت المقاييس بسرعة كافية. إذا تحقق الحد الأعلى للمجموعات المدمجة F ، وكان تسلسل المقاييس ( μ, δ ) δ > 0 متقاربًا أُسّيًا ، فإن الحد الأعلى يتحقق أيضًا للمجموعات المغلقة F. بعبارة أخرى، يُمكّن التقارب الأُسّي من تحويل مبدأ الانحراف الكبير الضعيف إلى مبدأ قوي.

الاستمرارية

قد يحاول المرء ببساطة استبدال المتباينتين (U) و(L) بالشرط الوحيد الذي ينص على أنه بالنسبة لجميع مجموعات بوريل S  ⊆ X ، 

ليمدلتا↓0دلتاسجل⁡μدلتا(S)=-معلوماتx∈Sأنا(x).(هـ){\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}

المساواة (E) مقيدة للغاية، إذ أن العديد من الأمثلة المهمة تحقق (U) و(L) ولكن ليس (E). على سبيل المثال، قد يكون المقياس μδ غير ذري لجميع قيم δ ، لذا فإن المساواة (E) لا تتحقق لـ S = { x } إلا إذا كانت I متطابقة +∞، وهو أمر غير مسموح به في التعريف. مع ذلك، فإن المتباينتين (U) و(L) تستلزمان المساواة (E) لما يُسمى بالمجموعات المتصلة بـ I، S ⊆ X ، وهي المجموعات التي    

أنا(S∘)=أنا(S¯)،{\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}

أينS∘{\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}وS¯{\displaystyle {\bar {S}}}يرمز الرمزان إلى داخل وإغلاق المجموعة S في X على التوالي. في العديد من الأمثلة، تكون العديد من المجموعات/الأحداث المهمة متصلة بالنسبة للدالة I. على سبيل المثال، إذا كانت I دالة متصلة ، فإن جميع المجموعات S التي تحقق الشرط التالي :

S⊆S∘¯{\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}

هي متصلة من النوع I ؛ جميع المجموعات المفتوحة، على سبيل المثال، تحقق هذا الاحتواء.

تحويل مبادئ الانحراف الكبير

إذا ما تم تطبيق مبدأ الانحراف الكبير على فضاء معين، فمن المهم غالبًا بناء مبدأ انحراف كبير على فضاء آخر. وهناك العديد من النتائج في هذا المجال:

التاريخ والتطور الأساسي

ظهر مفهوم دالة المعدل في ثلاثينيات القرن العشرين مع دراسة عالم الرياضيات السويدي هارالد كرامر لسلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ( Z i ) i∈شمال{\displaystyle \mathbb {N} }وبالتحديد، من بين بعض اعتبارات القياس، درس كريمر سلوك توزيع المتوسطXن=1ن∑أنا=1نZأنا{\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}عندما n →∞. [ 1 ] وجد أن ذيول توزيع X n تتلاشى أُسّيًا كـ e − nλ ( x ) حيث العامل λ ( x ) في الأس هو تحويل ليجندر-فينشل (المعروف أيضًا باسم المرافق المحدب ) لدالة توليد العزوم التراكميةΨZ(ت)=سجل⁡هـ⁡هـتZ.{\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.} لهذا السبب، تُسمى هذه الدالة تحديدًا λ ( x ) أحيانًا بدالة كرامر . وتُعدّ دالة المعدل المُعرّفة أعلاه في هذه المقالة تعميمًا واسعًا لمفهوم كرامر هذا، حيث تُعرّف بشكل أكثر تجريدًا على فضاء احتمالي ، بدلًا من فضاء حالة متغير عشوائي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ كريمر ، هارالد (1938). “Sur un nouveau théorème-limité de la théorie des probabilités”. الندوة المخصصة لنظرية الاحتمالات، الجزء 3، الحقائق العلمية والصناعية (باللغة الفرنسية). 731 : 5-23 .
  • ديمبو، أمير؛ زيتوني، عوفر (1998). تقنيات الانحرافات الكبيرة وتطبيقاتها . تطبيقات الرياضيات (نيويورك) 38 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2.MR 1619036 
  • دين هولاندر، فرانك (2000). الانحرافات الكبيرة . سلسلة دراسات معهد فيلدز 14. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ص.  x+143. ISBN 0-8218-1989-5.MR 1739680 
  • رسول آغا، فراس؛ سيبالاينن، تيمو (2015). دورة عن الانحرافات الكبيرة مع مقدمة لمقاييس جيبس . الدراسات العليا في الرياضيات 162. Providence, RI: الجمعية الأمريكية للرياضيات. الرابع عشر+318. رقم ISBN 978-0-8218-7578-0.MR 3309619