حلقة فرعية ذات نقطة ثابتة

في الجبر ، الحلقة الفرعية ذات النقطة الثابتة${\displaystyle R^{f}}$إن الحلقة الجزئية للنقاط الثابتة لـ f هي حلقة فرعية من التشكل الذاتي f للحلقة R ، أي

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

بشكل أعم، إذا كانت G زمرة تؤثر على R ، فإن الحلقة الفرعية من R

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r\ {\text{ لكل }}\ g\in G\}}$

تُسمى هذه الحلقة الفرعية الثابتة ، أو بشكل أكثر شيوعًا، حلقة الثوابت تحت المجموعة G. إذا كانت S مجموعة من التشاكلات الذاتية للمجموعة R ، فإن عناصر R التي تُثبَّت بواسطة عناصر S تُشكِّل حلقة الثوابت تحت المجموعة المولدة بواسطة S. على وجه الخصوص، فإن الحلقة الفرعية ذات النقاط الثابتة للتشاكل الذاتي f هي حلقة ثوابت المجموعة الدورية المولدة بواسطة f .

في نظرية غالوا ، عندما يكون R حقلاً و G مجموعة من التشاكلات الحقلية، فإن الحلقة الثابتة هي حقل فرعي يسمى الحقل الثابت لمجموعة التشاكلات؛ انظر النظرية الأساسية لنظرية غالوا .

إلى جانب وحدة المتغيرات المصاحبة ، تُعدّ حلقة الثوابت موضوعًا محوريًا للدراسة في نظرية الثوابت . هندسيًا، تُمثّل حلقات الثوابت حلقات الإحداثيات لحواصل القسمة الهندسية الثابتة (التآلفية أو الإسقاطية) ، وتلعب أدوارًا أساسية في الإنشاءات الهندسية الثابتة .

مثال : ليكن${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$لتكن R حلقة متعددة الحدود في n متغيرًا. تؤثر المجموعة المتناظرة S_{_n} على R عن طريق تبديل المتغيرات. عندئذٍ تكون حلقة الثوابت${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$هي حلقة كثيرات الحدود المتناظرة . إذا أثرت مجموعة جبرية اختزالية G على R ، فإن النظرية الأساسية لنظرية الثوابت تصف مولدات R ^G.

تتساءل المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت عما إذا كانت حلقة الثوابت مولدة توليدًا منتهيًا أم لا (الإجابة بنعم إذا كانت G زمرة جبرية اختزالية وفقًا لنظرية ناجاتا). يسهل إثبات التوليد المنتهي لزمرة منتهية G تؤثر على جبر مولد توليدًا منتهيًا R : بما أن R متكامل على RG ، [ ^{1 ] فإن مبرهنة} آرتين -تيت تستلزم أن RG جبر ^مولد توليدًا منتهيًا. وتكون الإجابة بلا لبعض الزمر أحادية القوة .

لتكن G زمرة منتهية. ولتكن S الجبر المتناظر لوحدة نمطية G منتهية الأبعاد . عندئذٍ تكون G زمرة انعكاس إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$هو وحدة حرة (ذات رتبة محدودة ) على S ^G (نظرية شيڤالي).

في الهندسة التفاضلية ، إذا كانت G زمرة لي و${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$جبر لي الخاص به ، ثم كل حزمة رئيسية G على مشعب M تحدد تماثل الجبر المتدرج (يسمى تماثل تشيرن-ويل ).

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

أين${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$هي حلقة الدوال متعددة الحدود على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وتتخذ G إجراءات بشأن${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$بواسطة التمثيل المرافق .

• تنوع الشخصيات

• موكاي، شيغيرو؛ أوكسبري، دبليو إم (8 سبتمبر 2003) [1998]، مقدمة في الثوابت والمعاملات ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  81، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-80906-1MR 2004218​ 
• سبرينغر، توني أ. (1977)، نظرية الثوابت ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  585، سبرينغر