معادلة الحمل والانتشار

معادلة الحمل والانتشار هي معادلة تفاضلية جزئية مكافئة تجمع بين معادلات الانتشار والحمل الحراري ( الحمل الحراري ). وهي تصف الظواهر الفيزيائية حيث يتم نقل الجسيمات أو الطاقة أو الكميات الفيزيائية الأخرى داخل نظام فيزيائي بسبب عمليتين: الانتشار والحمل الحراري . اعتمادًا على السياق، يمكن تسمية نفس المعادلة بمعادلة الحمل الحراري - الانتشار ، أو معادلة الانجراف - الانتشار ، ^[1] أو معادلة النقل القياسي (العامة) . ^[2]

المعادلة العامة في الشكل المحافظ هي ^{[3] [4]} حيث $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\mathbf {\nabla} \cdot (D\mathbf {\nabla } c-\mathbf {v} c)+R}$$

• ج هو المتغير المطلوب (تركيز الأنواع لانتقال الكتلة ، درجة الحرارة لانتقال الحرارة )،
• D هو الانتشار (يسمى أيضًا معامل الانتشار )، مثل الانتشار الكتلي لحركة الجسيمات أو الانتشار الحراري لنقل الحرارة،
• v هو مجال السرعة الذي تتحرك به الكمية. إنها دالة للزمان والمكان. على سبيل المثال، في الحمل الحراري ، قد يكون c هو تركيز الملح في النهر، ومن ثم تكون v هي سرعة تدفق المياه كدالة للزمان والموقع. مثال آخر، قد يكون c هو تركيز الفقاعات الصغيرة في بحيرة هادئة، ومن ثم تكون v هي سرعة الفقاعات التي ترتفع نحو السطح عن طريق الطفو (انظر أدناه) اعتمادًا على الوقت وموقع الفقاعة. بالنسبة للتدفقات متعددة المراحل والتدفقات في الوسائط المسامية ، فإن v هي السرعة السطحية (الافتراضية).
• يصف R مصادر أو مصارف الكمية c ، أي إنشاء أو تدمير الكمية. على سبيل المثال، بالنسبة للأنواع الكيميائية، فإن R > 0 تعني أن التفاعل الكيميائي يخلق المزيد من الأنواع، و R < 0 تعني أن التفاعل الكيميائي يدمر الأنواع. بالنسبة لنقل الحرارة، قد يحدث R > 0 إذا تم توليد الطاقة الحرارية عن طريق الاحتكاك .
• يمثل ∇ التدرج ويمثل ∇ ⋅ التباعد . في هذه المعادلة، يمثل ∇ c تدرج التركيز.

بشكل عام، قد تختلف D و v و R مع المكان والزمان. وفي الحالات التي تعتمد فيها على التركيز أيضًا، تصبح المعادلة غير خطية، مما يؤدي إلى ظهور العديد من ظواهر الاختلاط المميزة مثل الحمل الحراري رايلي-بينارد عندما تعتمد v على درجة الحرارة في صيغة نقل الحرارة وتكوين نمط التفاعل والانتشار عندما تعتمد R على التركيز في صيغة نقل الكتلة.

غالبًا ما توجد كميات عديدة، ولكل منها معادلة خاصة بها للحمل الحراري والانتشار، حيث يستلزم تدمير كمية واحدة إنشاء كمية أخرى. على سبيل المثال، عندما يحترق الميثان، لا ينطوي ذلك على تدمير الميثان والأكسجين فحسب، بل يتضمن أيضًا إنشاء ثاني أكسيد الكربون وبخار الماء. لذلك، في حين أن كل من هذه المواد الكيميائية لها معادلة خاصة بها للحمل الحراري والانتشار، إلا أنها مقترنة ببعضها البعض ويجب حلها كنظام من المعادلات التفاضلية.

