معادلة تسيولكوفسكي الصاروخية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 94 صور
الموسوعة الحرة
نسبة الكتلة المطلوبة للصاروخ كدالة لنسبة سرعة العادم الفعالة

معادلة الصاروخ الكلاسيكية ، أو معادلة تسيولكوفسكي للصواريخ ، أو معادلة الصاروخ المثالي ، هي معادلة رياضية تصف حركة المركبات التي تتبع المبدأ الأساسي للصاروخ : جهاز قادر على توليد تسارع ذاتي باستخدام قوة الدفع عن طريق إطلاق جزء من كتلته بسرعة عالية، وبالتالي يتحرك وفقًا لقانون حفظ الزخم . سُميت المعادلة نسبةً إلى كونستانتين تسيولكوفسكي ، الذي اشتقها ونشرها عام 1903، [ 1 ] [ 2 ] على الرغم من أن ويليام مور كان قد وضع الخطوط العريضة لها في وقت مبكر من عام 1810 [ 3 ] وشرحها بتفصيل أكبر في كتاب نُشر عام 1813. [ 4 ] كما توصل روبرت جودارد وهيرمان أوبرث إلى النتيجة نفسها عامي 1912 و1920 على التوالي. وقد استنتج الأربعة جميعًا النموذج نفسه بشكل مستقل.

أقصى تغير في سرعة المركبة،Δv{\displaystyle \Delta v}(بدون أي قوى خارجية مؤثرة) هو:

Δv=vهـln⁡م0مو=أناspز0ln⁡م0مو،{\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},} أين:

بالنظر إلى سرعة العادم الفعالة التي يحددها تصميم محرك الصاروخ، وقيمة دلتا-في المطلوبة (مثل السرعة المدارية أو سرعة الإفلات )، وكتلة جافة معينةمو{\displaystyle m_{f}}يمكن حل المعادلة لإيجاد الكتلة الرطبة المطلوبةم0{\displaystyle m_{0}}: م0=موهـΔv/vهـ.{\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}ثم تكون كتلة الوقود المطلوبة هيم0-مو=مو(هـΔv/vهـ-1){\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}(e^{\Delta v/v_{\text{e}}}-1)}

تنمو الكتلة الرطبة اللازمة بشكل أسي مع دلتا-v المطلوبة.

ويمكننا أيضاً التعبير عن ذلك كنسبة كتلة الوقود إلى كتلة الحمولة: م0-مومو=هـΔv/vهـ-1{\displaystyle {\frac {m_{0}-m_{f}}{m_{f}}}=e^{\Delta v/v_{e}}-1} ونرى أنها تنمو بشكل أُسّي معΔv/vهـ{\displaystyle \Delta v/v_{e}}

تاريخ

سُميت المعادلة نسبةً إلى العالم الروسي كونستانتين تسيولكوفسكي الذي استنتجها بشكل مستقل ونشرها في عمله عام 1903. [ 1 ] [ 2 ]

وقد تم اشتقاق المعادلة في وقت سابق من قبل عالم الرياضيات البريطاني ويليام مور في عام 1810، [ 3 ] ونُشرت لاحقًا في كتاب منفصل في عام 1813. [ 4 ]

قام الأمريكي روبرت غودارد بتطوير المعادلة بشكل مستقل عام 1912 عندما بدأ أبحاثه لتحسين محركات الصواريخ من أجل رحلات فضائية محتملة. واستنتج المهندس الألماني هيرمان أوبرث المعادلة بشكل مستقل حوالي عام 1920 أثناء دراسته لجدوى السفر إلى الفضاء.

على الرغم من أن اشتقاق معادلة الصاروخ هو تمرين حسابي مباشر ، إلا أن تسيولكوفسكي يُعتبر أول من طبقها على مسألة ما إذا كان بإمكان الصواريخ تحقيق السرعات اللازمة للسفر إلى الفضاء .

