مكعب الأمير روبرت

📅 آخر تحديث: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

مكعب وحدة به ثقب كبير بما يكفي لمرور مكعب الأمير روبرت

في الهندسة ، يُعدّ مكعب الأمير روبرت أكبر مكعب يمكن أن يمر عبر ثقبٍ في مكعب الوحدة دون أن ينقسم إلى أجزاء منفصلة. يبلغ طول ضلعه حوالي 1.06، أي أكبر بنسبة 6% من طول ضلع مكعب الوحدة الذي يمر عبره. وترتبط مسألة إيجاد أكبر مربع يقع بالكامل داخل مكعب الوحدة ارتباطًا وثيقًا بهذه المسألة، ولها الحل نفسه.

سُمّي مكعب الأمير روبرت نسبةً إلى الأمير روبرت من نهر الراين ، الذي تساءل عما إذا كان من الممكن تمرير مكعب عبر ثقب في مكعب آخر من نفس الحجم دون أن ينقسم إلى قطعتين. وقد أجاب جون واليس بالإيجاب . وبعد حوالي مئة عام، اكتشف بيتر نيولاند أكبر مكعب ممكن تمريره عبر ثقب في مكعب وحدة.

لقد ثبت أن العديد من المجسمات المحدبة الأخرى ، بما في ذلك جميع المجسمات الأفلاطونية الخمسة ، تتمتع بخاصية روبرت : حيث يمكن تمرير نسخة من المجسم، بنفس الحجم أو أكبر، عبر ثقب فيه. لم يكن معروفًا ما إذا كانت هذه الخاصية تنطبق على جميع المجسمات المحدبة حتى أواخر عام 2025، عندما دحضها الباحثان جاكوب شتاينينجر وسيرجي يوركفيتش بعد تطويرهما شكل "نوبرثيدرون". [ 1 ]

حل

إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب طول ضلعه وحدة واحدة مع تحديد الأبعاد - يوضح الخط الأخضر المتقطع مربعًا وحدة (مقطع عرضي لمكعب وحدة) في الفتحة (الخط الأزرق المتقطع).

ضع نقطتين على ضلعين متجاورين لمكعب وحدة، بحيث تبعد كل منهما مسافة 3/4 من نقطة التقاء الضلعين، ونقطتين أخريين بشكل متناظر على الوجه المقابل للمكعب. عندئذٍ، تُشكّل هذه النقاط الأربع مربعًا طول ضلعه 324≈1.0606601.{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\approx 1.0606601.} إحدى طرق فهم ذلك هي ملاحظة أن هذه النقاط الأربع تُشكّل مستطيلاً، وذلك بفضل تناظرات بنائها. أطوال جميع أضلاع هذا المستطيل الأربعة متساوية.(32)/4{\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}باستخدام نظرية فيثاغورس أو (بصورة مكافئة) صيغة المسافة الإقليدية في ثلاثة أبعاد. على سبيل المثال، تشكل النقطتان الأوليان، بالإضافة إلى النقطة الثالثة حيث يلتقي ضلعاهما، مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين طوله ضلعان.3/4{\displaystyle 3/4}والمسافة بين النقطتين الأوليين هي وتر المثلث. وبما أن الشكل الناتج عن هذه النقاط الأربع مستطيل ذو أربعة أضلاع متساوية، فهو مربع. وبمد المربع عموديًا على نفسه في كلا الاتجاهين، تتشكل فتحة يمكن من خلالها إدخال مكعب أكبر من المكعب الأصلي، حتى طول ضلعه.(32)/4{\textstyle (3{\sqrt {2}})/4}قد يمر. [ 2 ]

تُشكّل الأجزاء المتبقية من مكعب الوحدة، بعد إفراغ هذه الفتحة، منشورين مثلثين وهرمين رباعيي الأوجه غير منتظمين ، متصلين بجسور رفيعة عند رؤوس المربع الأربعة. لكل منشور ستة رؤوس: اثنان منها رؤوس مجاورة للمكعب، والأربعة المتبقية تقع على حواف المكعب، ويبعد كل منها مسافة 1/4 عن رؤوس المكعب. أما كل هرم رباعي الأوجه، فله أربعة رؤوس: رأس من رؤوس المكعب، ونقطتان تبعدان عنه مسافة 3/4 على حافتين متجاورتين، ونقطة تبعد عن رأس المكعب مسافة 3/16 على الحافة المجاورة الثالثة. [ 3 ]