يمكن اشتقاق معادلة الحمل الحراري والانتشار بطريقة مباشرة ^[4] من معادلة الاستمرارية ، والتي تنص على أن معدل التغير لكمية قياسية في حجم تحكم تفاضلي يُعطى من خلال التدفق والانتشار إلى داخل وخارج ذلك الجزء من النظام مع أي توليد أو استهلاك داخل حجم التحكم: حيث j هو التدفق الكلي و R هو مصدر حجمي صافٍ لـ c . يوجد مصدران للتدفق في هذه الحالة. أولاً، ينشأ التدفق الانتشاري بسبب الانتشار . يُقرب هذا عادةً من خلال قانون فيك الأول : أي أن تدفق المادة المنتشرة (بالنسبة للحركة الكلية) في أي جزء من النظام يتناسب مع تدرج التركيز المحلي . ثانيًا، عندما يكون هناك حمل حراري أو تدفق كلي، يوجد تدفق مرتبط يسمى التدفق الحملي : يُعطى التدفق الكلي (في نظام إحداثيات ثابت) بمجموع هذين: بإدخال معادلة الاستمرارية: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =R,}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{diff}}=-D\nabla c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} _{\text{adv}}=\mathbf {v} c}$$$${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\text{diff}}+\mathbf {j} _{\text{adv}}=-D\nabla c+\mathbf {v} c.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(-D\nabla c+\mathbf {v} c\right)=R.}$$

في المواقف الشائعة، يكون معامل الانتشار ثابتًا، ولا توجد مصادر أو مصارف، ويصف مجال السرعة تدفقًا غير قابل للضغط (أي أنه يحتوي على تباعد صفري ). ثم يتم تبسيط الصيغة إلى: ^[5] $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}c-\mathbf {v} \cdot \nabla c.}$$

في هذه الحالة يمكن وضع المعادلة في شكل الحمل الحراري البسيط : $${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=D\nabla ^{2}c,}$$

حيث يكون المشتق من الجانب الأيسر هو المشتق المادي للمتغير c . في المواد غير المتفاعلة، D=0 (على سبيل المثال، عندما تكون درجة الحرارة قريبة من الصفر المطلق ، يكون للغاز المخفف معدل انتشار كتلة يقارب الصفر )، وبالتالي فإن معادلة النقل هي ببساطة معادلة الاستمرارية: $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla c=0.}$$

باستخدام تحويل فورييه في كل من المجال الزمني والمكاني (أي مع النواة المتكاملة )، يمكن الحصول على معادلته المميزة : والتي تعطي الحل العام: حيث أي دالة قياسية قابلة للاشتقاق . هذا هو أساس قياس درجة الحرارة لتكاثف بوز-أينشتاين القريب ^[6] عبر طريقة زمن الرحلة . ^[7]${\displaystyle e^{j\omega t+j\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$$${\displaystyle j\omega {\tilde {c}}+\mathbf {v} \cdot j\mathbf {k} {\tilde {c}}=0\rightarrow \omega =-\mathbf {k} \cdot \ ماثبف {ت} ,}$$$${\displaystyle c=f(\mathbf {x} -\mathbf {v} t),}$$${\displaystyle f}$

تصف معادلة الحمل الحراري والانتشار الثابتة سلوك الحالة المستقرة لنظام الحمل الحراري والانتشار. [ ^8] في الحالة المستقرة،∂ ج/∂ ت= 0 ، وبالتالي تصبح المعادلة المراد حلها هي المعادلة من الدرجة الثانية: في بعد مكاني واحد، يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي $${\displaystyle \nabla \cdot (-D\nabla c+\mathbf {v} c)=R.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(-D(x){\frac {dc(x)}{dx}}+v(x)c(x)\right)=R(x)}$$

والتي يمكن دمجها مرة واحدة في متغير الفضاء x لإعطاء:

$${\displaystyle D(x){\frac {dc(x)}{dx}}-v(x)c(x)=-\int _{x}R(x')dx'}$$

عندما لا يكون D صفرًا، فهذه معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى ذات معاملات متغيرة في المتغير c(x):

$${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$ حيث تكون المعاملات هي: و: من ناحية أخرى، في المواضع x حيث D=0، يختفي مصطلح الانتشار من الدرجة الأولى ويصبح الحل ببساطة النسبة: $${\displaystyle f(x)={\frac {v(x)}{D(x)}}}$$$${\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{D(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