الاشتقاق

ضع في اعتبارك النظام التالي:

صاروخ تسيولكوفسكي النظري من t = 0 إلى t = Δt

في الاشتقاق التالي، يُقصد بـ "الصاروخ" "الصاروخ وكل وقوده غير المستنفد".

يربط قانون نيوتن الثاني للحركة القوى الخارجية (F→أنا{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}) إلى التغير في الزخم الخطي للنظام بأكمله (بما في ذلك الصاروخ والعادم) على النحو التالي: ∑أناF→أنا=ليمΔت→0P→Δت-P→0Δت{\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}} أينP→0{\displaystyle {\vec {P}}_{0}}يمثل زخم الصاروخ في وقت معينت=0{\displaystyle t=0}: P→0=مV→{\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}} وP→Δت{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}يمثل زخم الصاروخ والكتلة المستنفدة في وقت معينت=Δت{\displaystyle t=\Delta t}: P→Δت=(م-Δم)(V→+ΔV→)+ΔمV→هـ{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}} وأين، بالنسبة للمراقب:

  • V→{\displaystyle {\vec {V}}}هي سرعة الصاروخ في الزمنت=0{\displaystyle t=0}
  • V→+ΔV→{\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}هي سرعة الصاروخ في الزمنت=Δت{\displaystyle t=\Delta t}
  • V→هـ{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}هي سرعة الكتلة المضافة إلى العادم (والتي يفقدها الصاروخ) خلال الزمنΔت{\displaystyle \Delta t}
  • م{\displaystyle m}كتلة الصاروخ في وقتت=0{\displaystyle t=0}
  • (م-Δم){\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}كتلة الصاروخ في وقتت=Δت{\displaystyle t=\Delta t}

سرعة العادمV→هـ{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}يرتبط معدل تدفق الهواء في إطار الراصد بسرعة العادم في إطار الصاروخ.vهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}بواسطة: v→هـ=V→هـ-V→{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}} هكذا، V→هـ=V→+v→هـ{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}} حل هذه المسألة ينتج عنه: P→Δت-P→0=مΔV→+v→هـΔم-ΔمΔV→{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}} لوV→{\displaystyle {\vec {V}}}وv→هـ{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}هما عكس بعضهما البعض،F→أنا{\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}لها نفس الاتجاهV→{\displaystyle {\vec {V}}}،ΔمΔV→{\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}ضئيلة (لأندمدv→→0{\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}) وباستخدامدم=-Δم{\displaystyle dm=-\Delta m}(منذ إخراج موجب)Δم{\displaystyle \Delta m}وينتج عن ذلك انخفاض في كتلة الصاروخ بمرور الوقت). ∑أناFأنا=مدVدت+vهـدمدت{\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}

إذا لم تكن هناك قوى خارجية،∑أناFأنا=0{\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}( حفظ الزخم الخطي ) و -مدVدت=vهـدمدت{\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}

بافتراض أنvهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}إذا كانت ثابتة (المعروفة باسم فرضية تسيولكوفسكي [ 2 ] )، وبالتالي فهي لا تخضع للتكامل، فيمكن تكامل المعادلة أعلاه على النحو التالي: -∫VV+ΔVدV=vهـ∫م0مودمم{\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}

وهذا ينتج عنه ΔV=vهـln⁡م0مو{\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}} أو ما يعادل ذلك مو=م0هـ-ΔV /vهـ{\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}أو م0=موهـΔV/vهـ{\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}أو م0-مو=مو(هـΔV/vهـ-1){\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)} أينم0{\displaystyle m_{0}}الكتلة الإجمالية الأولية بما في ذلك الوقود الدافع،مو{\displaystyle m_{f}} الكتلة النهائية، وvهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}سرعة عادم الصاروخ بالنسبة للصاروخ ( الدفع النوعي ، أو، إذا تم قياسه بالزمن، فهو مضروبًا في تسارع الجاذبية على الأرض).vهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}بما أن ثابت تسيولكوفسكي ليس ثابتًا، فقد لا تكون لدينا معادلات صاروخية بسيطة مثل الصيغ المذكورة أعلاه. وقد استندت العديد من أبحاث ديناميكيات الصواريخ على ثابت تسيولكوفسكي.vهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}فرضية.