مكعب وحدة به ثقب مقطوع فيه (نموذج ثلاثي الأبعاد)

تاريخ

سُمّي مكعب الأمير روبرت نسبةً إلى الأمير روبرت أمير الراين . ووفقًا لقصة رواها عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس عام 1693 ، راهن الأمير روبرت على إمكانية إحداث ثقب في مكعب، كبير بما يكفي لمرور مكعب آخر من نفس الحجم. وقد أثبت واليس إمكانية إحداث مثل هذا الثقب (مع بعض الأخطاء التي لم تُصحّح إلا بعد فترة طويلة)، وفاز الأمير روبرت برهانه. [ 4 ] [ 5 ]

افترض واليس أن الثقب سيكون موازياً لقطر فراغي للمكعب. إسقاط المكعب على مستوى عمودي على هذا القطر هو شكل سداسي منتظم ، ويمكن إيجاد أفضل ثقب موازٍ للقطر برسم أكبر مربع ممكن داخل هذا الشكل السداسي. حساب حجم هذا المربع يوضح كيف يحدد طول ضلع المكعب حجمه.

6-2≈1.03527،{\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\approx 1.03527,}

أكبر قليلاً من واحد، قادر على المرور عبر الفتحة. [ 4 ]

بعد حوالي مئة عام، اكتشف عالم الرياضيات الهولندي بيتر نيولاند أنه يمكن التوصل إلى حل أفضل باستخدام ثقب بزاوية مختلفة عن قطر الفراغ. في الواقع، يُعد حل نيولاند هو الحل الأمثل. توفي نيولاند عام ١٧٩٤، بعد عام من توليه منصب أستاذ في جامعة ليدن ، ونُشر حله بعد وفاته عام ١٨١٦ على يد أستاذه جان هنري فان سويندن . [ ٤ ] [ ٥ ] [ ٦ ]

منذ ذلك الحين، تكررت هذه المسألة في العديد من كتب الرياضيات الترفيهية ، وفي بعض الحالات تم استخدام حل واليس شبه الأمثل بدلاً من الحل الأمثل. [ 2 ] [ 3 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

نماذج

مكعب الأمير روبرت المطبوع بتقنية الطباعة ثلاثية الأبعاد
مكعب الأمير روبرت مطبوع بتقنية الطباعة ثلاثية الأبعاد بنسبة 1:1 بين المكعب الداخلي والمكعب الخارجي.

يُعدّ بناء نموذج مادي لمكعب الأمير روبرت تحديًا نظرًا للدقة المطلوبة في قياس هذا النموذج، ورقة الوصلات بين الأجزاء المتبقية من المكعب الأساسي بعد إحداث الثقب فيه. بالنسبة للمكعب الداخلي ذي الحجم الأقصى، والذي يبلغ طوله 1.06 تقريبًا مقارنةً بالمكعب الخارجي ذي الطول 1، فإن بناء نموذج له "ممكن رياضيًا ولكنه مستحيل عمليًا". [ 14 ] من ناحية أخرى، باستخدام اتجاه المكعب الأقصى ولكن مع إحداث ثقب أصغر، بحجم يكفي فقط لمكعب أساسي، يُتيح ذلك سُمكًا إضافيًا يسمح بالحفاظ على السلامة الهيكلية. [ 15 ]

في المثال الذي اقترحه الأمير روبرت باستخدام مكعبين متماثلين في الحجم، يُمكن بناء نموذج. في دراسة استقصائية للمشكلة عام ١٩٥٠، نشر دي جيه إي شريك صورًا لنموذج مكعب يمر عبر ثقب في مكعب آخر. [ ١٦ ] صمم مارتن راينسفورد قالبًا لبناء نماذج ورقية لمكعب يمر عبره مكعب آخر؛ ومع ذلك، لمراعاة دقة التصنيع الورقي وتجنب تمزق الورق عند المفاصل الضيقة بين أجزاء المكعب المثقوب، فإن الثقب في نموذج راينسفورد لا يسمح إلا بمرور مكعبات أصغر قليلًا من المكعب الخارجي. [ ١٧ ]