$${\displaystyle c(x)={\frac {1}{v(x)}}\int _{x}R(x')dx'}$$

في بعض الحالات، يوجد مجال السرعة المتوسطة v بسبب قوة؛ على سبيل المثال، قد تصف المعادلة تدفق الأيونات المذابة في سائل، مع وجود مجال كهربائي يسحب الأيونات في اتجاه ما (كما في الرحلان الكهربائي للهلام ). في هذه الحالة، يُطلق عليها عادةً معادلة الانجراف والانتشار أو معادلة سمولوكوفسكي ، ^[1] بعد ماريان سمولوكوفسكي الذي وصفها في عام 1915 ^[9] (لا ينبغي الخلط بينها وبين علاقة أينشتاين-سمولوكوفسكي أو معادلة تخثر سمولوكوفسكي ).

عادةً ما تكون السرعة المتوسطة متناسبة بشكل مباشر مع القوة المطبقة، مما يعطي المعادلة: ^{[10] [11]} حيث F هي القوة، و ζ تميز الاحتكاك أو السحب اللزج . (يُطلق على العكس ζ ⁻¹ اسم الحركة .) $${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot (D\nabla c)-\nabla \cdot \left(\zeta ^{-1}\mathbf {F} c\ يمين)+R}$$

عندما تكون القوة مرتبطة بطاقة كامنة F = −∇ U (انظر القوة المحافظة )، فإن الحل الثابت للمعادلة أعلاه (أي 0 = R =∂ ج/∂ ت) هو: (بافتراض أن D و ζ ثابتان). بعبارة أخرى، يوجد المزيد من الجسيمات حيث تكون الطاقة أقل. ومن المتوقع أن يتفق ملف تعريف التركيز هذا مع توزيع بولتزمان (بشكل أكثر دقة، مقياس جيبس ). ومن هذا الافتراض،يمكن إثبات علاقة أينشتاين : ^[11]$${\displaystyle c\propto \exp \left(-D^{-1}\zeta ^{-1}U\right)}$$ $${\displaystyle D\zeta =k_{\mathrm {B} }T.}$$

معادلة الحمل الحراري والانتشار هي معادلة بسيطة نسبيًا تصف التدفقات، أو تصف نظامًا متغيرًا عشوائيًا. وبالتالي، تنشأ نفس المعادلة أو معادلة مماثلة في العديد من السياقات غير المرتبطة بالتدفقات عبر الفضاء.

• وهو مطابق رسميًا لمعادلة فوكر-بلانك لسرعة الجسيم.
• وهي وثيقة الصلة بمعادلة بلاك-شولز ومعادلات أخرى في الرياضيات المالية. ^[12]
• ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعادلات نافير-ستوكس ، لأن تدفق الزخم في السائل يشبه رياضيًا تدفق الكتلة أو الطاقة. تكون المطابقة أوضح في حالة السائل النيوتوني غير القابل للضغط، وفي هذه الحالة تكون معادلة نافير-ستوكس:$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {M} }{\partial t}}=\mu \nabla ^{2}\mathbf {M} -\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {M} +(\mathbf {f} -\nabla P)}$$

حيث M هو زخم السائل (لكل وحدة حجم) عند كل نقطة (يساوي الكثافة ρ مضروبة في السرعة v )، و μ هي اللزوجة، وP هو ضغط السائل، و f هي أي قوة جسم أخرى مثل الجاذبية . في هذه المعادلة، يصف المصطلح الموجود على الجانب الأيسر التغير في الزخم عند نقطة معينة؛ يصف المصطلح الأول على اليمين انتشار الزخم عن طريق اللزوجة ؛ يصف المصطلح الثاني على اليمين التدفق الحملي للزخم؛ ويصف المصطلحان الأخيران على اليمين القوى الخارجية والداخلية التي يمكن أن تعمل كمصدر أو مصارف للزخم.

يمكن اعتبار معادلة الحمل الحراري والانتشار (مع R = 0 ) معادلة تفاضلية عشوائية تصف الحركة العشوائية ذات الانتشار D والتحيز v . على سبيل المثال، يمكن للمعادلة وصف الحركة البراونية لجسيم واحد، حيث يصف المتغير c توزيع احتمالية وجود الجسيم في موضع معين في وقت معين. والسبب في إمكانية استخدام المعادلة بهذه الطريقة هو أنه لا يوجد فرق رياضي بين توزيع احتمالية جسيم واحد ونمط تركيز مجموعة من الجسيمات بلا حدود (طالما أن الجسيمات لا تتفاعل مع بعضها البعض).

