عملية كظيمة

بالنسبة لنظام مغلق، يمكن كتابة القانون الأول للديناميكا الحرارية على النحو التالي: Δ U = Q − W ، حيث يشير Δ U إلى تغير الطاقة الداخلية للنظام، وQ إلى كمية الطاقة المضافة إليه على شكل حرارة، و W إلى الشغل الذي يبذله النظام على محيطه.

• إذا كان للنظام جدران صلبة بحيث لا يمكن نقل الشغل إلى الداخل أو الخارج ( W = 0 )، والجدران ليست عازلة للحرارة وتضاف الطاقة على شكل حرارة ( Q > 0 )، ولا يوجد تغيير في الطور، فإن درجة حرارة النظام سترتفع.
• إذا كان للنظام جدران صلبة بحيث لا يمكن القيام بعمل الضغط والحجم، ولكن الجدران معزولة حرارياً ( Q = 0 )، وتضاف الطاقة كعمل متساوي الحجم (حجم ثابت) على شكل احتكاك أو تحريك سائل لزج داخل النظام ( W < 0 )، ولا يوجد تغيير في الطور، فإن درجة حرارة النظام سترتفع.
• إذا كانت جدران النظام معزولة حراريًا ( Q = 0 ) ولكنها ليست صلبة ( W ≠ 0 )، وفي عملية مثالية افتراضية، تُضاف الطاقة إلى النظام على شكل شغل ضغط-حجم عديم الاحتكاك وغير لزج ( W < 0 )، ودون حدوث أي تغير في الحالة، فإن درجة حرارة النظام سترتفع. تُسمى هذه العملية بالعملية متساوية الإنتروبيا ، ويُقال إنها "قابلة للانعكاس". من الناحية المثالية، إذا عُكست العملية، يُمكن استعادة الطاقة بالكامل على شكل شغل بذله النظام. إذا كان النظام يحتوي على غاز قابل للانضغاط، وانخفض حجمه، فإن عدم اليقين في موضع الغاز يقل، ويبدو ظاهريًا أنه يُقلل من إنتروبيا النظام، ولكن درجة حرارة النظام سترتفع لأن العملية متساوية الإنتروبيا ( ΔS = 0 ). إذا تمت إضافة العمل بطريقة تؤدي إلى عمل قوى الاحتكاك أو اللزوجة داخل النظام، فإن العملية ليست متساوية الإنتروبيا، وإذا لم يكن هناك تغيير في الطور، فإن درجة حرارة النظام سترتفع، ويقال إن العملية "غير قابلة للانعكاس"، والعمل المضاف إلى النظام لا يمكن استرداده بالكامل في شكل عمل.
• إذا لم تكن جدران النظام معزولة حرارياً، وانتقلت الطاقة إلى داخله على شكل حرارة، فإن الإنتروبيا تنتقل إلى النظام مع الحرارة. هذه العملية ليست معزولة حرارياً ولا متساوية الإنتروبيا، حيث Q > 0 و ΔS > 0 وفقاً للقانون الثاني للديناميكا الحرارية .

العمليات الأديباتية التي تحدث بشكل طبيعي لا رجعة فيها (يتم إنتاج الإنتروبيا).

يمكن تصور انتقال الطاقة على شكل شغل إلى نظام معزول حراريًا على أنه نوعان مثاليان متطرفان. في أحد هذين النوعين، لا تُنتج أي إنتروبيا داخل النظام (لا احتكاك، ولا تبديد لزج، وما إلى ذلك)، ويكون الشغل الناتج هو شغل الضغط والحجم فقط (يرمز له بـ P d V ). في الطبيعة، لا يحدث هذا النوع المثالي إلا تقريبًا لأنه يتطلب عملية بطيئة للغاية ولا توجد مصادر للتبديد.

