التحكم العشوائي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

التحكم العشوائي، أو التحكم الأمثل العشوائي، هو فرع من فروع نظرية التحكم ، ويتناول وجود عدم اليقين، سواء في الملاحظات أو في التشويش الذي يُحرك تطور النظام. يفترض مصمم النظام، وفقًا لمنهجية بايزية تعتمد على الاحتمالات ، أن التشويش العشوائي ذي التوزيع الاحتمالي المعروف يؤثر على تطور وملاحظة متغيرات الحالة. يهدف التحكم العشوائي إلى تصميم المسار الزمني للمتغيرات المتحكم بها، بحيث يُنفذ مهمة التحكم المطلوبة بأقل تكلفة، مُحددة بطريقة ما، على الرغم من وجود هذا التشويش. [ 1 ] قد يكون السياق زمنيًا منفصلاً أو زمنيًا متصلاً .

تكافؤ اليقين

يُعدّ التحكم الخطي التربيعي الغاوسي أحد أكثر الصيغ دراسةً في مجال التحكم العشوائي . في هذه الصيغة، يكون النموذج خطيًا، ودالة الهدف هي القيمة المتوقعة لصيغة تربيعية، والاضطرابات جمعية بحتة. ومن النتائج الأساسية للأنظمة المركزية ذات الزمن المتقطع والتي لا تتضمن سوى عدم يقين جمعي، خاصية التكافؤ اليقيني : [ 2 ] أي أن حل التحكم الأمثل في هذه الحالة هو نفسه الذي يُحصل عليه في غياب الاضطرابات الجمعية. تنطبق هذه الخاصية على جميع الأنظمة المركزية ذات معادلات التطور الخطية، ودالة التكلفة التربيعية، والضوضاء التي تدخل النموذج بشكل جمعي فقط؛ إذ يسمح الافتراض التربيعي بأن تكون قوانين التحكم الأمثل، التي تتبع خاصية التكافؤ اليقيني، دوالًا خطية لملاحظات وحدات التحكم.

أي انحراف عن الافتراضات المذكورة أعلاه - كمعادلة حالة غير خطية، أو دالة هدف غير تربيعية، أو تشويش في المعاملات الضربية للنموذج، أو لا مركزية التحكم - يؤدي إلى عدم تحقق خاصية التكافؤ اليقيني. على سبيل المثال، تم إثبات عدم تحققها في حالة التحكم اللامركزي في المثال المضاد الذي قدمه ويتسنهاوزن .

الزمن المنفصل

في سياق زمني منفصل، يراقب متخذ القرار متغير الحالة، مع احتمال وجود تشويش في الملاحظات، في كل فترة زمنية. قد يكون الهدف هو تحسين مجموع القيم المتوقعة لدالة هدف غير خطية (ربما تربيعية) على جميع الفترات الزمنية من الوقت الحاضر إلى الفترة الأخيرة المعنية، أو تحسين قيمة دالة الهدف في الفترة الأخيرة فقط. في كل فترة زمنية، تُجرى ملاحظات جديدة، ويتم ضبط متغيرات التحكم على النحو الأمثل. قد يتضمن إيجاد الحل الأمثل للوقت الحالي تكرار معادلة ريكاتي المصفوفية عكسيًا في الزمن من الفترة الأخيرة إلى الفترة الحالية.

في حالة الزمن المتقطع مع وجود عدم يقين بشأن قيم المعاملات في مصفوفة الانتقال (مما يُظهر تأثير القيم الحالية لمتغيرات الحالة على تطورها) و/أو مصفوفة استجابة التحكم لمعادلة الحالة، ولكن مع معادلة حالة خطية ودالة هدف تربيعية، يمكن الحصول على معادلة ريكاتي للتكرار العكسي لحل كل فترة، حتى وإن لم ينطبق مبدأ التكافؤ اليقيني. [ 2 ] الفصل 13 [ 3 ] يمكن أيضًا التعامل مع حالة الزمن المتقطع لدالة خسارة غير تربيعية ولكن مع اضطرابات جمعية فقط، وإن كان ذلك بمزيد من التعقيدات. [ 4 ]

مثال

تتمثل المواصفات النموذجية لمسألة التحكم الخطي التربيعي العشوائي في الوقت المتقطع في تقليل [ 2 ] : الفصل 13، [ 3 ] [ 5 ]

هـ1∑ت=1S[yتتيسؤالyت+uتتيRuت]{\displaystyle \mathrm {E} _{1}\sum _{t=1}^{S}\left[y_{t}^{\mathsf {T}}Qy_{t}+u_{t}^{\mathsf {T}}Ru_{t}\right]}

حيث E1 هو عامل القيمة المتوقعة المشروط بـ y0 ، ويشير الرمز العلوي T إلى منقولة المصفوفة ، و S هو الأفق الزمني، الخاضع لمعادلة الحالة

yت=أتyت-1+بتuت،{\displaystyle y_{t}=A_{t}y_{t-1}+B_{t}u_{t},}

حيث يمثل y متجهًا من الرتبة n × 1 لمتغيرات الحالة القابلة للملاحظة، ويمثل u متجهًا من الرتبة k × 1 لمتغيرات التحكم، و A <sub>t</sub> هو تمثيل مصفوفة انتقال الحالة العشوائية من الرتبة n × n عند الزمن t ، وB <sub> t</sub> هو تمثيل مصفوفة مضاعفات التحكم العشوائية من الرتبة n × k عند الزمن t ، و Q <sub> n × n </sub> و R <sub> k × k </sub> مصفوفتا تكلفة متناظرتان موجبتان معلومتان. نفترض أن كل عنصر من A و B موزع بشكل مستقل ومتطابق عبر الزمن، لذا فإن عمليات القيمة المتوقعة لا تتطلب شرطًا زمنيًا.

يمكن استخدام الاستقراء العكسي في الزمن للحصول على حل التحكم الأمثل في كل لحظة زمنية، [ 2 ] : الفصل 13

uت*=-[هـ(بتيXتب+R)]-1هـ(بتيXتأ)yت-1،{\displaystyle u_{t}^{*}=-\left[\mathrm {E} \left(B^{\mathsf {T}}X_{t}B+R\right)\right]^{-1}\mathrm {E} \left(B^{\mathsf {T}}X_{t}A\right)y_{t-1},}

مع مصفوفة التكلفة المتناظرة الموجبة المحددة X التي تتطور عكسيًا في الزمن منXS=سؤال{\displaystyle X_{S}=Q}وفق

Xت-1=سؤال+هـ[أتيXتأ]-هـ[أتيXتب][هـ(بتيXتب+R)]-1هـ(بتيXتأ)،{\displaystyle X_{t-1}=Q+\mathrm {E} \left[A^{\mathsf {T}}X_{t}A\right]-\mathrm {E} \left[A^{\mathsf {T}}X_{t}B\right]\left[\mathrm {E} (B^{\mathsf {T}}X_{t}B+R)\right]^{-1}\mathrm {E} \left(B^{\mathsf {T}}X_{t}A\right),}

وهي ما تُعرف بمعادلة ريكاتي الديناميكية المتقطعة الزمن لهذه المسألة. المعلومات الوحيدة المطلوبة بشأن المعاملات المجهولة في المصفوفتين A و B هي القيمة المتوقعة والتباين لكل عنصر من عناصر كل مصفوفة، بالإضافة إلى التغايرات بين عناصر المصفوفة نفسها وبين العناصر عبر المصفوفات المختلفة.

لا يتأثر حل التحكم الأمثل بظهور صدمات إضافية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات متوسط ​​صفري في معادلة الحالة، طالما أنها غير مرتبطة بمعاملات المصفوفتين A و B. أما إذا كانت مرتبطة، فسيحتوي حل التحكم الأمثل لكل فترة على متجه ثابت إضافي. وإذا ظهر متجه ثابت إضافي في معادلة الحالة، فسيحتوي حل التحكم الأمثل لكل فترة أيضًا على متجه ثابت إضافي.

يمكن إيجاد توصيف الحالة المستقرة لـ X (إن وجد)، وهو أمر ذو صلة بمشكلة الأفق اللانهائي التي تؤول فيها S إلى اللانهاية، عن طريق تكرار المعادلة الديناميكية لـ X بشكل متكرر حتى تتقارب؛ ثم يتم توصيف X عن طريق إزالة المؤشرات الزمنية من معادلتها الديناميكية.

الزمن المستمر

إذا كان النموذج في زمن مستمر، فإن وحدة التحكم تعرف حالة النظام في كل لحظة زمنية. والهدف هو تعظيم إما تكامل دالة مقعرة لمتغير حالة ما على مدى زمني من الزمن صفر (الحاضر) إلى زمن نهائي T ، أو دالة مقعرة لمتغير حالة ما في تاريخ مستقبلي T. ومع مرور الوقت، تُجرى ملاحظات جديدة باستمرار، وتُعدَّل متغيرات التحكم باستمرار على النحو الأمثل.

التحكم التنبؤي بالنموذج العشوائي

في الأدبيات، يوجد نوعان من أنظمة التحكم التنبؤي النموذجي (MPC) للأنظمة العشوائية: التحكم التنبؤي النموذجي القوي والتحكم التنبؤي النموذجي العشوائي (SMPC). يُعد التحكم التنبؤي النموذجي القوي أسلوبًا أكثر تحفظًا يأخذ في الاعتبار أسوأ السيناريوهات في عملية التحسين. مع ذلك، يُؤدي هذا الأسلوب، كغيره من أساليب التحكم القوية، إلى تدهور أداء وحدة التحكم بشكل عام، كما أنه لا يُطبق إلا على الأنظمة ذات حالات عدم اليقين المحدودة. أما الأسلوب البديل، SMPC، فيعتمد على قيود مرنة تحدّ من مخاطر الانتهاك من خلال متباينة احتمالية. [ 6 ]

