خريطة مضادة للخطية

في الرياضيات ، الدالة${\displaystyle f:V\to W}$يُقال إن العلاقة بين فضاءين متجهين معقدين هي علاقة مضادة للخطية أو علاقة خطية مترافقة إذا $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (الجمعية) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (التجانس المترافق) }}\\\end{alignedat}}}$$ ينطبق هذا على جميع المتجهات${\displaystyle x,y\in V}$وكل عدد مركب${\displaystyle s,}$أين${\displaystyle {\overline {s}}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle s.}$

تختلف الدوال المضادة للخطية عن الدوال الخطية ، التي هي دوال جمعية متجانسة وليست متجانسة مترافقة . إذا كانت الفضاءات المتجهة حقيقية ، فإن خاصية عدم الخطية تُصبح مرادفة لخاصية الخطية.

تظهر الخرائط المضادة للخطية في ميكانيكا الكم عند دراسة انعكاس الزمن ، وفي حساب السبينور ، حيث جرت العادة على استبدال الخطوط فوق متجهات الأساس ومكونات الأشكال الهندسية بنقاط موضوعة فوق المؤشرات. وتظهر الخرائط المضادة للخطية ذات القيم العددية غالبًا عند التعامل مع الضرب الداخلي المعقد وفضاءات هيلبرت .

تُسمى الدالة مضادة للخطية أو خطية مترافقة إذا كانت جمعية ومتجانسة مترافقة . الدالة المضادة للخطية على فضاء متجهي${\displaystyle V}$هي دالة مضادة للخطية ذات قيمة عددية.

وظيفة${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم "إضافي" إذا $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ لجميع المتجهات }}x,y}$$ بينما يُطلق عليه اسم متجانس مترافق إذا $${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$ في المقابل، فإن التحويل الخطي هو دالة جمعية ومتجانسة ، حيث${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم متجانس إذا $${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

خريطة مضادة للخطية${\displaystyle f:V\to W}$يمكن وصفها بشكل مكافئ من حيث الخريطة الخطية${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$من${\displaystyle V}$إلى فضاء المتجهات المترافقة المعقدة${\displaystyle {\overline {W}}.}$

إنّ تركيب دالتين مضادتين للخطية هو دالة خطية . وتُعمّم فئة الدوال شبه الخطية فئة الدوال المضادة للخطية من خلال تعميم الحقل.

الفضاء المتجهي لجميع الأشكال المضادة للخطية على الفضاء المتجهي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الفضاء الجبري المضاد للثنائية لـ${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا ، فإن الفضاء المتجهي لجميع الدوال المضادة للخطية المستمرة على${\displaystyle X,}$يرمز إليه بـ${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$يُطلق عليه اسم الفضاء المضاد للثنائية المستمر أو ببساطة الفضاء المضاد للثنائية لـ${\displaystyle X}$^{[ 2 ]} إذا لم يكن من الممكن حدوث أي لبس.

متى${\displaystyle H}$إذا كان فضاءً معياريًا، فإن المعيار الكنسي على الفضاء المضاد للثنائي (المستمر)${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$يرمز إليه بـ${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$يتم تعريفها باستخدام هذه المعادلة نفسها: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

هذه الصيغة مطابقة لصيغة المعيار الثنائي على الفضاء الثنائي المتصل${\displaystyle X^{\prime }}$ل${\displaystyle X,}$والذي يتم تعريفه بواسطة ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

التناظر الكنسي بين الثنائي والمضاد للثنائي

المركب المترافق${\displaystyle {\overline {f}}}$من وظيفة${\displaystyle f}$يتم تعريفها عن طريق الإرسال${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$ل${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$إنه يرضي $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ لكل${\displaystyle f\in X^{\prime }}$وكل${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$ هذا يعني بالضبط أن التقابل المضاد الخطي المتعارف عليه هو المحدد بواسطة $${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$ وكذلك عكسه${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$هي تماثلات مضادة للخطية ، وبالتالي فهي أيضًا تماثلات متماثلة .

لو${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ثم${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$وهذه الخريطة الأساسية${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$يختزل إلى خريطة الهوية .

مساحات المنتج الداخلية

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً للمنتج الداخلي، فإن المعيار المتعارف عليه يكون على${\displaystyle X^{\prime }}$وعلى${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$يحقق قانون متوازي الأضلاع ، مما يعني أنه يمكن استخدام متطابقة الاستقطاب لتعريف جداء داخلي قانوني على${\displaystyle X^{\prime }}$وكذلك على${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$والتي سيشير إليها هذا المقال بالرموز $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$ حيث يصنع هذا المنتج الداخلي${\displaystyle X^{\prime }}$و${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$في فضاءات هيلبرت. المنتجات الداخلية${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$و${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$تكون هذه الدوال غير خطية في وسيطاتها الثانية. علاوة على ذلك، فإن المعيار المتعارف عليه الناتج عن هذا الضرب الداخلي (أي المعيار المحدد بواسطة${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$) يتوافق مع المعيار الثنائي (أي كما هو مُعرَّف أعلاه بواسطة القيمة العليا على كرة الوحدة)؛ وهذا يعني صراحةً أن ما يلي ينطبق على كل${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$$${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً ذا جداء داخلي، فإن الجداءات الداخلية على الفضاء المزدوج${\displaystyle X^{\prime }}$والفضاء المضاد للازدواجية${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$ويرمز إليهما على التوالي بـ${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$و${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$ترتبط ببعضها البعض من خلال$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$ و $${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

• معادلة كوشي الوظيفية – معادلة وظيفية 
• المرافق المركب – عملية أساسية على الأعداد المركبة 
• فضاء المتجهات المترافقة المركبة – مفهوم رياضي. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• النظرية الأساسية لفضاءات هيلبرت – حول شمولية التطبيق الخطي إلى الفضاء المضاد للثنائي 
• فضاء الضرب الداخلي – فضاء متجهي مع الضرب النقطي المعمم 
• التحويل الخطي – دالة رياضية، في الجبر الخطي 
• تشابه المصفوفة
• نظرية تمثيل ريز – نظرية حول الفضاء الثنائي لفضاء هيلبرت 
• الشكل شبه الخطي – تعميم للمنتجات الداخلية المعقدة 
• انعكاس الزمن – تناظر انعكاس الزمن في الفيزياء 

• Budinich، P. و Trautman، A. رقعة الشطرنج الشائكة . سبرينغر-فيرلاغ، 1988. ISBN 0-387-19078-3(تتم مناقشة الخرائط غير الخطية في القسم 3.3).
• هورن وجونسون، تحليل المصفوفات، مطبعة جامعة كامبريدج، 1985. ISBN 0-521-38632-2(تتم مناقشة الخرائط غير الخطية في القسم 4.6).
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .