الهندسة المنظمة

الموسوعة الحرة

الهندسة المرتبة هي شكل من أشكال الهندسة يتميز بمفهوم الوساطة (أو "الوسطية")، ولكنها، مثل الهندسة الإسقاطية ، تغفل المفهوم الأساسي للقياس . تُعد الهندسة المرتبة هندسة أساسية تُشكل إطارًا مشتركًا للهندسة الأفينية والإقليدية والمطلقة والزائدية (ولكن ليس للهندسة الإسقاطية).

تاريخ

عرّف موريتز باش الهندسة لأول مرة دون الرجوع إلى القياس عام ١٨٨٢. وقد طُوّرت بديهياته لاحقًا على يد بيانو (١٨٨٩)، وهيلبرت (١٨٩٩)، وفيبلين (١٩٠٤). [ ١ ] : ١٧٦ وقد استبق إقليدس نهج باش في التعريف الرابع من كتاب الأصول : "الخط المستقيم هو خط يقع على نفس النقطة". [ ٢ ]

المفاهيم البدائية

المفاهيم الأولية الوحيدة في الهندسة المرتبة هي النقاط A و B و C ... والعلاقة الثلاثية للوساطة [ ABC ] والتي يمكن قراءتها على أنها " B تقع بين A و C ".

التعريفات

القطعة المستقيمة AB هي مجموعة النقاط P بحيث يكون [ APB ].

الفترة AB هي القطعة المستقيمة AB ونقطتي نهايتها A و B.

الشعاع A / B (يقرأ على أنه "الشعاع من A بعيدًا عن B " ) هو مجموعة النقاط P بحيث [ PAB ].

الخط AB هو الفترة AB والشعاعان A / B و B / A . يقال إن النقاط الواقعة على الخط AB تقع على استقامة واحدة .

تتكون الزاوية من نقطة O ( الرأس ) وشعاعين غير متوازيين يخرجان من O ( الجانبين ).

يُعطى المثلث بثلاث نقاط غير متوازية (تسمى الرؤوس ) وثلاثة قطع مستقيمة منها هي AB و BC و CA.

إذا كانت النقاط الثلاث A و B و C غير متوازية، فإن المستوى ABC هو مجموعة جميع النقاط المتوازية مع أزواج من النقاط على ضلع واحد أو اثنين من أضلاع المثلث ABC .

إذا كانت النقاط الأربع A و B و C و D غير مستوية، فإن الفضاء ( الفضاء الثلاثي ) ABCD هو مجموعة جميع النقاط المتوازية مع أزواج النقاط المختارة من أي من الوجوه الأربعة (المناطق المستوية) للهرم الرباعي ABCD .

بديهيات الهندسة المرتبة

  1. توجد نقطتان على الأقل.
  2. إذا كانت A و B نقطتين مختلفتين، فإنه يوجد C بحيث [ABC].
  3. إذا كان [ ABC ]، فإن A و C متميزان ( A ≠ C ).
  4. إذا كان [ ABC ]، فإن [ CBA ] ولكن ليس [ CAB ].
  5. إذا كانت C و D نقطتين مختلفتين على الخط AB ، فإن A تقع على الخط CD .
  6. إذا كان AB خطًا مستقيمًا، فهناك نقطة C لا تقع على الخط AB .
  7. ( مسلمة باش ) إذا كان ABC مثلثًا و[ BCD ] و[ CEA ]، فإنه توجد نقطة F على الخط DE بحيث يكون [ AFB ] .
  8. بديهية الأبعاد :
    1. في الهندسة المستوية المرتبة، تقع جميع النقاط في مستوى واحد. أو
    2. إذا كان ABC مستوى، فإنه توجد نقطة D ليست في المستوى ABC .
  9. جميع النقاط تقع في نفس المستوى، أو الفضاء، أو ما شابه ذلك (اعتمادًا على البعد الذي يختاره المرء للعمل ضمنه).
  10. (مبدأ ديديكيند) لكل تقسيم لجميع النقاط على خط مستقيم إلى مجموعتين غير فارغتين بحيث لا تقع أي نقطة من أي منهما بين نقطتين من الأخرى، توجد نقطة من إحدى المجموعتين تقع بين كل نقطة أخرى من تلك المجموعة وكل نقطة من المجموعة الأخرى.

ترتبط هذه البديهيات ارتباطًا وثيقًا ببديهيات هيلبرت للترتيب . للاطلاع على دراسة شاملة لبديهيات الهندسة المرتبة، انظر بامبوتشيان (2011). [ 3 ]

نتائج

مشكلة سيلفستر المتعلقة بالنقاط الواقعة على خط مستقيم واحد

يمكن إثبات نظرية سيلفستر-غالاي في إطار الهندسة المرتبة . [ 4 ] [ 1 ] : 181 ، 2

التوازي

طوّر كلٌّ من غاوس وبولياي ولوباتشيفسكي مفهوم التوازي الذي يمكن التعبير عنه في الهندسة المرتبة. [ 1 ] : 189، 90

نظرية (وجود التوازي): إذا كانت لدينا نقطة A ومستقيم r لا يمر بها ، فإنه يوجد شعاعان نهائيان من A في المستوى Ar لا يتقاطعان مع r . إذن، يوجد مستقيم موازٍ يمر بـ A ولا يتقاطع مع r .

نظرية (انتقال التوازي): يتم الحفاظ على توازي الشعاع والخط عن طريق إضافة أو طرح قطعة مستقيمة من بداية الشعاع.

لا يمكن إثبات خاصية التعدي في التوازي في الهندسة المرتبة. [ 5 ] لذلك ، فإن مفهوم "الترتيب" للتوازي لا يشكل علاقة تكافؤ على الخطوط.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 كوكسيتر، إتش إس إم (1969). مقدمة في الهندسة (  الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 . 
  2. ↑ هيث، توماس ( 1956) [1925]. الكتب الثلاثة عشر لأصول إقليدس (المجلد 1) . نيويورك: منشورات دوفر . ص 165. ISBN  0-486-60088-2.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  3. ↑ بامبوكيان، فيكتور (2011). "بديهيات الهندسة المرتبة: الجزء الأول: فضاءات الوقوع المرتبة". Expositiones Mathematicae . 29 : 24-66 . doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004 .
  4. ^ بامبوتشيان، فيكتور (2009). "تحليل عكسي لنظرية سيلفستر-غالاي" . مجلة نوتردام للمنطق الرسمي . 50 (3): 245-260 . دوى : 10.1215/00294527-2009-010 . زبل 1202.03023 . 
  5. ↑ بوسمان، هربرت (1955). هندسة الجيوديسيات . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 6. نيويورك: أكاديميك برس . ص 139. ISBN   0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )