عنصر من مجموعة

في الرياضيات ، يُعرَّف عنصر (أو عضو ) مجموعة بأنه أيٌّ من العناصر المتميزة التي تنتمي إلى تلك المجموعة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مجموعة تُسمى A تحتوي على الأعداد الصحيحة الموجبة الأربعة الأولى (${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$، يمكن القول إن "3 عنصر من A "، معبر عنه بالرمز التالي:${\displaystyle 3\in A}$.

كتابة${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$يعني ذلك أن عناصر المجموعة A هي الأعداد 1 و2 و3 و4. على سبيل المثال، مجموعات عناصر المجموعة A${\displaystyle \{1,2\}}$، هي مجموعات فرعية من A.

يمكن أن تكون المجموعات نفسها عناصر. على سبيل المثال، لنأخذ المجموعة${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$عناصر المجموعة B ليست 1 و2 و3 و 4 .  بل هي ثلاثة عناصر فقط ، وهي العددان 1 و2 والمجموعة${\displaystyle \{3,4\}}$.

يمكن أن تكون عناصر المجموعة أي شيء. على سبيل المثال، عناصر المجموعة${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {Red}red} ,\mathrm {12} ,B\}}$اللون الأحمر، والرقم 12 ، والمجموعة B.

في المنطق، يمكن تعريف المجموعة من حيث انتماء عناصرها إلى المجموعة على النحو التالي:${\displaystyle (x\in y)\leftrightarrow \forall x[P_{x}=y]:x\in {\mathfrak {D}}y}$هذا يعني أساسًا أن هناك إسنادًا عامًا لـ x يُسمى العضوية، وهو مكافئ للعبارة "x عضو في y إذا وفقط إذا كان، بالنسبة لجميع الكائنات x، الإسناد العام لـ x مطابقًا لـ y، حيث x عضو في مجال y ". يجعل التعبير x ∈ 𝔇y هذا التعريف محددًا جيدًا من خلال ضمان أن x متغير مقيد في إسناده للعضوية في y.

في هذه الحالة، يُطلق على مجال Px، وهو المجموعة التي تحتوي على جميع القيم المنطقية التابعة x التي تُحقق الشروط المذكورة للانتماء إلى y، اسم الكون (U) لـ y. أما مدى Px، وهو مجموعة جميع متغيرات المجموعة التابعة الممكنة y الناتجة عن استيفاء شروط الانتماء لـ x، فهو مجموعة القوى لـ U بحيث تكون العلاقة الثنائية لانتماء x إلى y أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي U × 𝒫(U) (حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة U مع مجموعة القوى لـ U).

العلاقة الثنائية "هو عنصر من"، والتي تسمى أيضًا عضوية المجموعة ، يُرمز لها بالرمز  "∈". كتابة

${\displaystyle x\in A}$

يعني ذلك أن " س عنصر من المجموعة أ ". ^{[ 1 ]} والعبارات المكافئة هي " س عضو في أ "، و" س ينتمي إلى أ "، و" س موجود في أ "، و" س يقع في أ ". كما تُستخدم عبارتا " أ تتضمن س " و" أ تحتوي على س " للدلالة على الانتماء إلى مجموعة، مع أن بعض المؤلفين يستخدمونهما بمعنى " س مجموعة جزئية من أ ". ^{[ 2 ]} وقد حثّ المنطقي جورج بولوس بشدة على استخدام "يحتوي" للدلالة على الانتماء فقط، و"يتضمن" للدلالة على علاقة المجموعة الجزئية فقط. ^{[ 3 ]}      

بالنسبة للعلاقة ∈، يمكن كتابة العلاقة العكسية ∈ ^{T على النحو التالي}

${\displaystyle A\ni x}$

بمعنى " أ يحتوي على أو يتضمن س ".

يُرمز إلى نفي الانتماء إلى مجموعة بالرمز  "∉". كتابة

${\displaystyle x\notin A}$

يعني ذلك أن " x ليس عنصرًا من A ". 

استُخدم الرمز ∈ لأول مرة من قِبل جوزيبي بيانو ، في كتابه "Arithmetices principia, nova methodo exposita " الصادر عام 1889. ^{[ 4 ]} وقد كتب هنا في الصفحة X:

الإشارة ∈ تعني معنى Ita a ∈ b شرعي a est quoddam b; …

وهذا يعني

يرمز الرمز ∈ إلى " هو" . لذا ، تُقرأ العبارة a ∈ b على أنها a هو b معين ؛ …

الرمز نفسه عبارة عن حرف إبسيلون يوناني صغير منمق ("ϵ")، وهو الحرف الأول من كلمة ἐστί ، والتي تعني "هو". ^{[ 4 ]}

باستخدام المجموعات المحددة أعلاه، وهي A = {1, 2, 3, 4}، و B = {1, 2, {3, 4}}، و C = {red, 12, B }، فإن العبارات التالية صحيحة:

• 2 ∈ أ
• 5 ∉ أ

• {3، 4} ∈ B
• 3 ∉ ب
• 4 ∉ ب
• أصفر ∉ ج

عدد العناصر في مجموعة معينة يُعرف بخاصية العددية ؛ وهي ببساطة حجم المجموعة. ^{[ 5 ]} في الأمثلة السابقة، عدد عناصر المجموعة A هو 4، بينما عدد عناصر المجموعتين B و C هو 3. المجموعة غير المنتهية هي مجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر، بينما المجموعة المنتهية هي مجموعة تحتوي على عدد محدود من العناصر. الأمثلة السابقة هي أمثلة على مجموعات منتهية. مثال على مجموعة غير منتهية هو مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة {1، 2، 3، 4، ...} .   

كعلاقة ، يجب أن يكون لعضوية المجموعة مجال ومدى. يُطلق على المجال عادةً اسم الكون ، ويُرمز له بـ U. أما المدى فهو مجموعة المجموعات الجزئية من U، وتُسمى مجموعة القوى لـ U ، ويُرمز لها بـ P( U ). وبالتالي ، فإن العلاقة${\displaystyle \in }$هي مجموعة جزئية من U × P( U ) . العلاقة العكسية${\displaystyle \ni }$هي مجموعة جزئية من P ( U ) × U.

• عنصر الهوية
• سينغلتون (الرياضيات)

• هالموس ، بول ر. (1974) [1960]، نظرية المجموعة الساذجة ، النصوص الجامعية في الرياضيات (  طبعة غلاف فني)، نيويورك: Springer-Verlag، ISBN 0-387-90092-6- "الساذج" يعني أنه ليس بديهيًا بالكامل، وليس أنه سخيف أو سهل (معالجة هالموس ليست كذلك).
• جيتش، توماس (2002)، "نظرية المجموعات" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد
• سوبس، باتريك (1972) [1960]، نظرية المجموعات البديهية ، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-61630-4- إن مفهوم المجموعة (مجموعة من الأعضاء)، والعضوية أو العنصرية، وبديهية التمديد، وبديهية الفصل، وبديهية الاتحاد (يسميها سوبس بديهية المجموع) ضرورية لفهم أكثر شمولاً لـ "عنصر المجموعة".