مجموعة موقعة

عدد المجموعات الجزئية الموقعة لمجموعة منتهية معينة من${\displaystyle n}$العناصر هي${\displaystyle 3^{n}}$، وهي قوة للعدد ثلاثة ، لأن هناك ثلاثة خيارات لكل عنصر: قد يكون غائبًا عن المجموعة الجزئية، أو موجودًا بإشارة موجبة، أو موجودًا بإشارة سالبة. ^{[ 5 ]} وللسبب نفسه، فإن عدد المجموعات الجزئية الموقعة يساوي عدد عناصرها.${\displaystyle r}$يكون

${\displaystyle 2^{r}{\binom {n}{r}},}$

وجمع هذه النتائج يعطي مثالاً على نظرية ذات الحدين .

${\displaystyle \sum _{r}2^{r}{\binom {n}{r}}=3^{n}.}$

ينطبق نظير لنظرية إردوش-كو-رادو حول تقاطع عائلات المجموعات أيضًا على المجموعات الموقعة. يُعرَّف تقاطع مجموعتين موقعتين بأنه مجموعة العناصر الموقعة التي تنتمي إلى كلتيهما ولها نفس الإشارة في كلتيهما. وفقًا لهذه النظرية، لأي مجموعة من المجموعات الفرعية الموقعة من مجموعة${\displaystyle n}$مجموعة من العناصر، جميعها لها عدد أصلي${\displaystyle r}$وإذا كان لكل زوج تقاطع غير فارغ، فإن عدد المجموعات الفرعية الموقعة في المجموعة يكون على الأكثر

${\displaystyle 2^{r-1}{\binom {n-1}{r-1}}.}$

على سبيل المثال، يمكن الحصول على عائلة متقاطعة بهذا الحجم عن طريق اختيار إشارة عنصر ثابت واحد، واعتبار العائلة جميع المجموعات الفرعية الموقعة ذات العدد الأصلي${\displaystyle r}$التي تحتوي على هذا العنصر بهذه العلامة. لـ${\displaystyle r\leq n/2}$تستنتج هذه النظرية مباشرة من نظرية إردوش-كو-رادو غير الموقعة، حيث تشكل النسخ غير الموقعة من المجموعات الجزئية عائلة متقاطعة، ويمكن أن تتوافق كل مجموعة غير موقعة مع أكثر من${\displaystyle 2^{r-1}}$المجموعات الموقعة. ومع ذلك، بالنسبة للقيم الأكبر من${\displaystyle r}$يلزم تقديم دليل مختلف. ^{[ 3 ]}