النوع الآخر المتطرف من الشغل هو الشغل متساوي الحجم ( ΔV = 0 )، حيث تُضاف الطاقة كشغل فقط من خلال الاحتكاك أو تبديد اللزوجة داخل النظام. سيؤدي محرك التحريك الذي ينقل الطاقة إلى سائل لزج في نظام معزول حراريًا بجدران صلبة، دون تغيير في الطور، إلى ارتفاع درجة حرارة السائل، لكن هذا الشغل غير قابل للاسترداد. الشغل متساوي الحجم غير قابل للانعكاس. ^{[ 7 ]} ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على أن أي عملية طبيعية لنقل الطاقة كشغل، تتكون دائمًا على الأقل من الشغل متساوي الحجم، وغالبًا ما تتكون من كلا النوعين المتطرفين من الشغل. كل عملية طبيعية، سواء كانت معزولة حراريًا أم لا، غير قابلة للانعكاس، حيث ΔS > 0 ، نظرًا لوجود الاحتكاك أو اللزوجة دائمًا بدرجة ما.

يحدث الانضغاط الأديباتي عندما يزداد ضغط الغاز بفعل شغل يبذله محيطه عليه، كما في حالة مكبس يضغط غازًا محصورًا داخل أسطوانة ويرفع درجة حرارته، حيث يكون توصيل الحرارة عبر الجدران في كثير من الحالات العملية بطيئًا مقارنةً بزمن الانضغاط. يُستخدم هذا عمليًا في محركات الديزل التي تعتمد على انعدام تبديد الحرارة أثناء شوط الانضغاط لرفع درجة حرارة بخار الوقود بما يكفي لإشعاله.

يحدث الانضغاط الأديباتي في الغلاف الجوي للأرض عندما تهبط كتلة هوائية ، كما في حالة الرياح الهابطة أو رياح الفوهن أو رياح الشينوك التي تهب من أعلى سلسلة جبال. عند هبوط كتلة الهواء، يزداد الضغط عليها. وبسبب هذا الارتفاع في الضغط، يقل حجمها وترتفع درجة حرارتها نتيجةً لبذل شغل عليها، مما يزيد من طاقتها الداخلية، وهو ما يتجلى في ارتفاع درجة حرارتها. لا تستطيع كتلة الهواء تبديد الطاقة إلا ببطء عن طريق التوصيل أو الإشعاع (الحرارة)، ويمكن اعتبارها، كتقريب أولي، معزولة أديباتياً، وبالتالي تُعتبر العملية عملية أديباتية.

يحدث التمدد الأديباتي عندما ينخفض ​​الضغط على نظام معزول أديباتيًا، مما يسمح له بالتمدد، وبالتالي يبذل شغلًا على محيطه. فعندما ينخفض ​​الضغط المطبق على كتلة من الغاز، يُسمح للغاز الموجود فيها بالتمدد؛ ومع ازدياد الحجم، تنخفض درجة الحرارة نتيجة انخفاض طاقته الداخلية. يحدث التمدد الأديباتي في الغلاف الجوي للأرض مع الرفع التضاريسي والموجات الهوائية ، وهذا قد يُشكل السحب العدسية أو السحب الركامية .

ويرجع ذلك جزئياً إلى التمدد الأديباتي في المناطق الجبلية، حيث يحدث تساقط الثلوج بالفعل في بعض أجزاء الصحراء الكبرى . ^{[ 8 ]}

لا يشترط أن يتضمن التمدد الأديباتي سائلاً. إحدى التقنيات المستخدمة للوصول إلى درجات حرارة منخفضة للغاية (أجزاء من الألف، بل وحتى أجزاء من المليون من الدرجة فوق الصفر المطلق) هي إزالة المغنطة الأديباتية ، حيث يُستخدم التغير في المجال المغناطيسي على مادة مغناطيسية لتوفير التمدد الأديباتي. كذلك، يمكن وصف محتويات الكون المتمدد (تقريبًا) كسائل يتمدد أديباتيًا. (انظر: الموت الحراري للكون ).

