تحويل الموجة الكروية

ناقش دوراند (1820) لأول مرة موضوع الانعكاسات التي تحافظ على الزوايا بين الدوائر، وقام كل من كيتيليه (1827) وبلوكر (1828) بكتابة صيغة التحويل المقابلة.${\displaystyle k}$كونه نصف قطر الانعكاس: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle x^{\prime}={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime}={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

أُطلق على هذه الانعكاسات لاحقاً اسم "التحويلات بواسطة أنصاف الأقطار المتبادلة"، وأصبحت أكثر شهرة عندما طبقها طومسون (1845، 1847) على الكرات ذات الإحداثيات.${\displaystyle x,y,z}$في سياق تطوير طريقة الانعكاس في علم الكهرباء الساكنة . ^{[ 15 ]} أثبت جوزيف ليوفيل (1847) معناها الرياضي من خلال إظهار أنها تنتمي إلى التحويلات المطابقة التي تنتج الشكل التربيعي التالي : ^{[ M 4 ]}

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

أظهر ليوفيل نفسه ^{[ M 5 ]} وبشكل أكثر شمولاً سوفوس لي (1871) ^{[ M 6 ]} أنه يمكن تفاضل المجموعة المطابقة ذات الصلة ( نظرية ليوفيل ): على سبيل المثال،${\displaystyle \lambda =1}$يشمل ذلك المجموعة الإقليدية للحركات العادية؛${\displaystyle \lambda \neq 1}$تحويلات المقياس أو التشابه التي يتم فيها ضرب إحداثيات التحويلات السابقة بـ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$؛ و${\displaystyle \lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$يعطي تحويل طومسون بواسطة أنصاف الأقطار المتبادلة (الانعكاسات): ^{[ M 5 ]}

${\displaystyle x^{\prime}={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime}={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {ك^{2}ض}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

وفي وقت لاحق، تم توسيع نظرية ليوفيل لتشمل${\displaystyle n}$الأبعاد حسب لي (1871) ^{[ M 6 ]} وآخرين مثل داربو (1878): ^{[ M 7 ]}

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

تحافظ هذه المجموعة من التحويلات المطابقة باستخدام أنصاف الأقطار المتبادلة على الزوايا، وتحول الكرات إلى كرات أو كرات فائقة (انظر تحويل موبيوس ، التناظر المطابق ، التحويل المطابق الخاص ). وهي مجموعة ذات 6 معلمات في المستوى R² ^، والتي تُقابل مجموعة موبيوس في المستوى العقدي الممتد ، ^{[ 16 ] [ 4 ]} ومجموعة ذات 10 معلمات في الفضاء R³ ، ومجموعة ذات 15 معلمة في ^{R⁴ .} في R² ، تُمثل هذه المجموعة جزءًا صغيرًا فقط من جميع التحويلات المطابقة فيه، بينما في R²⁺ⁿ ^{، تُطابق مجموعة جميع التحويلات} المطابقة (المقابلة لتحويلات موبيوس في الأبعاد الأعلى) فيه، وفقًا لنظرية ليوفيل. ^{[ 16 ]} غالبًا ما كانت تُطبَّق التحويلات المطابقة في الفضاء ثلاثي ^{الأبعاد} R³ على ما أسماه داربو (1873) "الإحداثيات الخماسية الكروية" من خلال ربط النقاط بإحداثيات متجانسة تستند إلى خمس كرات. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

