كروي

يُقاس محيط الشكل الكروي عند خط الاستواء حول خط استوائه ، ويُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle C_{\text{e}}=2\pi a}$

يُقاس محيط الشكل الكروي، سواءً كان محيطاً طولياً أو قطبياً، من خلال قطبيه ، ويُعطى على النحو التالي: $${\displaystyle C_{\text{p}}\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$محيط الحجم للشكل الكروي هو محيط كرة لها نفس حجم الشكل الكروي، ويُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle C_{\text{v}}=2{\sqrt[{3}]{a^{2}c}}}$

يكون للشكل الكروي المفلطح الذي يكون فيه c < a مساحة سطحية

${\displaystyle S_{\text{o}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e_{o}^{2}}{e_{o}}}\operatorname {arctanh} e_{o}\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e_{o}}}\ln \left({\frac {1+e_{o}}{1-e_{o}}}\right)}$

أين${\displaystyle e_{o}^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$. يكون للشكل الكروي المطاول الذي يكون فيه c > a مساحة سطحية

${\displaystyle S_{\text{p}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae_{p}}}\arcsin \,e_{p}\right)}$

أين${\displaystyle e_{p}^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$ في كلتا الحالتين، يمكن تحديد e _o و e _p على أنهما الانحراف المركزي (انظر الشكل البيضاوي ). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تتطابق هاتان الصيغتان بمعنى أنه يمكن استخدام صيغة S _o لحساب مساحة سطح القطع الناقص المطاول، والعكس صحيح. مع ذلك، تصبح e _o عدداً تخيلياً ، ولا يمكن ربطها مباشرةً بالانحراف المركزي. يمكن صياغة كلتا النتيجتين بأشكال أخرى عديدة باستخدام المتطابقات الرياضية القياسية والعلاقات بين معلمات القطع الناقص.

حجم الجزء الداخلي من شكل كروي (من أي نوع) هو

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

إذا كان A = 2a هو القطر الاستوائي، و C = 2c هو القطر القطبي، فإن الحجم هو

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

لنفترض أن شكلًا كرويًا يمكن تمثيله بالمعاملات التالية:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

حيث β هي خط العرض المُختزل أو خط العرض البارامتري ، و λ هي خط الطول ، مع نطاق −π / 2 < β < + π / 2 و− π < λ < +π على التوالي . عندئذٍ، يكون انحناء غاوس للشكل الإهليلجي كما يلي :

${\displaystyle K(\beta )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

ومتوسط ​​انحنائها هو

${\displaystyle H(\beta )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

كلا هذين الانحناءين هما دالة لخط العرض فقط وهما دائمًا موجبان، بحيث تكون كل نقطة على شكل كروي بيضاوية.

نسبة أبعاد الشكل البيضاوي المفلطح، c  : a ، هي نسبة الطول القطبي إلى الطول الاستوائي، بينما التسطح (يسمى أيضًا التفلطح ) f ، هو نسبة الفرق بين الطول الاستوائي والقطبي إلى الطول الاستوائي:

${\displaystyle f={\frac {ac}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

يُستخدم مصطلح "الانحراف المركزي الأول" (عادةً ما يُشار إليه ببساطة بـ"الانحراف المركزي"، كما ذُكر أعلاه) غالبًا بدلاً من مصطلح "التسطيح". ^{[ 4 ]} ويُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

العلاقات بين اللامركزية والتسطيح هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

تُعرَّف جميع الأشكال الإهليلجية الجيوديسية الحديثة بنصف المحور الأكبر بالإضافة إلى إما نصف المحور الأصغر (مما يُعطي نسبة العرض إلى الارتفاع)، أو التسطح، أو الانحراف المركزي الأول. ورغم أن هذه التعريفات قابلة للتبادل رياضيًا، إلا أن الحسابات العملية تتطلب فقدان بعض الدقة. ولتجنب الالتباس، يعتبر تعريف الشكل الإهليلجي قيمه دقيقة في صيغتها المُعطاة.

