التحسين القوي

الموسوعة الحرة

التحسين القوي هو فرع من فروع نظرية التحسين الرياضي ، ويتناول مسائل التحسين التي تسعى إلى تحقيق قدر معين من المتانة في مواجهة عدم اليقين، والذي يمكن تمثيله بتغير حتمي في قيم معلمات المسألة نفسها و/أو حلها. وهو يرتبط بطرق التحسين الاحتمالية ، مثل التحسين المقيد بالصدفة، ولكنه غالبًا ما يُفرّق عنها. [ 1 ] [ 2 ]

تاريخ

تعود جذور التحسين القوي إلى تأسيس نظرية القرار الحديثة في خمسينيات القرن الماضي، واستخدام تحليل أسوأ الحالات ونموذج ماكسيمين لوالد كأداة لمعالجة حالات عدم اليقين الشديدة. وقد أصبح هذا المفهوم تخصصًا قائمًا بذاته في سبعينيات القرن الماضي، بالتزامن مع تطورات موازية في العديد من المجالات العلمية والتكنولوجية. على مر السنين، طُبِّق في الإحصاء ، وكذلك في بحوث العمليات ، [ 3 ] والهندسة الكهربائية ، [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ونظرية التحكم ، [ 7 ] والتمويل ، [ 8 ] وإدارة المحافظ ، [ 9 ] واللوجستيات ، [ 10 ] وهندسة التصنيع ، [ 11 ] والهندسة الكيميائية ، [ 12 ] والطب ، [ 13 ] وعلوم الحاسوب . في المسائل الهندسية ، غالبًا ما تُعرف هذه الصيغ باسم "تحسين التصميم القوي" (RDO) أو "تحسين التصميم القائم على الموثوقية" (RBDO).

المثال 1

لنفترض مسألة البرمجة الخطية التالية

الأعلىx،y {3x+2y}  suبجهـجت تo  x،y≥0؛جx+دy≤10،∀(ج،د)∈P{\displaystyle \max _{x,y}\ \{3x+2y\}\ \ \mathrm {subject\ to} \ \ x,y\geq 0;cx+dy\leq 10,\forall (c,d)\in P}

أينP{\displaystyle P}هي مجموعة جزئية معينة منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

ما يجعل هذه المسألة مسألة "تحسين قوي" هو∀(ج،د)∈P{\displaystyle \forall (c,d)\in P}الشرط الوارد في القيود. ويترتب على ذلك أنه بالنسبة للزوج(x،y){\displaystyle (x,y)}لكي يكون مقبولاً، فإن القيدجx+دy≤10{\displaystyle cx+dy\leq 10}يجب أن يرضى بالأسوأ(ج،د)∈P{\displaystyle (c,d)\in P}فيما يتعلق بـ(x،y){\displaystyle (x,y)}، أي الزوج(ج،د)∈P{\displaystyle (c,d)\in P}الذي يزيد من قيمةجx+دy{\displaystyle cx+dy}بالنسبة للقيمة المعطاة لـ(x،y){\displaystyle (x,y)}.

إذا كانت مساحة المعلماتP{\displaystyle P}إذا كانت المجموعة محدودة (تتكون من عدد محدود من العناصر)، فإن مسألة التحسين القوي هذه نفسها هي مسألة برمجة خطية : لكل(ج،د)∈P{\displaystyle (c,d)\in P}يوجد قيد خطيجx+دy≤10{\displaystyle cx+dy\leq 10}.

لوP{\displaystyle P}إذا لم تكن مجموعة منتهية ، فإن هذه المشكلة هي مشكلة برمجة خطية شبه لانهائية ، أي مشكلة برمجة خطية مع عدد محدود من متغيرات القرار (2) وعدد لا نهائي من القيود.

تصنيف

توجد عدة معايير لتصنيف مسائل/نماذج التحسين القوي. على وجه الخصوص، يمكن التمييز بين المسائل التي تتعامل مع نماذج الصلابة المحلية والعالمية ، وبين نماذج الصلابة الاحتمالية وغير الاحتمالية . يتعامل التحسين القوي الحديث بشكل أساسي مع نماذج الصلابة غير الاحتمالية التي تركز على أسوأ الحالات ، ولذلك عادةً ما تستخدم نماذج والد ماكسيمين .

