اللوغاريتم الطبيعي

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة

اللوغاريتم الطبيعي لعدد ما هو لوغاريتمه للأساس e ، وهو عدد غير نسبي ومتسامي يساوي تقريبًا2.718 . يُكتباللوغاريتم الطبيعي لـ x عادةً على النحو التالي: ln x ، أو log e x ، أو أحيانًا، إذا كان الأساس e ضمنيًا، ببساطة log x . تُضاف الأقواس أحيانًا للتوضيح، فتصبح ln( x ) ، أو log e ( x ) ، أو log( x ) . يُستخدم هذا الأسلوب تحديدًا عندما لا يكون مُعامل اللوغاريتم رمزًا واحدًا، وذلك لتجنب أي لبس.

اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو الأس الذي يجب رفع e إليه ليصبح مساويًا لـ x . على سبيل المثال، ln 7.5 يساوي 2.0149... ، لأن e 2.0149... = 7.5 . أما اللوغاريتم الطبيعي لـ e نفسه، ln e ، فهو 1 ، لأن e 1 = e ، بينما اللوغاريتم الطبيعي لـ 1 يساوي 0 ، لأن e 0 = 1 .

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد حقيقي موجب a بأنه المساحة تحت المنحنى y = 1/ x من 1 إلى a [ 1 ] (مع كون المساحة سالبة عندما 0 < a < 1 ). بساطة هذا التعريف، التي تتكرر في العديد من الصيغ الأخرى التي تتضمن اللوغاريتم الطبيعي، هي ما أدى إلى تسميته "طبيعي". ويمكن توسيع تعريف اللوغاريتم الطبيعي ليشمل قيم اللوغاريتم للأعداد السالبة ولجميع الأعداد المركبة غير الصفرية ، مع العلم أن هذا يؤدي إلى دالة متعددة القيم : انظر اللوغاريتم المركب لمزيد من المعلومات.

إن دالة اللوغاريتم الطبيعي، إذا اعتبرت دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي موجب، هي الدالة العكسية للدالة الأسية ، مما يؤدي إلى المتطابقات التالية: هـln⁡x=x لو x∈R+ln⁡هـx=x لو x∈R\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ إذا كان }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ إذا كان }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}

مثل جميع اللوغاريتمات، يحول اللوغاريتم الطبيعي عملية ضرب الأعداد الموجبة إلى عملية جمع: [ 2 ]ln⁡(x⋅y)=ln⁡x+ln⁡y .{\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}

يمكن تعريف اللوغاريتمات لأي أساس موجب غير 1، وليس فقط للأساس e . ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات في الأسس الأخرى تختلف فقط بمعامل ثابت عن اللوغاريتم الطبيعي، ويمكن تعريفها بدلالة الأخير.سجلب⁡x=ln⁡x/ln⁡ب{\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b}.

تُعدّ اللوغاريتمات مفيدةً لحلّ المعادلات التي يظهر فيها المجهول على شكل أسّ لكمية أخرى. على سبيل المثال، تُستخدم اللوغاريتمات لحساب نصف العمر ، أو ثابت الاضمحلال، أو الزمن المجهول في مسائل الاضمحلال الأسي . ولها أهمية بالغة في العديد من فروع الرياضيات والعلوم، وتُستخدم لحلّ المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة .

تاريخ

وضع غريغوار دي سان فنسان وألفونس أنطونيو دي ساراسا مفهوم اللوغاريتم الطبيعي قبل عام 1649. [ 3 ] وتضمن عملهما حساب التكامل العددي للقطع الزائد ذي المعادلة xy = 1 ، وذلك بتحديد مساحة القطاعات الزائدية . وقد أدى حلهما إلى توليد دالة " اللوغاريتم الزائدي " المطلوبة ، والتي امتلكت الخصائص المرتبطة الآن باللوغاريتم الطبيعي.

ذُكر اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة على يد نيكولاس ميركاتور في كتابه "Logarithmotechnia " المنشور عام 1668، [ 4 ] على الرغم من أن مدرس الرياضيات جون سبيدل كان قد جمع جدولًا لما يُعتبر في الواقع لوغاريتمات طبيعية عام 1619. [ 5 ] قيل إن لوغاريتمات سبيدل كانت للأساس e ، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا نظرًا للتعقيدات المتعلقة بالقيم المُعبر عنها كأعداد صحيحة . [ 5 ] : 152

التعريف والخصائص

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي بشكل أعم بأنه الدالة العكسية للدالة الأسيةهـx{\displaystyle e^{x}}، لهذا السببهـln⁡(x)=x{\displaystyle e^{\ln(x)}=x}أوln⁡(هـx)=x{\displaystyle \ln(e^{x})=x}لأن الدالة الأسيةهـx{\displaystyle e^{x}}موجبة وقابلة للعكس لأي مدخل حقيقيx{\displaystyle x}هذا التعريف لـln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}يتم تعريفها جيدًا لأي قيمة موجبةx{\displaystyle x}أي أن مجال اللوغاريتم الطبيعي هوx∈(0،∞){\displaystyle x\in (0,\infty )}.

اللوغاريتم الطبيعي ln a هو مساحة المنطقة المظللة أسفل المنحنى f ( x ) = 1/ x من 1 إلى a . إذا كانت a أقل من 1 ، فإن المساحة تُعتبر سالبة. [ 6 ]

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي بأنه المساحة تحت منحنى القطع الزائد القائم ذي المعادلةy=1/x{\displaystyle y=1/x}بينx=1{\displaystyle x=1}وx=أ{\displaystyle x=a}. إنه،ln⁡أ=∫1أ1xدx.{\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}إذا كان أ في(0،1){\displaystyle (0,1)}إذا كان ، فإن المنطقة لها مساحة سالبة ، ويكون اللوغاريتم سالباً. [ 6 ]

يخضع اللوغاريتم الطبيعي للخصائص الرياضية التالية، والتي يمكن استخدامها لتبسيط الصيغ التي تجمعه مع الضرب أو الأسس: ln⁡1=0،ln⁡هـ=1،ln⁡(xy)=ln⁡x+ln⁡yل x>0و y>0،ln⁡(x/y)=ln⁡x-ln⁡yل x>0و y>0،ln⁡(xy)=yln⁡xل x>0،ln⁡(xy)=(ln⁡x)/yل x>0و y≠0،ln⁡x<ln⁡yل 0<x<y.\begin{aligned}\ln 1&=0,\ln e&=1,\ln(xy)&=\ln x+\ln y\quad {\text{لـ }}\;x>0\;{\text{و }}\;y>0,\ln(x/y)&=\ln x-\ln y\quad {\text{لـ }}\;x>0\;{\text{و }}\;y>0,\ln(x^{y})&=y\ln x\quad {\text{لـ }}\;x>0,\ln({\sqrt[{y}]{x}})&=(\ln x)/y\quad {\text{لـ }}\;x>0\;{\text{و }}\;y\neq 0,\ln x&<\ln y\quad {\text{لـ }}\;0<x<y.\end{aligned}}}

مثلx{\displaystyle x}الأساليب0{\displaystyle 0}من اليمين، يقترب اللوغاريتم الطبيعي من سالب ما لا نهاية.-∞{\displaystyle -\infty }. مثلx{\displaystyle x}الأساليب∞{\displaystyle \infty }، يقترب اللوغاريتم الطبيعي∞{\displaystyle \infty }وبحسب مفهوم النهاية ، فإن هذه هي: [ 7 ]ليمx→0+ln⁡x=-∞،ليمx→∞ln⁡x=∞{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty ,\quad \lim _{x\to \infty }\ln x=\infty }

