النظريات الأساسية لاقتصاديات الرفاه

هناك نظريتان أساسيتان في اقتصاديات الرفاه . تنص الأولى على أنه في حالة التوازن الاقتصادي ، ستكون مجموعة الأسواق الكاملة ، ذات المعلومات الكاملة ، وفي ظل المنافسة الكاملة ، هي الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو (بمعنى أنه لا يوجد تبادل إضافي من شأنه أن يحسن وضع شخص ما دون أن يضر بوضع شخص آخر). وتتمثل متطلبات المنافسة الكاملة فيما يلي: ^{[ 1 ]}

1. لا توجد عوامل خارجية ، وكل طرف لديه معلومات كاملة .
2. تعتبر الشركات والمستهلكون الأسعار أمراً مفروغاً منه (لا توجد جهة فاعلة اقتصادية أو مجموعة من الجهات الفاعلة لديها قوة سوقية ).

يُنظر إلى هذه النظرية أحيانًا على أنها تأكيد تحليلي لمبدأ " اليد الخفية " لآدم سميث ، والذي ينص على أن الأسواق التنافسية تضمن تخصيصًا فعالًا للموارد . ومع ذلك، لا يوجد ما يضمن أن تكون نتيجة السوق المثلى وفقًا لمبدأ باريتو عادلة ، إذ توجد العديد من التوزيعات الممكنة للموارد التي تُحقق كفاءة باريتو، وتختلف في مدى استصوابها (على سبيل المثال، قد يمتلك شخص واحد كل شيء ولا يمتلك أي شخص آخر شيئًا). ^{[ 2 ]}

تنص النظرية الثانية على أنه يمكن دعم أي حل أمثل وفقًا لمبدأ باريتو كتوازن تنافسي لمجموعة أولية من الموارد. ويترتب على ذلك إمكانية دعم أي نتيجة مرغوبة لتحقيق الحل الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو؛ إذ يمكن تحقيق كفاءة باريتو مع أي إعادة توزيع للثروة الأولية. ومع ذلك، قد تؤدي محاولات تصحيح التوزيع إلى تشوهات، وبالتالي قد لا يكون من الممكن تحقيق الحل الأمثل الكامل مع إعادة التوزيع. ^{[ 3 ]}

يمكن تصور النظريات بيانياً لاقتصاد تبادلي بسيط باستخدام مخطط صندوق إيدجوورث .

من حيث المبدأ، توجد صيغتان شائعتان للنظريات الأساسية، إحداهما تتعلق باقتصاد التبادل حيث تُعطى الموارد بشكل خارجي، والأخرى تتعلق باقتصاد الإنتاج. يُعد اقتصاد الإنتاج أكثر عمومية ويستلزم افتراضات إضافية. تستند جميع هذه الافتراضات إلى كتاب الاقتصاد الجزئي القياسي لطلاب الدراسات العليا. ^{[ 36 ]}

لا تضمن النظريات الأساسية بشكل عام وجود التوازنات، ولا تفردها.

تنطبق النظرية الأساسية الأولى في ظل شروط عامة. ^{[ 39 ]} ويمكن صياغتها رسميًا كما يلي: إذا كانت التفضيلات غير مشبعة محليًا، وإذا${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$إذا كان التوازن السعري يتضمن تحويلات، فإن التخصيص${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$هو الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو. ويرتبط التوازن بهذا المعنى إما باقتصاد التبادل فقط أو يفترض مسبقًا أن الشركات تتمتع بالكفاءة في التخصيص والإنتاج، وهو ما يمكن إثباته من خلال أسواق عوامل الإنتاج والتنافس الكامل. ^{[ 39 ]}

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle G}$أنواع السلع التي نعمل عليها في فضاء المتجهات الحقيقي${\displaystyle G}$،${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$واستخدم الخط الغامق للمتغيرات ذات القيم المتجهة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle G=\lbrace {\text{زبدة}},{\text{بسكويت}},{\text{حليب}}\rbrace }$ثم${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$سيكون فضاءً متجهيًا ثلاثي الأبعاد والمتجه${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$يمثل هذا حزمة من البضائع تحتوي على وحدة واحدة من الزبدة، ووحدتين من البسكويت، وثلاث وحدات من الحليب.

