نظرية ستون للتمثيل في الجبر البولياني

في الرياضيات ، تنص نظرية ستون للتمثيل في الجبر البولياني على أن كل جبر بولياني متماثل مع حقل معين من المجموعات . تُعد هذه النظرية أساسية لفهم أعمق للجبر البولياني الذي ظهر في النصف الأول من القرن العشرين. وقد أثبتها مارشال هـ. ستون لأول مرة . ^{[ 1 ]} وقد استلهم ستون هذه النظرية من دراسته لنظرية الطيف للمؤثرات على فضاء هيلبرت . ^{[ 2 ]}

لكل جبر بولياني B فضاء طوبولوجي مرتبط به ، يُرمز إليه هنا بـ S ( B )، ويُسمى فضاء ستون الخاص به . النقاط في S ( B ) هي المرشحات الفائقة على B ، أو ما يُكافئها، التشاكلات من B إلى الجبر البولياني ثنائي العناصر . يتم توليد الطوبولوجيا على S ( B ) بواسطة أساس يتكون من جميع المجموعات من الشكل التالي: $${\displaystyle \{x\in S(B)\mid b\in x\},}$$ حيث b عنصر من B. هذه المجموعات مغلقة ، وبالتالي فهي مجموعات مفتوحة ومغلقة في آن واحد. هذه هي طوبولوجيا التقارب النقطي لشبكات التشاكلات في الجبر البولياني ثنائي العناصر.

لكل جبر بولياني B ، فإن S ( B ) هو فضاء هاوسدورف مضغوط ومنفصل تمامًا ؛ تُسمى هذه الفضاءات فضاءات ستون (وتُسمى أيضًا فضاءات بروفينية ). وعلى العكس، لأي فضاء ستون X ، فإن مجموعة المجموعات الجزئية من X التي تكون مفتوحة ومغلقة هي جبر بولياني.

تنص نسخة مبسطة من نظرية تمثيل ستون على أن كل جبر بولياني B متماثل مع جبر المجموعات المفتوحة والمغلقة لفضاء ستون S ( B ). يرسل التماثل عنصرًا${\displaystyle b\in B}$إلى مجموعة جميع المرشحات الفائقة التي تحتوي على b . هذه مجموعة مفتوحة مغلقة بسبب اختيار الطوبولوجيا على S ( B ) ولأن B عبارة عن جبر بولياني.

بإعادة صياغة النظرية باستخدام لغة نظرية الفئات ، تنص النظرية على وجود ازدواجية بين فئة الجبر البولياني وفئة فضاءات ستون. تعني هذه الازدواجية أنه بالإضافة إلى التطابق بين الجبر البولياني وفضاءات ستون الخاصة به، فإن كل تشاكل من جبر بولياني A إلى جبر بولياني B يقابل بشكل طبيعي دالة متصلة من S ( B ) إلى S ( A ). بعبارة أخرى، يوجد مؤثر عكسي يُعطي تكافؤًا بين الفئتين. يُسقط تأثير المؤثر العكسي على التشكلات خريطة متصلة بين فضاءات ستون.${\displaystyle f:S(B_{1})\to S(B_{2})}$إلى تشاكل الجبر البولياني${\displaystyle B_{2}\to B_{1}}$والذي يرسل عنصرًا${\displaystyle x}$ل${\displaystyle B_{2}}$، تم تحديدها كمجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle S(B_{2})}$، إلى الصورة المعكوسة${\displaystyle f^{-1}(x)}$، مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle S(B_{1})}$تم تحديده كعنصر من${\displaystyle B_{1}}$كان هذا مثالاً مبكراً على ازدواجية غير تافهة للفئات.

تُعد هذه النظرية حالة خاصة من ثنائية ستون ، وهي إطار عمل أكثر عمومية للثنائيات بين الفضاءات الطوبولوجية والمجموعات المرتبة جزئيًا .

يتطلب البرهان إما بديهية الاختيار أو صيغة مخففة منها. تحديدًا، تُكافئ هذه النظرية نظرية المثالي الأولي البولياني ، وهي مبدأ اختيار مخفف ينص على أن لكل جبر بولياني مثاليًا أوليًا.

تم التوصل إلى امتداد لثنائية ستون الكلاسيكية إلى فئة الفضاءات البولية (أي فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا ذات البعد الصفري ) والخرائط المتصلة (على التوالي، الخرائط الكاملة) بواسطة جي دي ديموف (على التوالي، بواسطة إتش بي دكتور). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• نظرية ستون للتمثيل للشبكات التوزيعية
• نظرية التمثيل – برهان على أن كل بنية ذات خصائص معينة متماثلة مع بنية أخرى 
• حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
• قائمة بمواضيع الجبر البولياني
• الفضاء الستوناني – فضاء طوبولوجي تكون فيه إغلاق كل مجموعة مفتوحة مفتوحة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• الزمرة شبه المنتهية - زمرة طوبولوجية تتكون، بمعنى ما، من نظام من الزمر المنتهية 
• معضلة المرشح الفائق – صفحات المرشح الأمثل الأقصى التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 

• هالموس، بول ؛ جيفانت، ستيفن (1998). المنطق كجبر . سلسلة دولسياني للعروض الرياضية. المجلد  21. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-88385-327-2.
• جونستون، بيتر ت. (1982). مساحات حجرية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-23893-5.
• بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، إتش بي (1981). دورة في الجبر الشامل . سبرينغر. ISBN 3-540-90578-2.