مرونة الدالة

في الرياضيات ، يتم تعريف المرونة أو المرونة النقطية لدالة قابلة للتفاضل موجبة f لمتغير موجب (مدخل موجب، مخرج موجب) ^{[ 1 ]} عند النقطة a على النحو التالي ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

وبالتالي، فهي نسبة التغير النسبي (المئوي) في ناتج الدالة${\displaystyle f(x)}$فيما يتعلق بالتغير النسبي في مدخلاته${\displaystyle x}$، بالنسبة للتغيرات المتناهية الصغر من نقطة${\displaystyle (a,f(a))}$وبصورة مكافئة، هي نسبة التغير المتناهي الصغر في لوغاريتم دالة ما إلى التغير المتناهي الصغر في لوغاريتم المتغير. وتوجد تعميمات لحالات المدخلات والمخرجات المتعددة في المراجع. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

مرونة الدالة هي ثابت${\displaystyle \alpha }$إذا وفقط إذا كانت الدالة على الشكل التالي${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$لثابت${\displaystyle C>0}$.

المرونة عند نقطة ما هي نهاية مرونة القوس بين نقطتين عندما تقترب المسافة بين هاتين النقطتين من الصفر.

يُستخدم مفهوم المرونة على نطاق واسع في الاقتصاد وتحليل التحكم الأيضي (MCA)؛ انظر المرونة (الاقتصاد) ومعامل المرونة على التوالي لمزيد من التفاصيل.

قواعد إيجاد مرونة حاصل الضرب والقسمة أبسط من قواعد إيجاد مرونة المشتقات. ^{[ 5 ]} لتكن f و g دالتين قابلتين للتفاضل. إذن ^{[ 2 ]}

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

يمكن التعبير عن المشتق بدلالة المرونة كما يلي

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

لنفترض أن a و b ثابتان. إذن

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$،

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$.

في علم الاقتصاد، تشير مرونة الطلب السعرية إلى مرونة دالة الطلب Q ( P )، ويمكن التعبير عنها بالصيغة (dQ/dP)/(Q(P)/P) أو نسبة قيمة الدالة الحدية (dQ/dP) إلى قيمة الدالة المتوسطة (Q(P)/P). توفر هذه العلاقة طريقة سهلة لتحديد ما إذا كان منحنى الطلب مرنًا أم غير مرن عند نقطة معينة. لنفترض أولًا اتباع الاصطلاح الرياضي المعتاد برسم المتغير المستقل (P) أفقيًا والمتغير التابع (Q) رأسيًا. عندئذٍ، يمثل ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة قيمة الدالة الحدية عند تلك النقطة. أما ميل الشعاع المرسوم من نقطة الأصل مرورًا بالنقطة فيمثل قيمة الدالة المتوسطة. إذا كانت القيمة المطلقة لميل المماس أكبر من ميل الشعاع، فإن الدالة مرنة عند تلك النقطة؛ وإذا كان ميل القاطع أكبر من القيمة المطلقة لميل المماس، فإن المنحنى غير مرن عند تلك النقطة. ^{[ 6 ]} إذا مُدِّدَ المماس إلى المحور الأفقي، فإن المسألة تقتصر على مقارنة الزوايا المتكونة بين المماس والمحور الأفقي. إذا كانت الزاوية الحدية أكبر من الزاوية المتوسطة، فإن الدالة مرنة عند تلك النقطة؛ وإذا كانت الزاوية الحدية أصغر من الزاوية المتوسطة، فإن الدالة غير مرنة عند تلك النقطة. أما إذا اتبعنا الاصطلاح المُعتمد لدى الاقتصاديين ورسمنا المتغير المستقل P على المحور الرأسي والمتغير التابع Q على المحور الأفقي، فإن القواعد المعكوسة ستُطبَّق.

يمكن تطبيق نفس الإجراء الرسومي على وظيفة التوريد أو وظائف أخرى.

تُعطي المرونة الجزئية (أو شبه المرونة) النسبة المئوية للتغير في f(x) بدلالة التغير (وليس كنسبة مئوية) في x . جبريًا، تُعطى المرونة الجزئية S للدالة f عند النقطة x بالعلاقة ^{[ 7 ] [ 8 ].}

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

ستكون المرونة الجزئية ثابتة للدوال الأسية من الشكل التالي:${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$منذ،

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

ومن الأمثلة على المرونة الجزئية المدة المعدلة في تداول السندات.

يُستخدم أحيانًا تعريف معاكس في الأدبيات. أي أن مصطلح "شبه المرونة" يُستخدم أحيانًا أيضًا للإشارة إلى التغير (ليس كنسبة مئوية) في f(x) بدلالة التغير النسبي في x ^{[ 9 ]} والذي سيكون

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

• مرونة القوس
• المرونة (الاقتصاد)
• معامل المرونة (الكيمياء الحيوية)
• وظيفة متجانسة
• المشتق اللوغاريتمي

• نيفيرجيلت، إيف (1983). "مفهوم المرونة في الاقتصاد". مجلة SIAM . 25 (2): 261-265 . doi : 10.1137/1025049 .