SIC-POVM

لنفترض مجموعة عشوائية من المساقط من الرتبة 1${\displaystyle (\Pi _{i})_{i=1}^{d^{2}}}$بحيث${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/d}$هو وجهة نظر، وبالتالي${\displaystyle {\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I}$. اشتراط أن يكون للمُسقطات حاصل ضرب داخلي متساوٍ بين كل زوج من النقاط،${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c}$للجميع${\displaystyle i\neq j}$، يحدد قيمة${\displaystyle c}$ولرؤية ذلك، لاحظ أن $${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}}$$ يشير ذلك إلى أن${\displaystyle c={\frac {1}{d+1}}}$. هكذا، $${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.}$$ هذه الخاصية هي ما يجعل SIC-POVMs متناظرة : أي زوج من العناصر له نفس حاصل الضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت مثل أي زوج آخر.

باستخدام عناصر SIC-POVM، يمكن إنشاء عامل فائق مثير للاهتمام ، مثل الذي يقوم برسم الخرائط${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$يُعد هذا العامل مفيدًا للغاية عند دراسة العلاقة بين نماذج SIC-POVMs وتصاميم t الكروية . انظر إلى الخريطة

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha}\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{محاذاة}}}$

يعمل هذا العامل على عنصر SIC-POVM بطريقة مشابهة جدًا للهوية، من حيث أن

$\begin{aligned}{\mathcal{G}}(\Pi_{\beta})&=\sum_{\alpha}\Pi_{\alpha}\left|\langle\psi_{\alpha}|\psi_{\beta}\rangle\right|^2\\&=\Pi_{\beta}+{\frac{1}{d+1}}\sum_{\alpha\neq\beta}\Pi_{\alpha}\\&=\frac{d}{d+1}}\Pi_{\beta}+{\frac{1}{d+1}}\Pi_{\beta}+{\frac{1}{d+1}}\sum_{\alpha\neq\beta}\Pi_{\alpha} }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}}$

ولكن بما أن عناصر SIC-POVM يمكنها تحديد أي حالة كمومية بشكل كامل وفريد، فإنه يمكن تطبيق هذا العامل الخطي على تحليل أي حالة، مما يؤدي إلى القدرة على كتابة ما يلي:

${\displaystyle G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)}$أين${\displaystyle I(A)=A{\text{ و }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I}$

ومن هنا، يمكن حساب المعكوس الأيسر ^{[ 5 ]} ليكون${\displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]}$وهكذا مع العلم أن

${\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]}$،

تعبير عن حالة${\displaystyle \rho }$يمكن إنشاؤها من حيث توزيع شبه احتمالي ، كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle |\rho )}$هي صيغة ديراك لمؤثر الكثافة عند النظر إليه في فضاء هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$يُظهر هذا أن التوزيع شبه الاحتمالي المناسب (الذي يُطلق عليه هذا الاسم لأنه قد يُؤدي إلى نتائج سلبية) يُمثل الحالة${\displaystyle \rho }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle (d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}}$

ل${\displaystyle d=2}$يمكن حل المعادلات التي تحدد SIC-POVM يدويًا، مما ينتج عنه المتجهات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}}$$

والتي تُشكّل رؤوس رباعي الأوجه المنتظم في كرة بلوخ . وتُعطى المساقط التي تُعرّف SIC-POVM بواسطة${\displaystyle \Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$وبالتالي فإن عناصر SIC-POVM هي${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/2=|\psi _{i}\rangle \!\langle \psi _{i}|/2}$.

أما بالنسبة للأبعاد الأعلى، فإن هذا الأمر غير ممكن، مما يستلزم استخدام نهج أكثر تطوراً.

بالنظر إلى بعض الخصائص المفيدة لمجموعات SIC-POVMs، سيكون من المفيد معرفة ما إذا كان من الممكن إنشاء مثل هذه المجموعات في فضاء هيلبرت ذي بُعد عشوائي. وقد طُرحت فرضية في الأصل في أطروحة زاونر ^{[ 8 ]} حول وجود متجه مرجعي للأبعاد العشوائية.

وبشكل أكثر تحديداً،

لكل بُعد${\displaystyle d\geq 2}$يوجد SIC-POVM عناصره هي مدار مؤثر من الرتبة الأولى الموجبة${\displaystyle E_{0}}$تحت قيادة مجموعة ويل - هايزنبرغ${\displaystyle H_{d}}$وعلاوة على ذلك،${\displaystyle E_{0}}$يتبادل مع عنصر T من مجموعة جاكوبي${\displaystyle J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})}$تأثير T على${\displaystyle H_{d}}$modulo المركز لديه الطلب الثالث.

استخدام مفهوم التغاير الجماعي على${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$ويمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي ^{[ 9 ]}

لأي بُعد${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$، يترك${\displaystyle \left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}}$أن تكون أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$، وتحديد

${\displaystyle \displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|}$

ثم${\displaystyle \exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}}$بحيث تكون المجموعة${\displaystyle \left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}$هو SIC-POVM.

لا يزال إثبات وجود SIC-POVMs للأبعاد التعسفية سؤالًا مفتوحًا، ^{[ 7 ]} ولكنه مجال بحث مستمر في مجتمع المعلومات الكمومية.

تم التوصل إلى تعابير دقيقة لمجموعات SIC لفضاءات هيلبرت بجميع الأبعاد من${\displaystyle d=2}$خلال${\displaystyle d=53}$شاملة، وفي بعض الأبعاد الأعلى تصل إلى حجم${\displaystyle d=5779}$، لـ 115 قيمة من${\displaystyle d}$إجمالاً. ^{[ أ ]} علاوة على ذلك، باستخدام تباين مجموعة هايزنبرغ على${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$تم إيجاد حلول عددية لجميع الأعداد الصحيحة حتى${\displaystyle d=193}$وفي بعض الأبعاد الأكبر تصل إلى${\displaystyle d=2208}$. ^{[ ب ]}

يوجد بناء يُعتقد أنه يعمل مع جميع الأبعاد الأولية للشكل${\displaystyle n^{2}+3}$للأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$[ ^{18 ]} وآخر يُعتقد أنه يعمل في جميع الأبعاد ^{. [ 19 ]}