في مجال التمويل

في سياق التمويل ، وباستخدام منهجية الزمن المستمر ، يكون متغير الحالة في المعادلة التفاضلية العشوائية عادةً هو الثروة أو صافي القيمة، بينما تكون المتغيرات الضابطة هي حصص الأصول المختلفة في كل لحظة. وبالنظر إلى توزيع الأصول المُختار في أي وقت، فإن محددات التغير في الثروة عادةً ما تكون العوائد العشوائية للأصول وسعر الفائدة على الأصل الخالي من المخاطر. وقد شهد مجال التحكم العشوائي تطورًا كبيرًا منذ سبعينيات القرن الماضي، لا سيما في تطبيقاته في مجال التمويل. استخدم روبرت ميرتون التحكم العشوائي لدراسة المحافظ المثلى للأصول الآمنة والمحفوفة بالمخاطر. [ 7 ] وقد غيّر عمله وعمل بلاك-شولز طبيعة أدبيات التمويل . ومن بين المعالجات الرياضية المؤثرة في هذا المجال، تلك التي قدمها فليمنج وريشيل ، [ 8 ] وفليمنج وسونر . [ 9 ] وقد طبق شتاين هذه التقنيات على الأزمة المالية لعام 2008. [ 10 ]

تخضع عملية تعظيم، على سبيل المثال، اللوغاريتم المتوقع للقيمة الصافية عند تاريخ نهائي T ، لعمليات عشوائية على مكونات الثروة. [ 11 ] في هذه الحالة، تُعد معادلة إيتو الأداة الرئيسية للتحليل في الزمن المستمر . أما في حالة كون التعظيم عبارة عن تكامل لدالة منفعة مقعرة على مدى زمني (0، T )، فيُستخدم البرمجة الديناميكية. لا يوجد تكافؤ يقيني كما في الدراسات السابقة، لأن معاملات متغيرات التحكم - أي العوائد التي تحصل عليها الأسهم المختارة من الأصول - عشوائية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تعريف من موقع Answers.com
  2. 1 2 3 4 تشاو، غريغوري ب. (1976). تحليل ومراقبة الأنظمة الاقتصادية الديناميكية . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-15616-7.
  3. 1 2 تورنوفسكي، ستيفن (1976). "سياسات الاستقرار الأمثل للأنظمة الخطية العشوائية: حالة الاضطرابات المضاعفة والإضافية المترابطة". مراجعة الدراسات الاقتصادية . 43 (1): 191-194 . doi : 10.2307/2296614 . JSTOR 2296614 . 
  4. ↑ ميتشل، دوغلاس و. (1990). "التحكم الحساس للمخاطر القابل للتطبيق بناءً على المنفعة المتوقعة التقريبية". النمذجة الاقتصادية . 7 (2): 161-164 . doi : 10.1016/0264-9993(90)90018-Y .
  5. ↑ تورنوفسكي، ستيفن (1974). "خصائص استقرار السياسات الاقتصادية المثلى". المجلة الاقتصادية الأمريكية . 64 (1): 136-148 . JSTOR 1814888 . 
  6. ↑ هاشميان؛ أرماو (2017). "تصميم التحكم التنبؤي العشوائي لعملية تحبيب ثنائية المكونات". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات : 4386-4391 . arXiv : 1704.04710 . Bibcode : 2017arXiv170404710H .
  7. ↑ ميرتون، روبرت (1990). التمويل في الزمن المستمر . بلاكويل.
  8. ↑ فليمنج، دبليو؛ ريشيل، آر. (1975). التحكم الأمثل الحتمي والعشوائي . ISBN 0-387-90155-8.
  9. ↑ فليمنج، دبليو؛ سونر، إم. (2006). عمليات ماركوف المتحكم بها ومحاليل اللزوجة . سبرينغر.
  10. ↑ شتاين، جيه إل (2012). التحكم الأمثل العشوائي والأزمة المالية الأمريكية . سبرينغر ساينس.
  11. ↑ باريرو-غوميز، ج.؛ تيمبين، هـ. (2019). "اقتصاديات رموز البلوك تشين: منظور لعبة من نوع المجال المتوسط" . IEEE Access . 7 : 64603-64613 . doi : 10.1109/ACCESS.2019.2917517 . ISSN 2169-3536 . 

للمزيد من القراءة

  • ديكسيت، أفيناش (1991). "معالجة مبسطة لنظرية التنظيم الأمثل للحركة البراونية". مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم . 15 (4): 657-673 . doi : 10.1016/0165-1889(91)90037-2 .
  • يونغ، جيونغمين؛ تشو، شون يو (1999). التحكم العشوائي  : أنظمة هاميلتونية ومعادلات هاميلتون-جاكوبي-بيل . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-98723-1.
  • روغرز، إل سي جي (2013). الاستثمار الأمثل . هايدلبرغ: سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-642-35202-7 . ISBN 978-3-642-35201-0.