منذ ظهور الطباعة ثلاثية الأبعاد ، أصبح بناء مكعب الأمير روبرت بنسبة 1:1 الكاملة أمراً سهلاً. [ 18 ]

التعميمات

أشكال متعددة السطوح أخرى

متعدد السطوحP{\displaystyle P}يُقال إن متعدد السطوح ذو نفس الحجم أو أكبر ونفس الشكل يمتلك خاصية روبرت.P{\displaystyle P}يمكن أن يمر عبر ثقب فيP{\displaystyle P}[ 19 ] تتمتع جميع المجسمات الأفلاطونية الخمسة - المكعب، والهرم الرباعي المنتظم ، والهرم الثماني المنتظم ، [ 20 ] والمجسم الاثنا عشري المنتظم ، والمجسم العشري المنتظم - بخاصية روبرت. ومن بين المجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر ، من المعروف أن هذه العشرة على الأقل تتمتع بخاصية روبرت: المكعب الثماني ، والهرم الثماني المقطوع ، والمكعب المقطوع ، والمكعب الثماني المعيني ، والمجسم العشري الاثني عشري ، والمكعب الثماني المقطوع ، والمجسم العشري الاثني عشري المقطوع ، [ 21 ] والهرم الرباعي المقطوع ، [ 22 ] [ 23 ] بالإضافة إلى المجسم العشري الاثني عشري المقطوع . [ 24 ] [ 25 ]

تحتوي المكعبات وجميع الأجسام الصلبة المستطيلة على ممرات روبرت في كل اتجاه غير موازٍ لأي من أوجهها. [ 26 ]

هناك طريقة أخرى للتعبير عن المشكلة نفسها، وهي البحث عن أكبر مربع يقع داخل مكعب وحدة. وبشكل أعم، يُبين جيرارد وويتزل (2004) كيفية إيجاد أكبر مستطيل بنسبة أبعاد معينة يقع داخل مكعب وحدة. وكما لاحظا، يجب أن يكون المستطيل الأمثل متمركزًا دائمًا في مركز المكعب، مع وجود رؤوسه على حواف المكعب. وبناءً على نسبة أبعاده ، أي النسبة بين ضلعيه الطويل والقصير، توجد حالتان لكيفية وضعه داخل المكعب. بالنسبة لنسبة أبعاد تساوي2{\displaystyle {\sqrt {2}}}أو أكثر، يقع المستطيل الأمثل داخل المستطيل الذي يربط حافتين متقابلتين من المكعب، والذي له نسبة أبعاد تساوي بالضبط2{\displaystyle {\sqrt {2}}}بالنسبة لنسب الأبعاد الأقرب إلى 1 (بما في ذلك نسبة الأبعاد 1 لمربع مكعب الأمير روبرت)، يكون رأسان من رؤوس المستطيل الأمثل على مسافة متساوية من رأس المكعب، على طول ضلعين من الأضلاع الثلاثة الملامسة لذلك الرأس. أما رأسا المستطيل الآخران فهما انعكاس للرأسين الأولين حول مركز المكعب. [ 5 ] إذا لم تكن نسبة الأبعاد مقيدة، فإن المستطيل ذو المساحة الأكبر الذي يتناسب مع المكعب هو المستطيل ذو نسبة الأبعاد 1.2{\displaystyle {\sqrt {2}}}الذي له حافتان متقابلتان من المكعب كضلعين من أضلاعه، وقطران من أقطار أوجهه كضلعين آخرين. [ 27 ]

من المعروف أن أحد عشر من أصل ثلاثة عشر مجسمًا كاتالانيًا، وسبعة وثمانين من أصل اثنين وتسعين مجسمًا جونسونيًا، تمتلك خاصية روبرت. أما المجسمات الكاتالانية التي لم تُعرف خاصية روبرت لها فهي المجسم السداسي ذو الشكل الدلتاوي والمجسم السداسي ذو الشكل الخماسي . [ 28 ] أما مجسمات جونسون التي لم تُعرف خاصية روبرت لها فهي المجسم المعيني ذو الشكل الاثني عشري الدائري.ج72{\displaystyle J_{72}}، شبه متدرج المعين ذو الاثني عشر وجهًاج73{\displaystyle J_{73}}، ميتابيجرات رومبيكوسيدوديكاهيدرونج74{\displaystyle J_{74}}، ثلاثي الدوران، معيني ذو اثني عشر وجهًاج75{\displaystyle J_{75}}، ومجسم ذو اثني عشر وجهًا معينيًا متناقصًا ملتفًاج77{\displaystyle J_{77}}.

