فحص التكرار الدوري

يُعدّ فحص التكرار الدوري ( CRC ) رمزًا لكشف الأخطاء، ويُستخدم عادةً في الشبكات الرقمية وأجهزة التخزين لاكتشاف التغييرات غير المقصودة في البيانات الرقمية. تُضاف قيمة فحص قصيرة إلى كتل البيانات الداخلة إلى هذه الأنظمة ، بناءً على باقي قسمة متعددة الحدود لمحتوياتها. عند استرجاع البيانات، تُعاد العملية الحسابية، وفي حال عدم تطابق قيم الفحص، يُمكن اتخاذ إجراءات تصحيحية لمعالجة تلف البيانات. يُمكن استخدام رموز CRC لتصحيح الأخطاء (انظر مرشحات البت ). ^{[ 1 ]}

تُسمى رموز التحقق الدورية (CRC) بهذا الاسم لأن قيمة التحقق (التحقق من البيانات) تُعدّ تكرارًا (فهي تُوسّع الرسالة دون إضافة معلومات )، وتعتمد الخوارزمية على الرموز الدورية . تحظى رموز التحقق الدورية بشعبية واسعة نظرًا لسهولة تنفيذها في الأجهزة الثنائية ، وسهولة تحليلها رياضيًا، وكفاءتها العالية في اكتشاف الأخطاء الشائعة الناتجة عن التشويش في قنوات الإرسال. ولأن قيمة التحقق لها طول ثابت، تُستخدم الدالة التي تُولّدها أحيانًا كدالة تجزئة .

تعتمد رموز تصحيح الأخطاء الدورية (CRCs) على نظرية رموز تصحيح الأخطاء الدورية . وقد اقترح دبليو ويسلي بيترسون لأول مرة في عام 1961 استخدام الرموز الدورية المنتظمة ، التي تُشفّر الرسائل بإضافة قيمة تحقق ثابتة الطول، لغرض اكتشاف الأخطاء في شبكات الاتصالات. ^{[ 2 ]} تتميز الرموز الدورية بسهولة تطبيقها، كما أنها ملائمة بشكل خاص لاكتشاف أخطاء الاندفاع : وهي عبارة عن تسلسلات متجاورة من رموز البيانات الخاطئة في الرسائل. وهذا أمر بالغ الأهمية لأن أخطاء الاندفاع شائعة في العديد من قنوات الاتصال ، بما في ذلك أجهزة التخزين المغناطيسية والبصرية. عادةً ما يكتشف رمز CRC ذو n بت، عند تطبيقه على كتلة بيانات ذات طول عشوائي، أي اندفاع خطأ منفرد لا يتجاوز n بت، وتكون نسبة اكتشافه لجميع اندفاعات الأخطاء الأطول تقريبًا (1 - 2 ^{- n} ) .

يتطلب تحديد رمز CRC تعريف ما يُسمى بمتعددة الحدود المولدة . تصبح هذه المتعددة الحدود هي القاسم في عملية القسمة المطولة ، حيث تُعتبر الرسالة هي المقسوم ، ويُهمل ناتج القسمة ، ويصبح الباقي هو النتيجة. والملاحظة المهمة هي أن معاملات متعددة الحدود تُحسب وفقًا لحسابات حقل منتهٍ ، لذا يمكن دائمًا إجراء عملية الجمع بالتوازي على مستوى البتات (لا يوجد ترحيل بين الأرقام).

عملياً، تستخدم جميع رموز التحقق الدوري الشائعة حقلًا منتهيًا مكونًا من عنصرين، GF(2) . ويُطلق على هذين العنصرين عادةً 0 و1، وهو ما يتوافق بشكل مريح مع بنية الحاسوب.

يُطلق على رمز التحقق الدوري (CRC) اسم رمز التحقق الدوري ذي n بت عندما يكون طول قيمة التحقق n بت. بالنسبة لقيمة n معينة ، يمكن أن يكون هناك عدة رموز تحقق دوري، لكل منها متعددة حدود مختلفة. تتميز متعددة الحدود هذه بأعلى درجة n ، مما يعني أنها تحتوي على n + 1 حدًا. بعبارة أخرى، يبلغ طول متعددة الحدود n + 1 ؛ ويتطلب ترميزها n + 1 بت. تجدر الإشارة إلى أن معظم مواصفات متعددات الحدود تتجاهل إما البت الأكثر أهمية (MSb) أو البت الأقل أهمية (LSb) ، لأنهما دائمًا ما يكونان 1. عادةً ما يكون لرمز التحقق الدوري ومتعددة الحدود المرتبطة به اسم على شكل CRC- n -XXX كما هو موضح في الجدول أدناه.

أبسط نظام للكشف عن الأخطاء، وهو بت التكافؤ ، هو في الواقع CRC ذو بت واحد: فهو يستخدم متعدد الحدود المولد x + 1 (مصطلحان)، ^{[ 3 ]} ويحمل اسم CRC-1. 

يقوم الجهاز المزود بتقنية CRC بحساب تسلسل ثنائي قصير وثابت الطول، يُعرف باسم قيمة التحقق أو CRC ، لكل كتلة من البيانات المراد إرسالها أو تخزينها، ثم يضيفها إلى البيانات، مما يشكل كلمة رمزية .