كما تخضع الصهارة الصاعدة لتمدد أديباتي قبل الثوران، وهو أمر بالغ الأهمية بشكل خاص في حالة الصهارة التي ترتفع بسرعة من أعماق كبيرة مثل الكيمبرلايت . ^{[ 9 ]}

في غلاف الأرض المتحرك (الغلاف المائع) أسفل الغلاف الصخري ، تكون درجة حرارة الغلاف ثابتة تقريبًا. ويعود الانخفاض الطفيف في درجة الحرارة مع تناقص العمق إلى انخفاض الضغط كلما قلّ عمق المادة في باطن الأرض. ^{[ 10 ]}

يمكن تحديد هذه التغيرات في درجة الحرارة كمياً باستخدام قانون الغاز المثالي ، أو المعادلة الهيدروستاتيكية للعمليات الجوية.

عمليًا، لا توجد عملية معزولة حراريًا تمامًا. تعتمد العديد من العمليات على فرق كبير في النطاق الزمني للعملية المدروسة ومعدل تبديد الحرارة عبر حدود النظام، وبالتالي يتم تقريبها باستخدام افتراض العزل الحراري. يوجد دائمًا قدر من فقدان الحرارة، إذ لا توجد عوازل مثالية.

يمكن استخدام شوط الضغط في محرك البنزين كمثال على الضغط الأديباتي. وتتلخص افتراضات النموذج فيما يلي: حجم الأسطوانة غير المضغوط هو لتر واحد (1 لتر = 1000 سم³ ⁼ 0.001 م³ ⁾ ؛ والغاز الموجود بداخلها هو الهواء المكون من النيتروجين الجزيئي والأكسجين فقط (وبالتالي غاز ثنائي الذرة بخمس درجات حرية، وبالتالي γ = 7/5 ) ؛ ونسبة ضغط المحرك هي 10 : 1 (أي أن حجم الغاز غير المضغوط البالغ 1 لتر ينخفض ​​إلى 0.1 لتر بواسطة المكبس)؛ ويكون الغاز غير المضغوط عند درجة حرارة وضغط الغرفة تقريبًا (درجة حرارة غرفة دافئة تبلغ حوالي 27 درجة مئوية، أو 300 كلفن ، وضغط 1 بار = 100 كيلو باسكال، أي الضغط الجوي النموذجي عند مستوى سطح البحر).      

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}V_{1}^{\gamma }&={\mathsf {constant}}_{1}\\&=100\,000~{\text{Pa}}\times (0.001~{\mathsf {m}}^{3})^{\frac {7}{5}}\\&=10^{5}\times 6.31\times 10^{-5}~{\mathsf {Pa}}\,{\mathsf {m}}^{21/5}\\&=6.31~{\text{Pa}}\,{\mathsf {m}}^{21/5}\ ,\end{aligned}}}$$

لذا فإن الثابت الأديباتي لهذا المثال هو حوالي 6.31 باسكال متر ^4.2 .

يُضغط الغاز الآن إلى حجم 0.1  لتر (0.0001  متر ^مكعب )، ونفترض أن هذا يحدث بسرعة كافية بحيث لا تدخل الحرارة إلى الغاز أو تخرج منه عبر الجدران. يبقى ثابت الضغط الأديباتي كما هو، لكن الضغط الناتج غير معروف.

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}V_{2}^{\gamma }&={\mathsf {constant}}_{1}\\&=6.31~{\mathsf {Pa}}\,{\mathsf {m}}^{21/5}\\&=P\times (0.0001~{\mathsf {m}}^{3})^{\frac {7}{5}},\end{aligned}}}$$

يمكننا الآن حساب الضغط النهائي ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma}\\&=100\ 000~{\mathsf {Pa}}\times {10}^{7/5}\\&=2.51\times 10^{6}~{\mathsf {Pa}}\،\end{محاذاة}}}$$

أو 25.1  بار. هذه الزيادة في الضغط أكبر مما تشير إليه نسبة انضغاط بسيطة تبلغ 10:1؛ وذلك لأن الغاز لا ينضغط فحسب، بل إن الشغل المبذول لضغط الغاز يزيد أيضًا من طاقته الداخلية، وهو ما يتجلى في ارتفاع درجة حرارة الغاز وارتفاع إضافي في الضغط يتجاوز ما ينتج عن حساب بسيط لعشرة أضعاف الضغط الأصلي.