يُعدّ الشكل الكروي المفلطح الشكل التقريبي للكواكب الدوارة والأجرام السماوية الأخرى ، بما في ذلك الأرض وزحل والمشتري ونجم النسر الطائر سريع الدوران . يُعتبر زحل أكثر الكواكب تفلطحًا في المجموعة الشمسية ، حيث تبلغ نسبة تفلطحه 0.09796. ^{[ 5 ]} انظر تفلطح الكواكب وانتفاخها الاستوائي لمزيد من التفاصيل.

استنتج العالم إسحاق نيوتن ، من عصر التنوير ، انطلاقاً من تجارب البندول التي أجراها جان ريشر ونظريات كريستيان هويغنز لتفسيرها، أن كوكب المشتري والأرض كرويان مفلطحان بسبب قوة الطرد المركزي . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} وتعتمد أنظمة الخرائط والجيوديسيا المتنوعة للأرض على أشكال بيضاوية مرجعية ، جميعها مفلطحة.

يُعد الشكل الكروي المطاول الشكل التقريبي للكرة المستخدمة في كرة القدم الأمريكية والرجبي .

تتخذ العديد من أقمار المجموعة الشمسية شكلاً كروياً مطولاً تقريباً، على الرغم من أنها أقرب إلى شكل الإهليلج ثلاثي المحاور . ومن الأمثلة على ذلك أقمار زحل ميماس وإنسيلادوس وتيثيس ، وقمر أورانوس ميراندا .

على عكس التحوّل إلى أشكال كروية مفلطحة بفعل الدوران السريع، تتحوّل الأجرام السماوية قليلاً إلى أشكال كروية متطاولة بفعل قوى المد والجزر عندما تدور حول جسم ضخم في مدار قريب. وأبرز مثال على ذلك هو قمر آيو التابع لكوكب المشتري ، الذي يصبح أكثر أو أقل تطاولاً في مداره نتيجة انحراف مداري طفيف، مما يُسبب نشاطاً بركانياً مكثفاً . في هذه الحالة، لا يمر المحور الرئيسي للشكل الكروي المتطاول عبر قطبي القمر، بل يمر عبر النقطتين على خط استوائه المواجهتين مباشرةً للجسم الرئيسي والبعيدتين عنه. ويتحد هذا مع التحوّل المفلطح الأصغر الناتج عن الدوران المتزامن ليجعل الجسم ثلاثي المحاور.

يُستخدم المصطلح أيضًا لوصف شكل بعض السدم مثل سديم السرطان . ^{[ 9 ]} مناطق فريسنل ، المستخدمة لتحليل انتشار الموجات والتداخل في الفضاء، هي سلسلة من الأشكال الكروية المتطاولة متحدة المركز ذات محاور رئيسية محاذية لخط الرؤية المباشر بين جهاز الإرسال وجهاز الاستقبال.

تتخذ النوى الذرية لعناصر الأكتينيدات واللانثانيدات شكلاً كروياً ممدوداً. ^{[ 10 ]} في علم التشريح، يمكن قياس الأعضاء شبه الكروية، مثل الخصية، من خلال محوريها الطويل والقصير . ^{[ 11 ]}

تتميز العديد من الغواصات بشكل يمكن وصفه بأنه كروي ممدود. ^{[ 12 ]}

بالنسبة لجسم كروي ذي كثافة منتظمة، يكون عزم القصور الذاتي مماثلاً لعزم القصور الذاتي لجسم بيضاوي ذي محور تناظر إضافي. بافتراض وصف الجسم الكروي بأنه ذو محور رئيسي c ومحورين ثانويين a = b ، فإن عزوم القصور الذاتي على طول هذه المحاور الرئيسية هي C و A و B. مع ذلك، في الجسم الكروي، تكون المحاور الثانوية متناظرة. لذا، فإن حدود القصور الذاتي على طول المحاور الرئيسية هي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

حيث M هي كتلة الجسم المعرفة على النحو التالي

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$