لنفترض أن المستهلك i يمتلك ثروة${\displaystyle w_{i}}$بحيث${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$أين${\displaystyle \mathbf {e} }$هو إجمالي الموارد المتاحة من السلع (أي مجموع موارد المستهلكين والمنتجين) و${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$هو إنتاج الشركة j .

إن تعظيم التفضيلات (من تعريف توازن الأسعار مع التحويلات) يستلزم (باستخدام${\displaystyle >_{i}}$للدلالة على علاقة التفضيل للمستهلك i ):

لو${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ثم${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

بمعنى آخر، إذا كانت حزمة من البضائع مفضلة بشكل صارم على${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$لا بد أن يكون سعره باهظاً للغاية${\displaystyle \mathbf {p} }$. عدم التشبع المحلي يعني أيضاً ما يلي:

لو${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$ثم${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$

لكي تفهم السبب، تخيل ذلك${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$لكن${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$ثم من خلال عدم التشبع المحلي، يمكننا أن نجد${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$قريب بشكل تعسفي من${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$(وبالتالي لا تزال بأسعار معقولة) ولكن يُفضل استخدامها بشكل صارم على${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$. لكن${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$هذا نتيجة لتعظيم التفضيل، لذا فهذا تناقض.

التخصيص عبارة عن زوج${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$أين${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$و${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$، أي${\displaystyle \mathbf {X} }$هي "المصفوفة" (التي تسمح بوجود عدد لا نهائي من الصفوف/الأعمدة) التي يمثل عمودها رقم i مجموعة السلع المخصصة للمستهلك رقم i و${\displaystyle \mathbf {Y} }$هي "المصفوفة" التي يمثل عمودها j إنتاج الشركة j . نقتصر اهتمامنا على التخصيصات الممكنة، وهي تلك التخصيصات التي لا يبيع فيها أي مستهلك سلعًا أو يستهلك فيها أي منتج سلعًا يفتقر إليها، أي أنه بالنسبة لكل سلعة ولكل مستهلك، يجب أن يكون مجموع الموارد الأولية للمستهلكين وطلبهم الصافي موجبًا، وكذلك بالنسبة للمنتجين.

والآن لننظر في عملية التخصيص${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$أن باريتو يهيمن${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$وهذا يعني أن${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$لكل ما أنا و${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$لبعض قيم i . بناءً على ما سبق، نعلم${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$لكل ما أنا و${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$بالنسبة لبعض قيم i . وبجمع القيم، نجد:

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

لأن${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$إن تحقيق أقصى ربح هو ما نعرفه${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$، لذا${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$لكن يجب الحفاظ على البضائع.${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$. لذلك،${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$غير ممكن. بما أن جميع التخصيصات التي تهيمن عليها باريتو غير ممكنة،${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$يجب أن يكون هو نفسه الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو. ^{[ 39 ]}

لاحظ أنه على الرغم من حقيقة أن${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$يفترض نص النظرية ببساطة أن الهدف هو تعظيم الربح، وبالتالي فإن النتيجة لا تكون مفيدة/مهمة إلا بقدر إمكانية تحقيق هذا التخصيص الأمثل للإنتاج. ولحسن الحظ، فإنه بغض النظر عن أي قيود على تخصيص الإنتاج، فإن النتيجة قابلة للتطبيق.${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$وإذا ما قُسِّم السعر إلى مجموعة فرعية مغلقة يكون فيها السعر الحدي محدودًا بعيدًا عن الصفر، على سبيل المثال، أي اختيار معقول للدوال المتصلة لتمثيل الإنتاجات الممكنة، فإن مثل هذه القيمة القصوى موجودة. وينتج هذا عن حقيقة أن الحد الأدنى للسعر الحدي والثروة المحدودة يحدان من الحد الأقصى للإنتاج الممكن (الصفر يحد من الحد الأدنى)، وتضمن نظرية تيكونوڤ أن حاصل ضرب هذه الفضاءات المتراصة متراص، مما يضمن لنا وجود قيمة قصوى لأي دالة متصلة نرغب بها.