كانت إحدى طرق حل مسائل الكرة هذه هي كتابة الإحداثيات مع نصف قطر الكرة. ^{[ 19 ]} وقد استخدم لي (1871) هذه الطريقة في سياق هندسة كرة لي، التي تمثل إطارًا عامًا لتحويلات الكرة (وهي حالة خاصة من تحويلات التماس ) التي تحافظ على خطوط الانحناء وتحول الكرات إلى كرات. ^{[ M 8 ]} تم توسيع المجموعة ذات العشرة معلمات المذكورة سابقًا في ^R³ والمتعلقة بالإحداثيات الخماسية الكروية لتشمل المجموعة ذات الخمسة عشر معلمة لتحويلات كرة لي المتعلقة بـ "الإحداثيات السداسية الكروية" (التي سماها كلاين عام 1893) بإضافة إحداثية متجانسة سادسة متعلقة بنصف القطر. ^{[ M 9 ] [ 17 ] [ 20 ]} وبما أن نصف قطر الكرة يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا، فإن كرة واحدة تقابل دائمًا كرتين محولتين. من المفيد إزالة هذا الغموض بإسناد إشارة محددة لنصف القطر، مما يُعطي الكرات اتجاهًا محددًا أيضًا، بحيث تُقابل كل كرة موجهة كرة موجهة مُحوَّلة. ^{[ 21 ]} وقد استخدم لي (1871) هذه الطريقة ضمنيًا في بعض الأحيان ^{[ M 6 ]} ، بينما قدمها لاغير (1880) صراحةً. ^{[ M 10 ]} إضافةً إلى ذلك، حوّل داربو (1887) التحويلات باستخدام مقلوب أنصاف الأقطار إلى صيغة يُمكن من خلالها تحديد نصف قطر الكرة r إذا عُرف نصف قطر الكرة الأخرى: ^{[ M 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

كان استخدام الإحداثيات مع نصف القطر مرتبطًا غالبًا بطريقة أطلق عليها كلاين (1893) اسم "الإسقاط الأدنى"، ^{[ M 12 ]} والتي أطلق عليها بلاشكه (1926) لاحقًا اسم "الإسقاط المتساوي الخواص"، مع التركيز على العلاقة بالدوائر والكرات الموجهة. ^{[ 22 ]} على سبيل المثال، دائرة ذات إحداثيات مستطيلة${\displaystyle x,y}$ونصف القطر${\displaystyle r}$في R ^2، يقابل ذلك نقطة في R ³ ذات إحداثيات${\displaystyle x,y,z}$كانت هذه الطريقة معروفة لبعض الوقت في هندسة الدائرة (وإن كان ذلك دون استخدام مفهوم التوجيه) ويمكن تمييزها بشكل أكبر اعتمادًا على ما إذا كان يتم التعامل مع الإحداثي الإضافي على أنه تخيلي أو حقيقي:${\displaystyle z=ir}$ وقد استخدمها كل من تشالس (1852)، وموبيوس (1857)، وكايلي (1867)، وداربو (1872)؛ ^{[ M 13 ]}${\displaystyle z=r}$استُخدمت هذه الطريقة من قِبل كوزينيري (1826)، ودروكنمولر (1842)، وفي "علم الدوران" لفيدلر (1882)، ولذلك سُميت الطريقة الأخيرة أيضًا "الإسقاط الدوراني" - انظر إي. مولر (1910) للاطلاع على ملخص. ^{[ 23 ]} طُبقت هذه الطريقة أيضًا على الكرات ^{[ M 14 ]} من قِبل داربو (1872)، ^{[ M 15 ]} ولي (1871)، ^{[ M 6 ]} أو كلاين (1893). ^{[ M 12 ]} ليكن${\displaystyle x,y,z,r}$و${\displaystyle x',y',z',r'}$لنفترض أن و هما إحداثيات مركز ونصف قطر كرتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ ^. إذا كانت الكرتان متلامستين ولهما نفس الاتجاه، فإن معادلتهما تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle (xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2}-(rr')^{2}=0}$.

جلسة${\displaystyle t=ir}$، تتوافق هذه الإحداثيات مع الإحداثيات المستطيلة في الفضاء رباعي الأبعاد R ⁴ : ^{[ M 15 ] [ M 12 ]}

${\displaystyle (xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2}+(tt')^{2}=0}$.