عند استلام أو قراءة كلمة رمزية، يقوم الجهاز إما بمقارنة قيمة التحقق الخاصة به مع قيمة تم حسابها حديثًا من كتلة البيانات، أو بشكل مكافئ، يقوم بإجراء CRC على الكلمة الرمزية بأكملها ويقارن قيمة التحقق الناتجة مع ثابت البقايا المتوقع .

إذا لم تتطابق قيم CRC، فإن الكتلة تحتوي على خطأ في البيانات.

قد يتخذ الجهاز إجراءً تصحيحيًا، مثل إعادة قراءة الكتلة أو طلب إعادة إرسالها. وإلا، يُفترض أن البيانات خالية من الأخطاء (مع ذلك، وباحتمال ضئيل، قد تحتوي على أخطاء غير مكتشفة؛ وهذا أمر متأصل في طبيعة التحقق من الأخطاء). ^{[ 4 ]}

صُممت رموز التحقق من صحة البيانات (CRCs) خصيصًا للحماية من أنواع الأخطاء الشائعة في قنوات الاتصال، حيث توفر ضمانًا سريعًا ومعقولًا لسلامة الرسائل المُرسلة. مع ذلك، فهي غير مناسبة للحماية من التلاعب المتعمد بالبيانات.

أولًا، نظرًا لعدم وجود آلية مصادقة، يستطيع المهاجم تعديل الرسالة وإعادة حساب رمز التحقق الدوري (CRC) دون أن يُكتشف التعديل. وعند تخزين رموز التحقق الدوري (CRC) ودوال التجزئة المشفرة مع البيانات، فإنها لا توفر الحماية الكافية ضد التعديل المتعمد للبيانات. لذا، يجب على أي تطبيق يتطلب الحماية من هذه الهجمات استخدام آليات مصادقة تشفيرية، مثل رموز مصادقة الرسائل أو التوقيعات الرقمية (التي تعتمد عادةً على دوال التجزئة المشفرة ).

ثانيًا، على عكس دوال التجزئة المشفرة، فإن CRC دالة قابلة للعكس بسهولة، مما يجعلها غير مناسبة للاستخدام في التوقيعات الرقمية. ^{[ 5 ]}

ثالثًا، تحقق CRC علاقة مشابهة لتلك الخاصة بالدالة الخطية (أو بدقة أكبر، الدالة الأفينية ): ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \operatorname {CRC} (x\oplus y)=\operatorname {CRC} (x)\oplus \operatorname {CRC} (y)\oplus c}$

أين${\displaystyle c}$يعتمد ذلك على طول${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ويمكن التعبير عن ذلك أيضاً على النحو التالي، حيث${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$لها نفس الطول

${\displaystyle \operatorname {CRC} (x\oplus y\oplus z)=\operatorname {CRC} (x)\oplus \operatorname {CRC} (y)\oplus \operatorname {CRC} (z);}$

ونتيجة لذلك، حتى لو تم تشفير رمز التحقق الدوري (CRC) باستخدام تشفير تدفق يستخدم عملية XOR كعملية دمج (أو نمط تشفير كتلة يحوله فعليًا إلى تشفير تدفق، مثل OFB أو CFB)، فإنه يمكن التلاعب بكل من الرسالة ورمز التحقق الدوري المرتبط بها دون معرفة مفتاح التشفير؛ وكان هذا أحد عيوب التصميم المعروفة لبروتوكول الخصوصية المكافئة السلكية (WEP). ^{[ 7 ]}

لحساب CRC ثنائي مكون من n بت، قم بترتيب البتات التي تمثل المدخلات في صف واحد، وضع نمط ( n + 1 ) بت الذي يمثل قاسم CRC (يسمى " متعدد الحدود ") أسفل الطرف الأيسر من الصف.

في هذا المثال، سنقوم بتشفير رسالة مكونة من 14 بت باستخدام رمز التحقق الدوري (CRC) ذي 3 بتات، وذلك باستخدام متعددة الحدود ^{x³ +} x + 1. تُكتب متعددة الحدود بالنظام الثنائي على شكل معاملات؛ متعددة الحدود من الدرجة الثالثة لها 4 معاملات ( 1x³ + 0x² + 1x ⁺ 1 ) . في هذه الحالة، المعاملات هي 1، 0، 1، و 1 . يبلغ طول نتيجة الحساب 3 بتات، ولذلك يُطلق عليها رمز التحقق الدوري ذي 3 بتات. مع ذلك، يلزم 4 بتات لتحديد متعددة الحدود بشكل صريح.

ابدأ بالرسالة المراد تشفيرها:

11010011101100 

يُضاف إلى هذه القيمة أولاً أصفارٌ تُساوي طول البتات n في رمز التحقق الدوري (CRC). ويتم ذلك لضمان أن تكون كلمة الترميز الناتجة مُنتظمة . إليك الحساب الأولي لحساب رمز التحقق الدوري (CRC) ذي 3 بتات:

11010011101100 000 <--- تم إضافة 3 بتات من اليمين إلى المدخلات 1011 <--- القاسم (4 بتات) = x^3 + x + 1 ------------------ 01100011101100 000 <--- النتيجة

تُطبّق الخوارزمية على البتات التي تعلو المقسوم عليه مباشرةً في كل خطوة. وتكون نتيجة هذه العملية هي عملية XOR الثنائية بين المقسوم عليه والبتات التي تعلوه. أما البتات التي لا تعلو المقسوم عليه، فتُنسخ ببساطة إلى أسفله مباشرةً في تلك الخطوة. ثم يُزاح المقسوم عليه إلى اليمين ليُحاذي أعلى بت متبقٍ قيمته 1 في المدخلات، وتُكرر العملية حتى يصل المقسوم عليه إلى نهاية يمين صف المدخلات. إليك الحساب الكامل:

