معامل التباين

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعد معامل التباين ( CV )، المعروف أيضًا باسم الانحراف المعياري الجذري التربيعي المعياري (NRMSD) والانحراف المعياري النسبي ( RSD )، مقياسًا معياريًا لتشتت توزيع الاحتمالات أو توزيع التردد . ويُعرَّف بأنه نسبة الانحراف المعياريσ{\displaystyle \sigma }إلى المتوسطμ{\displaystyle \mu }(أو قيمتها المطلقة ،|μ|{\displaystyle |\mu |}) ، وغالبًا ما يتم التعبير عنها كنسبة مئوية ("%RSD").

يُستخدم معامل التباين (CV) أو الانحراف المعياري النسبي (RSD) على نطاق واسع في الكيمياء التحليلية للتعبير عن دقة وقابلية تكرار التحليل . كما يُستخدم بشكل شائع في مجالات مثل الهندسة والفيزياء عند إجراء دراسات ضمان الجودة، ويُستخدم تحليل التباين (ANOVA) لقياس التكرارية والدقة (R&R) ، ويستخدمه الاقتصاديون والمستثمرون في النماذج الاقتصادية ، وفي علم الأوبئة ، وفي علم النفس / علم الأعصاب .

تعريف

يُعرَّف معامل التباين (CV) [ 1 ] بأنه نسبة الانحراف المعياريσ{\displaystyle \sigma }إلى المتوسطμ{\displaystyle \mu }،

جV=σμ.{\displaystyle CV={\frac {\sigma }{\mu }}.}

يُظهر معامل التباين مدى التباين بالنسبة لمتوسط ​​المجتمع. يجب حساب معامل التباين فقط للبيانات المقاسة على مقاييس لها صفر ذو دلالة ( مقياس نسبي )، مما يسمح بالمقارنة النسبية بين قياسين (أي قسمة أحدهما على الآخر). قد لا يكون لمعامل التباين أي دلالة بالنسبة للبيانات المقاسة على مقياس فترات . [ 2 ] على سبيل المثال، معظم مقاييس درجة الحرارة (مثل سيليزيوس وفهرنهايت وغيرها) هي مقاييس فترات ذات أصفار اعتباطية، لذا سيختلف معامل التباين المحسوب باختلاف المقياس المستخدم. من ناحية أخرى، تتميز درجة حرارة كلفن بصفر ذي دلالة، وهو الغياب التام للطاقة الحرارية، وبالتالي فهي مقياس نسبي. بعبارة أخرى، من المنطقي القول إن 20 كلفن أسخن بمرتين من 10 كلفن، ولكن فقط في هذا المقياس الذي له صفر مطلق حقيقي. بينما يمكن قياس الانحراف المعياري (SD) بالكلفن أو سيليزيوس أو فهرنهايت، فإن القيمة المحسوبة تنطبق فقط على ذلك المقياس. لا يمكن استخدام سوى مقياس كلفن لحساب معامل التباين الصحيح.

تُظهر القياسات التي تتوزع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا معامل تباين ثابتًا؛ في المقابل، يختلف الانحراف المعياري اعتمادًا على القيمة المتوقعة للقياسات.

ثمة احتمال أكثر قوة وهو معامل تشتت الربيعات ، وهو نصف المدى الربيعي.(سؤال3-سؤال1)/2{\displaystyle {(Q_{3}-Q_{1})/2}}مقسومًا على متوسط ​​الأرباع (النقطة الوسطى )،(سؤال1+سؤال3)/2{\displaystyle {(Q_{1}+Q_{3})/2}}.

في معظم الحالات، يُحسب معامل التباين لمتغير مستقل واحد (مثل منتج مصنع واحد) مع قياسات متكررة ومتعددة لمتغير تابع (مثل الخطأ في عملية الإنتاج). مع ذلك، قد تكون البيانات الخطية أو حتى غير الخطية لوغاريتميًا، والتي تتضمن نطاقًا متصلًا للمتغير المستقل مع قياسات متفرقة عبر كل قيمة (مثل مخطط التشتت)، قابلةً لحساب معامل تباين واحد باستخدام أسلوب تقدير الاحتمال الأقصى . [ 3 ]

أمثلة

في الأمثلة أدناه، سنأخذ القيم المعطاة على أنها مختارة عشوائياً من مجموعة أكبر من القيم .

