إطار داربو

عند كل نقطة p على سطح موجه، يمكن ربط متجه وحدة عمودي u ( p ) بطريقة فريدة، بمجرد اختيار اتجاه للمتجه العمودي عند أي نقطة ثابتة معينة. إذا كان γ ( s ) منحنى في S ، مُعطى بمعامل طول القوس ، فإن إطار داربو لـ γ يُعرَّف كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$  ( المماس الوحدوي )

${\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)))،}$  ( العمودي الوحدوي )

${\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$  ( المماس العمودي )

تحدد الثلاثية T و t و u أساسًا متعامدًا موجهًا إيجابيًا مرتبطًا بكل نقطة من المنحنى: إطار متحرك طبيعي على طول المنحنى المضمن.

لاحظ أن إطار داربو لمنحنى لا يُنتج إطارًا متحركًا طبيعيًا على السطح، لأنه لا يزال يعتمد على اختيار أولي لمتجه المماس. للحصول على إطار متحرك على السطح، نقارن أولًا إطار داربو لـ γ بإطار فرينيه - سيريه الخاص به. ليكن

• ${\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}$  ( المماس الوحدوي ، كما سبق)
• ${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}$  (متجه فرينيه العمودي )
• ${\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}$  ( متجه فرينيه ثنائي العمودي ).

بما أن متجهات المماس هي نفسها في كلتا الحالتين، فهناك زاوية فريدة α بحيث ينتج عن الدوران في مستوى N و B الزوج t و u :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

وبأخذ التفاضل وتطبيق صيغ فرينيه-سيريه نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _ {g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {ر} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

أين:

• يمثل κ _g انحناء المسار الجيوديسي للمنحنى،
• يمثل κ _n الانحناء الطبيعي للمنحنى، و
• τ _r هو الالتواء النسبي (يسمى أيضًا الالتواء الجيوديسي ) للمنحنى.

يُتيح إدخال المجسم ثلاثي الأوجه (أو المجسم ثلاثي الأوجه )، وهو ابتكار داربو، تبسيطًا مفاهيميًا لمسألة الأطر المتحركة على المنحنيات والأسطح، وذلك بمعالجة إحداثيات النقطة على المنحنى ومتجهات الإطار بطريقة موحدة. يتكون المجسم ثلاثي الأوجه _من نقطة P في الفضاء الإقليدي، وثلاثة متجهات متعامدة e1 _و e2 و e3 تنطلق من النقطة P. المجسم ثلاثي الأوجه المتحرك هو مجسم تعتمد مكوناته على مُعامل واحد _أو أكثر. على سبيل المثال، يتحرك المجسم ثلاثي الأوجه على طول منحنى إذا كانت النقطة P تعتمد على مُعامل واحد s ، و P ( s ) ترسم المنحنى. وبالمثل، إذا كانت P ( s , t ) تعتمد على زوج من المُعاملات، فإنها ترسم سطحًا.

يُقال إن المجسم ثلاثي الأوجه مُلائم لسطح ما إذا كانت النقطة P تقع دائمًا على السطح، وكان _e3 هو المتجه العمودي الموجه على السطح عند النقطة P. في حالة إطار داربو على طول منحنى مُضمن، يكون الشكل الرباعي

( P ( s ) = γ ( s ), e ₁ ( s ) = T ( s ), e ₂ ( s ) = t ( s ), e ₃ ( s ) = u ( s ))

يُعرّف شكلاً رباعي الأوجه مُكيّفاً مع السطح الذي يُدمج فيه المنحنى.

بالنسبة لهذا الشكل الثلاثي، تُقرأ المعادلات الهيكلية كما يلي:

${\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _ {r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}$

لنفترض أن أي شكل ثلاثي السطوح متكيف آخر

( P , e1 , e2 , e3 )_​​​

يُعطى هذا للمنحنى المُضمّن. بما أن النقطة P ، بحسب التعريف، تبقى هي نفسها على المنحنى كما هي بالنسبة لثلاثي سطوح داربو، و e ₃ = u هو متجه الوحدة العمودي، فإن هذا الثلاثي السطوح الجديد يرتبط بثلاثي سطوح داربو عن طريق دوران على الصورة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}$

حيث θ = θ( s ) دالة في s . بأخذ التفاضل وتطبيق معادلة داربو، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

حيث أن (ω ⁱ ,ω _i ^j ) هي دوال لـ s ، تحقق

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}$

تُعطي مبرهنة بوانكاريه ، عند تطبيقها على كل تفاضل مزدوج dd P ، dd e _i ، معادلات كارتان الهيكلية التالية . من dd P = 0،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}$

من dd e _i = 0،

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}$

أما الأخيرة فهي معادلات جاوس-كوداتزي للسطح، معبر عنها بلغة الأشكال التفاضلية.

