طيف المصفوفة

في الرياضيات ، يُعرف طيف المصفوفة بأنه مجموعة قيمها الذاتية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} (وبشكل أدق، هو مجموعة متعددة من قيمها الذاتية، حيث تأتي كل قيمة ذاتية بتعددية مرتبطة بها، ولا يُعتبر طيفان متساويين إلا إذا كانت كل قيمة ذاتية لها نفس التعددية في كل طيف). وبشكل أعم، إذا${\displaystyle T\colon V\to V}$هو مؤثر خطي على أي فضاء متجهي محدود الأبعاد ، وطيفه هو مجموعة الكميات القياسية${\displaystyle \lambda }$بحيث${\displaystyle T-\lambda I}$المصفوفة غير قابلة للعكس . محدد المصفوفة يساوي حاصل ضرب قيمها الذاتية. وبالمثل، فإن أثر المصفوفة يساوي مجموع قيمها الذاتية. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} من هذا المنطلق، يمكننا تعريف المحدد الزائف لمصفوفة منفردة بأنه حاصل ضرب قيمها الذاتية غير الصفرية ( ستحتاج كثافة التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات إلى هذه الكمية).

في العديد من التطبيقات، مثل PageRank ، يهتم المرء بالقيمة الذاتية المهيمنة، أي القيمة التي لها أكبر قيمة مطلقة . وفي تطبيقات أخرى، تكون أصغر قيمة ذاتية مهمة، ولكن بشكل عام، يوفر الطيف الكامل معلومات قيّمة حول المصفوفة.

يترك${\displaystyle V'}$ليكن فضاء متجهي ذو أبعاد منتهية على حقل ما${\displaystyle K}$ولنفترض${\displaystyle T:V\to V}$هي خريطة خطية . طيف${\displaystyle T}$، المشار إليه${\displaystyle \operatorname {Spec} {T}}$أو σ _T ، هي مجموعة متعددة من جذور متعددة الحدود المميزة لـ T. وبالتالي فإن عناصر الطيف هي بالضبط القيم الذاتية لـ T ، وتعدد القيمة الذاتية λ في الطيف يساوي بُعد الفضاء الذاتي المعمم لـ T لـ λ (يسمى أيضًا التعدد الجبري لـ λ ).

لنُثبِّت الآن أساسًا B للمصفوفة V على K، ولنفترض أن M ∈ Mat _K ( V ) مصفوفة. نُعرِّف التطبيق الخطي T  : V → V نقطيًا بالعلاقة Tx = Mx ، حيث يُفسَّر x في الطرف الأيمن كمتجه عمودي، وتؤثر M على x بضرب المصفوفات . نقول الآن إن x ∈ V متجه ذاتي لـ M إذا كان x متجهًا ذاتيًا لـ T. وبالمثل، فإن λ ∈ K قيمة ذاتية لـ M إذا كانت قيمة ذاتية لـ T ، وبنفس التعددية، وطيف M ، الذي يُكتب σ _M ، هو مجموعة القيم الذاتية المتعددة.

إن تحليل القيم الذاتية (أو التحليل الطيفي) لمصفوفة قابلة للتقطير هو تحليل لمصفوفة قابلة للتقطير إلى شكل قانوني محدد حيث يتم تمثيل المصفوفة من حيث قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية.

نصف قطر الطيف لمصفوفة مربعة هو أكبر قيمة مطلقة لقيمها الذاتية. في نظرية الأطياف ، نصف قطر الطيف لمؤثر خطي محدود هو القيمة العليا للقيم المطلقة لعناصر طيف ذلك المؤثر.

• جولوب، جين هـ.؛ فان لون، تشارلز ف. (1996)، حسابات المصفوفات (  الطبعة الثالثة)، بالتيمور: مطبعة جامعة جونز هوبكنز ، ISBN 0-8018-5414-8
• هيرستين، إنديانا (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر ، رقم ISBN 978-1114541016{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كريزيج، إروين (1972)، الرياضيات الهندسية المتقدمة (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-50728-8
• نيرينج، إيفار د. (1970)، الجبر الخطي ونظرية المصفوفات (الطبعة الثانية  )، نيويورك: وايلي ، LCCN 76091646