يمكننا أيضًا حساب درجة حرارة الغاز المضغوط في أسطوانة المحرك باستخدام قانون الغاز المثالي، PV = n RT ( حيث n كمية الغاز بالمولات و R ثابت الغاز). وبما أن ظروفنا الابتدائية هي  ضغط 100 كيلو باسكال،  وحجم 1 لتر،  ودرجة حرارة 300 كلفن، فإن ثابتنا التجريبي ( nR ) هو:

$$\begin{aligned}{\frac {P\ V}{T}}&={\mathsf {constant}}_{2}\\&={\frac {10^{5}~{\mathsf {Pa}}\times 10^{-3}~{\mathsf {m}}^{3}}{300~{\mathsf {K}}}}\\&=0.333~{\mathsf {Pa}}\ {\mathsf {m}}^{3}{\mathsf {K}}^{-1}~.\end{aligned}}}$$

نعلم أن حجم الغاز المضغوط يساوي 0.1 لتر وضغطه يساوي2.51 × 10 ⁶  باسكال ، لذا يمكننا حساب درجة الحرارة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {P\ V}{{\mathsf {constant}}_{2}}}\\&={\frac {2.51\times 10^{6}~{\mathsf {Pa}}\times 10^{-4}~{\text{m}}^{3}}{0.333~{\mathsf {Pa}}\ {\mathsf {m}}^{3}{\mathsf {K}}^{-1}}}\\&=753~{\mathsf {K}}.\end{aligned}}}$$

تصل درجة الحرارة النهائية إلى 753  كلفن، أو 479  درجة مئوية، أو 896  درجة فهرنهايت، وهي أعلى بكثير من درجة اشتعال العديد من أنواع الوقود. لهذا السبب، يتطلب محرك الضغط العالي أنواع وقود مصممة خصيصًا لمنع الاشتعال الذاتي (مما قد يتسبب في طرق المحرك عند تشغيله في ظل هذه الظروف من درجة الحرارة والضغط)، أو أن استخدام شاحن توربيني مزود بمبرد داخلي لزيادة الضغط مع تقليل ارتفاع درجة الحرارة سيكون مفيدًا. أما محرك الديزل، فيعمل في ظروف أكثر قسوة، حيث تصل نسبة الضغط فيه عادةً إلى 16:1 أو أكثر، وذلك لتوفير ضغط غاز عالٍ جدًا، مما يضمن اشتعال الوقود المحقون فورًا.

في حالة التمدد الحر الأديباتي لغاز مثالي ، يُحفظ الغاز في وعاء معزول ثم يُترك ليتمدد في فراغ. ولعدم وجود ضغط خارجي يتمدد ضده الغاز، فإن الشغل المبذول من النظام أو عليه يساوي صفرًا. ولأن هذه العملية لا تتضمن أي انتقال حراري أو شغل، فإن القانون الأول للديناميكا الحرارية يُشير إلى أن التغير الكلي في الطاقة الداخلية للنظام يساوي صفرًا. بالنسبة للغاز المثالي، تبقى درجة الحرارة ثابتة لأن الطاقة الداخلية تعتمد فقط على درجة الحرارة في هذه الحالة. وبما أن الإنتروبيا تتناسب طرديًا مع الحجم عند ثبات درجة الحرارة، فإن الإنتروبيا تزداد في هذه الحالة، وبالتالي فإن هذه العملية غير قابلة للانعكاس.

يُعرَّف التفاعل الأديباتي بأنه انتقال الحرارة إلى النظام يساوي صفرًا، أي δQ = 0. وبناءً على ذلك، ووفقًا للقانون الأول للديناميكا الحرارية،

$${\displaystyle \mathrm {d} U+\delta W=\delta Q=0\ ,}$$

أ1

حيث يمثل dU التغير في الطاقة الداخلية للنظام، و δW هو الشغل المبذول من قِبل النظام. أي شغل ( δW ) يُبذل يجب أن يكون على حساب الطاقة الداخلية U ، نظرًا لعدم وجود حرارة (δQ) مُزوَّدة من المحيط. يُعرَّف شغل الضغط-الحجم δW المبذول من قِبل النظام على النحو التالي:

$${\displaystyle \delta W=P\ \mathrm {d} V~.}$$

أ2

ومع ذلك، فإن الضغط لا يظل ثابتًا أثناء العملية الأديباتية، بل يتغير مع تغير الحجم .

المطلوب معرفة كيفية ارتباط قيمتي dP و dV ببعضهما البعض أثناء سير العملية الأديباتية. بالنسبة للغاز المثالي (تذكر قانون الغاز المثالي PV = nRT )، تُعطى الطاقة الداخلية بالعلاقة التالية :

$${\displaystyle U=\alpha \ n\ R\ T=\alpha \ P\ V\ ,}$$

أ3

حيث α هو عدد درجات الحرية مقسومًا على 2، وR هو ثابت الغازات العام ، و n هو عدد المولات في النظام (ثابت).

ينتج عن اشتقاق المعادلة (أ3)

$${\displaystyle {\begin{align}\mathrm {d} U&=\alpha \ n\ R\ \mathrm {d} T\\&=\alpha \ \mathrm {d} (P\ V)\\&=\alpha \ (P\ \mathrm {d} V+V\ \mathrm {d} P)~.\end{محاذاة}}}$$

أ4

غالباً ما يتم التعبير عن المعادلة (a4) على النحو التالي: d U = n C _V d T لأن C _V = α R .

الآن، استبدل المعادلتين (a2) و(a4) في المعادلة (a1) لتحصل على

$${\displaystyle -P\ \mathrm {d} V=\alpha \ P\ \mathrm {d} V+\alpha \ V\ \mathrm {d} P\ ,}$$

العامل − P d V :

$${\displaystyle -(\alpha +1)\ P\ \mathrm {d} V=\alpha V\ \mathrm {d} P\ ,}$$

واقسم كلا الطرفين على القيمة الحالية :

$${\displaystyle -(\alpha +1)\ {\frac {\mathrm {d} V}{V}}=\alpha \ {\frac {\mathrm {d} P}{P}}~.}$$

بعد دمج الجانبين الأيسر والأيمن من V ₀ إلى V ومن P ₀ إلى P وتغيير الجانبين على التوالي،

$${\displaystyle \ln \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)=-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}\ \ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)~.}$$

ارفع كلا الطرفين إلى الأس، ثم استبدل α + 1 / α بـ γ ، وهي نسبة السعة الحرارية

$${\displaystyle \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)=\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-\gamma }\ ,}$$

ثم قم بإزالة الإشارة السالبة للحصول على

$${\displaystyle \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)=\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{\gamma }~.}$$

لذلك،

$${\displaystyle \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{\gamma }=1\ ,}$$

و

$${\displaystyle P_{0}\ V_{0}^{\gamma }=P\ V^{\gamma }={\mathsf {constant}}~.}$$

$${\displaystyle \Delta U=\alpha \ R\ n\ T_{2}-\alpha \ R\ n\ T_{1}=\alpha \ R\ n\ \Delta T~.}$$

ب1

في الوقت نفسه، فإن الشغل المبذول من خلال تغيرات الضغط والحجم نتيجة لهذه العملية يساوي

$${\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}\ P\ \mathrm {d} V~.}$$

ب2

بما أننا نشترط أن تكون العملية كظيمة، فيجب أن تكون المعادلة التالية صحيحة

$${\displaystyle \Delta U+W=0~.}$$

ب3

وبناءً على الاشتقاق السابق،

$${\displaystyle P\ V^{\gamma }={\mathsf {constant}}=P_{1}\ V_{1}^{\gamma }~.}$$

ب4

إعادة ترتيب (ب4) يعطي

$${\displaystyle P=P_{1}\ \left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }~.}$$