المتانة المحلية

توجد حالات يُسعى فيها إلى تحقيق المتانة في مواجهة الاضطرابات الطفيفة في القيمة الاسمية لأحد المعاملات. ومن النماذج الشائعة جدًا للمتانة المحلية نموذج نصف قطر الاستقرار .

ρ^(x،u^):=الأعلىρ≥0 {ρ:u∈S(x)،∀u∈ب(ρ،u^)}{\displaystyle {\hat {\rho }}(x,{\hat {u}}):=\max _{\rho \geq 0}\ \{\rho :u\in S(x),\forall u\in B(\rho ,{\hat {u}})\}}

أينu^{\displaystyle {\hat {u}}}يشير إلى القيمة الاسمية للمعامل،ب(ρ،u^){\displaystyle B(\rho ,{\hat {u}})}يرمز إلى كرة نصف قطرهاρ{\displaystyle \rho }مركزها فيu^{\displaystyle {\hat {u}}}وS(x){\displaystyle S(x)}يشير إلى مجموعة قيمu{\displaystyle u}التي تستوفي شروط الاستقرار/الأداء المحددة المرتبطة بالقرارx{\displaystyle x}.

بعبارة أخرى، متانة (نصف قطر الاستقرار) القرارx{\displaystyle x}يمثل نصف قطر أكبر كرة مركزها عندu^{\displaystyle {\hat {u}}}جميع عناصرها تستوفي متطلبات الاستقرار المفروضة علىx{\displaystyle x}الصورة هي كالتالي:

حيث المستطيليو(x){\displaystyle U(x)}يمثل مجموعة جميع القيمu{\displaystyle u}مرتبط بالقرارx{\displaystyle x}.

المتانة العالمية

لنفترض مسألة التحسين القوي المجردة البسيطة

الأعلىx∈X {و(x):ز(x،u)≤ب،∀u∈يو}{\displaystyle \max _{x\in X}\ \{f(x):g(x,u)\leq b,\forall u\in U\}}

أينيو{\displaystyle U}يشير إلى مجموعة جميع القيم الممكنة لـu{\displaystyle u}قيد الدراسة.

هذه مشكلة تحسين عالمية قوية بمعنى أن قيد المتانةز(x،u)≤ب،∀u∈يو{\displaystyle g(x,u)\leq b,\forall u\in U}يمثل جميع القيم الممكنة لـu{\displaystyle u}.

تكمن الصعوبة في أن مثل هذا القيد "العالمي" قد يكون متطلباً للغاية لدرجة أنه لا يوجدx∈X{\displaystyle x\in X}الذي يفي بهذا الشرط. ولكن حتى لو كان مثل هذاx∈X{\displaystyle x\in X}إذا وُجد القيد، فقد يكون "متحفظًا" للغاية لدرجة أنه يُنتج حلاً.x∈X{\displaystyle x\in X}وهذا يُحقق عائدًا ضئيلاً للغايةو(x){\displaystyle f(x)}وهذا لا يمثل أداء القرارات الأخرى فيX{\displaystyle X}على سبيل المثال، قد يكون هناكx′∈X{\displaystyle x'\in X}هذا لا ينتهك قيد المتانة إلا بشكل طفيف ولكنه يحقق عائدًا كبيرًا جدًاو(x′){\displaystyle f(x')}في مثل هذه الحالات، قد يكون من الضروري تخفيف قيد المتانة قليلاً و/أو تعديل صياغة المشكلة.

المثال 2

لنفترض الحالة التي يكون فيها الهدف هو تلبية قيد معين. ز(x،u)≤ب،{\displaystyle g(x,u)\leq b,}. أينx∈X{\displaystyle x\in X}يشير إلى متغير القرار وu{\displaystyle u}هو مُعامل تكون مجموعة قيمه المُحتملة فييو{\displaystyle U}إذا لم يكن هناكx∈X{\displaystyle x\in X}بحيثز(x،u)≤ب،∀u∈يو{\displaystyle g(x,u)\leq b,\forall u\in U}ثم يتبادر إلى الذهن المقياس البديهي التالي للمتانة:

ρ(x):=الأعلىY⊆يو {sأناzهـ(Y):ز(x،u)≤ب،∀u∈Y} ، x∈X{\displaystyle \rho (x):=\max _{Y\subseteq U}\ \{size(Y):g(x,u)\leq b,\forall u\in Y\}\ ,\ x\in X}

أينsأناzهـ(Y){\displaystyle size(Y)}يشير إلى مقياس مناسب لـ "حجم" المجموعةY{\displaystyle Y}على سبيل المثال، إذايو{\displaystyle U}إذا كانت مجموعة منتهية،sأناzهـ(Y){\displaystyle size(Y)}يمكن تعريفها بأنها عدد عناصر المجموعةY{\displaystyle Y}.

