رقم بيث

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية المجموعات ، تشكل أعداد بيث سلسلة معينة (غير محددة) من الأعداد الأصلية اللانهائية (المعروفة أيضًا بالأعداد المتسامية )، والتي تُكتب اصطلاحًا${\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }$، أين${\displaystyle \beth }$الحرف العبري بيت (β) . ترتبط أرقام بيت بأرقام ألف (α ).${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }$)، ولكن ما لم تكن فرضية الاستمرارية المعممة صحيحة، فهناك أرقام مفهرسة بواسطة${\displaystyle \aleph }$التي لم يتم فهرستها بواسطة${\displaystyle \beth }$من ناحية أخرى، فإن أعداد بيث هي أعداد نهائية مشتركة (كل عدد أصلي أقل من عدد بيث) في نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل البسيطة.

يتم فهرسة أرقام بيث بواسطة الأرقام الترتيبية وتُعرَّف من حيث التسلسل الهرمي التراكمي بواسطة${\displaystyle \beth _{\alpha }=|V_{\omega +\alpha }|}$، أين${\displaystyle |A|}$عدد عناصر${\displaystyle A}$و${\displaystyle \omega }$هو أول عدد ترتيبي لانهائي. على وجه الخصوص،${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$وبناءً على نظرية كانتور والاستقراء المتسامي، فإن متتالية أعداد بيث تتزايد تزايداً تاماً.${\displaystyle |A|^{|B|}}$هي عدد عناصر مجموعة الدوال من${\displaystyle B}$ل${\displaystyle A}$، لذا${\displaystyle 2^{|B|}}$هي عدد عناصر مجموعة القوى لـ${\displaystyle B}$.)

${\displaystyle \beth _{0}=|V_{\omega }|=|\omega |=\aleph _{0}}$. على العموم،${\displaystyle \beth _{\alpha }\not <\aleph _{\alpha }}$للترتيب${\displaystyle \alpha }$، و${\displaystyle \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }}$لكل عدد ترتيبي نهائي${\displaystyle \alpha }$. إن بديهية الاختيار تعني أن عدم المساواة صحيحة بشكل عام.

رقم بيث الثاني${\displaystyle \beth _{1}}$يساوي${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$، عدد عناصر المتصل (عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية )، وعدد بيث الثالث${\displaystyle \beth _{2}}$هي عدد عناصر مجموعة القوى للمتصل.

مثل أعداد ألف، فإن أعداد بيث هي أعداد متطابقة:${\displaystyle \beth _{\alpha }^{2}=\beth _{\alpha }}$ويترتب على ذلك بالاستقراء المتسامي من نقطتين:

• ${\displaystyle V_{\lambda }\times V_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }}$لكل عدد ترتيبي نهائي${\displaystyle \lambda }$؛ و

• ${\displaystyle (2^{\mathfrak {p}})^{2}=2^{2{\mathfrak {p}}}=2^{\mathfrak {p}}}$لكل عدد أصلي متساوي القوة${\displaystyle {\mathfrak {p}}\geq 2}$.

تفترض بديهية الاختيار أن لكل مجموعة من الأعداد الأصلية قيمة عليا، وأنه لأي مجموعة${\displaystyle \mathbb {S} }$لا يمكن أن تكون مجموعة الاتحاد لجميع أعضائها أكبر من حاصل ضرب عدد عناصرها في عددها. ويترتب على ذلك (بناءً على البديهية) أن${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}$لكل عدد ترتيبي نهائي${\displaystyle \lambda }$.

لاحظ أن هذا السلوك يختلف عن سلوك الأعداد الترتيبية اللاحقة. حتى مع وجود بديهية الاختيار، فإن الأعداد الأصلية أقل من${\displaystyle \beth _{\alpha +1}}$لكن أكبر من${\displaystyle \beth _{\alpha }}$يمكن أن يوجد. (في هذه الحالة، يكون الوجود غير قابل للتقرير في ZFC ويتم التحكم فيه بواسطة فرضية الاستمرارية المعممة .)

حتى مع وجود بديهية الاختيار (بشرط أن تكون نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات متسقة)، لا يمكن معرفة المزيد عن العلاقة بأعداد أليف أكثر مما ذُكر أعلاه. على سبيل المثال،${\displaystyle \beth _{1}}$لا يمكن أن يكون${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$لكن هناك نموذجًا يكون فيه${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{\omega +1}}$.

بافتراض بديهية الاختيار ، فإن الأعداد اللانهائية مرتبة ترتيبًا خطيًا ؛ فلا يمكن أن تفشل أي عددين في أن يكونا قابلين للمقارنة.${\displaystyle \beth _{\alpha }\not <\aleph _{\alpha }}$، وهذا يعني ضمناً أن ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ لجميع الأعداد الترتيبية${\displaystyle \alpha }$.

بالنظر إلى بديهية الاختيار، فإن فرضية الاستمرارية تعادل ما يلي:

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

بدون مسلمة الاختيار، توجد عبارات تتناول مخاوف كانتور بشأن المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية دون أن تشير بشكل واضح إلى أن خط الأعداد الحقيقية يقبل ترتيبًا جيدًا. على سبيل المثال، إحدى صيغ الفرضية هي أن${\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{0}}$لكل عدد أصلي${\displaystyle {\mathfrak {p}}<\beth _{1}}$.

