طريقة أويلر

في الرياضيات وعلوم الحوسبة ، تُعدّ طريقة أويلر (وتُسمى أيضًا طريقة أويلر الأمامية ) إجراءً عدديًا من الدرجة الأولى لحل المعادلات التفاضلية العادية بقيمة ابتدائية مُعطاة . وهي أبسط طريقة صريحة للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية ، وأبسط طريقة رونج-كوتا . سُميت طريقة أويلر نسبةً إلى ليونارد أويلر ، الذي اقترحها لأول مرة في كتابه "Institutionum calculi integralis " (نُشر بين عامي 1768 و1770). ^{[ 1 ]}

تُعدّ طريقة أويلر طريقة من الدرجة الأولى، ما يعني أن الخطأ المحلي (الخطأ لكل خطوة) يتناسب طرديًا مع مربع حجم الخطوة، والخطأ الكلي (الخطأ عند زمن معين) يتناسب طرديًا مع حجم الخطوة. غالبًا ما تُستخدم طريقة أويلر كأساس لبناء طرق أكثر تعقيدًا، مثل طريقة التنبؤ والتصحيح .

بالنظر إلى مسألة القيمة الأولية

$${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1,}$$

نود استخدام طريقة أويلر لتقريب${\displaystyle y(4)}$[ ^{5 ]​}

باستخدام حجم خطوة يساوي 1 ( h = 1 )

طريقة أويلر هي

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$$

لذا يجب علينا أولاً أن نحسب${\displaystyle f(t_{0},y_{0})}$في هذه المعادلة التفاضلية البسيطة، الدالة${\displaystyle f}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle f(t,y)=y}$لدينا

$${\displaystyle f(t_{0},y_{0})=f(0,1)=1.}$$

من خلال القيام بالخطوة المذكورة أعلاه، نكون قد وجدنا ميل الخط المماس لمنحنى الحل عند النقطة${\displaystyle (0,1)}$تذكر أن الميل يُعرَّف بأنه التغير في${\displaystyle y}$مقسومًا على التغير في${\displaystyle t}$، أو${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}}$.

الخطوة التالية هي ضرب القيمة المذكورة أعلاه بحجم الخطوة${\displaystyle h}$، والتي نعتبرها مساوية للواحد هنا:

$${\displaystyle h\cdot f(y_{0})=1\cdot 1=1.}$$

بما أن حجم الخطوة هو التغيير في${\displaystyle t}$عندما نضرب حجم الخطوة وميل المماس، نحصل على تغيير في${\displaystyle y}$ثم تُضاف هذه القيمة إلى القيمة الأولية.${\displaystyle y}$القيمة للحصول على القيمة التالية التي سيتم استخدامها في العمليات الحسابية.

$${\displaystyle y_{0}+hf(y_{0})=y_{1}=1+1\cdot 1=2.}$$

ينبغي تكرار الخطوات المذكورة أعلاه للعثور على${\displaystyle y_{2}}$،${\displaystyle y_{3}}$و${\displaystyle y_{4}}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+hf(y_{1})=2+1\cdot 2=4,\\y_{3}&=y_{2}+hf(y_{2})=4+1\cdot 4=8,\\y_{4}&=y_{3}+hf(y_{3})=8+1\cdot 8=16.\end{aligned}}}$$

نظراً للطبيعة المتكررة لهذه الخوارزمية، قد يكون من المفيد تنظيم العمليات الحسابية في شكل مخطط، كما هو موضح أدناه، لتجنب ارتكاب الأخطاء.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle y_{n}}$	${\displaystyle t_{n}}$	${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \Delta y}$	${\displaystyle y_{n+1}}$
0	1	0	1	1	1	2
1	2	1	2	1	2	4
2	4	2	4	1	4	8
3	8	3	8	1	8	16

خلاصة هذه الحسابات هي أن${\displaystyle y_{4}=16}$الحل الدقيق للمعادلة التفاضلية هو${\displaystyle y(t)=e^{t}}$، لذا${\displaystyle y(4)=e^{4}\approx 54.598}$على الرغم من أن تقريب طريقة أويلر لم يكن دقيقًا جدًا في هذه الحالة تحديدًا، لا سيما بسبب حجم خطوة القيمة الكبير${\displaystyle h}$، سلوكها صحيح نوعياً كما يوضح الشكل.

استخدام أحجام خطوات أخرى

كما هو موضح في المقدمة، تكون طريقة أويلر أكثر دقة إذا كان حجم الخطوة${\displaystyle h}$أصغر. يوضح الجدول أدناه النتيجة مع أحجام خطوات مختلفة. يتوافق الصف العلوي مع المثال الوارد في القسم السابق، بينما يوضح الشكل الصف الثاني.

حجم الخطوة	نتيجة طريقة أويلر	خطأ
1	16.00	38.60
0.25	35.53	19.07
0.1	45.26	0 9.34
0.05	49.56	0 5.04
0.025	51.98	0 2.62
0.0125	53.26	0 1.34

الخطأ المسجل في العمود الأخير من الجدول هو الفرق بين الحل الدقيق عند${\displaystyle t=4}$وتقريب أويلر. في أسفل الجدول، يبلغ حجم الخطوة نصف حجم الخطوة في الصف السابق، والخطأ أيضًا يُقارب نصف الخطأ في الصف السابق. يشير هذا إلى أن الخطأ يتناسب تقريبًا مع حجم الخطوة، على الأقل بالنسبة للقيم الصغيرة نسبيًا لحجم الخطوة. هذا صحيح بشكل عام، حتى بالنسبة للمعادلات الأخرى؛ راجع قسم " خطأ الاقتطاع العام" لمزيد من التفاصيل.

تُظهر طرق أخرى، مثل طريقة نقطة المنتصف الموضحة في الأشكال، أداءً أفضل: فالخطأ الكلي لطريقة نقطة المنتصف يتناسب تقريبًا مع مربع حجم الخطوة. ولهذا السبب، تُصنف طريقة أويلر كطريقة من الدرجة الأولى، بينما تُصنف طريقة نقطة المنتصف كطريقة من الدرجة الثانية.

يمكننا استنتاج من الجدول أعلاه أن حجم الخطوة اللازم للحصول على إجابة صحيحة بثلاثة أرقام عشرية هو 0.00001 تقريبًا، مما يعني أننا نحتاج إلى 400,000 خطوة. هذا العدد الكبير من الخطوات يستلزم تكلفة حسابية عالية. لهذا السبب، تُستخدم طرق ذات رتبة أعلى، مثل طرق رونج-كوتا أو الطرق الخطية متعددة الخطوات ، خاصةً إذا كانت الدقة العالية مطلوبة. ^{[ 6 ]}

في هذا المثال من الدرجة الثالثة، افترض أن المعلومات التالية معطاة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&y'''+4ty''-t^{2}y'-(\cos {t})y=\sin {t}\\&t_{0}=0\\&y_{0}=y(t_{0})=2\\&y'_{0}=y'(t_{0})=-1\\&y''_{0}=y''(t_{0})=3\\&h=0.5\end{aligned}}}$$

ومن هذا يمكننا عزل y ''' للحصول على المعادلة:

$${\displaystyle y'''=f{\left(t,y,y',y''\right)}=\sin {t}+\left(\cos {t}\right)y+t^{2}y'-4ty''}$$

باستخدام ذلك يمكننا الحصول على الحل لـ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {y}}_{1}&={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{1}'\\y_{1}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\y'_{0}\\y''_{0}\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}y'_{0}\\y''_{0}\\f{\left(t_{0},y_{0},y'_{0},y''_{0}\right)}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}+0.5\cdot {\begin{pmatrix}-1\\3\\\sin {0}+(\cos {0})\cdot 2+0^{2}\cdot (-1)-4\cdot 0\cdot 3\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.5\\0.5\\4\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$واستخدام الحل لـ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$، يمكننا إيجاد الحل لـ${\displaystyle {\vec {y}}_{2}}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {y}}_{2}&={\begin{pmatrix}y_{2}\\y_{2}'\\y_{2}''\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y'_{1}\\y''_{1}\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}y'_{1}\\y''_{1}\\f{\left(t_{1},y_{1},y'_{1},y''_{1}\right)}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.5\\0.5\\4\end{pmatrix}}+0.5\cdot {\begin{pmatrix}0.5\\4\\\sin {0.5}+(\cos {0.5})\cdot 1.5+0.5^{2}\cdot 0.5-4\cdot 0.5\cdot 4\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}1.75\\2.5\\0.9604...\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$يمكننا مواصلة هذه العملية باستخدام نفس الصيغة طالما كان ذلك ضرورياً لإيجاد أي منها${\displaystyle {\vec {y}}_{i}}$مرغوب.

يمكن اشتقاق طريقة أويلر بعدة طرق.

This line of thought can be continued to arrive at various linear multistep methods.

The local truncation error of the Euler method is the error made in a single step. It is the difference between the numerical solution after one step, ${\displaystyle y_{1}}$, and the exact solution at time ${\displaystyle t_{1}=t_{0}+h}$. The numerical solution is given by

$${\displaystyle y_{1}=y_{0}+hf(t_{0},y_{0}).}$$

For the exact solution, we use the Taylor expansion mentioned in the section Derivation above:

$${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}{\left(h^{3}\right)}.}$$

The local truncation error (LTE) introduced by the Euler method is given by the difference between these equations:

$${\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+{\mathcal {O}}{\left(h^{3}\right)}.}$$

This result is valid if ${\displaystyle y}$ has a bounded third derivative.^[10]

This shows that for small ${\displaystyle h}$, the local truncation error is approximately proportional to ${\displaystyle h^{2}}$. This makes the Euler method less accurate than higher-order techniques such as Runge–Kutta methods and linear multistep methods, for which the local truncation error is proportional to a higher power of the step size.

A slightly different formulation for the local truncation error can be obtained by using the Lagrange form for the remainder term in Taylor's theorem. If ${\displaystyle y}$ has a continuous second derivative, then there exists a ${\displaystyle \xi \in [t_{0},t_{0}+h]}$ such that^[11]

$${\displaystyle \mathrm {LTE} =y(t_{0}+h)-y_{1}={\tfrac {1}{2}}h^{2}y''(\xi ).}$$

In the above expressions for the error, the second derivative of the unknown exact solution ${\displaystyle y}$ can be replaced by an expression involving the right-hand side of the differential equation. Indeed, it follows from the equation ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ that^[12]

$${\displaystyle y''(t_{0})={\frac {\partial f}{\partial t}}\left(t_{0},y(t_{0})\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(t_{0},y(t_{0})\right)\,f\left(t_{0},y(t_{0})\right).}$$

The global truncation error is the error at a fixed time ${\displaystyle t_{i}}$, after however many steps the method needs to take to reach that time from the initial time. The global truncation error is the cumulative effect of the local truncation errors committed in each step.^[13] The number of steps is easily determined to be ${\textstyle {\frac {t_{i}-t_{0}}{h}}}$, which is proportional to ${\textstyle {\frac {1}{h}}}$, and the error committed in each step is proportional to ${\displaystyle h^{2}}$ (see the previous section). Thus, it is to be expected that the global truncation error will be proportional to ${\displaystyle h}$.^[14]

This intuitive reasoning can be made precise. If the solution ${\displaystyle y}$ has a bounded second derivative and ${\displaystyle f}$ is Lipschitz continuous in its second argument, then the global truncation error (denoted as ${\displaystyle |y(t_{i})-y_{i}|}$) is bounded by

$${\displaystyle \left|y(t_{i})-y_{i}\right|\leq {\frac {hM}{2L}}\left(e^{L(t_{i}-t_{0})}-1\right)}$$

where ${\displaystyle M}$ is an upper bound on the second derivative of ${\displaystyle y}$ on the given interval and ${\displaystyle L}$ is the Lipschitz constant of ${\displaystyle f}$[ ^{15 ]} أو ببساطة، ^عندما${\displaystyle y'(t)=f(t,y)}$، القيمة${\textstyle L={\text{max}}\left(|{\frac {d}{dy}}\left[f(t,y)\right]|\right)}$(بحيث${\displaystyle t}$(يُعامل كثابت). على النقيض من ذلك،${\textstyle M=\max \left(\left|{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left[y(t)\right]\right|\right)}$حيث الدالة${\displaystyle y(t)}$هو الحل الأمثل الذي يحتوي فقط على${\displaystyle t}$عامل.

لا تُعدّ الصيغة الدقيقة لهذا الحدّ ذات أهمية عملية كبيرة، إذ إنّ هذا الحدّ في معظم الحالات يُبالغ بشكل كبير في تقدير الخطأ الفعلي الذي تُسبّبه طريقة أويلر. ^{[ 16 ]} المهم هو أنّه يُبيّن أنّ خطأ الاقتطاع الكلي يتناسب (تقريبًا) مع${\displaystyle h}$ولهذا السبب، يُقال إن طريقة أويلر من الدرجة الأولى. ^{[ 17 ]}

قد تكون طريقة أويلر غير مستقرة عدديًا ، خاصةً بالنسبة للمعادلات الصلبة ، مما يعني أن الحل العددي يتضخم بشكل كبير في المعادلات التي لا يتضخم فيها الحل الدقيق. ويمكن توضيح ذلك باستخدام المعادلة الخطية $${\displaystyle y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.}$$ الحل الدقيق هو${\displaystyle y(t)=e^{-2.3t}}$، والذي يتلاشى إلى الصفر عندما${\displaystyle t\to \infty }$ومع ذلك، إذا تم تطبيق طريقة أويلر على هذه المعادلة بخطوة حجمية${\displaystyle h=1}$إذا كان الحل العددي خاطئًا نوعيًا، فإنه يتذبذب ويتزايد (انظر الشكل). وهذا هو معنى عدم الاستقرار. على سبيل المثال، إذا تم استخدام حجم خطوة أصغر.${\displaystyle h=0.7}$ثم يتلاشى الحل العددي إلى الصفر.