بعبارة أخرى، تتمثل متانة القرار في حجم أكبر مجموعة فرعية منيو{\displaystyle U}والتي لها القيدز(x،u)≤ب{\displaystyle g(x,u)\leq b}يرضى عن كلu{\displaystyle u}في هذه المجموعة. القرار الأمثل هو القرار الذي يتمتع بأكبر قدر من المتانة.

ينتج عن ذلك مشكلة التحسين القوي التالية:

الأعلىx∈X،Y⊆يو {sأناzهـ(Y):ز(x،u)≤ب،∀u∈Y}{\displaystyle \max _{x\in X,Y\subseteq U}\ \{size(Y):g(x,u)\leq b,\forall u\in Y\}}

لا يُستخدم هذا المفهوم البديهي للمتانة العالمية كثيرًا في الممارسة العملية لأن مشاكل التحسين القوي التي ينتج عنها عادة (وليس دائمًا) يصعب حلها للغاية.

المثال 3

ضع في اعتبارك مشكلة التحسين القوي

z(يو):=الأعلىx∈X {و(x):ز(x،u)≤ب،∀u∈يو}{\displaystyle z(U):=\max _{x\in X}\ \{f(x):g(x,u)\leq b,\forall u\in U\}}

أينز{\displaystyle g}هي دالة ذات قيم حقيقية علىX×يو{\displaystyle X\times U}وافترض أنه لا يوجد حل ممكن لهذه المشكلة بسبب قيد المتانة.ز(x،u)≤ب،∀u∈يو{\displaystyle g(x,u)\leq b,\forall u\in U}إنه أمرٌ مُرهِق للغاية.

للتغلب على هذه الصعوبة، دعشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}أن تكون مجموعة فرعية صغيرة نسبياً منيو{\displaystyle U}تمثل القيم "الطبيعية" لـu{\displaystyle u}ولننظر في مسألة التحسين القوي التالية:

z(شمال):=الأعلىx∈X {و(x):ز(x،u)≤ب،∀u∈شمال}{\displaystyle z({\mathcal {N}}):=\max _{x\in X}\ \{f(x):g(x,u)\leq b,\forall u\in {\mathcal {N}}\}}

منذشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}أصغر بكثير منيو{\displaystyle U}قد لا يكون حلها الأمثل فعالاً على جزء كبير منيو{\displaystyle U}وبالتالي قد لا تكون قوية في مواجهة تقلباتu{\displaystyle u}زيادةيو{\displaystyle U}.

إحدى طرق حل هذه المشكلة هي تخفيف القيد.ز(x،u)≤ب{\displaystyle g(x,u)\leq b}بالنسبة لقيمu{\displaystyle u}خارج موقع التصويرشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}بطريقة مُحكمة بحيث يُسمح بانتهاكات أكبر كلما زادت المسافة u{\displaystyle u}منشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}تزداد. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك قيد المتانة المخفف.

ز(x،u)≤ب+β⋅دأناsت(u،شمال) ، ∀u∈يو{\displaystyle g(x,u)\leq b+\beta \cdot dist(u,{\mathcal {N}})\ ,\ \forall u\in U}

أينβ≥0{\displaystyle \beta \geq 0}هو مُعامل تحكم ودأناsت(u،شمال){\displaystyle dist(u,{\mathcal {N}})}يشير إلى مسافةu{\displaystyle u}منشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}وهكذا، بالنسبة لـβ=0{\displaystyle \beta =0}يؤدي تخفيف قيد المتانة إلى اختزاله إلى قيد المتانة الأصلي. وهذا ينتج عنه مسألة التحسين المتانة (المخففة) التالية:

z(شمال،يو):=الأعلىx∈X {و(x):ز(x،u)≤ب+β⋅دأناsت(u،شمال) ، ∀u∈يو}{\displaystyle z({\mathcal {N}},U):=\max _{x\in X}\ \{f(x):g(x,u)\leq b+\beta \cdot dist(u,{\mathcal {N}})\ ,\ \forall u\in U\}}