تُوسّع فرضية الاستمرارية المعممة التأكيد أعلاه ليشمل مؤشرات أخرى. تقول إحدى الصيغ إن متتالية أعداد بيث هي نفسها متتالية أعداد أليف ، أي ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ لجميع الأعداد الترتيبية${\displaystyle \alpha }$هذا التأكيد يستلزم بوضوح بديهية الاختيار، لأن أعداد بيتا متكافئة في النهاية. (في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات،${\displaystyle A\subseteq V_{\omega +\alpha }}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha }$، لذا${\displaystyle |A|\leq |V_{\omega +\alpha }|=\beth _{\alpha }}$ويترتب على ذلك من البيان أن${\displaystyle |A|\leq \aleph _{\alpha }}$ومن ثم${\displaystyle A}$(يقبل ترتيبًا جيدًا.) تشير الصياغات المختلفة لفرضية الاستمرارية إلى تعميمات مختلفة، لكن التعميمات "المعقولة" المعروفة تبين أنها متكافئة وتستلزم بديهية الاختيار، على الرغم من أن البراهين أكثر صعوبة.

الرمز الأكثر عمومية${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$، بالنسبة للأعداد الترتيبية${\displaystyle \alpha }$والكرادلة${\displaystyle \kappa }$يُستخدم أحيانًا. وبناءً على بديهية الاختيار، يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$إذا كان λ عددًا ترتيبيًا حديًا.

بدون بديهية الاختيار، يصبح التعريف أكثر تعقيدًا. تكمن الصعوبة الرئيسية في أنه لا يمكن حساب عدد عناصر الاتحادات المنفصلة اللانهائية من عدد عناصر مكوناتها فقط. باستخدام الاستدعاء الذاتي، نُعرّف${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$على النحو التالي:

${\displaystyle W_{0}(A)=A,}$

${\displaystyle W_{\alpha +1}(A)={\mathcal {P}}(W_{\alpha }(A)),}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha \in \lambda }(\{\alpha \}\times W_{\alpha }(A))}$إذا كان λ عددًا ترتيبيًا حديًا.

تم إعطاؤه حقنة${\displaystyle f:A\to B}$يمكننا بناء عمليات الحقن بشكل متكرر${\displaystyle g_{\alpha }:W_{\alpha }(A)\to W_{\alpha }(B)}$. لو${\displaystyle f}$إذا كانت دالة تقابلية، فإن دالة تقابلية كذلك${\displaystyle g_{\alpha }}$لذا يمكننا تعريف عملية الربط للأعداد الأصلية بواسطة${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)=|W_{\alpha }(A)|}$.

ويترتب على ذلك (بسهولة باستخدام بديهية الاختيار أو بعد نقاش أكثر دقة بخلاف ذلك) أن

${\displaystyle \beth _{\omega +\alpha }(0)=\beth _{\alpha },}$

أين${\displaystyle \beth _{\alpha }}$هو عدد بيث عادي، و

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }({\mathfrak {p}}))=\beth _{\alpha +\beta }({\mathfrak {p}}).}$

بخاصة،${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\beth _{\omega }(0))=\beth _{\alpha }(\beth _{0})=\beth _{\alpha }(\aleph _{0})}$لأي عميد${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$وأي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha \supseteq \omega ^{2}}$،${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\geq \beth _{\alpha }(0)=\beth _{\alpha -\omega }=\beth _{\alpha }}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle {\mathfrak {p}}\leq \beth _{\beta }}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \beta }$ويترتب على ذلك${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})\leq \beth _{\alpha }(\beth _{\beta })=\beth _{\beta +\alpha }=\beth _{\alpha }}$للكبير${\displaystyle \alpha }$(مثل ترتيبية${\displaystyle \omega }$نسخ من${\displaystyle \beta }$(مكدسة خطيًا). وبالتالي لكل عدد أصلي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يوجد عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha _{0}}$بحيث

${\displaystyle \beth _{\alpha }({\mathfrak {p}})=\beth _{\alpha }}$لكل عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha \supseteq \alpha _{0}}$.

ينطبق هذا أيضًا في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع العناصر الأولية (مع أو بدون بديهية الاختيار)، بشرط أن تُشكّل العناصر الأولية مجموعةً متساوية العدد مع مجموعة نقية (مجموعة لا يحتوي إغلاقها المتعدي على أي عناصر أولية). إذا تحققت بديهية الاختيار، فإن أي مجموعة من العناصر الأولية تكون متساوية العدد مع مجموعة نقية.${\displaystyle A}$إذا لم يكن العنصر مكافئًا لأي مجموعة نقية، فليس من الواضح ما هو موضوع نظرية المجموعات الذي سيكون عدد عناصره، ناهيك عن${\displaystyle \beth _{\alpha }(|A|)}$ومع ذلك، لا يزال بإمكاننا البناء${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$كما سبق، وإذا${\displaystyle B}$مكافئ لـ${\displaystyle A}$ثم${\displaystyle W_{\alpha }(B)}$مكافئ لـ${\displaystyle W_{\alpha }(A)}$.)

يُستدل على حتمية بوريل من خلال وجود جميع الحزم ذات الدليل القابل للعد. ^{[ 4 ]}

• مجموعة غير معدودة