حد باناش

في التحليل الرياضي ، حد باناخ هو دالة خطية متصلة${\displaystyle \phi$ :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} } معرف على فضاء باناخ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$لجميع المتتاليات ذات القيم المركبة المحدودة بحيث يكون لكل المتتاليات${\displaystyle x=(x_{n})}$،${\displaystyle y=(y_{n})}$في${\displaystyle \ell ^{\infty }}$والأعداد المركبة${\displaystyle \alpha }$:

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$(الخطية)؛
2. لو${\displaystyle x_{n}\geq 0}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، ثم${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$(الإيجابية)؛
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$، أين${\displaystyle S}$هو عامل الإزاحة المحدد بواسطة${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$(ثبات الإزاحة)؛
4. لو${\displaystyle x}$إذا كانت متتالية متقاربة ، فإن${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$.

لذلك،${\displaystyle \phi }$هو امتداد للدالة المستمرة${\displaystyle \lim :c\to \mathbb {C} }$أين${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$هو فضاء المتجهات المركبة لجميع المتتاليات التي تتقارب إلى حد (معتاد) في${\displaystyle \mathbb {C} }$.

بمعنى آخر، تُوسّع نهاية باناخ النهايات المعتادة، وهي خطية، وثابتة تحت الإزاحة، وموجبة. مع ذلك، توجد متتابعات لا تتفق فيها قيمتا نهايتي باناخ. نقول في هذه الحالة إن نهاية باناخ غير محددة بشكل فريد.

ونتيجةً للخصائص المذكورة أعلاه، فإن حد باناخ ذي القيم الحقيقية يحقق أيضاً ما يلي:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

يُثبت وجود نهايات باناخ عادةً باستخدام نظرية هان-باناخ (منهج المحللين)، ^{[ 1 ]} أو باستخدام المرشحات الفائقة (هذا المنهج أكثر شيوعًا في الشروحات النظرية للمجموعات). ^{[ 2 ]} هذه البراهين غير بنائية بطبيعتها، لأنها تستخدم بديهية الاختيار أو مفاهيم مشابهة، ولا يمكن إثباتها في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات فقط .

توجد متتابعات غير متقاربة لها حد باناش محدد بشكل فريد. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$، ثم${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$هي متتالية ثابتة، و

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1}$

صحيح. وبالتالي، لأي نهاية باناخ، فإن هذه المتتالية لها نهاية${\displaystyle 1/2}$.

متتالية محدودة${\displaystyle x}$مع الخاصية التي لكل حد باناش${\displaystyle \phi }$القيمة${\displaystyle \phi (x)}$يُطلق على الشيء نفسه اسم التقارب شبه التام .

بفرض متتالية متقاربة${\displaystyle x=(x_{n})}$في${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$، الحد العادي لـ${\displaystyle x}$لا ينشأ من عنصر من${\displaystyle \ell ^{1}}$، إذا كانت الازدواجية${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$يُؤخذ في الاعتبار. وهذا يعني${\displaystyle \ell ^{\infty }}$هو الفضاء الثنائي المتصل (فضاء باناخ الثنائي) لـ${\displaystyle \ell ^{1}}$وبالتالي،${\displaystyle \ell ^{1}}$يحفز الدوال الخطية المستمرة على${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ولكن ليس جميعها. أي حد لباناش على${\displaystyle \ell ^{\infty }}$يُعد مثالاً على عنصر من عناصر فضاء باناخ المزدوج لـ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$وهو ليس في${\displaystyle \ell ^{1}}$. ثنائية${\displaystyle \ell ^{\infty }}$يُعرف باسم فضاء ba ، ويتكون من جميع المقاييس المضافة المحدودة ( الموقعة ) على جبر سيجما لجميع المجموعات الفرعية للأعداد الطبيعية ، أو بشكل مكافئ، جميع مقاييس بوريل (الموقعة) على تكثيف ستون-تشيك للأعداد الطبيعية.

• "حدود باناش" . بلانيت ماث .

• الأماكن القريبة : ستيبانيك، بيتر (2000). تيوري منوزين (باللغة التشيكية) (2  ed.). براها: الأكاديمية. رقم ISBN 802000470X.
• كونواي، جون ب. (1994). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  96. نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-97245-5.