الوظيفةدأناsت{\displaystyle dist}يتم تعريفها بطريقة تجعل

دأناsت(u،شمال)≥0،∀u∈يو{\displaystyle dist(u,{\mathcal {N}})\geq 0,\forall u\in U}

و

دأناsت(u،شمال)=0،∀u∈شمال{\displaystyle dist(u,{\mathcal {N}})=0,\forall u\in {\mathcal {N}}}

وبالتالي فإن الحل الأمثل للمسألة المخففة يفي بالقيد الأصلي.ز(x،u)≤ب{\displaystyle g(x,u)\leq b}لجميع قيمu{\displaystyle u}فيشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}كما أنه يفي بالشرط المخفف.

ز(x،u)≤ب+β⋅دأناsت(u،شمال){\displaystyle g(x,u)\leq b+\beta \cdot dist(u,{\mathcal {N}})}

الخارجشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}.

نماذج التحسين القوية غير الاحتمالية

النموذج السائد في هذا المجال من التحسين القوي هو نموذج والد ماكسيمين ، أي

الأعلىx∈Xمينu∈يو(x)و(x،u){\displaystyle \max _{x\in X}\min _{u\in U(x)}f(x,u)}

حيثالأعلى{\displaystyle \max }يمثل صانع القرار،مين{\displaystyle \min }يمثل الطبيعة، أي عدم اليقين ،X{\displaystyle X}يمثل مساحة القرار ويو(x){\displaystyle U(x)}يشير إلى مجموعة القيم الممكنة لـu{\displaystyle u}مرتبط بالقرارx{\displaystyle x}هذا هو الشكل الكلاسيكي للنموذج العام، ويُشار إليه غالبًا بمسألة التحسين الأمثل من نوع minimax أو maximin . وقد استُخدم النموذج غير الاحتمالي ( الحتمي ) على نطاق واسع، ولا يزال يُستخدم، في التحسين الأمثل القوي، لا سيما في مجال معالجة الإشارات . [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

البرمجة الرياضية المكافئة (MP) للصيغة الكلاسيكية المذكورة أعلاه هي

الأعلىx∈X،v∈R {v:v≤و(x،u)،∀u∈يو(x)}{\displaystyle \max _{x\in X,v\in \mathbb {R} }\ \{v:v\leq f(x,u),\forall u\in U(x)\}}

يمكن إدراج القيود بشكل صريح في هذه النماذج. الصيغة الكلاسيكية العامة المقيدة هي

الأعلىx∈Xمينu∈يو(x) {و(x،u):ز(x،u)≤ب،∀u∈يو(x)}{\displaystyle \max _{x\in X}\min _{u\in U(x)}\ \{f(x,u):g(x,u)\leq b,\forall u\in U(x)\}}

يُعرَّف تنسيق MP المقيد المكافئ على النحو التالي:

الأعلىx∈X،v∈R {v:v≤و(x،u)،ز(x،u)≤ب،∀u∈يو(x)}{\displaystyle \max _{x\in X,v\in \mathbb {R} }\ \{v:v\leq f(x,u),g(x,u)\leq b,\forall u\in U(x)\}}

نماذج التحسين القوية احتماليًا

تُحدد هذه النماذج عدم اليقين في القيمة "الحقيقية" للمعامل محل الاهتمام باستخدام دوال التوزيع الاحتمالي . وقد صُنفت تقليديًا إلى نماذج البرمجة العشوائية ونماذج التحسين العشوائي . ومؤخرًا، اكتسب التحسين القوي احتماليًا شعبيةً واسعةً بفضل ظهور نظريات دقيقة مثل تحسين السيناريوهات ، القادرة على تحديد مستوى قوة الحلول المُستخلصة من العشوائية. وتُعد هذه الأساليب ذات صلة أيضًا بأساليب التحسين القائمة على البيانات.