تصف معادلة لانجفين الحمل الحراري والانتشار والظواهر الأخرى بطريقة عشوائية صريحة. أحد أبسط أشكال معادلة لانجفين هو عندما يكون "مصطلح الضوضاء" الخاص بها غاوسيًا ؛ في هذه الحالة، تكون معادلة لانجفين مكافئة تمامًا لمعادلة الحمل الحراري والانتشار. ومع ذلك، فإن معادلة لانجفين أكثر عمومية. ^[11]

في فيزياء أشباه الموصلات ، تسمى هذه المعادلة معادلة الانجراف والانتشار . ترتبط كلمة "انجراف" بتيار الانجراف وسرعة الانجراف . تُكتب المعادلة عادةً على النحو التالي: ^[13] حيث $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}\nabla nn\mu _{n}\mathbf {E} \ \{\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}\nabla p+p\mu _{p}\mathbf {E} \\{\frac {\جزئي n}{\جزئي t}}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{n}}{-q}}+R\\{\frac {\جزئي p}{\جزئي t }}&=-\nabla \cdot {\frac {\mathbf {J} _{p}}{q}}+R\end{محاذاة}}}$$

• n و p هما تركيزات (كثافات) الإلكترونات والثقوب ، على التوالي،
• q > 0 هي الشحنة الأولية ،
• Jn و Jp هما التياران الكهربائيان _{الناتجان عن الإلكترونات} والثقوب على التوالي،
• ⁠ج _ن/- سو ⁠​ج _ب/س⁠ هي "تيارات الجسيمات" المقابلة للإلكترونات والثقوب على التوالي،
• R يمثل توليد الناقل وإعادة التركيب ( R > 0 لتوليد أزواج الإلكترون-الفجوة، R < 0 لإعادة التركيب).
• E هومتجه المجال الكهربائي
• ${\displaystyle \mu _{n}}$و هي حركة الإلكترونات و الثقوب .${\displaystyle \mu _{p}}$

يرتبط معامل الانتشار والحركة بعلاقة أينشتاين كما هو موضح أعلاه: حيث k _B هو ثابت بولتزمان و T هي درجة الحرارة المطلقة . يشير تيار الانجراف وتيار الانتشار بشكل منفصل إلى المصطلحين في التعبيرات الخاصة بـ J ، وهما: $${\displaystyle {\begin{align}D_{n}&={\frac {\mu _{n}k_{\mathrm {B} }T}{q}},\\D_{p}&={\ فارك {\mu _{p}k_{\mathrm {B} }T}{q}}،\end{محاذاة}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{drift}}}}{-q}}&=-n\mu _{n}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{drift}}}}{q}}&=p\mu _{p}\mathbf {E} ,\\{\frac {\mathbf {J} _{n,{\text{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}\nabla n,\\{\frac {\mathbf {J} _{p,{\text{diff}}}}{q}}&=-D_{p}\nabla p.\end{aligned}}}$$

يمكن حل هذه المعادلة مع معادلة بواسون عدديًا. ^[14]

يظهر على اليمين مثال لنتائج حل معادلة انتشار الانجراف. عندما يضيء الضوء على مركز أشباه الموصلات، يتم توليد ناقلات في المنتصف وتنتشر نحو طرفين. يتم حل معادلة الانجراف والانتشار في هذا الهيكل ويتم عرض توزيع كثافة الإلكترون في الشكل. يمكن للمرء أن يرى تدرج الناقل من المركز نحو طرفين.

• Wesseling, Pieter (2001). Principles of Computational Fluid Dynamics . المجلد 29. برلين، هايدلبرغ: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-05146-3. ISBN 978-3-642-05145-6.

• سويل، جرانفيل (1988). الحل العددي للمعادلات التفاضلية العادية والجزئية . أكاديميك بريس. ISBN 0-12-637475-9.