11010011101100 000 <--- تم إضافة 3 بتات من اليمين إلى المدخلات 1011 <--- المقسوم عليه 01100011101100 000 <--- النتيجة (البتات الأربعة الأولى هي عملية XOR مع المقسوم عليه أدناه، أما باقي البتات فتبقى دون تغيير) 1011 <--- المقسوم عليه ... 00111011101100 000 1011 00010111101100 000 1011 00000001101100 000 <--- ينتقل المقسوم عليه ليتوافق مع الرقم 1 التالي في المقسوم (لأن ناتج القسمة في تلك الخطوة كان صفرًا) 1011 (بمعنى آخر، لا يتحرك بالضرورة بت واحد في كل تكرار) 00000000110100 000 1011 00000000011000 000 1011 00000000001110 000 1011 00000000000101 000 101 1 ----------------- 00000000000000 100 <--- الباقي (3 بتات). تتوقف خوارزمية القسمة هنا لأن المقسوم يساوي صفرًا. 

بما أن بتّ القاسم الأيسر يُصفّر كل بتّ إدخال يمرّ به، فعند انتهاء هذه العملية، تكون البتات الوحيدة في صف الإدخال التي يمكن أن تكون غير صفرية هي البتات n الموجودة في الطرف الأيمن من الصف. هذه البتات n هي باقي خطوة القسمة، وستكون أيضًا قيمة دالة التحقق من التكرار الدوري (CRC) (إلا إذا كانت مواصفات CRC المختارة تتطلب معالجة لاحقة).

يمكن التحقق بسهولة من صحة الرسالة المستلمة بإعادة إجراء العملية الحسابية المذكورة أعلاه، ولكن هذه المرة مع إضافة قيمة التحقق بدلاً من الأصفار. يجب أن يكون الباقي مساوياً للصفر في حال عدم وجود أخطاء قابلة للكشف.

11010011101100 100 <--- إدخال مع قيمة التحقق 1011 <--- المقسوم عليه 01100011101100 100 <--- النتيجة 1011 <--- المقسوم عليه ... 00111011101100 100 ...... 00000000001110 100 1011 00000000000101 100 101 1 ------------------ 00000000000000 000 <--- الباقي 

يوضح كود بايثون التالي دالةً تُعيد باقي التحقق من سلامة البيانات (CRC) الأولي لمدخلات متعددة الحدود مُختارة، مع إضافة 1 أو 0 كحشو أولي. يعمل هذا الكود مع المدخلات النصية وليس الأرقام الخام.

دالة crc_remainder ( سلسلة بتات الإدخال ، سلسلة بتات متعددة الحدود ، الحشو الأولي ): """حساب باقي CRC لسلسلة بتات باستخدام متعددة حدود مختارة.  يجب أن يكون الحشو الأولي '1' أو '0'.  """ سلسلة بتات متعددة الحدود = سلسلة بتات متعددة الحدود . lstrip ( "0" ) طول الإدخال = طول ( سلسلة بتات الإدخال ) الحشو الأولي = ( طول ( سلسلة بتات متعددة الحدود ) - 1 ) * الحشو الأولي مصفوفة الإدخال المحشوة = قائمة ( سلسلة بتات الإدخال + الحشو الأولي ) بينما "1" في مصفوفة الإدخال المحشوة [: طول الإدخال ]: الإزاحة الحالية = مصفوفة الإدخال المحشوة . index ( "1" ) for i in range ( len ( polynomial_bitstring )): input_padded_array [ cur_shift + i ] \ = str ( int ( polynomial_bitstring [ i ] != input_padded_array [ cur_shift + i ])) return "" . join ( input_padded_array )[ len_input :]دالة crc_check ( سلسلة بتات الإدخال ، سلسلة بتات متعددة الحدود ، قيمة التحقق ): """حساب قيمة التحقق CRC لسلسلة بتات باستخدام متعددة حدود مختارة.""" سلسلة بتات متعددة الحدود = سلسلة بتات متعددة الحدود . lstrip ( "0" ) طول الإدخال = طول ( سلسلة بتات الإدخال ) الحشو الأولي = قيمة التحقق مصفوفة الإدخال المحشوة = قائمة ( سلسلة بتات الإدخال + الحشو الأولي ) بينما "1" في مصفوفة الإدخال المحشوة [: طول الإدخال ]: الإزاحة الحالية = مصفوفة الإدخال المحشوة . index ( "1" ) for i in range ( len ( polynomial_bitstring )): input_padded_array [ cur_shift + i ] \ = str ( int ( polynomial_bitstring [ i ] != input_padded_array [ cur_shift + i ])) return ( "1" not in "" . join ( input_padded_array )[ len_input :])

>>> crc_remainder ( '11010011101100' , '1011' , '0' ) '100' >>> crc_check ( '11010011101100' , '1011' , '100' ) True

يكشف التحليل الرياضي لهذه العملية الشبيهة بالقسمة عن كيفية اختيار قاسم يضمن خصائص جيدة لاكتشاف الأخطاء. في هذا التحليل، تُعتبر أرقام سلاسل البتات معاملاتٍ لكثير حدود في متغير ما x، وهي معاملات تنتمي إلى الحقل المنتهي GF(2) (الأعداد الصحيحة بتردد 2، أي إما صفر أو واحد)، بدلاً من الأعداد المألوفة. مجموعة كثيرات الحدود الثنائية هي حلقة رياضية .