نظير قوي

تتضمن طريقة حل العديد من البرامج القوية إنشاء مكافئ حتمي، يُسمى النظير القوي. وتعتمد الصعوبة العملية للبرنامج القوي على ما إذا كان نظيره القوي قابلاً للمعالجة الحسابية. [ 17 ] [ 18 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ رياض، محمد؛ أحمد، صادق؛ حسين، إرشاد؛ نعيم، محمد؛ ميهيت-بوبا، لوسيان (2022). "تقنيات التحسين الاحتمالي في أنظمة الطاقة الذكية" . مجلة Energies . 15 (3): 825. doi : 10.3390/en15030825 . hdl : 11250/2988376 .
  2. ↑ "التحسين القوي: قيود الاحتمالية" (ملف PDF) . 2008-04-28. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2023-06-05.
  3. ↑ بيرتسيماس، ديميتريس؛ سيم، ميلفين (2004). "ثمن المتانة". بحوث العمليات . 52 (1): 35-53 . doi : 10.1287/opre.1030.0065 . hdl : 2268/253225 . S2CID 8946639 . 
  4. ↑ جيرالدو، خوان س.؛ كاستريون، جون أ.؛ لوبيز، خوان كاميلو؛ رايدر، ماركوس ج.؛ كاسترو، كارلوس أ. (يوليو 2019). "إدارة الطاقة في الشبكات الصغيرة باستخدام البرمجة المحدبة القوية". معاملات IEEE في الشبكات الذكية . 10 (4): 4520-4530 . Bibcode : 2019ITSG...10.4520G . doi : 10.1109/TSG.2018.2863049 . ISSN 1949-3053 . S2CID 115674048 .  
  5. ↑ شبان زاده م؛ شيخ الإسلامي م ك؛ حقيفام ب؛ م ر (أكتوبر 2015). "تصميم أداة للتحوط من المخاطر لمحطات الطاقة الافتراضية من خلال منهجية التحسين القوي". الطاقة التطبيقية . 155 : 766-777 . Bibcode : 2015ApEn..155..766S . doi : 10.1016/j.apenergy.2015.06.059 .
  6. ↑ شبان زاده، م؛ فتاحي، م (يوليو 2015). "جدولة صيانة الأجيال عبر التحسين الأمثل القوي". المؤتمر الإيراني الثالث والعشرون للهندسة الكهربائية 2015. ص 1504-1509 . doi : 10.1109/IranianCEE.2015.7146458 . ISBN  978-1-4799-1972-7. S2CID 8774918 . 
  7. ↑ خارغونيكار، ب.ب.؛ بيترسن، إ.ر.؛ تشو، ك. (1990). "الاستقرار القوي للأنظمة الخطية غير المؤكدة: قابلية الاستقرار التربيعي ونظرية التحكم H⁺ⁿ". معاملات IEEE في التحكم الآلي . 35 (3): 356-361 . doi : 10.1109/9.50357 .
  8. ↑ تحسين المحفظة الاستثمارية القوي
  9. ↑ محمد أسد الزمان وقيس الزمان، "تحسين المحفظة القوي في ظل عدم اليقين في البيانات" المؤتمر الإحصائي الوطني الخامس عشر، ديسمبر 2014، دكا، بنغلاديش.
  10. ↑ يو، تشيان-سون؛ لي، هان-لين (2000). "نموذج أمثلية قوي لمسائل اللوجستيات العشوائية". المجلة الدولية لاقتصاديات الإنتاج . 64 ( 1-3 ): 385-397 . doi : 10.1016/S0925-5273(99)00074-2 .
  11. ↑ سترانو، م (2006). "تحسين عمليات تشكيل الصفائح المعدنية في ظل عدم اليقين باستخدام طريقة العناصر المحدودة". وقائع مؤسسة المهندسين الميكانيكيين، الجزء ب: مجلة هندسة التصنيع . 220 (8): 1305-1315 . doi : 10.1243/09544054JEM480 . S2CID 108843522 . 
  12. ↑ برناردو، فرناندو ب.؛ ساراييفا، بيدرو م. (1998). "إطار عمل مُحسِّن قوي لتصميم معلمات العملية والتفاوتات". مجلة AIChE . 44 (9): 2007-2017 . Bibcode : 1998AIChE..44.2007B . doi : 10.1002/aic.690440908 . hdl : 10316/8195 .
  13. ↑ تشو، ميلي؛ زينتشينكو، يوري؛ هندرسون، شين جي؛ شارب، مايكل بي (2005). "التحسين الأمثل القوي لتخطيط علاج العلاج الإشعاعي المعدل الشدة في ظل عدم اليقين". الفيزياء في الطب وعلم الأحياء . 50 (23): 5463-5477 . Bibcode : 2005PMB....50.5463C . doi : 10.1088/0031-9155/50/23/ 003 . PMID 16306645. S2CID 15713904 .  
  14. ↑ فيردو، س.؛ بور، هـ. ف. (1984). "حول متانة المينيماكس: منهج عام وتطبيقات". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 30 (2): 328-340 . CiteSeerX 10.1.1.132.837 . doi : 10.1109/tit.1984.1056876 . 
  15. ↑ كاسام، س. أ.؛ بور، هـ. ف. (1985). "تقنيات قوية لمعالجة الإشارات: دراسة استقصائية". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 73 (3): 433-481 . doi : 10.1109/proc.1985.13167 . hdl : 2142/74118 . S2CID 30443041 . 
  16. ↑ م. دانيش نزار. "متانة المينيماكس في معالجة الإشارات للاتصالات" ، شاكر فيرلاغ، ISBN 978-3-8440-0332-1أغسطس 2011.
  17. ↑ بن تال أ.، الغاوي ل.، ونيميروفسكي أ. (2009). التحسين القوي. سلسلة برينستون في الرياضيات التطبيقية، مطبعة جامعة برينستون، 9-16.
  18. ↑ ليفر إس. ، مينيكيلي إم.، مونسون تي.، فاناريت سي.، ووايلد إس. إم. (2020). دراسة استقصائية حول التحسين القوي غير الخطي. إنفور: نظم المعلومات وبحوث العمليات، تايلور وفرانسيس.