الترميز

يمكن كتابة الترميز الرياضي للوغاريتم الطبيعي للعدد x ، أو لوغاريتم العدد x للأساس e ، على النحو التالي: ln x ، أو log e x ، أو log x عندما يكون الأساس e معروفًا ضمنيًا . [ 8 ] يُعدّ log e x حالة خاصة من الترميز العام للوغاريتم x للأساس b ، والذي يُكتب على النحو التالي: log b x . (على سبيل المثال، يمكن كتابة لوغاريتم 8 للأساس 2 على النحو التالي : log 2 8 = 3 ). يستخدم بعض المؤلفين log x بدون أساس صريح للإشارة إلى اللوغاريتم الطبيعي. يمكن إيجاد مثال شائع في نظرية الأعداد الأولية . [ 9 ] بالإضافة إلى الرياضيات، يُعدّ هذا الاستخدام شائعًا في بعض لغات البرمجة . [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] مع ذلك، في بعض السياقات الأخرى مثل الكيمياء ، يمكن استخدام log x للدلالة على اللوغاريتم العشري (الأساس 10) . [ 8 ] وقد يشير أيضًا إلى اللوغاريتم الثنائي (الأساس 2) في سياق علوم الحاسوب ، [ 15 ] وخاصة في سياق تعقيد الوقت .

في حساب التفاضل والتكامل

هويات متعددة

  • ليمx→0ln⁡(1+x)x=1{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
  • ليمα→0xα-1α=ln⁡xل x>0{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}
  • x-1x≤ln⁡x≤x-1لx>0{\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}
  • ln⁡(1+xα)≤αxلx≥0و α≥1{\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}

مسلسل

لا توفر كثيرات حدود تايلور لـ ln(1 + x ) تقريبات دقيقة إلا في النطاق −1 < x ≤ 1. وبعد قيمة x > 1 ، تصبح كثيرات حدود تايلور ذات الدرجة الأعلى تقريبات أسوأ بشكل متزايد .

بما أن اللوغاريتم الطبيعيln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}إذا كانت الدالة غير معرفة عند الصفر، فإنها لا تمتلك متسلسلة ماكلورين ، على عكس العديد من الدوال الأولية الأخرى. بدلاً من ذلك، يتم البحث عن متسلسلات تايلور حول نقاط أخرى. على سبيل المثال، إذا|x-1|≤1 و x≠0،{\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}ثم [ 16 ]ln⁡x=∫1x1تدت=∫0x-111+uدu=∫0x-1(1-u+u2-u3+⋯)دu=(x-1)-(x-1)22+(x-1)33-(x-1)44+⋯=∑ك=1∞(-1)ك-1(x-1)كك.{\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}

هذه سلسلة تايلور لـln⁡x{\displaystyle \ln x}حوالي 1. يؤدي تغيير المتغيرات إلى سلسلة ميركاتور : ln⁡(1+x)=∑ك=1∞(-1)ك-1كxك=x-x22+x33-⋯،{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,} صالح لـ|x|≤1{\displaystyle |x|\leq 1}وx≠-1.{\displaystyle x\neq -1.}

ليونارد أويلر ، [ 17 ] بغض النظرx≠-1{\displaystyle x\neq -1}ومع ذلك، فقد طبقت هذه السلسلة علىx=-1{\displaystyle x=-1}لإثبات أن المتسلسلة التوافقية تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ11-1{\textstyle {\frac {1}{1-1}}}أي لوغاريتم اللانهاية. في الوقت الحاضر، وبشكل أكثر رسمية، يمكن إثبات أن المتسلسلة التوافقية المقطوعة عند N قريبة من لوغاريتم N ، عندما تكون N كبيرة، مع تقارب الفرق إلى ثابت أويلر-ماسكيروني .

الشكل هو رسم بياني لـ ln(1 + x ) وبعض كثيرات حدود تايلور الخاصة به حول 0. تتقارب هذه التقريبات إلى الدالة فقط في المنطقة −1 < x ≤ 1 ؛ خارج هذه المنطقة، تتحول كثيرات حدود تايلور ذات الدرجة الأعلى إلى تقريبات أسوأ للدالة.

