دالة محدودة

في الرياضيات ، الدالة${\displaystyle f}$معرفة على مجموعة ما${\displaystyle X}$يُطلق على المجموعة التي تحتوي على قيم حقيقية أو مركبة اسم مجموعة محدودة إذا كانت مجموعة قيمها (صورتها ) محدودة . بعبارة أخرى، يوجد عدد حقيقي${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$[ ^{1 ]} يقال إن الدالة غير المحدودة ^هي دالة غير محدودة .

لو${\displaystyle f}$له قيمة حقيقية و${\displaystyle f(x)\leq A}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$عندئذٍ يُقال إن الدالة محدودة من الأعلى بواسطة${\displaystyle A}$. لو${\displaystyle f(x)\geq B}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$عندئذٍ يُقال إن الدالة محدودة من الأسفل بواسطة${\displaystyle B}$تكون الدالة ذات القيم الحقيقية محدودة إذا وفقط إذا كانت محدودة من الأعلى والأسفل. ^{[ 1 ]}

تُعدّ المتتالية المحدودة حالة خاصة مهمة ، حيث${\displaystyle X}$يُعتبر هو المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية . وبالتالي، فهي متتالية${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$تكون محدودة إذا وُجد عدد حقيقي${\displaystyle M}$بحيث

${\displaystyle |a_{n}|\leq M}$

لكل عدد طبيعي${\displaystyle n}$تشكل مجموعة جميع المتتاليات المحدودة فضاء المتتاليات${\displaystyle l^{\infty }}$.

يمكن تعميم تعريف التقييد ليشمل الدوال.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$أخذ القيم في نطاق أوسع${\displaystyle Y}$من خلال اشتراط أن تكون الصورة${\displaystyle f(X)}$هي مجموعة محدودة في${\displaystyle Y}$.

يُعدّ التقييد المحلي أضعف من التقييد . قد تكون مجموعة من الدوال المقيدة مقيدة بشكل منتظم .

مؤثر محدود${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ليست دالة محدودة بالمعنى الوارد في تعريف هذه الصفحة (إلا إذا${\displaystyle T=0}$)، لكنها تتمتع بخاصية أضعف تتمثل في الحفاظ على التقييد ؛ مجموعات محدودة${\displaystyle M\subseteq X}$يتم تعيينها إلى مجموعات محدودة${\displaystyle T(M)\subseteq Y}$يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل أي دالة .${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$يُتيح ذلك مفهوم المجموعة المحدودة. ويمكن أيضاً تحديد محدودية المجموعة من خلال النظر إلى الرسم البياني.

• دالة الجيب​${\displaystyle \sin$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } محدود لأن${\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$[ ^{1 ] [ 2 ]​}
• الوظيفة${\displaystyle f(x)=(x^{2}-1)^{-1}}$، معرفة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$باستثناء -1 و1، فإنّها غير محدودة.${\displaystyle x}$عندما تقترب قيمة هذه الدالة من -1 أو 1، تزداد قيمتها المطلقة. ويمكن جعل هذه الدالة محدودة إذا تم حصر نطاقها، على سبيل المثال،${\displaystyle [2,\infty )}$أو${\displaystyle (-\infty ,-2]}$.
• الوظيفة${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$، معرفة لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$، محدودة ، لأن${\textstyle |f(x)|\leq 1}$للجميع${\displaystyle x}$.
• الدالة المثلثية العكسية arctangent تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle y=\arctan(x)}$أو${\displaystyle x=\tan(y)}$ is increasing for all real numbers ${\displaystyle x}$ and bounded with ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$radians^[3]
• By the boundedness theorem, every continuous function on a closed interval, such as ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$, is bounded.^[4] More generally, any continuous function from a compact space into a metric space is bounded.
• All complex-valued functions ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ which are entire are either unbounded or constant as a consequence of Liouville's theorem.^[5] In particular, the complex ${\displaystyle \sin$ :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } must be unbounded since it is entire.
• The function ${\displaystyle f}$ which takes the value 0 for ${\displaystyle x}$rational number and 1 for ${\displaystyle x}$irrational number (cf. Dirichlet function) is bounded. Thus, a function does not need to be "nice" in order to be bounded. The set of all bounded functions defined on ${\displaystyle [0,1]}$ is much larger than the set of continuous functions on that interval. Moreover, continuous functions need not be bounded; for example, the functions ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle g(x,y):=x+y}$ and ${\displaystyle h(x,y):={\frac {1}{x+y}}}$ are both continuous, but neither is bounded.^[6] (However, a continuous function must be bounded if its domain is both closed and bounded.^[6])

• Bounded set
• Compact support
• Local boundedness
• Uniform boundedness