للمزيد من القراءة

  • إتش جيه غرينبيرغ. معجم البرمجة الرياضية. شبكة الإنترنت العالمية، http://glossary.computing.society.informs.org/ ، 1996-2006. حررته جمعية الحوسبة التابعة لـ INFORMS.
  • بن-تال، أ.؛ نيميروفسكي، أ. (1998). "التحسين المحدب القوي". رياضيات بحوث العمليات . 23 (4): 769-805 . CiteSeerX 10.1.1.135.798 . doi : 10.1287/moor.23.4.769 . S2CID 15905691 .  
  • بن-تال، أ.؛ نيميروفسكي، أ. (1999). "حلول قوية للبرامج الخطية غير المؤكدة". رسائل بحوث العمليات . 25 : 1-13 . CiteSeerX 10.1.1.424.861 . doi : 10.1016/s0167-6377(99)00016-4 . 
  • بن تال، أ.؛ أركادي نيميروفسكي، أ. (2002). "التحسين القوي - المنهجية والتطبيقات". البرمجة الرياضية، السلسلة ب . 92 (3): 453-480 . CiteSeerX 10.1.1.298.7965 . doi : 10.1007/s101070100286 . S2CID 1429482 .  
  • بن تال أ.، الغاوي ل. ونيميروفسكي أ. (2006). البرمجة الرياضية، عدد خاص عن التحسين القوي، المجلد 107 (1-2).
  • بن تال أ.، الغاوي ل.، ونيميروفسكي أ. (2009). التحسين القوي. سلسلة برينستون في الرياضيات التطبيقية، مطبعة جامعة برينستون.
  • بيرتسيماس، د.؛ سيم، م. (2003). "التحسين المتقطع القوي وتدفقات الشبكة". البرمجة الرياضية . 98 ( 1-3 ): 49-71 . CiteSeerX 10.1.1.392.4470 . doi : 10.1007/s10107-003-0396-4 . S2CID 1279073 .  
  • بيرتسيماس، د.؛ سيم، م. (2006). "تقريبات قابلة للتطبيق لمسائل التحسين المخروطي القوي، ديميتريس بيرتسيماس". البرمجة الرياضية . 107 (1): 5-36 . CiteSeerX 10.1.1.207.8378 . doi : 10.1007/s10107-005-0677-1 . S2CID 900938 .  
  • تشين، و.؛ سيم، م. (2009). "التحسين الموجه نحو الهدف" . بحوث العمليات . 57 (2): 342-357 . doi : 10.1287/opre.1080.0570 .
  • تشين، إكس.؛ سيم، إم.؛ صن، بي.؛ تشانغ، جيه. (2008). "نهج تقريبي قائم على القرار الخطي للبرمجة العشوائية". بحوث العمليات . 56 (2): 344-357 . doi : 10.1287/opre.1070.0457 .
  • تشين، إكس؛ سيم، إم؛ صن، بي (2007). "منظور التحسين القوي للبرمجة العشوائية" . بحوث العمليات . 55 (6): 1058-1071 . doi : 10.1287/opre.1070.0441 .
  • ديمبو، ر. (1991). "تحسين السيناريوهات". حوليات بحوث العمليات . 30 (1): 63-80 . doi : 10.1007/bf02204809 . S2CID 44126126 . 
  • دودسون، ب.، وهاميت، ب.، وكليركس، ر. (2014) التصميم الاحتمالي للتحسين والمتانة للمهندسين، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-1-118-79619-1
  • غوبتا، إس كيه؛ روزنهيد، جيه. (1968). "المتانة في قرارات الاستثمار المتسلسلة". مجلة علوم الإدارة . 15 (2): 18-29 . doi : 10.1287/mnsc.15.2.B18 .