بشكل عام، بيّن لي (1871) أن تحويلات النقاط المطابقة في Rⁿ (المؤلفة من حركات، وتشابهات، وتحويلات بنصف قطر متبادل) تُقابل في ^Rⁿ⁻¹ تحويلات الكرة التي تُمثل تحويلات تماس. ^{[ M 16 ] [ 24 ] وأشار} كلاين (1893) إلى أنه باستخدام الإسقاط الأدنى على الإحداثيات السداسية الكروية، فإن تحويلات لي الكروية ذات 15 مُعاملًا في ^R³ هي ببساطة إسقاطات لتحويلات النقاط المطابقة ذات 15 مُعاملًا في ^R⁴ ، ^بينما يُمكن اعتبار النقاط في R⁴ إسقاطًا مجسمًا لنقاط كرة في ^R⁵ . [ ^{M 9 ] [ 25 ]}

أظهر هاري بيتمان وإبينزر كانينغهام (1909) ^{[ M 1 ]} أن المعادلات الكهرومغناطيسية ليست ثابتة تحت تأثير لورنتز فحسب، بل هي أيضًا ثابتة تحت تأثير المقياس والتحويل المطابق. ^{[ 26 ]} وهي ثابتة تحت تأثير مجموعة التحويلات المطابقة ذات 15 معلمة.${\displaystyle G_{15}}$(التحويلات بواسطة أنصاف الأقطار المتبادلة) في R ⁴ مما ينتج عنه العلاقة

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$،

أين${\displaystyle u=ict}$يشمل${\displaystyle t}$كمكون زمني و${\displaystyle c}$بسرعة الضوء . لاحظ باتمان (1909) أيضًا التكافؤ مع تحويلات كرة لي المذكورة سابقًا في R³ ^، لأن نصف القطر${\displaystyle r}$يمكن تفسير المصطلحات المستخدمة فيها على أنها نصف القطر${\displaystyle ct}$موجة كروية تنكمش أو تتمدد مع${\displaystyle c}$لذلك أطلق عليها اسم "تحولات الموجة الكروية". ^{[ م 17 ]} وكتب: ^{[ م 18 ]}

عندما نستخدم تمثيل داربو لنقطة في${\displaystyle S_{4}}$بواسطة موجة كروية في${\displaystyle S_{3}}$المجموعة${\displaystyle G_{15}}$تُصبح هذه المجموعة من تحويلات الموجات الكروية مجموعةً تُحوّل موجةً كرويةً إلى موجةٍ كرويةٍ أخرى. وقد ناقشها إس. لي؛ وهي مجموعة التحويلات التي تُحوّل خطوط الانحناء على سطحٍ مُحاطٍ بموجاتٍ كرويةٍ إلى خطوط انحناءٍ على السطح المُحاط بموجاتٍ كرويةٍ مُناظرة.

اعتمادا علي${\displaystyle \lambda }$يمكن تصنيفها إلى مجموعات فرعية: ^{[ 27 ]}

(أ)${\displaystyle \lambda =1}$تُقابل هذه التحويلات عمليات تحويل لا تقتصر على تحويل الكرات إلى كرات فحسب، بل تشمل أيضًا تحويل المستويات إلى مستويات. تُسمى هذه التحويلات بتحويلات/انعكاسات لاغير ، التي تُشكل مجموعة لاغير، والتي تُقابل في الفيزياء تحويلات لورنتز التي تُشكل مجموعة لورنتز ذات 6 معاملات أو مجموعة بوانكاريه ذات 10 معاملات مع الإزاحات. ^{[ 28 ]}

(ب)${\displaystyle \lambda \neq 1}$يمثل هذا التحويل تحويلات المقياس أو التشابه عن طريق ضرب متغيرات الزمكان لتحويلات لورنتز بمعامل ثابت يعتمد على${\displaystyle \lambda }$^{[ 29 ]} على سبيل المثال ، إذا${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$إذا تم استخدامها، فإن التحويل الذي قدمه بوانكاريه في عام 1905 يتبع: ^{[ M 19 ]}

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(tx{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

ومع ذلك، فقد أظهر بوانكاريه وأينشتاين أن فقط${\displaystyle l=1}$ينتج مجموعة تمثل تناظرًا لجميع قوانين الطبيعة كما هو مطلوب بموجب مبدأ النسبية (مجموعة لورنتز)، في حين أن مجموعة تحويلات المقياس هي مجرد تناظر للبصريات والديناميكا الكهربائية.