  • تحتوي مجموعة البيانات [100، 100، 100] على قيم ثابتة. انحرافها المعياري يساوي صفرًا، ومتوسطها يساوي 100، مما يعطي معامل التباين 0 / 100 = 0
  • تتميز مجموعة البيانات [90، 100، 110] بتفاوت أكبر. يبلغ انحرافها المعياري 10 ومتوسطها 100، مما يعطي معامل التباين 10 / 100 = 0.1
  • تتميز مجموعة البيانات [1، 5، 6، 8، 10، 40، 65، 88] بمزيد من التباين. يبلغ انحرافها المعياري 32.9 ومتوسطها 27.9، مما يعطي معامل تباين قدره 32.9 / 27.9 = 1.18

في هذه الأمثلة، سنأخذ القيم المعطاة على أنها جميع القيم المتاحة .

  • مجموعة البيانات [100، 100، 100] لها انحراف معياري للمجتمع يساوي صفرًا ومعامل تباين يساوي صفرًا / 100 = صفرًا
  • يبلغ الانحراف المعياري لمجموعة البيانات [90، 100، 110] 8.16، ومعامل التباين 8.16 / 100 = 0.0816
  • يبلغ الانحراف المعياري لمجموعة البيانات [1، 5، 6، 8، 10، 40، 65، 88] 30.8، ومعامل التباين 30.8 / 27.9 = 1.10

تقدير

عندما لا تتوفر سوى عينة من البيانات من مجتمع إحصائي، يمكن تقدير معامل التباين للمجتمع الإحصائي باستخدام نسبة الانحراف المعياري للعينة.s{\displaystyle s\,}إلى متوسط ​​العينةx¯{\displaystyle {\bar {x}}}:

جv^=sx¯{\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}={\frac {s}{\bar {x}}}}

لكن هذا المُقدِّر، عند تطبيقه على عينة صغيرة أو متوسطة الحجم، يميل إلى أن يكون منخفضًا جدًا: فهو مُقدِّر متحيز . بالنسبة للبيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا ، يكون المُقدِّر غير المتحيز [ 4 ] لعينة حجمها n هو:

جv^*=(1+14ن)جv^{\displaystyle {\widehat {c_{\rm {v}}}}^{*}={\bigg (}1+{\frac {1}{4n}}{\bigg )}{\widehat {c_{\rm {v}}}}}

بيانات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

تتبع العديد من مجموعات البيانات توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا تقريبًا. [ 5 ] في مثل هذه الحالات، يُعرَّف تقدير أكثر دقة، مستمد من خصائص التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] على النحو التالي:

جv^رأw=هـsln2-1{\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}={\sqrt {\mathrm {e} ^{s_{\ln }^{2}}-1}}}

أينsln{\displaystyle {s_{\ln }}\,}يمثل الانحراف المعياري للعينة للبيانات بعد تحويلها باستخدام اللوغاريتم الطبيعي . (في حالة تسجيل القياسات باستخدام أي أساس لوغاريتمي آخر، b، فإن انحرافها المعياريsب{\displaystyle s_{b}\,}يتم تحويلها إلى الأساس e باستخدامsln=sبln⁡(ب){\displaystyle s_{\ln }=s_{b}\ln(b)\,}، والصيغة الخاصة بـجv^رأw{\displaystyle {\widehat {cv}}_{\rm {raw}}\,}يبقى كما هو. [ 9 ] ) يُشار إلى هذا التقدير أحيانًا باسم "معامل التباين الهندسي" (GCV) [ 10 ] [ 11 ] لتمييزه عن التقدير البسيط المذكور أعلاه. ومع ذلك، فقد عرّف كيركوود [ 12 ] "معامل التباين الهندسي" أيضًا على النحو التالي:

جيجVك=هـsln-1{\displaystyle \mathrm {GCV_{K}} ={\mathrm {e} ^{s_{\ln }}\!\!-1}}

كان المقصود من هذا المصطلح أن يكون مماثلاً لمعامل التباين، لوصف التباين المضاعف في البيانات اللوغاريتمية الطبيعية، ولكن هذا التعريف لـ GCV ليس له أساس نظري كتقدير لـجv{\displaystyle c_{\rm {v}}\,}نفسها.