تنص النظرية الثانية رسميًا على أنه، بافتراض أن كل مجموعة إنتاج${\displaystyle Y_{j}}$محدبة وكل علاقة تفضيل${\displaystyle \geq _{i}}$بما أن المنحنى محدب وغير مشبع محليًا ، يمكن دعم أي تخصيص مرغوب فيه بكفاءة باريتو كتوازن سعري شبه كامل مع التحويلات. ^{[ 39 ]} هناك حاجة إلى مزيد من الافتراضات لإثبات هذه العبارة بالنسبة لتوازنات الأسعار مع التحويلات.

يتم البرهان على مرحلتين: أولاً، نثبت أنه يمكن دعم أي تخصيص فعال وفقًا لمبدأ باريتو باعتباره توازنًا شبه سعري مع التحويلات؛ ثم، نقدم الشروط التي يكون بموجبها التوازن شبه السعري هو أيضًا توازن سعري.

لنُعرّف شبه توازن السعر مع اعتبار التحويلات بمثابة تخصيص${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$، ومتجه سعر p ، ومتجه لمستويات الثروة w (التي يتم تحقيقها عن طريق التحويلات النقدية المقطوعة) مع${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$(أين${\displaystyle \omega }$هو إجمالي الموارد من السلع و${\displaystyle y_{j}^{*}}$إنتاج الشركة j بحيث:

أنا.${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$للجميع${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$(تعمل الشركات على تعظيم أرباحها من خلال الإنتاج)${\displaystyle y_{j}^{*}}$)

ii. لكل i ، إذا${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ثم${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$(لو${\displaystyle x_{i}}$يفضل بشدة أن${\displaystyle x_{i}^{*}}$إذن لا يمكن أن يكون سعره أقل من${\displaystyle x_{i}^{*}}$)

ثالثاً.${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$(تم استيفاء قيود الميزانية)

الفرق الوحيد بين هذا التعريف والتعريف القياسي لتوازن الأسعار مع التحويلات يكمن في العبارة ( ii ). المتباينة ضعيفة هنا (${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$مما يجعلها شبه توازن سعري. لاحقًا، سنعزز هذا لتحقيق توازن سعري. ^{[ 39 ]} تعريف${\displaystyle V_{i}}$أن تكون مجموعة جميع حزم الاستهلاك المفضلة بشكل صارم لـ${\displaystyle x_{i}^{*}}$بواسطة المستهلك i ، وليكن V مجموع كل${\displaystyle V_{i}}$. ${\displaystyle V_{i}}$يكون محدبًا بسبب تحدب علاقة التفضيل${\displaystyle \geq _{i}}$V محدبة لأن كل${\displaystyle V_{i}}$محدب. وبالمثل${\displaystyle Y+\{\omega \}}$اتحاد جميع مجموعات الإنتاج${\displaystyle Y_{i}}$بالإضافة إلى إجمالي الهبة، يكون محدبًا لأن كل${\displaystyle Y_{i}}$هي محدبة. ونعلم أيضاً أن تقاطع V و${\displaystyle Y+\{\omega \}}$يجب أن يكون فارغًا، لأنه إذا لم يكن كذلك، فسيعني ذلك وجود حزمة مفضلة بشكل صارم على${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$وهو متاح للجميع وبأسعار معقولة أيضًا. وهذا ما يستبعده مبدأ باريتو الأمثل.${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$.

