القسمة على ما لا نهاية

في حساب التفاضل والتكامل، يُعرَّف تكامل دالة بأنه إيجاد المساحة تحت منحنى. ويمكن القيام بذلك ببساطة عن طريق تقسيم هذه المساحة إلى أجزاء مستطيلة وجمع هذه الأجزاء. تُسمى هذه الأجزاء بمجاميع ريمان . كلما ضاقت الأجزاء، أصبح مجموع ريمان تقريبًا أكثر دقة للمساحة الحقيقية. بأخذ نهاية مجاميع ريمان هذه، حيث يمكن اعتبار الأجزاء "متناهية الصغر"، نحصل على التكامل المحدد للدالة على الفترة المحددة. من الناحية النظرية، ينتج عن ذلك قسمة الفترة على اللانهاية للحصول على أجزاء متناهية الصغر. ^{[ 1 ] : 255-259}

في سياق مختلف، عند حساب التكامل عندما تكون إحدى حدوده اللانهاية، يُعرَّف هذا النوع من التكامل بأنه تكامل غير محدود . ^{[ 8 ]} لتحديد هذا النوع، تُؤخذ النهاية كمتغير عندما يقترب a من اللانهاية، مع استبدال علامة اللانهاية بـ a. يسمح هذا بحساب التكامل ثم حساب النهاية. في كثير من الحالات، ينتج عن حساب هذا التكامل قسمة أحد الحدود على اللانهاية. في هذه الحالة، ولحساب التكامل، يُفترض أن هذه القسمة تساوي صفرًا. يسمح هذا بافتراض تقارب التكامل، مما يعني إمكانية تحديد قيمة نهائية من التكامل باستخدام هذا الافتراض. ^{[ 8 ]}

عند إعطاء نسبة بين دالتين، يمكن حساب نهاية هذه النسبة بحساب نهاية كل دالة على حدة. إذا كانت نهاية الدالة في المقام لا نهائية، ولم يسمح البسط بتحديد النسبة بدقة، فإن نهاية النسبة تُسمى نهاية غير محددة. ^{[ 9 ]} مثال على ذلك:

${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$

إن استخدام قاعدة لوبيتال لتقييم نهايات الكسور حيث يميل المقام نحو اللانهاية يمكن أن ينتج عنه نتائج أخرى غير الصفر.

لو

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

ثم

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

لذلك إذا

${\displaystyle \lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,}$

ثم

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}$^{[ 10 ]}

هذا يعني أنه عند استخدام النهايات لإعطاء معنى للقسمة على اللانهاية، فإن نتيجة "القسمة على اللانهاية" لا تساوي دائمًا 0.