نوبرثيدرون ومتعددات السطوح غير روبرت

نوبرثيدرون

في عام 2017، تم التكهن بأن جميع المجسمات المحدبة ثلاثية الأبعاد تمتلك هذه الخاصية، [ 19 ] ولكن على النقيض من ذلك، تم التكهن بأن المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا لا يمتلك خاصية روبرت. [ 24 ] [ 25 ]

في الآونة الأخيرة، وصفت دراسة أولية لستينينجر ويوركفيتش (2025) مثالًا مضادًا أطلقوا عليه اسم "نوبرثيدرون" : وهو متعدد السطوح محدب صريح ليس من نوع روبرت. يتميز "نوبرثيدرون" بتناظر نقطي ، ويحتوي على 90 رأسًا، و240 ضلعًا، و152 وجهًا: 150 مثلثًا واثنين من المضلعات الخماسية المنتظمة ، والتي تمثل قاعدتي متعدد السطوح. [ 29 ] [ 30 ]

أبعاد أعلى

للجميعن≥2{\displaystyle n\geq 2}، الن{\displaystyle n}يتمتع المكعب الفائق ذو الأبعاد n أيضًا بخاصية روبرت. [ 31 ] علاوة على ذلك، يمكن للمرء أن يسأل عن أكبرم{\displaystyle m}مكعب فائق الأبعاد يمكن رسمه داخلن{\displaystyle n}مكعب فائق أحادي الأبعاد . الإجابة دائمًا عدد جبري . على سبيل المثال، المسألة لـ(م،ن)=(3،4){\displaystyle (m,n)=(3,4)}يطلب السؤال إيجاد أكبر مكعب (ثلاثي الأبعاد) داخل مكعب فائق رباعي الأبعاد. بعد أن طرح مارتن غاردنر هذا السؤال في مجلة ساينتفك أمريكان ، أوضحت كاي آر. بيتشينيك ديفيتشي والعديد من القراء الآخرين أن الإجابة في حالة (3،4) هي الجذر التربيعي لأصغر جذرين حقيقيين لكثير الحدود .4x4-28x3-7x2+16x+16{\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}وهو ما يعادل تقريبًا 1.007435. [ 2 ] [ 32 ] لـم=2{\displaystyle m=2}، الطول الأمثل لضلع أكبر مربع فين{\displaystyle n}المكعب الفائق ذو الأبعاد n هو إمان/2{\textstyle {\sqrt {n/2}}}أون/2-3/8{\textstyle {\sqrt {n/2-3/8}}}، وذلك بحسب مان{\displaystyle n}زوجي أو فردي على التوالي. [ 33 ]