لأغراض عملية عديدة (مثل تحديد حجم العينة وحساب فترات الثقة )sلن{\displaystyle s_{ln}\,}وهو الأكثر فائدة في سياق البيانات الموزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا. ويمكن استخلاص ذلك، عند الضرورة، من تقدير لـجv{\displaystyle c_{\rm {v}}\,}أو القيمة الإجمالية للكتلة عن طريق عكس الصيغة المقابلة.

مقارنة بالانحراف المعياري

المزايا

يُعدّ معامل التباين مفيدًا لأنّ الانحراف المعياري للبيانات يجب فهمه دائمًا في سياق متوسط ​​البيانات. في المقابل، فإنّ القيمة الفعلية لمعامل التباين مستقلة عن وحدة القياس، لذا فهي قيمة بلا أبعاد . وللمقارنة بين مجموعات البيانات ذات الوحدات المختلفة أو المتوسطات المتباينة بشكل كبير، يُنصح باستخدام معامل التباين بدلًا من الانحراف المعياري.

العيوب

  • عندما تقترب القيمة المتوسطة من الصفر، يقترب معامل التباين من اللانهاية، وبالتالي يصبح حساسًا للتغيرات الطفيفة في المتوسط. ويحدث هذا غالبًا إذا لم تكن القيم مستمدة من مقياس نسبي.
  • بخلاف الانحراف المعياري، لا يمكن استخدامه مباشرة لإنشاء فترات ثقة للمتوسط.

التطبيقات

يُعدّ معامل التباين شائعًا أيضًا في مجالات الاحتمالات التطبيقية، مثل نظرية التجديد ، ونظرية الطوابير ، ونظرية الموثوقية . في هذه المجالات، غالبًا ما يكون التوزيع الأسي أكثر أهمية من التوزيع الطبيعي . الانحراف المعياري للتوزيع الأسي يساوي متوسطه، لذا فإن معامل تباينه يساوي 1. تُعتبر التوزيعات ذات معامل تباين أقل من 1 (مثل توزيع إيرلانج ) منخفضة التباين، بينما تُعتبر تلك ذات معامل تباين أكبر من 1 (مثل التوزيع الأسي الفائق ) عالية التباين . تُعبّر بعض الصيغ في هذه المجالات باستخدام مربع معامل التباين ، والذي يُختصر غالبًا بـ SCV. في النمذجة، يُعدّ CV(RMSD) أحد مشتقات معامل التباين، حيث يستبدل CV(RMSD) حد الانحراف المعياري بجذر متوسط ​​مربع الانحراف (RMSD) . في حين أن العديد من العمليات الطبيعية تظهر بالفعل وجود علاقة بين القيمة المتوسطة ومقدار التباين حولها، فإن أجهزة الاستشعار الدقيقة تحتاج إلى تصميم بطريقة يكون فيها معامل التباين قريبًا من الصفر، أي أن ينتج عنه خطأ مطلق ثابت على نطاق عملها.

في علم الإكتوارية ، يُعرف معامل التباين باسم المخاطر الموحدة . [ 13 ]

في معالجة المواد الصلبة الصناعية، يُعد معامل التباين (CV) ذا أهمية خاصة لقياس درجة تجانس خليط المسحوق. وتتيح مقارنة معامل التباين المحسوب بالمواصفات تحديد ما إذا تم الوصول إلى درجة كافية من الخلط. [ 14 ]

القياسات المختبرية لمعاملات التباين داخل الاختبار وبين الاختبارات

تُستخدم مقاييس معامل التباين (CV) غالبًا كضوابط جودة للتحليلات المخبرية الكمية . وبينما يُفترض حساب معامل التباين داخل التحليل وبين التحليلات ببساطة عن طريق حساب متوسط ​​قيم معامل التباين لعدة عينات ضمن تحليل واحد، أو عن طريق حساب متوسط ​​تقديرات معامل التباين بين التحليلات، فقد أشير إلى أن هذه الممارسات غير صحيحة، وأن هناك حاجة إلى عملية حسابية أكثر تعقيدًا. [ 15 ] كما لوحظ أن قيم معامل التباين ليست مؤشرًا مثاليًا لدقة القياس عندما يختلف عدد التكرارات بين العينات - في هذه الحالة، يُقترح أن يكون الخطأ المعياري كنسبة مئوية أفضل. [ 16 ] إذا لم يكن للقياسات نقطة صفر طبيعية، فإن معامل التباين لا يُعد قياسًا صالحًا، ويُوصى باستخدام مقاييس بديلة مثل معامل الارتباط داخل الفئة . [ 17 ]