حالة خاصة مفيدة للأعداد الصحيحة الموجبة n ، تأخذx=1ن{\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}، يكون: ln⁡(ن+1ن)=∑ك=1∞(-1)ك-1كنك=1ن-12ن2+13ن3-14ن4+⋯{\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }

لويكرر⁡(x)≥1/2،{\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}ثم ln⁡(x)=-ln⁡(1x)=-∑ك=1∞(-1)ك-1(1x-1)كك=∑ك=1∞(x-1)ككxك=x-1x+(x-1)22x2+(x-1)33x3+(x-1)44x4+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}

الآن، أخذ x=ن+1ن{\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n ، نحصل على: ln⁡(ن+1ن)=∑ك=1∞1ك(ن+1)ك=1ن+1+12(ن+1)2+13(ن+1)3+14(ن+1)4+⋯{\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }

لويكرر⁡(x)≥0 و x≠0،{\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}ثم ln⁡(x)=ln⁡(2x2)=ln⁡(1+x-1x+11-x-1x+1)=ln⁡(1+x-1x+1)-ln⁡(1-x-1x+1).{\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).} منذ ln⁡(1+y)-ln⁡(1-y)=∑أنا=1∞1أنا((-1)أنا-1yأنا-(-1)أنا-1(-y)أنا)=∑أنا=1∞yأناأنا((-1)أنا-1+1)=y∑أنا=1∞yأنا-1أنا((-1)أنا-1+1)=أنا-1→2ك2y∑ك=0∞y2ك2ك+1،{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}} نصل إلى ln⁡(x)=2(x-1)x+1∑ك=0∞12ك+1((x-1)2(x+1)2)ك=2(x-1)x+1(11+13(x-1)2(x+1)2+15((x-1)2(x+1)2)2+⋯).{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}} باستخدام الاستبدالx=ن+1ن{\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}ومرة أخرى، بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n ، نحصل على: ln⁡(ن+1ن)=22ن+1∑ك=0∞1(2ك+1)((2ن+1)2)ك=2(12ن+1+13(2ن+1)3+15(2ن+1)5+⋯).{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}

هذا، وبفارق كبير، هو أسرع تقارب للسلسلة الموصوفة هنا.

يمكن أيضًا التعبير عن اللوغاريتم الطبيعي كحاصل ضرب لانهائي: [ 18 ]ln⁡(x)=(x-1)∏ك=1∞(21+x2ك){\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}

مثالان على ذلك: ln⁡(2)=(21+2)(21+24)(21+28)(21+216)...{\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}π=(2أنا+2)(21+أنا)(21+أنا4)(21+أنا8)(21+أنا16)...{\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}

ومن هذه الهوية، يمكننا بسهولة استنتاج ما يلي: 1ln⁡(x)=xx-1-∑ك=1∞2-كx2-ك1+x2-ك{\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}

على سبيل المثال: 1ln⁡(2)=2-22+22-244+424-288+828⋯{\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }

اندماج

يُتيح اللوغاريتم الطبيعي إجراء تكامل بسيط للدوال من الشكلز(x)=و′(x)و(x){\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}الدالة الأصلية للدالة g ( x ) تُعطى بالصيغة التالية :ln⁡(|و(x)|){\displaystyle \ln(|f(x)|)}هذا هو الحال بسبب قاعدة السلسلة والحقيقة التالية: ددxln⁡|x|=1x،  x≠0{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}

بمعنى آخر، عند إجراء التكامل على فترة من خط الأعداد الحقيقية لا تشملx=0{\displaystyle x=0}، ثم ∫1xدx=ln⁡|x|+ج{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C} حيث C ثابت تكامل اختياري . [ 19 ]

وبالمثل، عندما يكون التكامل على فترة حيثو(x)≠0{\displaystyle f(x)\neq 0}،

∫و′(x)و(x)دx=ln⁡|و(x)|+ج.{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك تكامللون برونزي⁡(x){\displaystyle \tan(x)}على مدى فترة لا تشمل النقاط التيلون برونزي⁡(x){\displaystyle \tan(x)}لا نهائي: ∫لون برونزي⁡xدx=∫الخطيئة⁡xكوس⁡xدx=-∫ددxكوس⁡xكوس⁡xدx=-ln⁡|كوس⁡x|+ج=ln⁡|ثانية⁡x|+ج.{\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}

يمكن حساب تكامل اللوغاريتم الطبيعي باستخدام التكامل بالتجزئة . ليكن: u=ln⁡x⇒دu=دxx{\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}دv=دx⇒v=x{\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x} ثم: ∫ln⁡xدx=xln⁡x-∫xxدx=xln⁡x-x+ج{\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}

الحوسبة الفعالة

لln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}حيث x > 1 ، كلما اقتربت قيمة x من 1 ، زادت سرعة تقارب متسلسلة تايلور الخاصة بها المتمركزة عند 1.