(ج) الإعداد${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$يتعلق الأمر بشكل خاص بالمجموعة المطابقة الواسعة للتحويلات بواسطة أنصاف الأقطار المتبادلة. وهي تتكون من تحويلات أولية تمثل انعكاسًا معمّمًا إلى كرة فائقة رباعية الأبعاد : ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

والتي تصبح تحويلات موجية كروية حقيقية بدلالة هندسة كرة لي إذا كان نصف القطر الحقيقي${\displaystyle ct}$يتم استخدامها بدلاً من${\displaystyle u=ict}$، هكذا${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$معطى في المقام. ^{[ M1 ]}

أشار فيليكس كلاين (1921) إلى تشابه هذه العلاقات مع أبحاث لي وأبحاثه الخاصة عام 1871، مضيفًا أن المجموعة المطابقة لا تحمل نفس معنى مجموعة لورنتز، لأن الأولى تنطبق على الديناميكا الكهربائية بينما الثانية تمثل تناظرًا لجميع قوانين الطبيعة، بما في ذلك الميكانيكا. ^{[ M 20 ]} نوقشت إمكانية التحويلات المطابقة لبعض الوقت، وما إذا كانت تسمح بالتحويل إلى أطر متسارعة بانتظام. ^{[ 31 ]} لاحقًا، اكتسبت خاصية الثبات المطابق أهمية مجددًا في مجالات معينة، مثل نظرية الحقل المطابق . ^{[ 32 ]}

اتضح أن المجموعة المطابقة ذات 6 معلمات لـ R ² (أي مجموعة موبيوس المكونة من التشاكلات الذاتية لمجال ريمان )، ^{[ 4 ]} والتي بدورها متماثلة مع مجموعة الحركات الزائدية ذات 6 معلمات (أي التشاكلات الذاتية المتساوية القياس للفضاء الزائدي ) في R ³ ، ^{[ 33 ]} يمكن تفسيرها فيزيائيًا: إنها متماثلة مع مجموعة لورنتز.

على سبيل المثال، بدأ فريك وكلاين (1897) بتعريف مقياس كايلي "المطلق" من حيث سطح منحني من الدرجة الثانية مكون من جزء واحد، والذي يمكن تمثيله بواسطة كرة يمثل داخلها فضاء زائدي بالمعادلة ^{[ 34 ].}

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$،

أين${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$هي إحداثيات متجانسة. وأشاروا إلى أن حركات الفضاء الزائدي إلى داخله تُحوّل هذه الكرة إلى داخله أيضًا. وقد طوروا التحويل المقابل بتعريف مُعامل مُركب.${\displaystyle \xi }$من الكرة ^{[ 35 ]}

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

وهو ما يرتبط بمعامل آخر${\displaystyle \xi '}$عن طريق الاستبدال

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

أين${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$هي معاملات مركبة. وقد أظهروا كذلك أنه من خلال تحديد${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$، تأخذ العلاقات المذكورة أعلاه الشكل من حيث كرة الوحدة في R ³ : ^{[ 36 ]}

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

وهو مطابق للإسقاط المجسم لـ${\displaystyle \xi }$المستوى - على سطح كروي سبق أن حدده كلاين في عام 1884. ^{[ M 21 ]} منذ عمليات الاستبدال${\displaystyle \xi ,\xi '}$هي تحويلات موبيوس ( بالألمانية : Kreisverwandtschaften ) في${\displaystyle \xi }$-الطائرة أو فوقها${\displaystyle \xi }$وخلصوا إلى أنه من خلال القيام بحركة عشوائية للفضاء الزائدي في حد ذاته،${\displaystyle \xi }$تخضع الكرة لتحويل موبيوس، وأن المجموعة الكاملة للحركات الزائدية تعطي جميع تحويلات موبيوس المباشرة، وأخيراً فإن أي تحويل موبيوس مباشر يتوافق مع حركة في الفضاء الزائدي. ^{[ 37 ]}

استنادًا إلى عمل فريكه وكلاين، أثبت غوستاف هيرغلوتز (1909) تماثل مجموعة الحركات الزائدية (وبالتالي مجموعة موبيوس) مع مجموعة لورنتز . ^{[ M 22 ]} أي أن مقياس مينكوفسكي يتطابق مع مقياس كايلي المذكور أعلاه (المبني على مقطع مخروطي حقيقي )، إذا تم تحديد إحداثيات الزمكان بالإحداثيات المتجانسة المذكورة أعلاه.