مراجع

  1. ↑ هاسون، إيما ر. (2025-12-01). "هذا الشكل الجديد يكسر قاعدة هندسية ثلاثية الأبعاد "غير قابلة للكسر"" . مجلة ساينتفك أمريكان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-04-12 .
  2. 1 2 3 غاردنر، مارتن (2001)، كتاب الرياضيات الضخم: ألغاز ومفارقات ومسائل كلاسيكية : نظرية الأعداد، والجبر، والهندسة، والاحتمالات، والطوبولوجيا، ونظرية الألعاب، واللانهاية، ومواضيع أخرى في الرياضيات الترفيهية ، دبليو دبليو نورتون وشركاه، الصفحات 172-173 ، ISBN   9780393020236
  3. 1 2 ويلز، ديفيد (1997)، قاموس بنجوين للأرقام الغريبة والمثيرة للاهتمام ( الطبعة الثالثة)، بنجوين، ص 16، ISBN   9780140261493
  4. 1 2 3 ريكي، ف. فريدريك (2005)، مربع دورر السحري، حلقات كاردانو، مكعب الأمير روبرت، وأشياء أخرى رائعة (ملف PDF) ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2010-07-05ملاحظات خاصة بـ "الرياضيات الترفيهية: دورة قصيرة تكريماً للذكرى الـ 300 لميلاد بنجامين فرانكلين"، الجمعية الرياضية الأمريكية، ألبوكيرك، نيو مكسيكو، 2-3 أغسطس 2005
  5. 1 2 3 جيرارد، ريتشارد ب.؛ ويتزل، جون إي. (2004)، "مستطيلات الأمير روبرت"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 111 (1): 22-31 ، doi : 10.2307/4145012 ، JSTOR 4145012 ، MR 2026310  
  6. ^ سويندن، جيه إتش فان (1816)، Grondbeginsels der Meetkunde (باللغة الهولندية) ( الطبعة الثانية)، أمستردام: P. den Hengst en Zoon، الصفحات من 512 إلى 513  
  7. ↑ أوزانام، جاك (1803)، مونتوكلا، جان إتيان ؛ هاتون، تشارلز (محررون)، تسليات في الرياضيات والفلسفة الطبيعية: تحتوي على أطروحات واستفسارات مسلية تتعلق بمجموعة متنوعة من المواضيع الأكثر إثارة للاهتمام والأكثر ملاءمة لإثارة الفضول والاهتمام بكامل نطاق العلوم الرياضية والفلسفية ، جي. كيرسلي، ص 315-316 
  8. ↑ دوديني، هنري إرنست (1936)، الألغاز الحديثة وكيفية حلها ، ص 149 
  9. ↑ أوجيلفي، سي. ستانلي ( 1956)، من خلال المنظار الرياضي ، مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات 54-55 أُعيد طبعه بعنوان: أوجيلفي، سي. ستانلي (1994)، رحلات في الرياضيات ، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-28283-XMR 1313725​ 
  10. ↑ إهرنفويشت، أنيلا (1964)، المكعب المثير للاهتمام ، ترجمة زاوادوفسكي، واكلاف، نيويورك: شركة ماكميلان، ص 77، MR 0170242  
  11. ↑ ستيوارت، إيان (2001)، فلاترلاند: مثل فلاتلاند ولكن بشكل أكبر ، ماكميلان، ص 49-50 ، ISBN  9780333783122
  12. ↑ دارلينج، ديفيد (2004)، الكتاب الشامل للرياضيات: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون ، جون وايلي وأولاده، ص 255، رقم ISBN  9780471667001
  13. ↑ بيكوفر، كليفورد أ. (2009)، كتاب الرياضيات: من فيثاغورس إلى البعد 57، 250 معلمًا بارزًا في تاريخ الرياضيات ، شركة ستيرلينغ للنشر، ص 214، رقم ISBN  9781402757969
  14. ↑ سريرامان، بهارات (2009)، "الرياضيات والأدب (الجزء الثاني): الخيال كمسارٍ إلى أفكار رياضية وفلسفية متقدمة"، في سريرامان، بهارات؛ فريمان، فيكتور؛ ليريت-بيتر، نيكول (محررون)، التخصصات المتداخلة والإبداع والتعلم: الرياضيات مع الأدب والمفارقات والتاريخ والتكنولوجيا والنمذجة ، سلسلة دراسات مونتانا لعشاق الرياضيات: سلسلة دراسات في تعليم الرياضيات، المجلد 7، دار نشر عصر المعلومات، الصفحات 41-54 ، ISBN   9781607521013
  15. ↑ باركر، مات (2015)، أشياء يمكن صنعها وفعلها في البعد الرابع: رحلة عالم رياضيات عبر الأرقام النرجسية، وخوارزميات المواعدة المثلى، ونوعين على الأقل من اللانهاية، والمزيد ، نيويورك: فارار، ستراوس وجيرو، ص 98، ISBN  978-0-374-53563-6MR 3753642​ 