لننظر إلى الشكل الأساسي الثاني لـ S. وهو الشكل المتناظر من الدرجة الثانية على S المعطى بواسطة

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}$

بحسب نظرية الطيف ، يوجد إطار اختياري ( e _i ) حيث ( ii _ij ) مصفوفة قطرية . القيم الذاتية هي الانحناءات الرئيسية للسطح. يتكون إطار قطري a ₁ ، a ₂ ، a ₃ من متجه الوحدة العمودي a ₃ ، واتجاهين رئيسيين a ₁ و a _2. يُسمى هذا إطار داربو على السطح. يُعرَّف الإطار بشكل معياري (عن طريق ترتيب القيم الذاتية، على سبيل المثال) بعيدًا عن نقاط سرة السطح.

الإطار (الإقليدي) على الفضاء الإقليدي E ^_n هو نظير ذو أبعاد أعلى للمجسم ثلاثي السطوح. ويُعرَّف بأنه مجموعة من ( n  +  1) متجهات مُستقاة من E ^_n ، وهي ( v ؛ f _₁ ، ...، f _{_n} )، حيث:

• v هو اختيار أصل En ^، و
• ( f ₁ , ..., f _n ) هي أساس متعامد للفضاء المتجهي قائم على v .

ليكن F ( n ) مجموعة جميع الأطر الإقليدية. تؤثر المجموعة الإقليدية على F ( n ) كما يلي: ليكن φ ∈ Euc( n ) عنصرًا من المجموعة الإقليدية التي تتحلل إلى

${\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}$

حيث A تحويل متعامد و x 0 _إزاحة . ثم، على إطار مرجعي،

${\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}$

هندسيًا، تُحرك المجموعة الأفينية نقطة الأصل بالطريقة المعتادة، وتؤثر عبر دوران على متجهات الأساس المتعامدة لأنها "مرتبطة" باختيار نقطة الأصل المحددة. هذا تأثير فعّال ومتعدٍ للمجموعة ، لذا فإن F ( n ) فضاء متجانس رئيسي لـ Euc( n ).

عرّف نظام الدوال التالي F ( n ) → E ⁿ : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}$

يُعدّ عامل الإسقاط P ذا أهمية خاصة. تتكون الصورة العكسية لنقطة P ^{− 1} ( v ) من جميع القواعد المتعامدة التي تقع نقطة قاعدتها عند v . على وجه الخصوص، يُمثّل P  : F ( n ) → En ^F ( n ) كحزمة رئيسية زمرة بنيتها هي الزمرة المتعامدة O( n ). (في الواقع ، هذه الحزمة الرئيسية هي ببساطة الحزمة التكرارية للفضاء المتجانس F ( n ) → F ( n )/O( n ) = En ⁾ .

يمكن تحليل المشتقة الخارجية لـ P (التي تُعتبر شكلاً تفاضلياً متجهياً ) بشكل فريد على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}$

بالنسبة لنظام ما من الأشكال التفاضلية الأحادية ذات القيم العددية ω ⁱ . وبالمثل، توجد مصفوفة من الأشكال التفاضلية الأحادية (ω _i ^{j ) من الرتبة} n × n بحيث

${\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}$

بما أن eᵢ متعامدة معيارية تحت الضرب الداخلي للفضاء الإقليدي، _فإن مصفوفة الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى ωᵢⱼ _{متناظرة} عكسيًا . وعلى وجه الخصوص، تُحدد بشكل فريد من خلال جزئها المثلثي العلوي (ωⱼᵢ | i < j). يُعطي نظام الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى n(n + 1)/2 (ωᵢ, ωⱼᵢ | i ^< j ₎ ) توازيًا مطلقًا لـ F ( n ) ، حيث ^{يمكن التعبير} عن _{تفاضلات} ^{الإحداثيات} بدلالة كل منها . تحت تأثير المجموعة الإقليدية ، تتحول هذه الأشكال كما يلي. ليكن φ ^{التحويل} الإقليدي المكون من مصفوفة إزاحة vᵢ ومصفوفة دوران ( Aⱼᵢ ). عندئذٍ ^، يمكن التحقق بسهولة مما يلي من خلال ثبات المشتقة الخارجية تحت _السحب العكسي :    

