دالة ديريشليه

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، دالة ديريشليه [ 1 ] [ 2 ] هي دالة المؤشر1سؤال{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}من مجموعة الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }على مجموعة الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }، أي1سؤال(x)=1{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1}بالنسبة لعدد حقيقي x إذا كان x عددًا نسبيًا و1سؤال(x)=0{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0}إذا لم يكن x عددًا نسبيًا (أي أنه عدد غير نسبي ). 1سؤال(x)={1x∈سؤال0x∉سؤال{\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}

سميت هذه الدالة على اسم عالم الرياضيات بيتر غوستاف ليجون ديريشليه . [ 3 ] وهي مثال على دالة شاذة تقدم أمثلة مضادة للعديد من الحالات.

الخصائص الطوبولوجية

  • دالة ديريشليه غير متصلة في أي مكان . يمكننا إثبات ذلك بالرجوع إلى تعريف الدالة المتصلة لإظهار أنها تنتهك خصائص الاتصال عند كل من الوسائط النسبية وغير النسبية.
    دليل
    • إذا كان y عددًا نسبيًا، فإن f ( y ) = 1. لإثبات أن الدالة غير متصلة عند y ، نحتاج إلى إيجاد قيمة ε بحيث مهما صغرنا قيمة δ المختارة ، ستكون هناك نقاط z ضمن نطاق δ من y بحيث لا تقع f ( z ) ضمن نطاق ε من f ( y ) = 1. في الواقع، ½ هي إحدى هذه القيم ε . ولأن الأعداد غير النسبية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية، فمهما كانت قيمة δ المختارة ، يمكننا دائمًا إيجاد عدد غير نسبي z ضمن نطاق δ من y ، ويكون f ( z ) = 0 على الأقل على بُعد ½ من 1.
    • إذا كان y عددًا غير نسبي، فإن f ( y ) = 0. مرة أخرى، يمكننا اختيار ε = ½ ، وهذه المرة، نظرًا لكثافة الأعداد النسبية في مجموعة الأعداد الحقيقية، يمكننا اختيار z ليكون عددًا نسبيًا قريبًا من y بالقدر المطلوب. مرة أخرى، f ( z ) = 1 أبعد من ½ عن f ( y ) = 0 .
    إن قيودها على مجموعة الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد غير النسبية ثابتة ، وبالتالي فهي متصلة. تُعد دالة ديريشليه مثالًا نموذجيًا لنظرية بلومبرغ .
  • يمكن بناء دالة ديريشليه على أنها النهاية النقطية المزدوجة لتسلسل من الدوال المتصلة، كما يلي: ∀x∈R،1سؤال(x)=ليمك→∞(ليمج→∞(كوس⁡(ك!πx))2ج){\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)} بالنسبة للأعداد الصحيحة j و k . هذا يُظهر أن دالة ديريشليه هي دالة من فئة باير 2. لا يمكن أن تكون دالة من فئة باير 1 لأن دالة فئة باير 1 لا يمكن أن تكون غير متصلة إلا على مجموعة صغيرة . [ 4 ]

الدورية

لأي عدد حقيقي x وأي عدد نسبي موجب T ،1سؤال(x+تي)=1سؤال(x){\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}لذا، تُعد دالة ديريشليه مثالاً على دالة دورية حقيقية ليست ثابتة ، ولكن مجموعة دوراتها، وهي مجموعة الأعداد النسبية، هي مجموعة جزئية كثيفة منR{\displaystyle \mathbb {R} }.

خصائص التكامل

  • دالة ديريشليه ليست قابلة للتكامل وفقًا لريمان على أي جزء منR{\displaystyle \mathbb {R} }على الرغم من كونها محدودة لأن مجموعة نقاط عدم الاستمرارية الخاصة بها ليست ضئيلة (بالنسبة لمقياس ليبيغ ).
  • تحتوي دالة ديريشليه على تكامل داربو العلوي (أي،ب-أ{\displaystyle ba}) وتكامل داربو السفلي (0) على أي فترة محدودة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}— لكنهما ليسا متساويين إذاأ<ب{\displaystyle a<b}، لذا فإن دالة ديريشليه ليست قابلة للتكامل داربو (وبالتالي ليست قابلة للتكامل ريمان) على أي فترة غير متدهورة.
  • توفر دالة ديريشليه مثالاً مضاداً يوضح أن نظرية التقارب الرتيب ليست صحيحة في سياق تكامل ريمان.
    دليل

    باستخدام تعداد الأعداد النسبية بين 0 و1، نُعرّف الدالة f<sub> n</sub> (لكل عدد صحيح غير سالب n ) كدالة مؤشر لمجموعة الحدود n الأولى من هذه المتتالية من الأعداد النسبية. تتقارب المتتالية المتزايدة من الدوال f <sub>n</sub> (وهي دوال غير سالبة، قابلة للتكامل وفقًا لريمان، وتكاملها يساوي صفرًا) نقطيًا إلى دالة ديريشليه غير القابلة للتكامل وفقًا لريمان.

  • دالة ديريشليه قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ علىR{\displaystyle \mathbb {R} }وتكاملها علىR{\displaystyle \mathbb {R} }يساوي صفرًا لأنه يساوي صفرًا باستثناء مجموعة الأعداد النسبية التي يمكن إهمالها (بالنسبة لمقياس ليبيغ).

انظر أيضاً

  • دالة ثوماي ، وهي دالة متغيرة غير متصلة فقط عند الأعداد النسبية.

مراجع

  1. ↑ "دالة ديريشليه" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
  2. ↑ دالة ديريشليه — من عالم الرياضيات
  3. ^ ليجون ديريشليت، بيتر جوستاف (1829). "حول تقارب المتسلسلة المثلثية التي تخدم وظيفة تحكيمية بين حدود البيانات" . مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 4 : 157 – 169.تم تعريف الدالة في الصفحة 169
  4. ↑ دونهام، ويليام (2005). معرض التفاضل والتكامل . مطبعة جامعة برينستون . ص 197. ISBN  0-691-09565-5.