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$،

وبذلك تصبح المعلمة المذكورة أعلاه

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$مرة أخرى مرتبطين عن طريق الاستبدال${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$.

وخلص هيرغلوتز إلى أن أي استبدال من هذا القبيل يُقابل تحويل لورنتز، مما يُرسي تطابقًا تامًا مع الحركات الزائدية في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ ^. كما أشار كلاين (1910) ^{[ M 23 ]} وباولي (1921) ^{[ 38 ]} إلى العلاقة بين زمرة لورنتز ومقياس كايلي في الفضاء الزائدي . وقد استُخدم التشاكل المقابل لزمرة موبيوس مع زمرة لورنتز، من بين آخرين، من قِبل روجر بنروز .

سبق ذكر العلاقة بين التحويلات المطابقة والإحداثيات التي تشمل نصف قطر الكرات ضمن هندسة كرة لي. الحالة الخاصة${\displaystyle \lambda =1}$يتوافق هذا مع تحويل كروي قدمه إدموند لاغير (1880-1885)، الذي أطلق عليه اسم "التحويل بالاتجاهات المتبادلة"، والذي وضع أسس هندسة الكرات والمستويات الموجهة . ^{[ M 10 ] [ 5 ] [ 6 ]} ووفقًا لداربو ^{[ M 24 ]} وباتمان، ^{[ M 2 ]} فقد نوقشت علاقات مماثلة سابقًا من قبل ألبرت ريبوكور (1870) ^{[ M 25 ]} ولي نفسه (1871). ^{[ M 6 ]} وأشار ستيفانوس (1881) إلى أن هندسة لاغير هي في الواقع حالة خاصة من هندسة الكرات للي. ^{[ M 26 ]} كما مثّل الكرات الموجهة للاغير باستخدام الكواترنيونات (1883). ^{[ M 27 ]}

Lines, circles, planes, or spheres with radii of certain orientation are called by Laguerre half-lines, half-circles (cycles), half-planes, half-spheres, etc. A tangent is a half-line cutting a cycle at a point where both have the same direction. The transformation by reciprocal directions transforms oriented spheres into oriented spheres and oriented planes into oriented planes, leaving invariant the "tangential distance" of two cycles (the distance between the points of each one of their common tangents), and also conserves the lines of curvature.^[39] Laguerre (1882) applied the transformation to two cycles under the following conditions: Their radical axis is the axis of transformation, and their common tangents are parallel to two fixed directions of the half-lines that are transformed into themselves (Laguerre called this specific method the "transformation by reciprocal half-lines", which was later called "Laguerre inversion"^[40][41]). Setting ${\displaystyle R}$ and ${\displaystyle R'}$ as the radii of the cycles, and ${\displaystyle D}$ and ${\displaystyle D'}$ as the distances of their centers to the axis, he obtained:^{[M 28]}

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

with the transformation:^{[M 29]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Darboux (1887) obtained the same formulas in different notation (with ${\displaystyle z=D}$ and ${\displaystyle k=\alpha }$) in his treatment of the "transformation by reciprocal directions", though he included the ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ coordinates as well:^{[M 30]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

with

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

consequently he obtained the relation

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

كما ذُكر سابقًا، يمكن تمثيل الكرات الموجهة في ^{الفضاء ثلاثي الأبعاد} R³ بنقاط من الفضاء رباعي الأبعاد R⁴ باستخدام الإسقاط الأدنى (التناظر)، الذي اكتسب أهمية خاصة في هندسة لاغير. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، استند إي. مولر (1898) في مناقشته للكرات الموجهة إلى إمكانية تمثيلها على نقاط مشعب مستوٍ رباعي الأبعاد (والذي شبّهه بـ"علم الدوران" لفيدلر عام 1882). وقارن بشكل منهجي التحويلات باستخدام أنصاف الأقطار المقلوبة (مُطلقًا عليها "الانعكاس عند الكرة") مع التحويلات باستخدام الاتجاهات المقلوبة (مُطلقًا عليها "الانعكاس عند مُركّب الكرة المستوية"). ^{[ M 31 ]} بعد ورقة مولر، ناقش سميث (1900) تحويل لاغير و"مجموعة هندسة الاتجاهات المقلوبة" ذات الصلة. بالإشارة إلى معالجة كلاين (1893) للإسقاط الأدنى، أوضح أن هذه المجموعة "متماثلة تمامًا مع مجموعة جميع الإزاحات وتحويلات التناظر في فضاء رباعي الأبعاد". ^{[ M 32 ]} وقد حصل سميث على التحويل نفسه الذي حصل عليه لاغير وداربو، ولكن بصيغة مختلفة، وأطلق عليه اسم "الانعكاس إلى مُركّب كروي": ^{[ M 33 ]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