القيمةم0-مو{\displaystyle m_{0}-m_{f}}هي إجمالي كتلة الوقود المستخدم في التشغيل.

ΔV{\displaystyle \Delta V}( Δv ) هو التكامل الزمني لمقدار التسارع الناتج عن استخدام محرك الصاروخ (أي التسارع الفعلي في حال غياب القوى الخارجية). في الفضاء الحر، في حالة التسارع في اتجاه السرعة، يمثل هذا زيادة في السرعة. أما في حالة التسارع في الاتجاه المعاكس (التباطؤ)، فيمثل انخفاضًا في السرعة. بالطبع، تُساهم الجاذبية ومقاومة الهواء أيضًا في تسريع المركبة، ويمكنهما إضافة أو طرح التغير في السرعة. لذا، قد لا يُمثل Δv دائمًا التغير الفعلي في سرعة المركبة.

مشتقات أخرى

قائم على النبض

يمكن أيضًا اشتقاق المعادلة من التكامل الأساسي للتسارع على شكل قوة (دفع) مقسومة على الكتلة. وذلك بتمثيل معادلة دلتا-في كما يلي: Δv=∫ت0تو|تي|م0-تΔم دت{\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}

حيث T هي قوة الدفع،م0{\displaystyle m_{0}}هي الكتلة الأولية (الرطبة) وΔم{\displaystyle \Delta m}الكتلة الابتدائية مطروحًا منها الكتلة النهائية (الجافة)،

وإدراكًا أن تكامل القوة المحصلة على مدى الزمن هو الدفع الكلي، بافتراض أن الدفع هو القوة الوحيدة المعنية، ∫ت0توF دت=ج{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}

وقد وُجد أن التكامل هو: ج ln⁡(م0)-ln⁡(مو)Δم{\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}

إدراكًا أن الدفع الناتج عن التغير في الكتلة يعادل القوة الناتجة عن معدل تدفق كتلة الوقود (p)، والذي يعادل بدوره سرعة العادم، جΔم=Fص=Vمعرض{\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}} يمكن مساواة التكامل بـ Δv=Vمعرض ln⁡(م0مو){\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}

قائم على التسارع

تخيل صاروخًا ساكنًا في الفضاء دون أي قوى مؤثرة عليه ( قانون نيوتن الأول للحركة ). منذ لحظة تشغيل محركه (عند ضبط الساعة على الصفر)، يقذف الصاروخ كتلة من الغاز بمعدل تدفق ثابت R (كجم/ث) وبسرعة عادم نسبية للصاروخ v<sub> e</sub> (م/ث). ينتج عن ذلك قوة ثابتة F تدفع الصاروخ، تساوي R × v<sub> e</sub> . يخضع الصاروخ لقوة ثابتة، لكن كتلته الكلية تتناقص باستمرار بسبب قذفه للغاز. وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة ، فإن تسارعه عند أي لحظة زمنية t يساوي قوة دفعه F مقسومة على كتلته الحالية m .  أ=دvدت=-Fم(ت)=-Rvهـم(ت){\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}

الآن، كتلة الوقود التي يحملها الصاروخ في البداية تساوي m₀ - mf . وبالتالي ، مع ثبات معدل تدفق الكتلة R ، سيستغرق احتراق كل هذا الوقود زمنًا T = ( m₀ - mf ) / R. وبإجراء التكامل على طرفي المعادلة بالنسبة للزمن من 0 إلى T ( مع ملاحظة أن R = dm/dt يسمح بالتعويض في الطرف الأيمن)، نحصل على : Δv=vو-v0=-vهـ[ln⁡مو-ln⁡م0]= vهـln⁡(م0مو).{\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}

حد طرد "الكريات" ذات الكتلة المحدودة

يمكن أيضًا اشتقاق معادلة الصاروخ كحالة حدية لتغير السرعة لصاروخ يقذف وقوده على شكلشمال{\displaystyle N}الكريات تباعاً، كماشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }، مع سرعة عادم فعالةvفعال{\displaystyle v_{\text{eff}}}بحيث تُعطى الطاقة الميكانيكية المكتسبة لكل وحدة كتلة وقود بالعلاقة التالية12vفعال2{\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}.