كمقياس لعدم المساواة الاقتصادية

يُلبي معامل التباين متطلبات قياس عدم المساواة الاقتصادية . [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] إذا كانت x (بقيم xᵢ ) قائمة بقيم مؤشر اقتصادي (مثل الثروة)، حيث xᵢ هي ثروة الفرد i ، فإن المتطلبات التالية تتحقق:

  • عدم الكشف عن الهوية – c v مستقل عن ترتيب القائمة x . وينتج هذا عن حقيقة أن التباين والمتوسط ​​مستقلان عن ترتيب x .
  • عدم تغير المقياس: c v ( x ) = c v ( α x ) حيث α عدد حقيقي. [ 20 ]
  • استقلالية السكان – إذا كانت { x , x } هي القائمة x الملحقة بنفسها، فإن c v ({ x , x }) = c v ( x ). وينتج هذا من حقيقة أن التباين والمتوسط ​​كلاهما يخضعان لهذا المبدأ.
  • مبدأ نقل بيغو-دالتون: عندما يتم نقل الثروة من وكيل أكثر ثراءً i إلى وكيل أفقر j (أي x i  > x j ) دون تغيير رتبتهم، فإن c v ينخفض ​​والعكس صحيح. [ 20 ] 

تأخذ دالة c<sub> v</sub> قيمتها الدنيا، وهي الصفر، لتحقيق المساواة التامة (أي عندما تكون جميع قيم x<sub> i </sub> متساوية). [ 20 ] أبرز عيوبها أنها غير محدودة من الأعلى، لذا لا يمكن تطبيعها لتكون ضمن نطاق ثابت (كما هو الحال مع معامل جيني الذي يقتصر على النطاق بين 0 و1). [ 20 ] ومع ذلك، فهي أسهل في التعامل معها رياضياً من معامل جيني.

كإجراء لتوحيد القطع الأثرية

كثيرًا ما يستخدم علماء الآثار قيم معامل التباين (CV) لمقارنة درجة توحيد القطع الأثرية القديمة. [ 21 ] [ 22 ] وقد فُسِّر التباين في قيم معامل التباين على أنه مؤشر على اختلاف سياقات انتقال التقنيات الجديدة ثقافيًا. [ 23 ] كما استُخدمت معاملات التباين لدراسة توحيد صناعة الفخار وعلاقته بالتغيرات في التنظيم الاجتماعي. [ 24 ] ويستخدم علماء الآثار أيضًا عدة طرق لمقارنة قيم معامل التباين، منها على سبيل المثال اختبار نسبة الاحتمالية الموقعة المعدلة (MSLR) للتحقق من تساوي قيم معامل التباين. [ 25 ] [ 26 ]

أمثلة على سوء الاستخدام

قد تؤدي مقارنة معاملات التباين بين المعايير باستخدام وحدات نسبية إلى اختلافات غير حقيقية. فإذا قارنا نفس مجموعة درجات الحرارة بالدرجة المئوية والفهرنهايتية (كلاهما وحدات نسبية، حيث يمثل كلفن ومقياس رانكين قيمها المطلقة):

درجة مئوية: [0، 10، 20، 30، 40]

فهرنهايت: [32، 50، 68، 86، 104]

يبلغ الانحراف المعياري للعينتين 15.81 و28.46 على التوالي. معامل التباين للمجموعة الأولى هو 79% (15.81/20). أما للمجموعة الثانية (التي لها نفس درجات الحرارة) فهو 42% (28.46/68).

إذا كانت مجموعات البيانات، على سبيل المثال، عبارة عن قراءات درجة حرارة من مستشعرين مختلفين (مستشعر سيليزيوس ومستشعر فهرنهايت)، وتريد معرفة أي المستشعرين أفضل باختيار المستشعر ذي التباين الأقل، فإن استخدام معامل التباين (CV) سيؤدي إلى نتائج مضللة. تكمن المشكلة هنا في أنك قسمت على قيمة نسبية بدلاً من قيمة مطلقة.