يصبح مفهوم رمز التحقق الدوري (CRC) كرمز لكشف الأخطاء معقدًا عندما يستخدمه مطور أو لجنة معايير لتصميم نظام عملي. فيما يلي بعض هذه التعقيدات:

• أحيانًا، تُضيف بعض التطبيقات نمط بتات ثابتًا إلى بداية سلسلة البتات المراد فحصها. يُفيد هذا الأمر عندما قد تُضيف أخطاء التوقيت بتات أصفار أمام الرسالة، وهو تغيير من شأنه أن يُبقي قيمة الفحص دون تغيير.
• عادةً، ولكن ليس دائمًا، تُلحق عملية التنفيذ n بتًا من الأصفار ( حيث n هو حجم CRC) بتدفق البتات المراد فحصه قبل إجراء عملية القسمة متعددة الحدود. وقد تم توضيح هذه العملية بالتفصيل في مقالة "حساب CRC" . تكمن ميزة هذه الطريقة في أن باقي تدفق البتات الأصلي بعد إضافة قيمة الفحص يساوي صفرًا تمامًا، وبالتالي يمكن فحص CRC ببساطة عن طريق إجراء القسمة متعددة الحدود على تدفق البتات المُستلم ومقارنة الباقي بالصفر. ونظرًا لخاصيتي التجميع والتبديل لعملية XOR، يمكن للتطبيقات العملية التي تعتمد على الجداول الحصول على نتيجة مكافئة عدديًا لإضافة الأصفار دون الحاجة إلى إضافة أي أصفار بشكل صريح، وذلك باستخدام خوارزمية مكافئة وأسرع ^{[ 8 ]} تجمع بين تدفق بتات الرسالة والتدفق الذي يتم إخراجه من سجل CRC.
• في بعض الأحيان، يقوم التنفيذ بعملية XOR لدمج نمط بت ثابت في باقي قسمة كثير الحدود.
• ترتيب البتات: تعتبر بعض الأنظمة البت الأقل أهمية في كل بايت هو "الأول"، مما يعني أثناء القسمة متعددة الحدود أنه "الأيسر"، وهو ما يتعارض مع فهمنا المعتاد لمصطلح "الأقل أهمية". يكون هذا الاصطلاح منطقيًا عند التحقق من سلامة البيانات (CRC) عبر منفذ التسلسل في الأجهزة، لأن بعض اصطلاحات نقل البيانات الشائعة عبر منفذ التسلسل تُرسل البايتات بدءًا من البت الأقل أهمية.
• ترتيب البايتات : في خوارزميات التحقق من التكرار الدوري متعددة البايتات، قد يحدث لبسٌ حول ما إذا كان البايت المُرسَل أولاً (أو المُخزَّن في البايت ذي العنوان الأدنى في الذاكرة) هو البايت الأقل أهمية (LSB) أم البايت الأكثر أهمية (MSB). على سبيل المثال، تقوم بعض خوارزميات التحقق من التكرار الدوري ذات 16 بت بتبديل بايتات قيمة التحقق.
• حذف البت الأعلى رتبة من متعدد الحدود المقسوم عليه: بما أن البت الأعلى رتبة هو دائمًا 1، وبما أن CRC ذو n بت يجب أن يتم تعريفه بواسطة مقسوم عليه ( n + 1 ) بت يتجاوز سجل n بت ، فإن بعض الكتاب يفترضون أنه ليس من الضروري ذكر البت الأعلى رتبة للمقسوم عليه.
• حذف البت ذي الرتبة الأدنى من كثير الحدود المقسوم عليه: بما أن البت ذي الرتبة الأدنى يساوي دائمًا 1، فإن مؤلفين مثل فيليب كوبمان يمثلون كثيرات الحدود مع الحفاظ على البت ذي الرتبة الأعلى، ولكن بدون البت ذي الرتبة الأدنى (البت ذي الرتبة الأعلى).${\displaystyle x^{0}}$أو حد واحد). يرمز هذا الاصطلاح إلى متعددة الحدود كاملة بدرجتها في عدد صحيح واحد.

تعني هذه التعقيدات وجود ثلاث طرق شائعة للتعبير عن متعددة الحدود كعدد صحيح: الطريقتان الأوليان، وهما صورتان معكوسة في النظام الثنائي، هما الثوابت الموجودة في الشيفرة؛ أما الثالثة فهي العدد الموجود في أبحاث كوبمان. في كل حالة، يُحذف حد واحد. لذا فإن متعددة الحدود${\displaystyle x^{4}+x+1}$يمكن نسخها على النحو التالي:

• 0x3 = 0b0011، وهو ما يمثل${\displaystyle x^{4}+(0x^{3}+0x^{2}+1x^{1}+1x^{0})}$(رمز MSB أولاً)
• 0xC = 0b1100، يمثل${\displaystyle (1x^{0}+1x^{1}+0x^{2}+0x^{3})+x^{4}}$(رمز يبدأ بالبت الأقل أهمية)
• 0x9 = 0b1001، وهو ما يمثل${\displaystyle (1x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+1x^{1})+x^{0}}$(تدوين كوبمان)