  16. ^ شريك، DJE (1950)، “مشكلة الأمير روبرت وامتدادها بواسطة بيتر نيولاند”، Scripta Mathematica ، 16 : 73–80 و261–267كما ورد في ريكي (2005) وجيرارد وويتزل (2004) .
  17. ↑ هارت، جورج و. (30 يناير 2012)، الاثنين الرياضي: تمرير مكعب عبر مكعب آخر ، متحف الرياضياتنُشرت في الأصل على موقع Make Online
  18. ↑ 3geek14، مكعب الأمير روبرت ، Shapeways ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2017-02-06{{citation}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  19. 1 2 جيرارد، ريتشارد ب.؛ ويتزل، جون إي.؛ يوان، ليبينغ (أبريل 2017)، "المقاطع الأفلاطونية"، مجلة الرياضيات ، 90 (2)، واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية : 87-98 ، doi : 10.4169/math.mag.90.2.87 ، S2CID 218542147 
  20. ^ Scriba، Christoph J. (1968)، “Das Trouble des Prinzen Ruprecht von der Pfalz”، Praxis der Mathematik (في المانيا)، 10 (9): 241–246 ، MR 0497615 
  21. ↑ تشاي، يينغ؛ يوان، ليبينغ؛ زامفيريسكو، تيودور (يونيو-يوليو 2018)، "خاصية روبرت للأجسام الأرخميدية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 125 (6): 497-504 ، doi : 10.1080/00029890.2018.1449505 ، S2CID 125508192 
  22. ↑ هوفمان، بالاز (2019)، "خصائص روبرت للمجسمات متعددة الأوجه وثابت نيولاند المعمم" ، مجلة الهندسة والرسومات ، 23 ( 1): 29-35
  23. ↑ لافو، جيرار (ديسمبر 2019)، "الهرم الرباعي المقطوع هو روبرت"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 126 (10): 929-932 ، doi : 10.1080/00029890.2019.1656958 ، S2CID 213502432 
  24. 1 2 ستاينينجر، جاكوب؛ يوركفيتش، سيرجي (2022)، "ملخص موسع لـ: حل مشكلة روبرت خوارزميًا" (PDF) ، مجلة ACM للاتصالات في الجبر الحاسوبي ، 56 (2): 32-35 ، doi : 10.1145/3572867.3572870 ، S2CID 253802715 
  25. 1 2 شتاينينجر، جاكوب؛ يوركفيتش، سيرجي (2023)، "نهج خوارزمي لمسألة روبرت"، رياضيات الحوسبة ، 92 (342): 1905-1929 ، arXiv : 2112.13754 ، doi : 10.1090/mcom/3831 ، MR 4570346 
  26. ↑ بيزديك، أندراس؛ غوان، زينيو؛ هوجتر، ميهالي؛ جووس، أنتال (2021)، "المكعبات والصناديق تحتوي على ممرات روبرت في كل اتجاه غير تافه"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 128 (6): 534-542 ، arXiv : 2111.03817 ، doi : 10.1080/00029890.2021.1901461 ، MR 4265479 ، S2CID 235234134  
  27. ↑ تومسون، سيلفانوس ب.؛ غاردنر، مارتن (1998)، حساب التفاضل والتكامل ببساطة ( الطبعة الثالثة)، ماكميلان، ص 315، ISBN   9780312185480
  28. ↑ فريدريكسون، ألبين (2024)، "التحسين لخاصية روبرت"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 131 (3): 255-261 ، arXiv : 2210.00601 ، doi : 10.1080/00029890.2023.2285200
  29. ↑ شتاينينجر، جاكوب؛ يوركفيتش، سيرجي (2025)، متعدد السطوح محدب بدون خاصية روبرت ، arXiv : 2508.18475
  30. ↑ كلاريش، إريكا (24 أكتوبر 2025)، أول شكل تم اكتشافه لا يمكنه المرور عبر نفسه ، مجلة كوانتا ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2025
  31. ↑ هوبر، جريج؛ شولتز، كاي بيتشينيك؛ ويتزل، جون إي. (يونيو-يوليو 2018)، " المكعب ذو البعد n هو روبرت"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 125 (6): 505-512 ، doi : 10.1080/00029890.2018.1448197 ، S2CID 51841349 
  32. ↑ جاي، ريتشارد ك .؛ نوفاكوفسكي، ريتشارد ج. (1997)، "مسائل غير محلولة: مسائل شهرية غير محلولة، 1969-1997"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 104 (10): 967-973 ، doi : 10.2307/2974481 ، JSTOR 2974481 ، MR 1543116  
  33. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو ، "نقش المربع المكعب" ، عالم الرياضيات