في إطار مركز كتلة الصاروخ، إذا كانت هناك كريات كتلتهامص{\displaystyle m_{p}}يُقذف بسرعةu{\displaystyle u}والكتلة المتبقية للصاروخ هيم{\displaystyle m}كمية الطاقة المحولة لزيادة الطاقة الحركية للصاروخ والرصاصة هي 12مصvفعال2=12مصu2+12م(Δv)2.{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}

باستخدام قانون حفظ الزخم في إطار الصاروخ قبل لحظة إطلاقه مباشرة،u=Δvممص{\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}ومنها نجد Δv=vفعالمصم(م+مص).{\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}

يتركϕ{\displaystyle \phi }ليكن الكسر الكتلي الأولي للوقود على متن المركبة وم0{\displaystyle m_{0}}الكتلة الأولية للصاروخ بعد تزويده بالوقود. اقسم على إجمالي كتلة الوقودϕم0{\displaystyle \phi m_{0}}داخلشمال{\displaystyle N}كريات منفصلة، ​​كل منها بكتلةمص=ϕم0/شمال{\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}الكتلة المتبقية من الصاروخ بعد قذفهج{\displaystyle j}ثم تصبح الكرياتم=م0(1-جϕ/شمال){\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}التغير الإجمالي في السرعة بعد القذفج{\displaystyle j}الكريات هي المجموع [ 5 ]Δv=vفعال∑ج=1ج=شمالϕ/شمال(1-جϕ/شمال)(1-جϕ/شمال+ϕ/شمال){\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}

لاحظ ذلك بالنسبة للكبيرشمال{\displaystyle N}الحد الأخير في المقامϕ/شمال≪1{\displaystyle \phi /N\ll 1}ويمكن إهمالها لإعطاء Δv≈vفعال∑ج=1ج=شمالϕ/شمال1-جϕ/شمال=vفعال∑ج=1ج=شمالΔx1-xج{\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}أينΔx=ϕشمال{\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}وxج=جϕشمال{\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}.

مثلشمال→∞{\displaystyle N\rightarrow \infty }يصبح مجموع ريمان هذا تكاملاً محدداً ليمشمال→∞Δv=vفعال∫0ϕدx1-x=vفعالln⁡11-ϕ=vفعالln⁡م0مو،{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}بما أن الكتلة المتبقية النهائية للصاروخ هيمو=م0(1-ϕ){\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}.

النسبية الخاصة

إذا أُخذت النسبية الخاصة في الاعتبار، فيمكن اشتقاق المعادلة التالية لصاروخ نسبي ، [ 6 ] معΔv{\displaystyle \Delta v}مرة أخرى، يرمز إلى السرعة النهائية للصاروخ (بعد طرد كل كتلة رد الفعل الخاصة به وانخفاضها إلى كتلة سكون تبلغم1{\displaystyle m_{1}}) في الإطار المرجعي العطالي حيث بدأ الصاروخ من حالة السكون (مع كتلة السكون بما في ذلك الوقود)م0{\displaystyle m_{0}}في البداية)، وج{\displaystyle c}يرمز إلى سرعة الضوء في الفراغ: م0م1=[1+Δvج1-Δvج]ج2vهـ{\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}

كتابةم0م1{\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}مثلR{\displaystyle R}يسمح هذا بإعادة ترتيب هذه المعادلة على النحو التالي Δvج=R2vهـج-1R2vهـج+1{\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}