إذا تم تطبيق طريقة أويلر على المعادلة الخطية${\displaystyle y'=ky}$إذا كان الناتج غير مستقر، فإن الحل العددي يكون غير مستقر.${\displaystyle hk}$يقع خارج المنطقة $${\displaystyle \left\{z\in \mathbf {C} \,{\big |}\,|z+1|\leq 1\right\},}$$ موضح على اليمين. تُسمى هذه المنطقة منطقة الاستقرار (الخطي) . ^{[ 18 ]} في المثال،${\displaystyle k=-2.3}$لذلك إذا${\displaystyle h=1}$ثم${\displaystyle hk=-2.3}$وهو ما يقع خارج منطقة الاستقرار، وبالتالي فإن الحل العددي غير مستقر.

هذا القيد - إلى جانب تقارب الخطأ البطيء مع${\displaystyle h}$هذا يعني أن طريقة أويلر لا تُستخدم كثيرًا، إلا كمثال بسيط على التكامل العددي . غالبًا ما تحتوي نماذج الأنظمة الفيزيائية على حدود تمثل عناصر سريعة التلاشي (أي ذات معاملات أسية سالبة كبيرة). حتى عندما لا تكون هذه الحدود ذات أهمية في الحل الكلي، فإن عدم الاستقرار الذي يمكن أن تُسببه يعني أنه سيلزم استخدام خطوة زمنية صغيرة للغاية إذا تم استخدام طريقة أويلر.

خطوات${\displaystyle n}$في طريقة أويلر، يكون خطأ التقريب تقريبًا من الحجم${\displaystyle \varepsilon y_{n}}$أين${\displaystyle \varepsilon }$تمثل قيمة إبسيلون الآلة . بافتراض أن أخطاء التقريب متغيرات عشوائية مستقلة، فإن إجمالي خطأ التقريب المتوقع يتناسب مع${\textstyle {\frac {\varepsilon }{\sqrt {h}}}}$^{[ 19 ]} بالتالي ، بالنسبة للقيم الصغيرة جدًا لحجم الخطوة، سيكون خطأ الاقتطاع صغيرًا، لكن تأثير خطأ التقريب قد يكون كبيرًا. ويمكن تجنب معظم تأثير خطأ التقريب بسهولة إذا تم استخدام الجمع المُعَوَّض في صيغة طريقة أويلر. ^{[ 20 ]}

يُعدّ تعديل بسيط لطريقة أويلر، والذي يُزيل مشاكل الاستقرار المذكورة أعلاه ، طريقة أويلر العكسية : $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).}$$ يختلف هذا عن طريقة أويلر (القياسية أو المباشرة) في أن الدالة${\displaystyle f}$يتم تقييمها عند نقطة نهاية الخطوة، بدلاً من نقطة البداية. طريقة أويلر العكسية هي طريقة ضمنية ، مما يعني أن صيغة طريقة أويلر العكسية لها${\displaystyle y_{n+1}}$على كلا الجانبين، لذلك عند تطبيق طريقة أويلر العكسية، يتعين علينا حل معادلة. وهذا يجعل التنفيذ أكثر تكلفة.

تؤدي التعديلات الأخرى لطريقة أويلر التي تساعد في الاستقرار إلى طريقة أويلر الأسية أو طريقة أويلر شبه الضمنية .

يمكن للأساليب الأكثر تعقيدًا تحقيق رتبة أعلى (ودقة أكبر). أحد هذه الاحتمالات هو استخدام عدد أكبر من عمليات تقييم الدالة. ويتضح ذلك من خلال طريقة نقطة المنتصف التي سبق ذكرها في هذه المقالة. $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\tfrac {1}{2}}h,y_{n}+{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n})\right).}$$ وهذا يؤدي إلى عائلة طرق رونج-كوتا .

الاحتمال الآخر هو استخدام المزيد من القيم السابقة، كما هو موضح في طريقة آدمز-باشفورث ذات الخطوتين: $${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n},y_{n})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n-1},y_{n-1}).}$$ يؤدي هذا إلى ظهور عائلة من الطرق الخطية متعددة الخطوات . وهناك تعديلات أخرى تستخدم تقنيات من الاستشعار المضغوط لتقليل استخدام الذاكرة ^{[ 21 ].}

في فيلم "شخصيات مخفية" ، تلجأ كاثرين جونسون إلى طريقة أويلر في حساب عودة رائد الفضاء جون جلين من مدار الأرض. ^{[ 22 ]}

• طريقة كرانك-نيكلسون
• يستخدم انحدار التدرج خطوات محدودة، هنا لإيجاد القيم الدنيا للدوال
• قائمة طرق رونج-كوتا
• طريقة الخطوات المتعددة الخطية
• التكامل العددي (لحساب التكاملات المحددة)
• الطرق العددية للمعادلات التفاضلية العادية

• الوسائط المتعلقة بطريقة أويلر على ويكيميديا ​​كومنز
• تطبيقات طريقة أويلر بلغات مختلفة بواسطة Rosetta Code
• "طريقة أويلر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]