اللوغاريتم الطبيعي للعدد 10

اللوغاريتم الطبيعي للعدد 10، وهو عدد متسامٍ يساوي تقريبًا2.302 585 09 ، [ 20 ] يلعب دورًا على سبيل المثال في حساب اللوغاريتمات الطبيعية للأعداد الممثلة بالتدوين العلمي ، كـ mantissa مضروبة في قوة 10: ln⁡(أ⋅10ن)=ln⁡أ+نln⁡10.{\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}

وهذا يعني أنه يمكن للمرء حساب لوغاريتمات الأعداد ذات المقدار الكبير جدًا أو الصغير جدًا باستخدام لوغاريتمات مجموعة صغيرة نسبيًا من الأرقام العشرية في النطاق [1، 10) .

دقة عالية

لحساب اللوغاريتم الطبيعي بدقة عالية، لا تُعدّ طريقة متسلسلة تايلور فعّالة نظرًا لبطء تقاربها. خاصةً إذا كانت قيمة x قريبة من 1، يُعدّ استخدام طريقة هالي أو طريقة نيوتن لعكس الدالة الأسية بديلاً جيدًا، لأن متسلسلة الدالة الأسية تتقارب بسرعة أكبر. لإيجاد قيمة y التي تُعطيخبرة⁡(y)-x=0{\displaystyle \exp(y)-x=0}باستخدام طريقة هالي، أو ما يعادلها لإعطاءخبرة⁡(y/2)-xخبرة⁡(-y/2)=0{\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0}باستخدام طريقة نيوتن، تتبسط عملية التكرار إلى yن+1=yن+2⋅x-خبرة⁡(yن)x+خبرة⁡(yن){\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}} والتي لها تقارب تكعيبي إلىln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}.

هناك بديل آخر لإجراء حسابات عالية الدقة للغاية وهو الصيغة [ 21 ] [ 22 ]ln⁡x≈π2م(1،4/s)-مln⁡2،{\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,} حيث يرمز M إلى المتوسط ​​الحسابي الهندسي للعددين 1 و 4/ s ، و s=x2م>2ص/2،{\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},} مع اختيار قيمة m بحيث يتم تحقيق دقة مقدارها p بت. (في معظم الحالات، تكفي القيمة 8 لـ m ). في الواقع، إذا تم استخدام هذه الطريقة، يمكن استخدام معكوس نيوتن للوغاريتم الطبيعي لحساب الدالة الأسية بكفاءة. (الثوابتln⁡2{\displaystyle \ln 2}ويمكن حساب قيمة π مسبقًا بالدقة المطلوبة باستخدام أي من المتسلسلات المعروفة سريعة التقارب. أو يمكن استخدام الصيغة التالية: ln⁡x=πم(θ22(1/x)،θ32(1/x))،x∈(1،∞){\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}

أين θ2(x)=∑ن∈Zx(ن+1/2)2،θ3(x)=∑ن∈Zxن2{\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}} هي دوال جاكوبي ثيتا . [ 23 ]