يتم عرضها في الجدول أدناه على النحو التالي:

قد يتم إخفاء رموز التحقق الدوري (CRC) في البروتوكولات الخاصة باستخدام قيمة أولية غير تافهة وعملية XOR نهائية، لكن هذه التقنيات لا تُدخل قوة تشفيرية في الخوارزمية ويمكن عكس هندستها باستخدام طرق مباشرة. ^{[ 10 ]}

تم دمج العديد من أنواع فحوصات التكرار الدوري في المعايير التقنية . ولا يُناسب أي خوارزمية، أو أي خوارزمية من كل درجة، جميع الأغراض؛ إذ يوصي كوبمان وشاكرافارتي باختيار متعددة الحدود وفقًا لمتطلبات التطبيق والتوزيع المتوقع لأطوال الرسائل. ^{[ 11 ]} وقد أدى تعدد أنواع فحوصات التكرار الدوري (CRC) المستخدمة إلى إرباك المطورين، وهو وضع سعى المؤلفون إلى معالجته. ^{[ 8 ]} وهناك ثلاث متعددات حدود مُبلغ عنها لـ CRC-12، ^{[ 11 ]} واثنان وعشرون تعريفًا متضاربًا لـ CRC-16، وسبعة تعريفات لـ CRC-32. ^{[ 12 ]}

إنّ كثيرات الحدود الشائعة الاستخدام ليست بالضرورة الأكثر كفاءة. فمنذ عام ١٩٩٣، قام كوبمان وكاستانيولي وآخرون بدراسة فضاء كثيرات الحدود التي يتراوح حجمها بين ٣ و٦٤ بتًا، ^{[ ١١ ] [ ١٣ ] [ ١٤ ] [ ١٥ ]} ووجدوا أمثلةً ذات أداء أفضل بكثير (من حيث مسافة هامينغ لحجم رسالة مُحدد) من كثيرات الحدود المستخدمة في البروتوكولات السابقة، ونشروا أفضلها بهدف تحسين قدرة اكتشاف الأخطاء في المعايير المستقبلية. ^{[ ١٤ ]} وعلى وجه الخصوص، اعتمد كلٌّ من بروتوكول iSCSI وبروتوكول SCTP إحدى نتائج هذا البحث، وهي كثيرة حدود CRC-32C (كاستانيولي).

كان تصميم متعدد الحدود ذي 32 بت، الأكثر شيوعًا بين هيئات التقييس، CRC-32-IEEE، ثمرة جهد مشترك بين مختبر روما وقسم الأنظمة الإلكترونية التابع للقوات الجوية، قام به جوزيف هاموند وجيمس براون وشيان-شيانغ ليو من معهد جورجيا للتكنولوجيا ، وكينيث براير من شركة ميتري . ظهرت متعدد الحدود ذي 32 بت لأول مرة في منشوراتهم عام 1975: التقرير الفني رقم 2956 لبراير لصالح ميتري، والذي نُشر في يناير/كانون الثاني وأُتيح للنشر العام عبر مركز معلومات تكنولوجيا الدفاع (DTIC) في أغسطس/آب، ^{[ 16 ]} وتقرير هاموند وبراون وليو لصالح مختبر روما، والذي نُشر في مايو/أيار. ^{[ 17 ]} وقد تضمن كلا التقريرين مساهمات من الفريق الآخر. خلال شهر ديسمبر من عام 1975، قدم براير وهاموند بحثهما في مؤتمر IEEE الوطني للاتصالات: حيث تم اختيار متعددة الحدود IEEE CRC-32، وهي متعددة الحدود المولدة لرمز هامينغ ، لأدائها المتميز في كشف الأخطاء. ^{[ 18 ]} ومع ذلك، فإن متعددة الحدود Castagnoli CRC-32C المستخدمة في بروتوكولي iSCSI وSCTP تُضاهي أداءها في الرسائل التي تتراوح أحجامها من 58 بت إلى 131 كيلوبت، وتتفوق عليها في نطاقات أحجام متعددة، بما في ذلك الحجمين الأكثر شيوعًا لحزم الإنترنت. ^{[ 14 ]} كما يستخدم معيار ITU -T G.hn أيضًا CRC-32C لكشف الأخطاء في الحمولة (على الرغم من أنه يستخدم CRC-16-CCITT لرؤوس الطبقة الفيزيائية ).

تُنفَّذ عملية حساب CRC-32C في العتاد كعملية ( CRC32) ضمن مجموعة تعليمات SSE4.2 ، التي طُرحت لأول مرة في معمارية Nehalem الدقيقة لمعالجات Intel . كما توفر معمارية ARM AArch64 تسريعًا للعتاد لكلٍّ من عمليتي CRC-32 وCRC-32C.

يسرد الجدول أدناه كثيرات الحدود الخاصة بالخوارزميات المختلفة المستخدمة فقط. قد تفرض اختلافات بروتوكول معين عمليات ما قبل الانعكاس، وما بعد الانعكاس، وترتيب البتات المعكوس كما هو موضح أعلاه. على سبيل المثال، يستخدم CRC-32 المستخدم في Gzip وBzip2 نفس كثيرة الحدود، لكن Gzip يستخدم ترتيب البتات المعكوس، بينما لا يستخدمه Bzip2. ^{[ 12 ]} لاحظ أن كثيرات الحدود ذات التكافؤ الزوجي في GF(2) من الدرجة الأكبر من 1 ليست أولية أبدًا. تمثل كثيرة الحدود ذات التكافؤ الزوجي التي تم وضع علامة عليها بأنها أولية في هذا الجدول كثيرة حدود أولية مضروبة في${\displaystyle \left(x+1\right)}$. البت الأكثر أهمية في كثير الحدود هو دائمًا 1، ولا يظهر في التمثيلات السداسية العشرية.