مع العلاقات

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

في عام 1905، أشار كل من بوانكاريه وأينشتاين إلى أن تحويل لورنتز للنسبية الخاصة (وضع${\displaystyle c=1}$)

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

ينهي العلاقة${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$ثابت. ^{[ 2 ]} أكد أينشتاين على أن هذا التحويل يحول الموجة الضوئية الكروية في إطار مرجعي إلى موجة ضوئية كروية في إطار مرجعي آخر. ^{[ 42 ]} بيّن بوانكاريه أن تحويل لورنتز يمكن اعتباره دورانًا في فضاء رباعي الأبعاد مع الزمن كإحداثي رابع، وقد عمّق مينكوفسكي هذا الفهم بشكل أكبر (انظر تاريخ النسبية الخاصة ).

كما هو موضح أعلاه، فإن تحويل لاغير بواسطة الاتجاهات المتبادلة أو أنصاف الخطوط - والذي يُطلق عليه لاحقًا انعكاس لاغير ^{[ 40 ] [ 41 ]} - بالشكل الذي قدمه داربو (1887) يترك التعبير${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$ثابت. لاحقًا، لاحظ العديد من المؤلفين العلاقة بتحويل لورنتز. على سبيل المثال، جادل بيتمان (1910) بأن هذا التحويل (الذي نسبه إلى ريباكور) "مطابق" لتحويل لورنتز. ^{[ M2 ]} على وجه الخصوص، جادل (1912) بأن الصيغة التي قدمها داربو (1887) تتوافق مع تحويل لورنتز في${\displaystyle z}$الاتجاه، إذا${\displaystyle R=ct}$،${\displaystyle R'=ct'}$و${\displaystyle k}$تُستبدل الحدود بالسرعات. ^{[ M 34 ]} كما رسم باتمان (1910) تمثيلات هندسية للكرات الضوئية النسبية باستخدام هذه الأنظمة الكروية. ^{[ M 35 ] [ 43 ]} ومع ذلك، رد كوبوتا (1925) على باتمان بالقول إن انعكاس لاغير هو تحويل انعكاسي، بينما تحويل لورنتز ليس كذلك. وخلص إلى أنه لجعلهما متكافئين، يجب دمج انعكاس لاغير مع عكس اتجاه الدورات. ^{[ M 36 ]}

يمكن أيضًا توضيح العلاقة المحددة بين تحويل لورنتز وانعكاس لاغير على النحو التالي (انظر HR Müller (1948) ^{[ M 37 ]} للاطلاع على صيغ مماثلة برموز مختلفة). صيغ انعكاس لاغير من عام 1882 (المكافئة لصيغ داربو في عام 1887) هي:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

عن طريق الضبط

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

ويتبع ذلك

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

وأخيراً عن طريق الإعداد${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$يصبح انعكاس لاغير مشابهًا جدًا لتحويل لورنتز باستثناء أن التعبير${\displaystyle t-vx}$يتم عكسها إلى${\displaystyle wx-t}$:

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

بحسب مولر، يمكن اعتبار تحويل لورنتز نتاج عدد زوجي من انعكاسات لاغير التي تغير الإشارة. أولاً، يتم إجراء انعكاس في المستوى${\displaystyle \pi _{1}}$وهو مائل بالنسبة للمستوى${\displaystyle \pi }$تحت زاوية معينة، متبوعة بانعكاس آخر للعودة إلى${\displaystyle \pi }$. ^{[ M 37 ]} انظر القسم #مجموعة لاغير المتماثلة مع مجموعة لورنتز لمزيد من التفاصيل حول العلاقة بين انعكاس لاغير والمتغيرات الأخرى لتحويلات لاغير.