مقارنة نفس مجموعة البيانات، ولكن الآن بوحدات مطلقة:

كلفن: [273.15، 283.15، 293.15، 303.15، 313.15]

رانكين: [491.67، 509.67، 527.67، 545.67، 563.67]

لا تزال الانحرافات المعيارية للعينة 15.81 و28.46 على التوالي، لأن الانحراف المعياري لا يتأثر بإزاحة ثابتة. أما معاملات التباين، فقد أصبحت الآن متساوية بنسبة 5.39%.

من الناحية الرياضية، فإن معامل التباين ليس خطيًا تمامًا. أي، بالنسبة لمتغير عشوائيX{\displaystyle X}، معامل التباين لـأX+ب{\displaystyle aX+b}يساوي معامل التباين لـX{\displaystyle X}فقط عندماب=0{\displaystyle b=0}في المثال أعلاه، لا يمكن تحويل درجة الحرارة من مئوية إلى فهرنهايت إلا من خلال تحويل خطي على النحو التالي:أx+ب{\displaystyle ax+b}معب≠0{\displaystyle b\neq 0}بينما يمكن تحويل الكلفن إلى رانكين من خلال تحويل الشكلأx{\displaystyle ax}.

توزيع

بافتراض أن القيم السالبة والقيم الموجبة الصغيرة لمتوسط ​​العينة تحدث بتردد ضئيل، فإن التوزيع الاحتمالي لمعامل التباين لعينة بحجمن{\displaystyle n}لقد أظهر هندريكس وروبي أن المتغيرات العشوائية الطبيعية المستقلة والمتطابقة التوزيع هي [ 27 ]

دFجv=2π1/2Γ(ن-12)خبرة⁡(-ن2(σμ)2⋅جv21+جv2)جvن-2(1+جv2)ن/2∑∑′أنا=0ن-1⁡(ن-1)!Γ(ن-أنا2)(ن-1-أنا)!أنا!⋅نأنا/22أنا/2⋅(σμ)أنا⋅1(1+جv2)أنا/2دجv،{\displaystyle \mathrm {d} F_{c_{\rm {v}}}={\frac {2}{\pi ^{1/2}\Gamma {\left({\frac {n-1}{2}}\right)}}}\exp \left(-{\frac {n}{2\left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{2}}}\cdot {\frac {{c_{\rm {v}}}^{2}}{1+{c_{\rm {v}}}^{2}}}\right){\frac {{c_{\rm {v}}}^{n-2}}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{n/2}}}\sideset {}{^{\prime }}\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(n-1)!\,\Gamma \left({\frac {ni}{2}}\right)}{(n-1-i)!\,i!\,}}\cdot {\frac {n^{i/2}}{2^{i/2}\cdot \left({\frac {\sigma }{\mu }}\right)^{i}}}\cdot {\frac {1}{(1+{c_{\rm {v}}}^{2})^{i/2}}}\,\mathrm {d} c_{\rm {v}},}

حيث الرمز∑∑′{\textstyle \sideset {}{^{\prime }}\sum }يشير ذلك إلى أن عملية الجمع تتم فقط على القيم الزوجية لـن-1-أنا{\displaystyle n-1-i}أي، إذان{\displaystyle n}إذا كان فرديًا، فقم بجمع القيم الزوجية لـأنا{\displaystyle i}وإذان{\displaystyle n}إذا كان زوجيًا، فإن المجموع يقتصر فقط على القيم الفردية لـأنا{\displaystyle i}.

يُعدّ هذا مفيدًا، على سبيل المثال، في بناء اختبارات الفرضيات أو فترات الثقة . غالبًا ما يعتمد الاستدلال الإحصائي لمعامل التباين في البيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا على تقريب مربع كاي لماكاي لمعامل التباين. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]

بديل

يستعرض ليو (2012) طرق بناء فترة ثقة لمعامل التباين. [ 34 ] والجدير بالذكر أن ليمان (1986) اشتق توزيع المعاينة لمعامل التباين باستخدام توزيع t غير المركزي لتقديم طريقة دقيقة لبناء فترة الثقة. [ 35 ]

نسب مماثلة

العزوم المعيارية هي نسب متشابهة،μك/σك{\displaystyle {\mu _{k}}/{\sigma ^{k}}}أينμك{\displaystyle \mu _{k}}هي العزم k حول المتوسط، وهي أيضًا عديمة الأبعاد وغير متغيرة بتغير المقياس. نسبة التباين إلى المتوسط ،σ2/μ{\displaystyle \sigma ^{2}/\mu }، هي نسبة أخرى مماثلة، لكنها ليست بلا أبعاد، وبالتالي فهي ليست ثابتة المقياس. انظر قسم التطبيع (الإحصاء) لمزيد من النسب.

في معالجة الإشارات ، وخاصة معالجة الصور ، النسبة المتبادلةμ/σ{\displaystyle \mu /\sigma }(أو مربعه) يشار إليه بنسبة الإشارة إلى الضوضاء بشكل عام ونسبة الإشارة إلى الضوضاء (التصوير) بشكل خاص.

وتشمل النسب الأخرى ذات الصلة ما يلي:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ إيفريت، برايان (1998). قاموس كامبريدج للإحصاء . كامبريدج، المملكة المتحدة: نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-59346-5.
  2. ↑ «ما الفرق بين المتغيرات الترتيبية والفترية والنسبية؟ ولماذا يجب أن أهتم؟» . شركة جراف باد للبرمجيات. مؤرشف من الأصل في 15 ديسمبر 2008. تم الاطلاع عليه في 22 فبراير 2008 .
  3. ↑ أوديك، داركو؛ إم، هي يون؛ إيسينجر، روبرت؛ لي، رايان؛ هالبردا، جاستن (يونيو 2016). "PsiMLE: منهج تقدير الاحتمال الأقصى لتقدير القياس النفسي الفيزيائي والتباين بشكل أكثر موثوقية وكفاءة ومرونة" . أساليب البحث السلوكي . 48 (2): 445-462 . doi : 10.3758/s13428-015-0600-5 . ISSN 1554-3528 . PMID 25987306 .  
  4. ↑ سوكال آر آر ورولف إف جيه. القياسات الحيوية (الطبعة الثالثة). نيويورك: فريمان، 1995. ص 58. ISBN 0-7167-2411-1
  5. ↑ ليمبرت، إيكهارد؛ ستاهل، فيرنر أ.؛ آبت، ماركوس (2001). "التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية عبر العلوم: مفاتيح ودلائل" . بيوساينس . 51 (5): 341-352 . doi : 10.1641/0006-3568(2001)051 [ 0341:LNDATS ] 2.0.CO ; 2 .
  6. ↑ كوبمانز، إل إتش؛ أوين، دي بي؛ روزنبلات، جي آي (1964). "فترات الثقة لمعامل التباين للتوزيعات الطبيعية واللوغاريتمية الطبيعية". بيومتريكا . 51 ( 1-2 ): 25-32 . doi : 10.1093/biomet/51.1-2.25 .
  7. ↑ ديليتي، إي؛ هاوشكه، دي؛ شتاينجانز، في دبليو (1992). "تحديد حجم العينة لتقييم التكافؤ الحيوي باستخدام فترات الثقة". المجلة الدولية لعلم الصيدلة السريرية والعلاج وعلم السموم . 30 (ملحق 1): ص 51-58. PMID 1601532 . 
  8. ↑ جوليوس، ستيفن أ.؛ ديبارنو، كاميل أ.م. (2000). "لماذا تُلخَّص بيانات الحرائك الدوائية بالمتوسطات الحسابية؟". مجلة الإحصاءات الصيدلانية الحيوية . 10 (1): 55-71 . doi : 10.1081/BIP-100101013 . PMID 10709801. S2CID 2805094 .  
  9. ↑ ريد، جيه إف؛ لين، إف؛ ميد، بي دي (2002). "استخدام معامل التباين في تقييم تباين المقايسات الكمية" . مجلة التشخيص السريري والمختبري للمناعة . 9 (6): 1235-1239 . doi : 10.1128/CDLI.9.6.1235-1239.2002 . PMC 130103. PMID 12414755 .  
  10. ↑ ساوانت، س.؛ موهان، ن. (2011) "أسئلة وأجوبة: مشاكل تحليل فعالية بيانات التجارب السريرية باستخدام برنامج SAS" مؤرشف في 24 أغسطس 2011 على موقع Wayback Machine ، PharmaSUG2011 ، ورقة بحثية PO08
  11. ↑ شيف، إم إتش؛ وآخرون (2014). "دراسة مقارنة مباشرة، عشوائية، متقاطعة، للميثوتريكسات الفموي مقابل الميثوتريكسات تحت الجلد لدى مرضى التهاب المفاصل الروماتويدي: يمكن التغلب على قيود التعرض للدواء للميثوتريكسات الفموي بجرعات ≥ 15 ملغ عن طريق الإعطاء تحت الجلد" . حوليات أمراض الروماتيزم . 73 (8): 1-3 . doi : 10.1136/annrheumdis-2014-205228 . PMC 4112421. PMID 24728329 .   