اسم	الاستخدامات	التمثيلات متعددة الحدود				التكافؤ [ 19 ]	بدائي [ 20 ]	الحد الأقصى لعدد بتات الحمولة حسب مسافة هامينغ [ 21 ] [ 14 ] [ 20 ]
		طبيعي	معكوس	متبادل	المقلوب المعكوس			≥  16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2 [ 22 ]
CRC-1	معظم الأجهزة؛ تُعرف أيضًا باسم بت التكافؤ	0x1	0x1	0x1	0x1	حتى
		${\displaystyle x+1}$
CRC-3- GSM	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0x3	0x6	0x5	0x5	غريب	نعم [ 24 ]	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	4	∞
		${\displaystyle x^{3}+x+1}$
CRC-4-ITU	ITU-T G.704 ، ص  12	0x3	0xC	0x9	0x9	غريب
		${\displaystyle x^{4}+x+1}$
CRC-5-EPC	الجيل الثاني من تقنية تحديد الهوية بموجات الراديو [ 25 ]	0x09	0x12	0x05	0x14	غريب
		${\displaystyle x^{5}+x^{3}+1}$
CRC-5-ITU	ITU-T G.704 ، ص  9	0x15	0x15	0x0B	0x1A	حتى
		${\displaystyle x^{5}+x^{4}+x^{2}+1}$
CRC-5-USB	حزم رموز USB	0x05	0x14	0x09	0x12	غريب
		${\displaystyle x^{5}+x^{2}+1}$
CRC-6- CDMA2000 -A	الشبكات المتنقلة [ 26 ]	0x27	0x39	0x33	0x33	غريب
CRC-6- CDMA2000 -B	الشبكات المتنقلة [ 26 ]	0x07	0x38	0x31	0x23	حتى
CRC-6-DARC	قناة بيانات الراديو [ 27 ]	0x19	0x26	0x0D	0x2C	حتى
CRC-6- GSM	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0x2F	0x3D	0x3B	0x37	حتى	نعم [ 28 ]	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	1	1	25	25	∞
		${\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
CRC-6-ITU	ITU-T G.704 ، ص  3	0x03	0x30	0x21	0x21	غريب
		${\displaystyle x^{6}+x+1}$
CRC-7	أنظمة الاتصالات، ITU-T G.707 ، ITU-T G.832 ، MMC ، SD	0x09	0x48	0x11	0x44	غريب
		${\displaystyle x^{7}+x^{3}+1}$
CRC-7-MVB	شبكة اتصالات القطارات ، IEC 60870-5 [ 29 ]	0x65	0x53	0x27	0x72	غريب
CRC-8	DVB-S2 [ 30 ]	0xD5	0xAB	0x57	0xEA [ 11 ]	حتى	لا [ 31 ]	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	2	2	85	85	∞
		${\displaystyle x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}$
CRC-8- أوتوسار	التكامل في مجال السيارات، [ 32 ] OpenSafety [ 33 ]	0x2F	0xF4	0xE9	0x97 [ 11 ]	حتى	نعم [ 31 ]	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	3	3	119	119	∞
		${\displaystyle x^{8}+x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
CRC-8- بلوتوث	الاتصال اللاسلكي [ 34 ]	0xA7	0xE5	0xCB	0xD3	حتى
		${\displaystyle x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{2}+x+1}$
CRC-8- CCITT	ITU-T I.432.1 (02/99) ؛ ATM HEC ، و ISDN HEC، وتحديد الخلايا، و SMBus PEC	0x07	0xE0	0xC1	0x83	حتى
		${\displaystyle x^{8}+x^{2}+x+1}$
CRC-8- دالاس / ماكسيم	ناقل 1-Wire [ 35 ]	0x31	0x8C	0x19	0x98	حتى
		${\displaystyle x^{8}+x^{5}+x^{4}+1}$
CRC-8-DARC	قناة بيانات الراديو [ 27 ]	0x39	0x9C	0x39	0x9C	غريب
		${\displaystyle x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+1}$
CRC-8- GSM -B	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0x49	0x92	0x25	0xA4	حتى
		${\displaystyle x^{8}+x^{6}+x^{3}+1}$
CRC-8- SAE J1850	AES3 ؛ OBD	0x1D	0xB8	0x71	0x8E	غريب
		${\displaystyle x^{8}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}$
CRC-8- WCDMA	الشبكات المتنقلة [ 26 ] [ 36 ]	0x9B	0xD9	0xB3	0xCD [ 11 ]	حتى
		${\displaystyle x^{8}+x^{7}+x^{4}+x^{3}+x+1}$
CRC-10	جهاز الصراف الآلي؛ ITU-T I.610	0x233	0x331	0x263	0x319	حتى
		${\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{5}+x^{4}+x+1}$
CRC-10- CDMA2000	الشبكات المتنقلة [ 26 ]	0x3D9	0x26F	0x0DF	0x3EC	حتى
CRC-10- GSM	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0x175	0x2BA	0x175	0x2BA	غريب
CRC-11	فليكس راي [ 37 ]	0x385	0x50E	0x21D	0x5C2	حتى