بالتعويض بهذا في (ب2) نحصل على

$${\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\ \left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\ \mathrm {d} V~.}$$

بإجراء التكامل، نحصل على صيغة الشغل،

$${\displaystyle {\begin{aligned}W&=P_{1}\ V_{1}^{\gamma }\ {\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}\\[1ex]&={\frac {P_{2}\ V_{2}-P_{1}\ V_{1}}{1-\gamma }}.\end{aligned}}}$$

بإدخال γ = α + 1 / α في الحد الثاني ،

$${\displaystyle W=-\alpha \ P_{1}\ V_{1}^{\gamma }\ \left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)~.}$$

إعادة الترتيب،

$${\displaystyle W=-\alpha \ P_{1}\ V_{1}\ \left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)~.}$$

باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما يحدث غالبًا في الحالات العملية)،

$${\displaystyle W=-\alpha \ n\ R\ T_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)~.}$$

باستخدام الصيغة المستمرة،

$${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }\ ,}$$

أو

$${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-{\frac {1}{\gamma }}}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}~.}$$

بالتعويض في التعبير السابق عن W ،

$${\displaystyle W=-\alpha \ n\ R\ T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)~.}$$

باستبدال هذا التعبير و(ب1) في (ب3) نحصل على

$${\displaystyle \alpha \ n\ R\ (T_{2}-T_{1})=\alpha \ n\ R\ T_{1}\ \left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)~.}$$

التبسيط،

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2}-T_{1}&=T_{1}\ \left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)\ ,\\{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1&=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\ ,\\T_{2}&=T_{1}\ \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}~.\end{aligned}}}$$

التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسًا من الحالة 1 إلى الحالة 2، يساوي

في الوقت نفسه، فإن الشغل المبذول من خلال تغيرات الضغط والحجم نتيجة لهذه العملية يساوي

$${\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}\ P\ \mathrm {d} V~.}$$

ج2

بما أننا نشترط أن تكون العملية كظيمة، فيجب أن تكون المعادلة التالية صحيحة

$${\displaystyle \Delta U+W=0~.}$$

ج3

وبناءً على الاشتقاق السابق،

$${\displaystyle P\ V^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}\ V_{1}^{\gamma }~.}$$

ج4

إعادة ترتيب (c4) يعطي

$${\displaystyle P=P_{1}\ \left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }~.}$$

بالتعويض بهذا في (c2) نحصل على

$${\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\ \left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\ \mathrm {d} V~.}$$

بإجراء التكامل نحصل على صيغة الشغل،

$${\displaystyle W=P_{1}\ V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}={\frac {P_{2}\ V_{2}-P_{1}\ V_{1}}{1-\gamma }}~.}$$

بالتعويض γ = ⁠ α + 1 / α ⁠ في الفصل الثاني،

$${\displaystyle W=-\alpha \ P_{1}V_{1}^{\gamma }\ \left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)~.}$$

إعادة الترتيب،

$${\displaystyle W=-\alpha \ P_{1}\ V_{1}\ \left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)~.}$$

باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما يحدث غالبًا في الحالات العملية)،

$${\displaystyle W=-\alpha \ n\ R\ T_{1}\ \left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)~.}$$

باستخدام الصيغة المستمرة،

$${\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }\ ,}$$

أو

$${\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-{\frac {1}{\gamma }}}={\frac {V_{2}}{V_{1}}}~.}$$

بالتعويض في التعبير السابق عن W ،

$${\displaystyle W=-\alpha \ n\ R\ T_{1}\ \left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)~.}$$

باستبدال هذا التعبير و(c1) في (c3) نحصل على

$${\displaystyle \alpha \ n\ R\ (T_{2}-T_{1})=\alpha \ n\ R\ T_{1}\ \left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)~.}$$

التبسيط،

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2}-T_{1}&=T_{1}\ \left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)\ ,\\{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1&=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\ ,\\T_{2}&=T_{1}\ \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}~.\end{aligned}}}$$