ثم، باستخدام الهويةR2vهـج=خبرة⁡[2vهـجln⁡R]{\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}(هنا "exp" تشير إلى الدالة الأسية ؛ انظر أيضًا اللوغاريتم الطبيعي بالإضافة إلى متطابقة "القوة" في متطابقات اللوغاريتمات ) والمتطابقةtanh⁡x=هـ2x-1هـ2x+1{\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}( انظر الدالة الزائدية )، وهذا يكافئ ما يلي: Δv=جtanh⁡(vهـجln⁡م0م1){\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}

حدود المعادلة

دلتا- v

دلتا- في ( Δv )، والتي تُرمز لها بـ Δv وتُنطق دلتا - في ، تُستخدم في ديناميكيات طيران المركبات الفضائية ، وهي مقياس للدفع اللازم لتنفيذ مناورة مثل الإطلاق من كوكب أو قمر أو الهبوط عليهما، أو مناورة مدارية في الفضاء . وهي كمية قياسية بوحدة السرعة . وفي هذا السياق، لا تُعادل التغير الفعلي في سرعة المركبة .

يتم إنتاج دلتا- في بواسطة محركات التفاعل، مثل محركات الصواريخ ، وهي تتناسب مع قوة الدفع لكل وحدة كتلة ووقت الاحتراق، وتستخدم لتحديد كتلة الوقود اللازمة للمناورة المعينة من خلال معادلة الصاروخ.

بالنسبة للمناورات المتعددة، يتم جمع دلتا- v بشكل خطي.

بالنسبة للبعثات بين الكواكب، غالبًا ما يتم رسم دلتا- v على مخطط شرائح اللحم الذي يعرض دلتا- v المطلوبة للبعثة كدالة لتاريخ الإطلاق.

الكسر الكتلي

في هندسة الطيران والفضاء ، تُعرف نسبة كتلة الوقود الدافعة بأنها الجزء من كتلة المركبة الذي لا يصل إلى وجهته ويُحرق كوقود دافع، وتُستخدم عادةً كمقياس لأداء المركبة. بعبارة أخرى، نسبة كتلة الوقود الدافعة هي النسبة بين كتلة الوقود الدافعة والكتلة الابتدائية للمركبة. في المركبات الفضائية، تكون الوجهة عادةً مدارًا، بينما في الطائرات تكون موقع هبوطها. تشير نسبة الكتلة الأعلى إلى وزن أقل في التصميم. وهناك مقياس آخر ذو صلة وهو نسبة الحمولة ، وهي نسبة الوزن الابتدائي الذي يُمثل الحمولة.

على الرغم من أن الصيغة الأصلية لمعادلة تسيولكوفسكي الصاروخية لا تستخدم الكسر الكتلي بشكل مباشر، إلا أنه يمكن اشتقاق الكسر الكتلي من النسبة المستخدمة بين الكتلة الابتدائية والكتلة النهائية، أوم0مو=مو+مصمو=مصمو+1{\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{f}}}={\frac {m_{f}+m_{p}}{m_{f}}}={\frac {m_{p}}{m_{f}}}+1}.

سرعة العادم الفعالة

غالباً ما يتم تحديد سرعة العادم الفعالة كدفعة نوعية ، وترتبط هذه السرعة ببعضها البعض من خلال: vهـ=ز0أناsp،{\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},} أين

  • أناsp{\displaystyle I_{\text{sp}}}هي الدفعة النوعية بالثواني،
  • vهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}هي الدفعة النوعية المقاسة بوحدة م/ث ، وهي نفسها سرعة العادم الفعالة المقاسة بوحدة م/ث (أو قدم/ث إذا كانت قيمة g بوحدة قدم/ث² ) .
  • ز0{\displaystyle g_{0}}هي الجاذبية القياسية ، 9.80665  م/ث 2 (في الوحدات الإمبراطورية 32.174  قدم/ث 2 ).