استنادًا إلى اقتراح من ويليام كاهان وتم تنفيذه لأول مرة في آلة حاسبة هيوليت-باكارد HP-41C في عام 1979 (يشار إليها باسم "LN1" في الشاشة فقط)، فإن بعض الآلات الحاسبة وأنظمة التشغيل (على سبيل المثال Berkeley UNIX 4.3BSD [ 24 ] ) وأنظمة الجبر الحاسوبي ولغات البرمجة (على سبيل المثال C99 [ 25 ] ) توفر دالة خاصة للوغاريتم الطبيعي زائد 1 ، تسمى أيضًا LNP1 ، [ 26 ] [ 27 ] أو log1p [ 25 ] لإعطاء نتائج أكثر دقة للوغاريتمات القريبة من الصفر عن طريق تمرير وسيط x ، وهو أيضًا قريب من الصفر، إلى دالة log1p( x ) ، والتي تُرجع القيمة ln(1+ x ) ، بدلاً من تمرير قيمة y قريبة من 1 إلى دالة تُرجع ln( y ) . [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] تتجنب الدالة log1p في حسابات الفاصلة العائمة شبه إلغاء الحد المطلق 1 مع الحد الثاني من متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي. هذا يُبقي الوسيط والنتيجة والخطوات الوسيطة قريبة من الصفر، حيث يمكن تمثيلها بدقة أكبر كأعداد فاصلة عائمة. [ 26 ] [ 27 ]

بالإضافة إلى الأساس e ، يحدد معيار IEEE 754-2008 وظائف لوغاريتمية مماثلة بالقرب من 1 للوغاريتمات الثنائية والعشرية : log 2 (1 + x ) و log 10 (1 + x ) .

توجد أيضًا دوال عكسية مماثلة تسمى " expm1 "، [ 25 ] "expm" [ 26 ] [ 27 ] أو "exp1m"، وكلها تعني expm1( x ) = exp( x ) - 1. [ ملاحظة 1 ]

متطابقة بدلالة معكوس الظل الزائدي ، لoز1ص(x)=سجل⁡(1+x)=2 أرتأنح(x2+x)،{\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,} يعطي قيمة عالية الدقة للقيم الصغيرة لـ x على الأنظمة التي لا تنفذ log1p( x ) .

التعقيد الحسابي

التعقيد الحسابي لحساب اللوغاريتم الطبيعي باستخدام المتوسط ​​الحسابي الهندسي (لكلا الطريقتين المذكورتين أعلاه) هويا(م(ن)ln⁡ن){\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}هنا، n هو عدد أرقام الدقة التي سيتم تقييم اللوغاريتم الطبيعي عندها، و M ( n ) هو التعقيد الحسابي لضرب عددين مكونين من n رقمًا.

الكسور المستمرة

على الرغم من عدم توفر الكسور المستمرة البسيطة، إلا أن هناك العديد من الكسور المستمرة المعممة ، بما في ذلك: ln⁡(1+x)=x11-x22+x33-x44+x55-⋯=x1-0x+12x2-1x+22x3-2x+32x4-3x+42x5-4x+⋱{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}ln⁡(1+xy)=xy+1x2+1x3y+2x2+2x5y+3x2+⋱=2x2y+x-(1x)23(2y+x)-(2x)25(2y+x)-(3x)27(2y+x)-⋱{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}

تتقارب هذه الكسور المستمرة - وخاصة الأخيرة - بسرعة للقيم القريبة من  1. ومع ذلك، يمكن حساب اللوغاريتمات الطبيعية للأعداد الأكبر بكثير بسهولة، عن طريق جمع تلك الخاصة بالأعداد الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل.

على سبيل المثال، بما أن 2 = 1.25 3 × 1.024، يمكن حساب اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 على النحو التالي:ln⁡2=3ln⁡(1+14)+ln⁡(1+3125)=69-1227-2245-3263-⋱+6253-32759-621265-921771-⋱.{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}

علاوة على ذلك، بما أن 10 = 1.25 × 10 × 1.024 ، فإنه يمكن حساب اللوغاريتم الطبيعي للعدد 10 بنفس الطريقة: ln⁡10=10ln⁡(1+14)+3ln⁡(1+3125)=209-1227-2245-3263-⋱+18253-32759-621265-921771-⋱.{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}} يمكن كتابة مقلوب اللوغاريتم الطبيعي بهذه الطريقة أيضًا: 1ln⁡(x)=2xx2-112+x2+14x12+1212+x2+14x...{\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }

على سبيل المثال: 1ln⁡(2)=4312+5812+1212+58...{\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }

اللوغاريتمات المركبة

يمكن توسيع الدالة الأسية لتصبح دالة تعطي عددًا مركبًا على الصورة e^ z لأي عدد مركب z ؛ ببساطة باستخدام المتسلسلة اللانهائية حيث x = z مركب. يمكن عكس هذه الدالة الأسية لتكوين لوغاريتم مركب يُظهر معظم خصائص اللوغاريتم العادي. تكمن الصعوبة في أمرين: لا يوجد عدد x يحقق e^ x = 0 ؛ ويتضح أن e ^2iπ = 1 = e^ 0 . وبما أن خاصية الضرب لا تزال سارية على الدالة الأسية المركبة، فإن e ^z = e^ z + 2kiπ ، لجميع الأعداد المركبة z والأعداد الصحيحة k . 

لذا ، لا يمكن تعريف اللوغاريتم على كامل المستوى المركب ، وحتى في هذه الحالة، يكون متعدد القيم ؛ إذ يمكن تحويل أي لوغاريتم مركب إلى لوغاريتم "مكافئ" بإضافة أي مضاعف صحيح للعدد 2iπ . ويكون اللوغاريتم المركب أحادي القيمة فقط على المستوى المقطعي . على سبيل المثال، ln i = iπ / 2 أو 5iπ / 2 أو -3iπ / 2 ، وهكذا ؛ وعلى الرغم من أن i⁴ = 1 ، يمكن تعريف 4ln i على أنه 2iπ ، أو 10iπ ، أو -6iπ ، وهكذا .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ للحصول على نهج مماثل لتقليل أخطاء التقريب في الحسابات لبعض قيم الإدخال، انظر الدوال المثلثية مثل دالة الجيب العكسي ودالة القاطع .