		${\displaystyle x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{2}+1}$
CRC-12	أنظمة الاتصالات [ 38 ] [ 39 ]	0x80F	0xF01	0xE03	0xC07 [ 11 ]	حتى
		${\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
CRC-12- CDMA2000	الشبكات المتنقلة [ 26 ]	0xF13	0xC8F	0x91F	0xF89	حتى
CRC-12- GSM	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0xD31	0x8CB	0x197	0xE98	غريب
CRC-13-BBC	إشارة الوقت، مفتاح التحويل اللاسلكي [ 40 ] [ 41 ]	0x1CF5	0x15E7	0x0BCF	0x1E7A	حتى
		${\displaystyle x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1}$
CRC-14-DARC	قناة بيانات الراديو [ 27 ]	0x0805	0x2804	0x1009	0x2402	حتى
CRC-14- GSM	الشبكات المتنقلة [ 23 ]	0x202D	0x2D01	0x1A03	0x3016	حتى
CRC-15- CAN		0xC599 [ 42 ] [ 43 ]	0x4CD1	0x19A3	0x62CC	حتى
		${\displaystyle x^{15}+x^{14}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{4}+x^{3}+1}$
CRC-15- MPT1327	[ 44 ]	0x6815	0x540B	0x2817	0x740A	غريب
CRC-16-Chakravarty	الأمثل للأحمال ≤ 64 بت [ 29 ]	0x2F15	0xA8F4	0x51E9	0x978A	غريب
CRC-16- ARINC	تطبيقات ACARS [ 45 ]	0xA02B	0xD405	0xA80B	0xD015	غريب
CRC-16-CCITT	X.25 ، V.41 ، HDLC FCS ، XMODEM ، Bluetooth ، PACTOR ، SD ، DigRF ، وغيرها الكثير؛ والمعروفة باسم CRC-CCITT	0x1021	0x8408	0x811	0x8810 [ 11 ]	حتى
		${\displaystyle x^{16}+x^{12}+x^{5}+1}$
CRC-16- CDMA2000	الشبكات المتنقلة [ 26 ]	0xC867	0xE613	0xCC27	0xE433	غريب
CRC-16- DECT	الهواتف اللاسلكية [ 46 ]	0x0589	0x91A0	0x2341	0x82C4	حتى
		${\displaystyle x^{16}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{3}+1}$
CRC-16- T10 - DIF	SCSI DIF، NVMe (معلومات حماية الحماية 16 بت) [ 47 ]	0x8BB7 [ 48 ]	0xEDD1	0xDBA3	0xC5DB	غريب
		${\displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$
CRC-16- DNP	DNP، IEC 870 ، M-Bus	0x3D65	0xA6BC	0x4D79	0x9EB2	حتى
		${\displaystyle x^{16}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{2}+1}$
CRC-16- IBM	Bisync و Modbus و USB و ANSI X3.28 و SIA DC-07 وغيرها الكثير؛ والمعروفة أيضًا باسم CRC-16 و CRC-16-ANSI	0x8005	0xA001	0x4003	0xC002	حتى
		${\displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{2}+1}$
CRC-16- OpenSafety -A	ناقل بيانات الأمان [ 33 ]	0x5935	0xAC9A	0x5935	0xAC9A [ 11 ]	غريب
CRC-16- OpenSafety -B	ناقل بيانات الأمان [ 33 ]	0x755B	0xDAAE	0xB55D	0xBAAD [ 11 ]	غريب
CRC-16- بروفيبوس	شبكات ناقل البيانات الميدانية [ 49 ]	0x1DCF	0xF3B8	0xE771	0x8EE7	غريب
فليتشر-16	تُستخدم في مجموعات التحقق من Adler-32 A و B	كثيراً ما يُخلط بينه وبين رمز التحقق من التكرار الدوري (CRC)، ولكنه في الواقع رمز التحقق من المجموع الاختباري (checksum)؛ انظر رمز التحقق من المجموع الاختباري لفليتشر.
CRC-17-CAN	CAN FD [ 50 ]	0x1685B	0x1B42D	0x1685B	0x1B42D	حتى
CRC-21-CAN	CAN FD [ 50 ]	0x102899	0x132281	0x064503	0x18144C	حتى
CRC-24	فليكس راي [ 37 ]	0x5D6DCB	0xD3B6BA	0xA76D75	0xAEB6E5	حتى
		${\displaystyle x^{24}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{3}+x+1}$
CRC-24- Radix-64	OpenPGP ، RTCM 104v3	0x864CFB	0xDF3261	0xBE64C3	0xC3267D	حتى
		${\displaystyle x^{24}+x^{23}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1}$
CRC-24- WCDMA	يُستخدم في نظام التشغيل OS-9 RTOS . القيمة المتبقية = 0x800FE3. [ 51 ]	0x800063	0xC60001	0x8C0003	0xC00031	حتى	نعم [ 52 ]	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	4	4	8388583	8388583	∞
		${\displaystyle x^{24}+x^{23}+x^{6}+x^{5}+x+1}$
CRC-30	CDMA	0x2030B9C7	0x38E74301	0x31CE8603	0x30185CE3	حتى
		${\displaystyle x^{30}+x^{29}+x^{21}+x^{20}+x^{15}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{2}+x+1}$