قابلية التطبيق

تُجسّد معادلة الصاروخ جوهر فيزياء طيران الصواريخ في معادلة واحدة موجزة. وهي تنطبق أيضًا على المركبات الصاروخية التفاعلية عندما تكون سرعة العادم الفعّالة ثابتة، ويمكن جمعها أو تكاملها عندما تتغير سرعة العادم الفعّالة. تأخذ معادلة الصاروخ في الحسبان قوة رد الفعل من محرك الصاروخ فقط، ولا تشمل القوى الأخرى التي قد تؤثر على الصاروخ، مثل القوى الديناميكية الهوائية أو قوى الجاذبية . ولذلك، عند استخدامها لحساب كمية الوقود اللازمة للإطلاق من كوكب ذي غلاف جوي (أو الهبوط المدفوع إليه)، يجب تضمين تأثيرات هذه القوى في متطلبات دلتا-في (انظر الأمثلة أدناه). وفيما يُعرف بـ"قيد معادلة الصاروخ"، هناك حد أقصى لكمية الحمولة التي يمكن للصاروخ حملها، حيث أن زيادة كمية الوقود تزيد من الوزن الإجمالي، وبالتالي تزيد من استهلاك الوقود. [ 7 ] لا تنطبق المعادلة على الأنظمة غير الصاروخية مثل الكبح الهوائي ، وإطلاق المدافع ، ومصاعد الفضاء ، وحلقات الإطلاق ، والدفع بالحبال أو الأشرعة الضوئية .

يمكن تطبيق معادلة الصاروخ على المناورات المدارية لتحديد كمية الوقود اللازمة للانتقال إلى مدار جديد محدد، أو لإيجاد المدار الجديد الناتج عن احتراق وقود معين. عند تطبيقها على المناورات المدارية، يُفترض أن المناورة دافعة ، حيث يُفرغ الوقود ويُطبق تغيير السرعة (دلتا-في) بشكل فوري. يُعد هذا الافتراض دقيقًا نسبيًا للمناورات قصيرة المدة، مثل تصحيحات المسار في منتصف الرحلة ومناورات إدخال المدار. مع ازدياد مدة الاحتراق، تقل دقة النتيجة بسبب تأثير الجاذبية على المركبة خلال مدة المناورة. أما بالنسبة لأنظمة الدفع منخفضة الدفع وطويلة المدة، مثل الدفع الكهربائي ، فيُستخدم تحليل أكثر تعقيدًا يعتمد على انتشار متجه حالة المركبة الفضائية وتكامل الدفع للتنبؤ بالحركة المدارية.

أمثلة

افترض سرعة عادم تبلغ 4500 متر في الثانية (15000 قدم/ثانية) و Δv{\displaystyle \Delta v}بسرعة 9700 متر في الثانية (32000 قدم/ثانية) (من الأرض إلى مدار أرضي منخفض ، بما في ذلك Δv{\displaystyle \Delta v}للتغلب على الجاذبية ومقاومة الهواء).

  • صاروخ أحادي المرحلة للوصول إلى المدار :1-هـ-9.7/4.5{\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}بما أن النسبة تساوي 0.884، فإن 88.4% من الكتلة الإجمالية الأولية يجب أن تكون وقودًا. أما النسبة المتبقية البالغة 11.6% فهي مخصصة للمحركات والخزان والحمولة.
  • نظام الوصول إلى المدار على مرحلتين : لنفترض أن المرحلة الأولى يجب أن توفرΔv{\displaystyle \Delta v}بسرعة 5000 متر في الثانية (16000 قدم/ثانية) ؛ 1-هـ-5.0/4.5{\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}بما أن معامل النفاذية يساوي 0.671، فإن 67.1% من الكتلة الإجمالية الأولية يجب أن تكون وقودًا للمرحلة الأولى. الكتلة المتبقية هي 32.9%. بعد التخلص من المرحلة الأولى، تبقى كتلة تساوي هذه النسبة (32.9%) مطروحًا منها كتلة خزان الوقود ومحركات المرحلة الأولى. بافتراض أن هذه النسبة تساوي 8% من الكتلة الإجمالية الأولية، فإن 24.9% تبقى. يجب أن توفر المرحلة الثانيةΔv{\displaystyle \Delta v}بسرعة 4700 متر في الثانية (15000 قدم/ثانية) ؛ 1-هـ-4.7/4.5{\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}بما أن النسبة تساوي 0.648، فإن 64.8% من الكتلة المتبقية يجب أن تكون وقودًا، أي ما يعادل 16.2% من الكتلة الإجمالية الأصلية، بينما تبقى 8.7% لخزان الوقود ومحركات المرحلة الثانية، والحمولة، وفي حالة مكوك الفضاء، للمركبة المدارية أيضًا. وبذلك، يصبح إجمالي 16.7% من كتلة الإطلاق الأصلية متاحًا لجميع المحركات وخزانات الوقود والحمولة.