تسمح لنا هاتان المجموعتان المحدبتان غير المتقاطعتين بتطبيق نظرية المستوى الفائق الفاصل . تنص هذه النظرية على وجود متجه سعر${\displaystyle p\neq 0}$وعدد r بحيث${\displaystyle p\cdot z\geq r}$لكل${\displaystyle z\in V}$و${\displaystyle p\cdot z\leq r}$لكل${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$بمعنى آخر، يوجد متجه سعر يحدد مستوى فائق يفصل تمامًا بين المجموعتين المحدبتين.

ثم نناقش أنه إذا${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$لكل ما أنا عليه حينها${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$ويرجع ذلك إلى عدم التشبع المحلي: يجب أن تكون هناك حزمة${\displaystyle x'_{i}}$قريب بشكل تعسفي من${\displaystyle x_{i}}$ذلك مفضل بشدة على${\displaystyle x_{i}^{*}}$وبالتالي جزء من${\displaystyle V_{i}}$، لذا${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$باعتبار الحد كما${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$لا يغير ذلك من المتباينة الضعيفة، لذلك${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$كذلك. بعبارة أخرى،${\displaystyle x_{i}}$يقع في إغلاق V.​

باستخدام هذه العلاقة نرى أنه بالنسبة لـ${\displaystyle x_{i}^{*}}$نفسها${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$ونعلم أيضاً أن${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$، لذا${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$كذلك. وبدمج هذه الأمور نجد أن${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$يمكننا استخدام هذه المعادلة لإثبات أن${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$يتوافق مع تعريف شبه توازن السعر مع التحويلات.

لأن${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$و${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$نعلم أنه بالنسبة لأي شركة j:

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$ل${\displaystyle h\neq j}$

وهذا يعني${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$وبالمثل، نعلم ما يلي:

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$ل${\displaystyle k\neq i}$

وهذا يعني${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$هذان البيانان، إلى جانب جدوى التخصيص عند نقطة باريتو المثلى، يحققان الشروط الثلاثة لتوازن شبه سعري مع تحويلات مدعومة بمستويات الثروة${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$لكل i .

ننتقل الآن إلى الشروط التي يكون فيها شبه توازن السعر هو أيضاً توازن سعري، أو بعبارة أخرى، الشروط التي يكون فيها البيان "إذا${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ثم${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$"بسيط" إذا${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$ثم${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$لكي يكون هذا صحيحًا، نحتاج الآن إلى افتراض أن مجموعة الاستهلاك${\displaystyle X_{i}}$محدبة وعلاقة التفضيل${\displaystyle \geq _{i}}$إذا كانت متصلة ، فإذا كان هناك متجه استهلاك${\displaystyle x'_{i}}$بحيث${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$و${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$، إن شبه التوازن السعري هو توازن سعري.

لمعرفة السبب، افترض العكس.${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$و${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$، و${\displaystyle x_{i}}$موجود. ثم بسبب تحدب${\displaystyle X_{i}}$لدينا حزمة${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$مع${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$باستمرارية${\displaystyle \geq _{i}}$ل${\displaystyle \alpha }$لدينا ما يقارب 1${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$هذا تناقض، لأن هذه الحزمة مفضلة على${\displaystyle x_{i}^{*}}$وتكلف أقل من${\displaystyle w_{i}}$.

وبالتالي، لكي تكون شبه توازنات الأسعار توازنات أسعار، يكفي أن تكون مجموعة الاستهلاك محدبة، وأن تكون علاقة التفضيل متصلة، وأن توجد دائمًا سلة استهلاك "أرخص".${\displaystyle x'_{i}}$إحدى طرق ضمان وجود مثل هذه الحزمة هي اشتراط مستويات الثروة${\displaystyle w_{i}}$أن يكون إيجابياً تماماً لجميع المستهلكين i . ^{[ 39 ]}

• تفضيلات محدبة
• نظريات فاريان - التوازن التنافسي هو كل من كفاءة باريتو وخلوه من الحسد .
• نظرية التوازن العام