CRC-32	ISO 3309 ( HDLC )، ANSI X3.66 ( ADCCP )، FIPS PUB 71، FED-STD-1003، ITU-T V.42 ، ISO/IEC/IEEE 802-3 ( إيثرنت )، ISO/IEC/IEEE 802-11 ( واي فاي )، SATA ، MPEG-2 ، PKZIP ، Gzip ، Bzip2 ، PCI Express ، HDMI ، POSIX cksum ، [ 53 ] PNG ، [ 54 ] ZMODEM ، وغيرها الكثير	0x04C11DB7	0xEDB88320	0xDB710641	0x82608EDB [ 14 ]	غريب	نعم	–	10	–	–	12	21	34	57	91	171	268	2974	91607	4294967263	∞
		${\displaystyle x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$
CRC-32C (كاستانيولي)	iSCSI ، NVMe (معلومات الحماية 32 بت) [ 47 ] ، SCTP ، حمولة G.hn ، SSE4.2 ، Btrfs ، ext4 ، ReFS ، [ 55 ] VHDX ، [ 56 ] Ceph	0x1EDC6F41	0x82F63B78	0x05EC76F1	0x8F6E37A0 [ 14 ]	حتى	نعم	6	–	8	–	20	–	47	–	177	–	5243	–	2147483615	–	∞
		${\displaystyle x^{32}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{23}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{6}+1}$
CRC-32K (Koopman {1,3,28})	ممتاز في التعامل مع طول إطار إيثرنت، أداء ضعيف مع الملفات الطويلة	0x741B8CD7	0xEB31D82E	0xD663B05D	0xBA0DC66B [ 14 ]	حتى	لا	2	–	4	–	16	–	18	–	152	–	16360	–	114663	–	∞
		${\displaystyle x^{32}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{26}+x^{20}+x^{19}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1}$
CRC-32K 2 (Koopman {1,1,30})	ممتاز في التعامل مع طول إطار إيثرنت، أداء ضعيف مع الملفات الطويلة	0x32583499	0x992C1A4C	0x32583499	0x992C1A4C [ 14 ]	حتى	لا	–	–	3	–	16	–	26	–	134	–	32738	–	65506	–	∞
CRC-32Q	الطيران؛ AIXM [ 57 ]	0x814141AB	0xD5828281	0xAB050503	0xC0A0A0D5	حتى
		${\displaystyle x^{32}+x^{31}+x^{24}+x^{22}+x^{16}+x^{14}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{3}+x+1}$
أدلر-32		غالباً ما يُخلط بينه وبين رمز التحقق من التكرار الدوري (CRC)، ولكنه في الواقع رمز التحقق من المجموع الاختباري؛ انظر أدلر-32
CRC-40- GSM	قناة التحكم GSM [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]	0x0004820009	0x9000412000	0x2000824001	0x8002410004	حتى
		${\displaystyle x^{40}+x^{26}+x^{23}+x^{17}+x^{3}+1=(x^{23}+1)(x^{17}+x^{3}+1)}$
CRC-64- ECMA	ECMA-182 صفحة  51، XZ Utils	0x42F0E1EBA9EA3693	0xC96C5795D7870F42	0x92D8AF2BAF0E1E85	0xA17870F5D4F51B49	حتى
		${\displaystyle x^{64}+x^{62}+x^{57}+x^{55}+x^{54}+x^{53}+x^{52}+x^{47}+x^{46}+x^{45}+x^{40}+x^{39}+x^{38}+x^{37}+x^{35}+x^{33}+}$${\displaystyle x^{32}+x^{31}+x^{29}+x^{27}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{19}+x^{17}+x^{13}+x^{12}+x^{10}+x^{9}+x^{7}+x^{4}+x+1}$
CRC-64-ISO	ISO 3309 ( HDLC )، Swiss-Prot / TrEMBL ؛ تعتبر ضعيفة للتجزئة [ 61 ]	0x000000000000001B	0xD800000000000000	0xB000000000000001	0x800000000000000D	غريب
		${\displaystyle x^{64}+x^{4}+x^{3}+x+1}$
CRC-64-Rocksoft	NVMe (معلومات حماية الحماية 64 بت) [ 47 ]	0xAD93D23594C93659	0x9A6C9329AC4BC9B5	0x34D926535897936B	0xD6C9E91ACA649B2C	غريب
		${\displaystyle x^{64}+x^{63}+x^{61}+x^{59}+x^{58}+x^{56}+x^{55}+x^{52}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}+x^{44}+x^{41}+x^{37}+x^{36}+x^{34}+x^{32}+x^{31}+x^{28}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{19}+x^{16}+x^{13}+x^{12}+x^{10}+x^{9}+x^{6}+x^{4}+x^{3}+1}$

• مجموع التحقق
• حساب فحوصات التكرار الدوري
• أمن المعلومات
• قائمة خوارزميات التحقق من المجموع الاختباري
• قائمة دوال التجزئة
• مركز موارد التعلم
• رياضيات فحوصات التكرار الدوري
• التحقق البسيط من الملفات

• ISO/IEC 13239:2002: تكنولوجيا المعلومات - الاتصالات وتبادل المعلومات بين الأنظمة - إجراءات التحكم في وصلة البيانات عالية المستوى (HDLC)
• CRC32-مكتبة كاستاجنولي لينكس