مراحل

في حالة مراحل الصاروخ ذات الدفع المتتابع ، تنطبق المعادلة على كل مرحلة على حدة، حيث تمثل الكتلة الابتدائية في المعادلة الكتلة الكلية للصاروخ بعد إزالة المرحلة السابقة، بينما تمثل الكتلة النهائية الكتلة الكلية للصاروخ قبل إزالة المرحلة المعنية مباشرةً. وقد يختلف الدفع النوعي من مرحلة لأخرى.

على سبيل المثال، إذا كانت 80% من كتلة الصاروخ عبارة عن وقود المرحلة الأولى، و10% عبارة عن الكتلة الجافة للمرحلة الأولى، و10% عبارة عن كتلة الصاروخ المتبقية، فإن

Δv =vهـln⁡100100-80=vهـln⁡5=1.61vهـ.{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}

بثلاث مراحل متشابهة، ثم مراحل أصغر بنفس الشكلvهـ{\displaystyle v_{\text{e}}}لكل مرحلة، يعطي:

Δv =3vهـln⁡5 =4.83vهـ{\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}

والحمولة هي 10% × 10% × 10% = 0.1% من الكتلة الأولية.

صاروخ مماثل من نوع SSTO ، بحمولة تبلغ 0.1% أيضاً، يمكن أن تبلغ كتلته 11.1% لخزانات الوقود والمحركات، و88.8% للوقود. وهذا من شأنه أن يعطي

Δv =vهـln⁡(100/11.2) =2.19vهـ.{\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}

إذا تم إشعال محرك المرحلة الجديدة قبل التخلص من المرحلة السابقة وكان للمحركات العاملة في نفس الوقت دافع نوعي مختلف (كما هو الحال غالبًا مع معززات الصواريخ الصلبة ومرحلة الوقود السائل)، فإن الوضع يصبح أكثر تعقيدًا.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ك. تشيولكوفسكي، أسئلة تفاعلية رائعة، 1903 (متوفر على الإنترنت هنا أرشفة 15-08-2011 في آلة Wayback. في ملف PDF نادر )
  2. 1 2 3 تسيولكوفسكي، ك. "آلات الطيران التفاعلية" (PDF) .
  3. 1 2 مور، ويليام (1810). "حول حركة الصواريخ في الأوساط غير المقاومة والمقاومة" . مجلة الفلسفة الطبيعية والكيمياء والفنون . 27 : 276-285 .
  4. 1 2 مور، ويليام (1813). رسالة في حركة الصواريخ: يضاف إليها مقال عن المدفعية البحرية، نظريًا وعمليًا، إلخ . جي. وإس. روبنسون.
  5. ↑ بلانكو، فيليب (نوفمبر 2019). "نهج منفصل ونشط لدفع الصواريخ". تعليم الفيزياء . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B . doi : 10.1088/1361-6552/ab315b . S2CID 202130640 . 
  6. ↑ مقدمة، روبرت ل. "اشتقاق شفاف لمعادلة الصاروخ النسبي" (انظر الجانب الأيمن من المعادلة 15 في الصفحة الأخيرة، حيث R هي نسبة الكتلة الابتدائية إلى الكتلة النهائية و w هي سرعة العادم، والتي تتوافق مع v e في تدوين هذه المقالة)
  7. ↑ "طغيان معادلة الصاروخ" . NASA.gov . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2022-03-06 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2016-04-18 .