الانحراف المعياري للجذر التربيعي

الموسوعة الحرة

يُعدّ الانحراف التربيعي المتوسط ​​( RMSD ) أو الخطأ التربيعي المتوسط ​​( RMSE ) مقياسًا شائع الاستخدام لقياس المسافات بين القيم المرصودة الفعلية وتقديراتها ( مثل القيم الحقيقية/المتوقعة في مهام الانحدار في التعلم الآلي ). وعادةً ما يكون الانحراف مجرد فرق بين قيم عددية ، ويمكن تعميمه ليشمل أطوال متجهات الإزاحة ، كما هو الحال في مفهوم الانحراف التربيعي المتوسط ​​لمواقع الذرات في المعلوماتية الحيوية .

الانحراف المعياري للجذر التربيعي المتوسط ​​لعينة

يُعرَّف متوسط ​​الجذر التربيعي للانحراف المعياري (RMSD) لعينة ما بأنه المتوسط ​​التربيعي للفروق بين القيم المرصودة والقيم المتوقعة. تُسمى هذه الانحرافات بالبواقي عند إجراء الحسابات على عينة البيانات المستخدمة في التقدير (وبالتالي تُشير دائمًا إلى تقدير)، وتُسمى بالأخطاء (أو أخطاء التنبؤ) عند حسابها خارج العينة (أي على المجموعة الكاملة، بالإشارة إلى القيمة الحقيقية بدلًا من التقدير). يُستخدم متوسط ​​الجذر التربيعي للانحراف المعياري لتجميع مقادير أخطاء التنبؤ لنقاط البيانات المختلفة في مقياس واحد لقوة التنبؤ. يُعد متوسط ​​الجذر التربيعي للانحراف المعياري مقياسًا للدقة ، ويُستخدم لمقارنة أخطاء التنبؤ لنماذج مختلفة لمجموعة بيانات معينة، وليس بين مجموعات البيانات، لأنه يعتمد على المقياس. [ 1 ]

قيمة RMSD غير سالبة دائمًا، وقيمة صفر (وهي قيمة نادرة الحدوث عمليًا) تشير إلى تطابق تام مع البيانات. عمومًا، كلما انخفضت قيمة RMSD كان ذلك أفضل. مع ذلك، فإن المقارنات بين أنواع البيانات المختلفة غير صالحة لأن المقياس يعتمد على مقياس الأرقام المستخدمة.

يمثل RMSD الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات الأخطاء. ويتناسب تأثير كل خطأ على RMSD طرديًا مع حجم مربع الخطأ؛ لذا فإن الأخطاء الكبيرة لها تأثير كبير وغير متناسب على RMSD. ونتيجة لذلك، فإن RMSD حساس للقيم المتطرفة . [ 2 ] [ 3 ]

الصيغ

المُقدِّر

متوسط ​​الانحراف التربيعي لمُقدِّرθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}فيما يتعلق بالمعلمة المقدرةθ{\displaystyle \theta }يُعرَّف بأنه الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربع الخطأ : RMSD⁡(θ^)=MSE⁡(θ^)=هـ⁡((θ^-θ)2).{\displaystyle \operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} {\big (}({\hat {\theta }}-\theta )^{2}{\big )}}}.}

بالنسبة للمقدر غير المتحيز ، فإن RMSD هو الجذر التربيعي للتباين ، والمعروف باسم الانحراف المعياري .

عينات

إذا كانت X1 ، ...، Xn عينة من مجتمع ذي قيمة متوسطة حقيقيةx0{\displaystyle x_{0}}إذن، فإن قيمة RMSD للعينة هي

RMSD=1ن∑أنا=1ن(Xأنا-x0)2{\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-x_{0})^{2}}}}.

متوسط ​​الانحراف التربيعي للقيم المتوقعةy^ت{\displaystyle {\hat {y}}_{t}}بالنسبة للأوقات t للمتغير التابع في الانحدارyت،{\displaystyle y_{t},}مع المتغيرات التي تمت ملاحظتها على مدى T من الأوقات، يتم حسابها لـ T من التنبؤات المختلفة كالجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات الانحرافات:

RMSD=∑ت=1تي(yت-y^ت)2تي.{\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t})^{2}}{T}}}.}

(بالنسبة للانحدارات على البيانات المقطعية ، يتم استبدال الرمز السفلي t بالرمز i ويتم استبدال T بالرمز n .)