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك و. "اللوغاريتم الطبيعي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  2. ↑ "القواعد والأمثلة والصيغ" . اللوغاريتم. موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  3. ^ حرق، RP (2001). “ألفونس أنطونيو دي ساراسا واللوغاريتمات”. تاريخ الرياضيات . 28 : 1– 17. دوي : 10.1006/hmat.2000.2295 .
  4. ↑ أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (سبتمبر 2001). "العدد e" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . تم الاسترجاع في 2 فبراير 2009 .
  5. 1 2 كاجوري، فلوريان (1991). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الخامسة). مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 152. ISBN   0-8218-2102-4.
  6. 1 2 بلانك، برايان إي.؛ كرانز، ستيفن جورج (2006). حساب التفاضل والتكامل: متغير واحد . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 432. ISBN  978-1-931914-59-8.
  7. ↑ بلانك وكرانتز (2006) ، ص 435 . 
  8. 1 2 مورتيمر، روبرت ج. (2005). الرياضيات للكيمياء الفيزيائية ( الطبعة الثالثة). دار النشر الأكاديمية . ص 9. ISBN   0-12-508347-5.مقتطف من الصفحة 9]
  9. ↑ هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1975). مقدمة في نظرية الأعداد ( الطبعة الرابعة). أكسفورد. الحاشية للفقرة 1.7: " log x هو بالطبع اللوغاريتم "النابيري" لـ x، للأساس e. اللوغاريتمات "العادية" ليس لها أهمية رياضية ".
  10. ↑ بيري، جريج؛ ميلر، دين (2014). دليل المبتدئين المطلق في برمجة لغة سي . بيرسون للتعليم. ص 185. 
  11. ↑ دينيس، برايان (2013). دليل الطالب للغة R. مطبعة CRC. ص 174. 
  12. ↑ أسدي، فرزين (2026). منهج حل المسائل في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد: المجلد الأول . سبرينغر. ص 405. 
  13. ↑ سيدجويك، روبرت؛ واين، كيفن (2011). الخوارزميات ( الطبعة الرابعة). أديسون-ويسلي. ص 29.  
  14. ↑ ماكجي، فريد هـ. (1985). مقدمة في البرمجة بلغة بيسك . مركز تطوير برامج التعليم والتدريب البحري. ص 2-5. 
  15. 1 2 جودريتش، مايكل ت .؛ تاماسيا، روبرتو (2002). تصميم الخوارزميات: الأسس والتحليل وأمثلة الإنترنت . جون وايلي وأولاده. ص 23. من الجوانب المثيرة للاهتمام، بل والمفاجئة أحيانًا، في تحليل هياكل البيانات والخوارزميات، هو الانتشار الواسع للوغاريتمات ... وكما هو معتاد في أدبيات الحوسبة، فإننا نحذف كتابة الأساس b للوغاريتم عندما b = 2 .    
  16. ↑ ""التوسعات اللوغاريتمية" على موقع Math2.org" .
  17. ↑ ليونارد أويلر ، مقدمة في التحليل Infinitorum. توموس بريموس. بوسكيه، لوزان 1748. المثال 1، ص. 228؛ كوكو في: أوبرا أمنية، سلسلة بريما، أوبرا ماثيماتيكا، فوليومن أوكتافوم، تيوبنر 1922
  18. ↑ رافا، أنتوني. "إجراء لتوليد متطابقات المتسلسلات اللانهائية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات والعلوم الرياضية . تاريخ الاسترجاع: 27 فبراير 2022 .(الصفحة 3654، المعادلة 2.6)
  19. ↑ للحصول على برهان مفصل، انظر على سبيل المثال: جورج ب. توماس الابن وروس ل. فيني، حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ، الطبعة الخامسة، أديسون-ويسلي 1979، القسم 6-5 الصفحات 305-306.
  20. ↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002392 (التوسيع العشري للوغاريتم الطبيعي للعدد 10)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.  
  21. ↑ ساساكي، ت.؛ كانادا، ي. (1982). "تقييم سريع عمليًا ومتعدد الدقة لـ log(x)" . مجلة معالجة المعلومات . 5 (4): 247-250 . تاريخ الاسترجاع: 30 مارس 2011 .
  22. ↑ أهرندت، تيم (1999). "حسابات سريعة للدالة الأسية". ستاكس 99. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 1564. الصفحات 302-312 . doi : 10.1007/3-540-49116-3_28 . ISBN   978-3-540-65691-3.
  23. ↑ بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (1987). باي والمتوسط ​​الحسابي: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي ( الطبعة الأولى). وايلي-إنترساينس. ISBN  0-471-83138-7.الصفحة 225
  24. ↑ بيبي، نيلسون إتش إف (22 أغسطس 2017). "الفصل 10.4. اللوغاريتم القريب من الواحد". دليل حساب الدوال الرياضية - البرمجة باستخدام مكتبة برامج MathCW المحمولة ( الطبعة الأولى). سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: سبرينغر إنترناشونال بابليشينج إيه جي . الصفحات 290-292 . doi : 10.1007/978-3-319-64110-2 . ISBN   978-3-319-64109-6LCCN 2017947446. S2CID 30244721. في عام 1987، قدمت بيركلي يونكس 4.3 بي إس دي الدالة log1p()  
  25. 1 2 3 4 بيبي، نيلسون إتش إف (9 يوليو 2002). "حساب expm1 = exp(x)−1" (ملف PDF) . 1.00. سولت ليك سيتي، يوتا، الولايات المتحدة الأمريكية: قسم الرياضيات، مركز الحوسبة العلمية، جامعة يوتا . تاريخ الاسترجاع: 2 نوفمبر 2015 .
  26. 1 2 3 4 سلسلة HP 48G - دليل المستخدم المتقدم ( الطبعة الرابعة ). هيوليت-باكارد . ديسمبر 1994 [1993]. HP 00048-90136، 0-88698-01574-2 . تاريخ الاسترجاع: 2015-09-06 .  
  27. دليل المستخدم المتقدم (AUR) (الطبعة الثانية) للآلة الحاسبة البيانية HP 50g / 49g+ / 48gII . هيوليت - باكارد . 14 يوليو 2009 [2005]. HP F2228-90010 . تاريخ الاسترجاع: 10 أكتوبر 2015 . ملف PDF قابل للبحث