استخدم تيمردينغ (1911) ^{[ M 38 ]} مفهوم لاغير عن الكرات الموجهة لتمثيل واستنتاج تحويل لورنتز. بافتراض وجود كرة نصف قطرها${\displaystyle r}$، مع${\displaystyle x}$وباعتبارها المسافة بين مركزها والمستوى المركزي، فقد حصل على العلاقات مع كرة مقابلة

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

مما أدى إلى التحول

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

عن طريق الضبط${\displaystyle \lambda =v/c}$و${\displaystyle r=ct}$، ويصبح ذلك تحول لورنتز.

بعد تيمردينج وباتمان، قام أوجورا (1913) بتحليل تحويل لاغير من الشكل ^{[ M 39 ].}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$،

والتي تصبح تحويل لورنتز مع

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$   ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

وذكر أن "تحويل لاغير في تعددية الكرة يعادل تحويل لورنتز في تعددية الزمكان".

كما هو موضح أعلاه، يمكن ربط مجموعة تحويلات النقاط المطابقة في ^Rⁿ ( المؤلفة من الحركات والتشابهات والانعكاسات) عبر الإسقاط الأدنى بمجموعة تحويلات التماس في Rⁿ⁻¹ التي تحول الدوائر أو الكرات إلى دوائر أو كرات أخرى. إضافةً إلى ذلك، أشار لي (1871، 1896) إلى وجود مجموعة فرعية من تحويلات النقاط ذات سبعة معلمات في R³ ^، تتألف من الحركات والتشابهات، والتي تُقابل، باستخدام الإسقاط الأدنى، مجموعة فرعية من تحويلات التماس ذات سبعة معلمات ^في R² التي تحول الدوائر إلى دوائر. ^{[ M 40 ]} وقد دُرست هذه العلاقات بتوسع من قِبل سميث (1900)، ^{[ M 32 ]} وبلاشكه (1910)، ^{[ M 41 ]} وكوليدج (1916) ^{، [ 44 ]} وغيرهم، الذين أشاروا إلى الصلة بهندسة لاغير للاتجاهات المتبادلة المتعلقة بالخطوط والدوائر والمستويات والكرات الموجهة. لذلك، أطلق سميث (1900) عليها اسم "مجموعة هندسة الاتجاهات المتبادلة"، ^{[ M 32 ]} واستخدم بلاشكه (1910) مصطلح "مجموعة لاغير". ^{[ M 41 ] تتكون "مجموعة لاغير الموسعة "} من حركات وتشابهات، ولها 7 معاملات في R² لتحويل الخطوط والدوائر الموجهة، أو 11 معاملًا في R³ لتحويل ^{المستويات} والكرات الموجهة. إذا استُبعدت التشابهات، تصبح "مجموعة لاغير المقيدة" التي لها 6 معاملات في ^R² و 10 معاملات في R³ ، وتتكون من حركات تحافظ على الاتجاه أو تعكسه، وتحافظ على المسافة المماسية بين الدوائر أو الكرات الموجهة. ^{[ M 42 ] [ 45 ]} لاحقًا، أصبح من الشائع أن يشير مصطلح "مجموعة لاغير" فقط إلى مجموعة لاغير المقيدة ^{. [ 45 ] [ 46 ]} كما لوحظ أن مجموعة لاغير جزء من مجموعة أوسع تحافظ على المسافات المماسية، أطلق عليها شيفرز (1905) اسم "مجموعة الأطوال المتساوية". ^{[ M 43 ] [ 47 ]}