في بعض التخصصات، يُستخدم جذر متوسط ​​مربع الانحراف (RMSD) لمقارنة الاختلافات بين شيئين قد يختلفان، ولا يُعتبر أي منهما "معيارًا". على سبيل المثال، عند قياس متوسط ​​الفرق بين سلسلتين زمنيتينx1،ت{\displaystyle x_{1,t}}وx2،ت{\displaystyle x_{2,t}}تصبح الصيغة

RMSD=∑ت=1تي(x1،ت-x2،ت)2تي.{\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(x_{1,t}-x_{2,t})^{2}}{T}}}.}

تطبيع

يُسهّل توحيد قيمة RMSD المقارنة بين مجموعات البيانات أو النماذج ذات المقاييس المختلفة. ورغم عدم وجود طريقة موحدة للتوحيد في الأدبيات، فإن الخيارات الشائعة هي المتوسط ​​أو المدى (المُعرّف بأنه القيمة القصوى مطروحًا منها القيمة الدنيا) للبيانات المقاسة: [ 4 ]

شمالRمSد=RمSدyالأعلى-yمين{\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}}أوشمالRمSد=RمSدy¯{\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}}.

تُعرف هذه القيمة عادةً باسم الانحراف التربيعي المتوسط ​​المعياري أو الخطأ (NRMSD أو NRMSE)، وغالبًا ما تُعبّر عنها كنسبة مئوية، حيث تشير القيم المنخفضة إلى تباين متبقٍ أقل. ويُطلق عليها أيضًا معامل التباين أو النسبة المئوية للانحراف التربيعي المتوسط . في كثير من الحالات، وخاصةً للعينات الصغيرة، من المرجح أن يتأثر نطاق العينة بحجمها، مما قد يُعيق المقارنات.

ثمة طريقة أخرى ممكنة لجعل مقياس الانحراف المعياري الجذري (RMSD) أكثر فائدة للمقارنة، وهي قسمته على المدى الربيعي (IQR). عند قسمة RMSD على IQR، تصبح القيمة المعيارية أقل حساسية للقيم المتطرفة في المتغير المستهدف.

RمSدأناسؤالR=RمSدأناسؤالR{\displaystyle \mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}} أينأناسؤالR=سؤال3-سؤال1{\displaystyle IQR=Q_{3}-Q_{1}}

معسؤال1=صندوق الدفاع المدني-1(0.25){\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)}وسؤال3=صندوق الدفاع المدني-1(0.75)،{\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}حيث CDF −1 هي دالة الكمية .

عند إجراء عملية التوحيد باستخدام متوسط ​​القيم للقياسات، يمكن استخدام مصطلح معامل التباين للجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات الانحرافات (CV(RMSD)) لتجنب الالتباس. [ 5 ] وهذا مماثل لمعامل التباين مع الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات الانحرافات الذي يحل محل الانحراف المعياري .

جV(RمSد)=RمSدy¯.{\displaystyle \mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.}

التطبيقات

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هايندمان، روب جيه؛ كوهلر، آن بي. (2006). "نظرة أخرى على مقاييس دقة التنبؤ". المجلة الدولية للتنبؤ . 22 (4): 679-688 . CiteSeerX 10.1.1.154.9771 . doi : 10.1016/j.ijforecast.2006.03.001 . S2CID 15947215 .  
  2. ↑ بونتيوس، روبرت؛ ثونتيه، أولوفونميلايو؛ تشين، هاو (2008). "مكونات المعلومات للمقارنة متعددة الدقة بين الخرائط التي تشترك في متغير حقيقي" (ملف PDF) . الإحصاءات البيئية والإيكولوجية . 15 (2): 111-142 . Bibcode : 2008EnvES..15..111P . doi : 10.1007/s10651-007-0043-y . S2CID 21427573 . 
  3. ↑ ويلموت، كورت؛ ماتسورا، كينجي (2006). "حول استخدام مقاييس الخطأ ذات الأبعاد لتقييم أداء المُستكمِلات المكانية". المجلة الدولية لعلوم المعلومات الجغرافية . 20 (1): 89-102 . Bibcode : 2006IJGIS..20...89W . doi : 10.1080/13658810500286976 . S2CID 15407960 . 
  4. ↑ "برنامج أبحاث الخلجان الساحلية (CIRP) - إحصائيات" (موقع ويكي) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 فبراير 2015 .
  5. ↑ "أسئلة شائعة: ما هو معامل التباين؟" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 فبراير 2019 .
  6. ↑ أرمسترونغ، ج. سكوت؛ كولوبي، فريد (1992). "مقاييس الخطأ لتعميم أساليب التنبؤ: مقارنات تجريبية" (ملف PDF) . المجلة الدولية للتنبؤ . 8 (1): 69-80 . CiteSeerX 10.1.1.423.508 . doi : 10.1016/0169-2070(92)90008-w . S2CID 11034360 .  
  7. ↑ أندرسون، إم بي؛ ويسنر، دبليو دبليو (1992). نمذجة المياه الجوفية التطبيقية: محاكاة التدفق والنقل الحملي ( الطبعة الثانية). دار النشر الأكاديمية. 
  8. ↑ نموذج الشبكة العصبية المجمعة
  9. ↑ ANSI/BPI-2400-S-2012: الممارسة القياسية للتأهيل الموحد لتوقعات توفير الطاقة للمنزل بأكمله عن طريق المعايرة لتاريخ استخدام الطاقة
  10. ↑ https://kalman-filter.com/root-mean-square-error