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}$

${\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}$

علاوة على ذلك، وبحسب مبرهنة بوانكاريه ، نحصل على المعادلات الهيكلية التالية

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$

ليكن φ  : M → E ⁿ تضمينًا لمتشعب أملس ذي p بُعد في فضاء إقليدي. فضاء الإطارات المُكيَّفة على M ، والذي يُرمز إليه هنا بـ F _φ ( M ) هو مجموعة الأزواج المرتبة ( x ; f ₁ ,..., f _n ) حيث x ∈ M ، وتشكل f _i أساسًا متعامدًا لـ E ⁿ بحيث تكون f ₁ ,..., f _p مماسية لـ φ( M ) عند φ( x ). ^{[ 2 ]}

سبق أن تناولنا عدة أمثلة على الأطر المُكيَّفة. المتجه الأول T في إطار فرينيه - سيريه ( T , N , B ) مماس لمنحنى، والمتجهات الثلاثة متعامدة فيما بينها. وبالمثل، فإن إطار داربو على سطح ما هو ^إطار متعامد يكون متجهاه الأولان مماسين للسطح. تُعد الأطر المُكيَّفة مفيدة لأن الأشكال الثابتة (ωi ^, ωji ₎ تتراجع على طول φ، وتبقى المعادلات البنيوية محفوظة تحت هذا التراجع. وبالتالي، يُعطي نظام الأشكال الناتج معلومات بنيوية حول كيفية تموضع M داخل الفضاء الإقليدي. في حالة إطار فرينيه - سيريه، تكون المعادلات البنيوية هي تحديدًا صيغ فرينيه - سيريه، وتُستخدم هذه الصيغ لتصنيف المنحنيات تصنيفًا كاملًا حتى الحركات الإقليدية. الحالة العامة مماثلة: تُصنِّف المعادلات البنيوية لنظام أطر مُكيَّف أي مشعبات فرعية مُضمَّنة حتى الحركة الإقليدية.

بتفصيلٍ أكثر ، يُعطي الإسقاط π  : F ( M ) → M المُعطى بالعلاقة π( x ; f _i ) = x بنية حزمة رئيسية على M ( مجموعة البنية لهذه الحزمة هي O( p ) × O( n − p )). تُضمَّن هذه الحزمة الرئيسية في حزمة الإطارات الإقليدية F ( n ) بالعلاقة φ( v ; f _i ) := (φ( v ); f _i ) ∈ F ( n ). ومن ثم، يُمكن تعريف عمليات السحب العكسي للأشكال الثابتة من F ( n ):   

${\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}$

بما أن المشتقة الخارجية متغيرة تحت عمليات السحب العكسي، فإن المعادلات الهيكلية التالية صحيحة

${\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}$

علاوة على ذلك، ولأن بعض متجهات الإطار f1 ... fp مماسية للمتجه M بينما البعض الآخر عمودي عليه، فإن معادلات البنية تنقسم بشكل طبيعي إلى مساهماتها المماسية والعمودية. _{[ 3} ^{] لنفترض أن} المؤشرات اللاتينية الصغيرة a و b و c تتراوح من 1 إلى p (أي المؤشرات المماسية) والمؤشرات اليونانية μ و γ تتراوح من p + 1 إلى n (أي المؤشرات العمودية). الملاحظة الأولى هي أن

${\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}$

بما أن هذه الأشكال تولد الفضاء الفرعي φ( M ) (بمعنى نظرية التكامل لفروبينيوس ).

تصبح المجموعة الأولى من المعادلات الهيكلية الآن

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}$

من بين هذه، يشير الأخير، وفقًا لمبدأ كارتان، إلى أن

${\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}$

حيث أن s ^μ _ab متناظرة على a و b ( الصيغة الأساسية الثانية لـ φ( M )). وبالتالي، فإن المعادلات (1) هي صيغ غاوس (انظر معادلات غاوس-كوداتزي ). على وجه الخصوص ، θ _b ^a هي صيغة الاتصال لاتصال ليفي-سيفيتا على M.

وتنقسم المعادلات الهيكلية الثانية أيضًا إلى ما يلي

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}$

المعادلة الأولى هي معادلة غاوس التي تعبر عن شكل الانحناء Ω للمصفوفة M بدلالة الشكل الأساسي الثاني. أما الثانية فهي معادلة كوداتزي - ميناردي التي تعبر عن المشتقات المتغيرة للشكل الأساسي الثاني بدلالة الاتصال الطبيعي. والثالثة هي معادلة ريتشي .