  12. ↑ كيركوود، تي بي إل (1979). "المتوسطات الهندسية ومقاييس التشتت". القياسات الحيوية . 35 (4): 908-9 . JSTOR 2530139 . 
  13. ↑ بروفيرمان، صموئيل أ. (2001). دليل دراسة أكتكس، الدورة 1، امتحان جمعية الاكتواريين، الامتحان 1 لجمعية الاكتواريين في مجال التأمين على الممتلكات والمسؤولية ( طبعة 2001). وينستيد، كونيتيكت: منشورات أكتكس. ص 104. ISBN   978-1-56698-396-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يونيو 2014 .
  14. ↑ "قياس درجة الخلط - تجانس خليط المسحوق - جودة الخليط - PowderProcess.net" . www.powderprocess.net . مؤرشف من الأصل بتاريخ 14 نوفمبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 مايو 2018 .
  15. ↑ رودبارد، د. (أكتوبر 1974). "الرقابة الإحصائية على الجودة ومعالجة البيانات الروتينية للمقايسات المناعية الإشعاعية والمقايسات المناعية الإشعاعية" . الكيمياء السريرية . 20 (10): 1255-1270 . doi : 10.1093/clinchem/20.10.1255 . PMID 4370388 . 
  16. ↑ أيزنبرغ، دان (2015). " تحسين فحوصات طول التيلومير بتقنية qPCR: التحكم في تأثيرات موضع البئر يزيد من القوة الإحصائية" . المجلة الأمريكية لعلم الأحياء البشري . 27 (4): 570-575 . doi : 10.1002/ajhb.22690 . PMC 4478151. PMID 25757675 .  
  17. ↑ أيزنبرغ، دان تي إيه (30 أغسطس 2016). "صحة قياس طول التيلومير: معامل التباين غير صالح ولا يمكن استخدامه لمقارنة تقنية تفاعل البوليميراز المتسلسل الكمي وتقنية ساوثرن بلوت لقياس طول التيلومير" . المجلة الدولية لعلم الأوبئة . 45 (4): 1295-1298 . doi : 10.1093/ije/dyw191 . ISSN 0300-5771 . PMID 27581804 .  
  18. ↑ تشامبرنون، دي جي؛ كويل، إف إيه (1999). عدم المساواة الاقتصادية وتوزيع الدخل . مطبعة جامعة كامبريدج.
  19. ^ كامبانو، ف. سلفاتوري، د. (2006). توزيع الدخل . مطبعة جامعة أكسفورد.
  20. 1 2 3 4 5 بيلو، لورينزو جيوفاني؛ ليبراتي، باولو (2006). "تأثيرات السياسات على عدم المساواة - مقاييس بسيطة لعدم المساواة" (ملف PDF) . EASYPol، أدوات تحليلية . خدمة دعم السياسات، قسم المساعدة في السياسات، منظمة الأغذية والزراعة. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 5 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه في 13 يونيو 2016 .
  21. ↑ إيركنز، جيلمر دبليو؛ بيتينجر، روبرت إل. (يوليو 2001). "تقنيات تقييم التوحيد القياسي في مجموعات القطع الأثرية: هل يمكننا قياس تباين المواد؟". مجلة الآثار الأمريكية . 66 (3): 493-504 . doi : 10.2307/2694247 . JSTOR 2694247. S2CID 163507589 .  
  22. ↑ رو، فالنتاين (2003). "توحيد معايير صناعة الخزف وكثافة الإنتاج: قياس درجات التخصص". مجلة العصور القديمة الأمريكية . 68 (4): 768-782 . doi : 10.2307/3557072 . ISSN 0002-7316 . JSTOR 3557072. S2CID 147444325 .   
  23. ↑ بيتينجر، روبرت ل.؛ إيركنز، جيلمر (أبريل 1999). "أنماط رؤوس السهام، والنقل الثقافي، وانتشار تقنية القوس والسهم في حوض غريت باسين ما قبل التاريخ". مجلة العصور القديمة الأمريكية . 64 (2): 231-242 . doi : 10.2307/2694276 . JSTOR 2694276. S2CID 163198451 .  
  24. ↑ وانغ، لي-ينغ؛ مارويك، بن (أكتوبر 2020). "توحيد شكل الخزف: دراسة حالة لفخار العصر الحديدي من شمال شرق تايوان" . مجلة العلوم الأثرية: التقارير . 33 102554. Bibcode : 2020JArSR..33j2554W . doi : 10.1016/j.jasrep.2020.102554 . S2CID 224904703 . 
  25. ↑ كريشنامورثي، ك.؛ لي، ميسوك (فبراير 2014). "اختبارات محسّنة لتساوي معاملات التباين الطبيعية". الإحصاءات الحاسوبية . 29 ( 1-2 ): 215-232 . doi : 10.1007/s00180-013-0445-2 . S2CID 120898013 . 
  26. ↑ مارويك، بن؛ كريشنامورثي، ك (2019). cvequality: اختبارات لتساوي معاملات التباين من مجموعات متعددة . حزمة R الإصدار 0.2.0.
  27. ↑ هندريكس، والتر أ.؛ روبي، كيت و. (1936). "التوزيع المعاينة لمعامل التباين" . حوليات الإحصاء الرياضي . 7 (3): 129-132 . doi : 10.1214/aoms/1177732503 . JSTOR 2957564 . 
  28. ↑ إيغليفيتش، بوريس؛ مايرز، ريموند (1970). "مقارنات التقريبات لنقاط النسبة المئوية لمعامل التباين للعينة". تكنومتركس . 12 (1): 166-169 . doi : 10.2307/1267363 . JSTOR 1267363 . 
  29. ↑ بينيت، ب.م. (1976). "حول اختبار تقريبي لتجانس معاملات التباين". مساهمة في الإحصاء التطبيقي . ملحق إكسبيرينتيا. المجلد 22. الصفحات 169-171 . doi : 10.1007/978-3-0348-5513-6_16 . ISBN   978-3-0348-5515-0.
  30. ↑ فانجل، مارك ج. (1996). "فترات الثقة لمعامل التباين الطبيعي". الإحصائي الأمريكي . 50 (1): 21-26 . doi : 10.1080/00031305.1996.10473537 . JSTOR 2685039 . .
  31. ↑ فيلتز، كارول جيه؛ ميلر، جي. إدوارد (1996). "اختبار تقاربي لتساوي معاملات التباين من k من المجتمعات". الإحصاء في الطب . 15 (6): 647. doi : 10.1002/(SICI)1097-0258(19960330)15:6 < 647::AID-SIM184 > 3.0.CO ; 2-P . PMID 8731006 . 
  32. ↑ فوركمان، يوهانس (2009). "مُقدِّر واختبارات لمعاملات التباين المشتركة في التوزيعات الطبيعية" ( ملف PDF) . مجلة الاتصالات في الإحصاء - النظرية والأساليب . 38 (2): 21-26 . doi : 10.1080/03610920802187448 . S2CID 29168286. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 6 ديسمبر 2013. تم الاطلاع عليه في 23 سبتمبر 2013 . 
  33. ↑ كريشنامورثي، ك؛ لي، ميسوك (2013). "اختبارات محسّنة لتساوي معاملات التباين الطبيعية". الإحصاءات الحاسوبية . 29 ( 1-2 ): 215-232 . doi : 10.1007/s00180-013-0445-2 . S2CID 120898013 . 
  34. ↑ ليو، شوانغ (2012). تقدير فترة الثقة لمعامل التباين (رسالة ماجستير). جامعة ولاية جورجيا. ص 3. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2014. تم الاطلاع عليه في 25 فبراير 2014 .
  35. ↑ ليمان، إي إل (1986). اختبار الفرضيات الإحصائية. الطبعة الثانية. نيويورك: وايلي.
  36. ↑ كفالسيث، ت.و. (2016). معامل التباين: البديل من الدرجة الثانية. مجلة الإحصاء التطبيقي، 44(3)، 402-415. https://doi.org/10.1080/02664763.2016.1174195
  • cvequality : حزمة برمجية في لغة R لاختبار الفروق المعنوية بين معاملات التباين المتعددة