  • Kouvelis P. and Yu G. (1997). Robust Discrete Optimization and Its Applications, Kluwer.
  • موتابتشيتش، ألمير؛ بويد، ستيفن (2009). "طرق مجموعة القطع للتحسين المحدب القوي باستخدام أوراكل التشاؤمي". أساليب وبرامج التحسين . 24 (3): 381-406 . CiteSeerX 10.1.1.416.4912 . doi : 10.1080/10556780802712889 . S2CID 16443437 .  
  • مولفي، جيه إم؛ فاندرباي، آر جيه؛ زينيوس، إس إيه (1995). "التحسين الأمثل للأنظمة واسعة النطاق". بحوث العمليات . 43 (2): 264-281 . doi : 10.1287/opre.43.2.264 .
  • نجاد سيفي، أ.، جيسيلايرز، هـ. ج. م.، فان دن بوغارد، أ. هـ. (2018). "التحسين القوي القائم على التقييم التحليلي لانتشار عدم اليقين". تحسين الهندسة 51 (9): 1581-1603. doi:10.1080/0305215X.2018.1536752 .
  • روزنبلات، إم جيه (1987). "نهج قوي لتصميم المرافق". المجلة الدولية لبحوث الإنتاج . 25 (4): 479-486 . doi : 10.1080/00207548708919855 .
  • روزنهيد، إم جيه؛ إلتون، إم؛ غوبتا، إس كيه (1972). "المتانة والأمثلية كمعيارين للقرارات الاستراتيجية". مجلة بحوث العمليات الفصلية . 23 (4): 413-430 . doi : 10.2307/3007957 . JSTOR 3007957 . 
  • Rustem B. and Howe M. (2002). Algorithms for Worst-case Design and Applications to Risk Management, Princeton University Press.
  • سنيدوفيتش، م (2007). "فن وعلم نمذجة عملية صنع القرار في ظل عدم اليقين الشديد" . صنع القرار في التصنيع والخدمات . 1 ( 1-2 ): 111-136 . doi : 10.7494/dmms.2007.1.2.111 .
  • سنيدوفيتش، م (2008). "نموذج ماكسيمين لوالد: كنزٌ مُقنّع!". مجلة تمويل المخاطر . 9 (3): 287-291 . doi : 10.1108/15265940810875603 .
  • سنيدوفيتش، م (2010). "نظرة عامة على نظرية اتخاذ القرار في ظل فجوة المعلومات". مجلة تمويل المخاطر . 11 (3): 268-283 . doi : 10.1108/15265941011043648 .
  • والد، أ. (1939). "مساهمات في نظرية التقدير الإحصائي واختبار الفرضيات" . حوليات الإحصاء الرياضي . 10 (4): 299-326 . doi : 10.1214/aoms/1177732144 .
  • والد، أ. (1945). "دوال القرار الإحصائية التي تقلل من أقصى المخاطر". حوليات الرياضيات . 46 (2): 265-280 . doi : 10.2307/1969022 . JSTOR 1969022 . 
  • والد، أ. (1950). وظائف القرار الإحصائي، جون وايلي، نيويورك.
  • شابان زاده، مرتضى؛ فتاحي، محمد (2015). "جدولة صيانة الأجيال باستخدام التحسين الأمثل القوي". المؤتمر الإيراني الثالث والعشرون للهندسة الكهربائية ، 2015. ص 1504-1509 . doi : 10.1109/IranianCEE.2015.7146458 . ISBN  978-1-4799-1972-7. S2CID 8774918 .