في R ^2، تحافظ مجموعة لاغير على العلاقة ثابتة${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$ويمكن تعميم ذلك على أي R ⁿ أيضًا. ^{[ 48 ]} على سبيل المثال، في R ^3، فإنه يُبقي العلاقة ثابتة${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$[ ^{49 ] هذا} يعادل العلاقة${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$في الفضاء R ^4، باستخدام الإسقاط الأدنى (التناظر) بإحداثيات نصف قطر تخيلية ، أو الإسقاط الدائري (في الهندسة الوصفية ) بإحداثيات نصف قطر حقيقية. ^{[ 9 ]} يمكن تصنيف التحويلات التي تُشكل مجموعة لاغير إلى "تحويلات لاغير المباشرة" التي تتعلق بالحركات التي تحافظ على كلٍ من المسافة المماسية والإشارة؛ أو "تحويلات لاغير غير المباشرة" التي تتعلق بالحركات التي تعكس الاتجاه، مع الحفاظ على المسافة المماسية وعكس الإشارة. ^{[ M 43 ] [ 50 ]} إن انعكاس لاغير، الذي قدمه لاغير لأول مرة عام 1882، هو انعكاسي ، وبالتالي فهو ينتمي إلى تحويلات لاغير غير المباشرة. لم يتطرق لاغير نفسه إلى المجموعة المتعلقة بانعكاسه، ولكن اتضح أن كل تحويل لاغير يمكن توليده من خلال أربعة انعكاسات لاغير على الأكثر، وأن كل تحويل لاغير مباشر هو نتاج تحويلين انعكاسيين، وبالتالي فإن انعكاسات لاغير ذات أهمية خاصة لأنها عوامل مولدة لمجموعة لاغير بأكملها. ^{[ M 44 ] [ 51 ]}

لوحظ أن مجموعة لاغير متماثلة بالفعل مع مجموعة لورنتز (أو مجموعة بوانكاريه إذا تم تضمين الإزاحات)، حيث أن كلتا المجموعتين تحافظان على الشكل ثابتًا${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$بعد المقارنة الأولى بين تحويل لورنتز وانعكاس لاغير التي أجراها باتمان (1910) كما ذُكر سابقًا ، أشار كارتان إلى تكافؤ المجموعتين في عامي 1912 ^{[ M 45 ]} و1914 ^{[ M 46 ]} ، ثم توسع في شرحه عام 1915 (نُشرت عام 1955) في النسخة الفرنسية من موسوعة كلاين . ^{[ 8 ]} كما كتب بوانكاريه (1912، نُشرت عام 1921): ^{[ M 3 ] [ 52 ]}

قدّم السيد كارتان مؤخرًا مثالًا مثيرًا للاهتمام. نعلم أهمية ما يُعرف بمجموعة لورنتز في الفيزياء الرياضية؛ فهذه المجموعة هي التي بُنيت عليها أفكارنا الجديدة حول مبدأ النسبية وديناميكيات الإلكترون. من جهة أخرى، أدخل لاغير في الهندسة مجموعة من التحويلات التي تُحوّل الكرات إلى كرات. هاتان المجموعتان متماثلتان، بحيث لا تُظهر النظريتان، إحداهما فيزيائية والأخرى هندسية، أي فرق جوهري من الناحية الرياضية. ^{[ M 47 ]}

ومن بين الذين لاحظوا هذه الصلة أيضاً: كوليدج (1916)، [9] كلاين وبلاشكه ( 1926 ^{) ، [} 10 ] بلاشكه ^{( 1929 )} ، ^{[ 11 ]} إتش آر مولر ، ^{[ M 48 ]} كونلي وفلادت (1970)، ^{[ 12 ]} بنز (1992). ^{[ 13 ]} وقد أشير إلى ذلك مؤخراً:

تحويل لاغير (تحويل L) هو تطبيق تقابلي على مجموعات المستويات والكرات الموجهة، على التوالي، ويحافظ على التماس بين المستوى والكرة. يسهل فهم تحويلات L باستخدام ما يُسمى بالنموذج الدائري لهندسة لاغير. في هذا النموذج، تكون الكرة الموجهة${\displaystyle S}$يتم تمثيلها كنقطة${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$مستوى موجه${\displaystyle P}$في${\displaystyle E^{3}}$يمكن تفسيرها على أنها مجموعة جميع الكرات الموجهة التي تمس إلى${\displaystyle P}$رسم الخرائط${\displaystyle P}$عبر هذه المجموعة من الكرات إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$يجد المرء مستوىً فائقًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$وهو موازٍ لمستوى مماس للمخروط${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$في النموذج الدائري، يُنظر إلى تحويل L على أنه خريطة أفينية خاصة (تحويل لورنتز)،...